Разложение квадратных трехчленов на множители относится к школьным заданиям, с которыми рано или поздно сталкивается каждый. Как его выполнить? Какова формула разложения квадратного трехчлена на множители? Разберемся пошагово с помощью примеров.
Общая формула
Разложение квадратных трехчленов на множители осуществляется решением квадратного уравнения. Это несложная задача, которую можно решить несколькими методами - нахождением дискриминанта, при помощи теоремы Виета, существует и графический способ решения. Первые два способа изучаются в средней школе.
Общая формула выглядит так: lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Алгоритм выполнения задания
Для того чтобы выполнить разложение квадратных трехчленов на множители, нужно знать теорему Вита, иметь под рукой программу для решения, уметь находить решение графически или искать корни уравнения второй степени через формулу дискриминанта. Если дан квадратный трехчлен и его надо разложить на множители, алгоритм действий такой:
1) Приравнять исходное выражение к нулю, чтобы получить уравнение.
2) Привести подобные слагаемые (если есть такая необходимость).
3) Найти корни любым известным способом. Графический метод лучше применять в случае, если заранее известно, что корни - целые и небольшие числа. Нужно помнить, что количество корней равно максимальной степени уравнения, то есть у квадратного уравнения корней два.
4) Подставить значение х в выражение (1).
5) Записать разложение квадратных трехчленов на множители.
Примеры
Окончательно понять, как выполняется это задание, позволяет практика. Иллюстрируют разложение на множители квадратного трехчлена примеры:
необходимо разложить выражение:
Прибегнем к нашему алгоритму:
1) х 2 -17х+32=0
2) подобные слагаемые сведены
3) по формуле Виета найти корни для этого примера сложно, потому лучше воспользоваться выражением для дискриминанта:
D=289-128=161=(12,69) 2
4) Подставим найденные нами корни в основную формулу для разложения:
(х-2,155) * (х-14,845)
5) Тогда ответ будет таким:
х 2 -17х+32=(х-2,155)(х-14,845)
Проверим, соответствуют ли найденные дискриминантом решения формулам Виета:
14,845 . 2,155=32
Для данных корней применяется теорема Виета, они были найдены правильно, а значит полученное нами разложение на множители тоже правильно.
Аналогично разложим 12х 2 +7х-6.
x 1 =-7+(337) 1/2
x 2 =-7-(337) 1/2
В предыдущем случае решения были нецелыми, но действительными числами, найти которые легко, имея перед собой калькулятор. Теперь рассмотрим более сложный пример, в котором корни будут комплексными: разложить на множители х 2 +4х+9. По формуле Виета корни найти не получится, и дискриминант отрицательный. Корни будут на комплексной плоскости.
D=-20
Исходя из этого, получаем нтересующие нас корни -4+2i*5 1/2 и -4-2i * 5 1/2 , поскольку (-20) 1/2 =2i*5 1/2 .
Получаем искомое разложение, подставив корни в общую формулу.
Еще один пример: нужно разложить на множители выражение 23х 2 -14х+7.
Имеем уравнение 23х 2 -14х+7 =0
D=-448
Значит, корни 14+21,166i и 14-21,166i. Ответ будет такой:
23х 2 -14х+7 =23(х-14-21,166i )*(х-14+21,166i ).
Приведем пример, решить который можно без помощи дискриминанта.
Пусть нужно разложить квадратное уравнение х 2 -32х+255. Очевидно, его можно решить и дискриминантом, однако быстрее в данном случае подобрать корни.
x 1 =15
x 2 =17
Значит х 2 -32х+255 =(х-15)(х-17).
Мир погружён в огромное количество чисел. Любые исчисления происходят с их помощью.
Люди учат цифры для того, чтобы в дальнейшей жизни не попадаться на обман. Необходимо уделять огромное количество времени, чтобы быть образованным и рассчитать собственный бюджет.
Математика - это точная наука, которая играет большую роль в жизни. В школе дети изучают цифры, а после, действия над ними.
Действия над числами бывают совершенно разными: умножение, разложение, добавление и прочие. Помимо простых формул, в изучении математики используют и более сложные действия. Существует огромное количество формул, по которым узнают любые значения.
В школе, как только появляется алгебра, в жизнь школьника добавляются формулы упрощения. Бывают уравнения, когда неизвестных числа два, но найти простым способом не получится. Трёхчлен - соединение трёх одночленов, с помощью простого метода отнимания и добавления. Трёхчлен решается с помощью теоремы Виета и дискриминанта.
Формула разложения квадратного трёхчлена на множители
Существуют два правильных и простых решения примера :
- дискриминант;
- теорема Виета.
Квадратный трёхчлен имеет неизвестный в квадрате, а также число без квадрата. Первый вариант для решения задачи использует формулу Виета. Это простая формула , если цифры, что стоят перед неизвестным, будут минимальным значением.
Для других уравнений, где число стоит перед неизвестным, уравнение необходимо решать через дискриминант. Это более сложное решение, но используют дискриминант намного чаще, нежели теорему Виета.
Изначально, для нахождения всех переменных уравнения необходимо возвести пример к 0. Решение примера можно будет проверить и узнать правильно ли подстроены числа.
Дискриминант
1. Необходимо приравнять уравнение к 0.
2. Каждое число перед х будет названо числами a, b, c. Так как перед первым квадратным х нет числа, то оно приравнивается к 1.
3. Теперь решение уравнения начинается через дискриминант:
4. Теперь нашли дискриминант и находим два х. Разница заключается в том, что в одном случае перед b будет стоять плюс, а в другом минус:
5. По решению два числа получилось -2 и -1. Подставляем под первоначальное уравнение:
6. В этом примере получилось два правильных варианта. Если оба решения подходят, то каждое из них является истинным.
Через дискриминант решают и более сложные уравнение. Но если само значение дискриминанта будет меньше 0, то пример неправильный. Дискриминант при поиске всегда под корнем, а отрицательное значение не может находиться в корне.
Теорема Виета
Применяется для решения лёгких задач, где перед первым х не стоит число, то есть a=1. Если вариант совпадает, то расчёт проводят через теорему Виета.
Для решения любого трёхчлена необходимо возвести уравнение к 0. Первые шаги у дискриминанта и теоремы Виета не отличаются.
2. Теперь между двумя способами начинаются отличия. Теорема Виета использует не только «сухой» расчёт, но и логику и интуицию. Каждое число имеет свою букву a, b, c. Теорема использует сумму и произведение двух чисел.
Запомните! Число b всегда при добавлении стоит с противоположным знаком, а число с остаётся неизменным!
Подставляя значения данные в примере, получаем:
3. Методом логики подставляем наиболее подходящие цифры. Рассмотрим все варианты решения:
- Цифры 1 и 2. При добавлении получаем 3, но если умножить, то не получится 4. Не подходит.
- Значение 2 и -2. При умножении будет -4, но при добавлении получается 0. Не подходит.
- Цифры 4 и -1. Так как в умножении стоит отрицательное значение, значит, одно из чисел будет с минусом. При добавлении и умножении подходит. Правильный вариант.
4. Остаётся только проверить, раскладывая числа, и посмотреть правильность подобранного варианта.
5. Благодаря онлайн-проверке мы узнали, что -1 не подходит по условию примера, а значит является неправильным решением.
При добавлении отрицательного значения в примере, необходимо цифру заносить в скобки.
В математике всегда будут простые задачи и сложные. Сама наука включает в себя разнообразие задач, теорем и формул. Если понимать и правильно применять знания, то любые сложности с вычислениями будут пустяковыми.
Математика не нуждается в постоянном запоминании. Нужно научится понимать решение и выучить несколько формул. Постепенно, по логическим выводам, можно решать похожие задачи, уравнения. Такая наука может с первого взгляда показаться очень тяжёлой, но если окунутся в мир чисел и задач, то взгляд резко изменится в лучшую сторону.
Технические специальности всегда остаются самыми востребованными в мире. Сейчас, в мире современных технологий, математика стала незаменимым атрибутом любой сферы. Нужно всегда помнить о полезных свойствах математики.
Разложение трёхчлена с помощью скобки
Кроме решения привычными способами, существует ещё один - разложение на скобки. Используют с применением формулы Виета.
1. Приравниваем уравнение к 0.
ax 2 + bx+ c = 0
2. Корни уравнения остаются такими же, но вместо нуля теперь используют формулы разложения на скобки.
ax 2 + bx+ c = a ( x – x 1) ( x – x 2)
2 x 2 – 4 x – 6 = 2 ( x + 1) ( x – 3)
4. Решение х=-1, х=3
Найдем сумму и произведение корней квадратного уравнения. Используя формулы (59.8) для корней приведенного уравнения, получим
(первое равенство очевидно, второе получается после несложного вычисления, которое читатель проведет самостоятельно; удобно использовать формулу для произведения суммы двух чисел на их разность).
Доказана следующая
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену.
В случае неприведенного квадратного уравнения следует в формулы (60.1) подставить выражения формулы (60.1) примут вид
Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:
Решение, а) Находим уравнение имеет вид
Пример 2. Найти сумму квадратов корней уравнения не решая самого уравнения.
Решение. Известны сумма и произведение корней. Представим сумму квадратов корней в виде
и получим
Из формул Виета легко получить формулу
выражающую правило разложения квадратного трехчлена на множители.
В самом деле, напишем формулы (60.2) в виде
Теперь имеем
что и требовалось получить.
Вышеуказанный вывод формул Виета знаком читателю из курса алгебры средней школы. Можно дать другой вывод, использующий теорему Безу и разложение многочлена на множители (пп. 51, 52).
Пусть корни уравнения тогда по общему правилу (52.2) трехчлен в левой части уравнения разлагается на множители:
Раскрывая скобки в правой части этого тождественного равенства, получим
и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях даст нам формулы Виета (60.1).
Преимущество этого вывода состоит в том, что его можно применить и к уравнениям высших степеней с тем, чтобы получить выражения коэффициентов уравнения через его корни (не находя самих корней!). Например, если корни приведенного кубического уравнения
суть то согласно равенству (52.2) находим
(в нашем случае Раскрыв скобки в правой части равенства и собрав коэффициенты при различных степенях получим
Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax^2+bx+c, где х – переменная, a, b и с – некоторые числа, причем а не равно нулю.
Собственно, первое что нам нужно знать, чтобы разложить злополучный трехчлен на множители – теорема. Выглядит она следующим образом: “Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2+bx+c, то ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Конечно, существует и доказательство этой теоремы, но оно требует некоторых теоретических знаний (при вынесении за скобки в многочлене ax^2+bx+c множителя а получаем ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a). По теореме Виетта x1+x2=-(b/a), х1*х2=с/а, следовательно b/a=-(x1+x2), с/а=х1*х2. значит, x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2). значит, ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . Иногда учителя заставляют учить доказательство, но если оно не востребовано, советую просто запомнить итоговую формулу.
2 шаг
Возьмем как пример трехчлен 3x^2-24x+21. Первое, что нам нужно сделать – приравнять трехчлен к нулю: 3x^2-24x+21=0. Корни полученного квадратного уравнения и будут корнями трехчлена, соответственно.
3 шаг
Решим уравнение 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Итак, решаем. Кто не знает как решать квадратные уравнения, смотрите в мою инструкцию с 2-мя способами их решения на примере этого же уравнения. Получились корни х1=7, х2=1.
4 шаг
Теперь, когда у нас есть корни трехчлена, можно смело подставлять их в формулу =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
получаем:3x^2-24x+21=3(х-7)(х-1)
Можно избавиться от члена а, внеся его в скобки: 3x^2-24x+21=(х-7)(х*3-1*3)
в итоге получаем: 3x^2-24x+21=(х-7)(3х-3). Примечание: каждый из полученных множителей ((х-7), (3х-3) являются многочленами первой степени. Вот и все разложение =) Если сомневаетесь в полученном ответе, всегда можно его проверить, перемножив скобки.
5 шаг
Проверка решения. 3x^2-24x+21=3(х-7)(х-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Теперь мы точно знаем, что наше решение верно! Надеюсь, моя инструкция кому-нибудь поможет =) Удачи в учебе!
- В нашем случае в уравнении D >0 и мы получили по 2 корня. Если бы было D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
- Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.
