Функция плотности распределения
Распределение Ма́ксвелла - распределение вероятности , встречающееся в физике и химии . Оно лежит в основании кинетической теории газов , которая объясняет многие фундаментальные свойства газов, включая давление и диффузию . Распределение Максвелла также применимо для электронных процессов переноса и других явлений. Распределение Максвелла применимо к множеству свойств индивидуальных молекул в газе. О нем обычно думают как о распределении энергий молекул в газе, но оно может также применяться к распределению скоростей, импульсов, и модуля импульсов молекул. Также оно может быть выражено как дискретное распределение по множеству дискретных уровней энергии, или как непрерывное распределение по некоторому континууму энергии.
Распределение Максвелла может быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Как распределение энергии, оно соответствует самому вероятному распределению энергии, в столкновительно-доминируемой системе, состоящей из большого количества невзаимодействующих частиц, в которой квантовые эффекты являются незначительными. Так как взаимодействие между молекулами в газе является обычно весьма небольшим, распределение Максвелла даёт довольно хорошее приближение ситуации, существующей в газе.
Во многих других случаях, однако, даже приблизительно не выполнено условие доминирования упругих соударений над всеми другими процессами. Это верно, например, в физике ионосферы и космической плазмы , где процессы рекомбинации и столкновительного возбуждения (то есть излучательные процессы) имеют большое значение, в особенности для электронов. Предположение о применимости распределения Максвелла дало бы в этом случае не только количественно неверные результаты, но даже предотвратило бы правильное понимание физики процессов на качественном уровне. Также, в том случае где квантовая де Бройлева длина волны частиц газа не является малой по сравнению с расстоянием между частицами, будут наблюдаться отклонения от распределения Максвелла из-за квантовых эффектов.
Распределение энергии Максвелла может быть выражено как дискретное распределение энергии:
,где является числом молекул имеющих энергию при температуре системы , является общим числом молекул в системе и - постоянная Больцмана . (Отметьте, что иногда вышеупомянутое уравнение записывается с множителем , обозначающим степень вырождения энергетических уровней. В этом случае сумма будет по всем энергиям, а не всем состояниям системы). Поскольку скорость связана с энергией, уравнение (1) может использоваться для получения связи между температурой и скоростями молекул в газе. Знаменатель в уравнении (1) известен как каноническая статистическая сумма .
Распределение Максвелла
Распределение по вектору импульса
Представленное ниже очень сильно отличается от вывода, предложенного Джеймсом Клерком Максвеллом и позже описанного с меньшим количеством предположений Людвигом Больцманом .
В случае идеального газа , состоящего из невзаимодействующих атомов в основном состоянии, вся энергия находится в форме кинетической энергии. Кинетическая энергия соотносится с импульсом частицы следующим образом
,где - квадрат вектора импульса .
Мы можем поэтому переписать уравнение (1) как:
,где - статсумма , соответствующая знаменателю в уравнении (1), - молекулярная масса газа, - термодинамическая температура, и - постоянная Больцмана . Это распределение пропорционально функции плотности вероятности нахождения молекулы в состоянии с этими значениями компонентов импульса. Таким образом:
Постоянная нормировки C , определяется из условия, в соответствии с которым вероятность того, что молекулы имеют какой-либо вообще импульс, должна быть равна единице. Поэтому интеграл уравнения (4) по всем значениям и должен быть равен единице. Можно показать, что:
.Таким образом, чтобы интеграл в уравнении (4) имел значение 1 необходимо, чтобы
.Подставляя выражение (6) в уравнение (4) и используя тот факт, что , мы получим
.Распределение по вектору скорости
Учитывая, что плотность распределения по скоростям пропорциональна плотности распределения по импульсам:
и используя мы получим:
,что является распределением Максвелла по скоростям. Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе около скорости равна
Распределение по абсолютной величине импульса
Интегрируя, мы можем найти распределение по абсолютной величине импульса
Распределение по энергии
Наконец, используя соотношения и , мы получаем распределение по кинетической энергии:
Распределение по проекции скорости
Распределение Максвелла для вектора скорости - является произведением распределений для каждого из трех направлений:
,где распределение по одному направлению:
Это распределение имеет форму нормального распределения . Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.
Распределение по модулю скоростей
Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как:
поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все распределены нормально , то будет иметь хи-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если - функция плотности вероятности для модуля скорости, то:
,таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна
Характерная скорость
Хотя Уравнение (11) дает распределение скоростей, или, другими словами, долю молекул, имеющих специфическую скорость, часто более интересны другие величины, такие как средние скорости частиц. В следующих подразделах мы определим и получим наиболее вероятную скорость , среднюю скорость и среднеквадратичную скорость .
Наиболее вероятная скорость
наиболее вероятная скорость , - вероятность обладания которой любой молекулой системы максимальна, и которая соответствует максимальному значению . Чтобы найти её, необходимо вычислить , приравнять её нулю и решить относительно :
Средняя скорость
Среднеквадратичная скорость
Подставляя и интегрируя, мы получим
Вывод распределения по Максвеллу
Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк Максвелл .
Рассмотрим пространство скоростных точек (каждую молекулу представляем как точку в системе координат ) в стационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема . Так как газ стационарный, количество скоростных точек в остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно , поэтому функции плотности вероятности для всех направлений одинаковы.
Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента скорости молекулы не зависит от и компонент.
- фактически вероятность нахождения скоростной точки в объеме .Правая часть не зависит от и , значит и левая от и не зависит. Однако и равноправны, следовательно левая часть не зависит также и от . Значит данное выражение может лишь равняться некоторой константе.
Теперь нужно сделать принципиальный шаг - ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул).
Для выяснения способа, которым можно количественно описать распределение молекул по значениям скорости, воспользуемся следующим приемом. Возьмем в воображаемом пространстве, которое мы будем называть -пространством (пространством скоростей), прямоугольные координатные оси, по которым станем откладывать значения отдельных молекул (имеются в виду компоненты скорости по осям х, у и z, взятым в обычном Пространстве). Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве. Из-за столкновений положения точек будут непрерывно меняться, но их плотность в каждом месте будет оставаться неизменной (напомним, что рассматривается равновесное состояние газа).
Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Следовательно, плотность точек в пространстве может зависеть только от модуля скорости v (или от ). Обозначим эту плотность через - полное число молекул в данной массе газа). Тогда количество молекул, компоненты скоростей которых лежат в пределах от до можно представить в виде
(произведение дает элемент объема в пространстве).
Точки, изображающие скорости, величина которых заключена в пределах от v до попадают в область, лежащую между сферами радиусов v и (рис. 98.1). Объем области равен Следовательно, число точек, находящихся в этой области, определяется выражением
Это выражение дает число молекул, величина скоростей которых лежит в интервале от v до Разделив его на N, получим вероятность того, что скорость молекулы окажется в пределах от v до
Из сравнения этого выражения с (93.6) заключаем, что
играет роль функции распределения молекул газа по скоростям.
Вид функции (98.4) был установлен теоретически Максвеллом в 1860 г. В изложенном ниже выводе закона распределения молекул газа по скоростям мы примерно следуем Максвеллу.
Согласно формуле (93.6) вероятность того, что компонента скорости некоторой молекулы имеет значение в пределах от до может быть представлена в виде
где - функция распределения. Аналогичные вероятности для двух других компонент определяются выражениями
В силу равноправности всех направлений движения аналитический вид функций должен быть одинаков, эти функции отличаются лишь обозначением аргумента.
Максвелл предположил, что вероятность различных значений одной из компонент, например не зависит от того, какова величина остальных двух компонент (в данном случае ). Это означает, что события, заключающиеся в том, что некоторой молекулы находится в пределах от до той же молекулы - в пределах от до и, наконец, той же молекулы - в пределах от до являются статистически независимыми. Поэтому вероятность того, что компоненты скорости некоторой молекулы имеют значения, лежащие в пределах от до равна произведению вероятностей (98.5); (98.6) и (98.7):
(см. формулу (93.4)). Вместе с тем, согласно (98.1), эта вероятность может быть, представлена в виде
Сравнение выражений (98.8) и (98.9) дает, что
Взяв логарифм от обеих частей этого равенства, получим:
Продифференцируем полученное соотношение по
Поскольку частная производная от v по равна
Подставив это значение производной в (98.11) и перенеся затем числителя левой части в знаменатель правой, придем к равенству
Правая часть этого равенства, а значит и левая часть, не зависит от переменных Следовательно, она не может зависеть и от входят в симметрично; см. (98.10)). Таким образом, каждое из выражений, стоящих слева и справа в (98.12), равно некоторой константе, которую мы обозначим, через -а (впоследствии выяснится, что эта константа меньше нуля, т. е. ). Итак,
Интегрирование дает, что
где А - константа. Отсюда
Аналогично
Перемножив найденные функции, найдем, что
Из вида функций (98.13) и (98.14) следует, что постоянная а должна быть больше нуля. Если бы она была отрицательной, эти функции неограниченно возрастали бы при увеличении V.
Постоянная А определяется из условия нормировки (93.7). Согласно этому условию
В § 94 отмечалось, что значения v (а значит и иж) не могут превысить некоторое, хотя и очень большое, но конечное значение . Вместе с тем, в качестве пределов интегрирования мы взяли Такое расширение пределов интегрирования не вносит ощутимой ошибки. Подынтегральная функция убывает о ростом столь быстро, что при достаточно больших она практически не отличается от нуля. Поэтому вклад участков интегрирования от до и от до является пренебрежимо малым.
Интеграл в (98.15) представляет собой интеграл Пуассона с (см. Приложение I, формулу (1.1)). Согласно (1.3)
Подставив это значение в (98.15), получим, что Отсюда
Подстановка найденного значения А в (98.13) и (98.14) приводит к формулам
Чтобы найти постоянную а, вычислим с помощью функции (98.18) значение и приравняем полученное выражение найденному из вычисления давления значению (см. (97.3)). В соответствии в (93.11)
Согласно формуле (1.4)
Заменив в (98.20) интеграл его значением (98.21), найдем, что
Сопоставление с (97.3) дает
Подстановка этого значения в формулы (98.18) и (98.19) приводит к окончательным выражениям для функций распределения:
Напомним, что функция (98.24), будучи умноженной на N, определяет плотность точек, изображающих скорости молекул в -пространстве. Умножив эту функцию на мы найдем вероятность того, что компоненты скорости лежат в пределах от до При этом не только величина скорости, но и ее направление варьируются лишь в небольших пределах, определяемых Если нас интересует вероятность только величины скорости, независимо от направления движения молекулы, т. е. , то нужно взять функцию распределения в виде (98.4).
Умножение этой функции на дает вероятность того, что модуль скорости некоторой молекулы окажется (при произвольном направлении движения) в пределах от v до
Согласно (98.4) и (98.24)
Характерным для этой функции является то обстоятельство, что в показателе экспоненты стоит взятое со знаком минус отношение кинетической энергии молекулы, отвечающей рассматриваемой скорости v, к , т. е. величине, характеризующей среднюю энергию молекул газа.
График функции (98.23) изображен на рис. 98.2. Он совпадает с гауссовой кривой распределения случайной величины.
График функции (98.25) дан на рис. 98.3. Поскольку при возрастании v множитель вида убывает быстрее, чем растет множитель функция, начинаясь в нуле (из-за ), достигает максимума и затем асимптотически стремится к нулю.
Площадь, охватываемая кривой, равна единице (ср. с (93.7)).
Найдем среднюю скорость молекул (имеется в виду средняя арифметическая скорость). По аналогии с (93.9) имеем:
Переход к переменной и интегрирование по частям приводят к следующему результату:
Согласно (93.11)
В соответствии с формулой (1.6)
Подставив это значение интеграла в (98.27), получим для уже известное нам значение (см. (97.2)). В этом нет ничего удивительного, так как при нахождении значения а в (98.18) мы исходили из соотношения (97.3), т. е. по существу из соотношения (97.2).
Корень квадратный из называется средней квадратичной скоростью:
Скорость, отвечающая максимуму будет наиболее вероятной.
Взяв производную от выражения (98.25) по v, опустив постоянные множители и приравняв получившееся выражение нулю, придем к уравнению
Удовлетворяющие этому уравнению значения соответствуют минимумам Значение V, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой искомую наиболее вероятную скорость :
Сопоставление выражений (98.29), (98.26) и (98.28) дает, что
Рис. 98.4 иллюстрирует это соотношение.
Подставив выражение (98.29) в формулу (98.25), найдем максимальное значение функции наблюдаются в среднем лишь у одной из 12 миллиардов молекул.
Произведем оценку средней скорости молекул кислорода. Вычисления удобнее производить, заменив в (98.26) отношение равным ему отношением Тогда выражение для средней скорости примет вид
Молекулярная масса кислорода равна 32. Следовательно, масса моля Комантная температура равна примерно 300 К. Подставив в формулу (98.31) числовые значения входящих в нее величин, получим
Таким образом, каждая молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,5 км. Поскольку молекула претерпевает очень частые соударения с другими молекулами, этот путь состоит из большого числа коротких прямолинейных отрезков, образующих ломаную линию.
Молекулы водорода имеют массу, в 16 раз меньшую, чем молекулы кислорода, вследствие чего их скорость при той же температуре будет в 4 раза больше и составит при комнатной температуре в среднем почти
Если имеется смесь газов, находящаяся в равновесии, то в пределах молекул каждого сорта имеет место распределение (98.25) со своим значением т. Более тяжелые молекулы будут двигаться в среднем с меньшей скоростью, чем более легкие.
Исходя из распределения молекул по скоростям
можно найти распределение молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения (обозначим ее буквой ). Для этого нужно перейти от переменной v к переменной , равной Произведя в (98.32) подстановку получим
где означает число молекул, кинетическая энергия поступательного движения которых имеет значения, заключенные в пределах от до
Таким образом, распределение молекул по значениям в характеризуется функцией
где А - нормировочный множитель, равный
- В большом числе случаев знание одних средних значений физических величин недостаточно. Например, знание среднего роста людей не позволяет планировать выпуск одежды различных размеров. Надо знать приблизительное число людей, рост которых лежит в определенном интервале.
Точно так же важно знать числа молекул, имеющих скорости, отличные от среднего значения. Максвелл первым нашел, как эти числа можно определять.
Вероятность случайного события
В § 4.1 мы уже упоминали, что для описания поведения большой совокупности молекул Дж. Максвелл ввел понятие вероятности.
Как неоднократно подчеркивалось, в принципе невозможно проследить за изменением скорости (или импульса) одной молекулы на протяжении большого интервала времени. Нельзя также точно определить скорости всех молекул газа в данный момент времени. Из макроскопических условий, в которых находится газ (определенный объем и температура), не вытекают с необходимостью определенные значения скоростей молекул. Скорость молекулы можно рассматривать как случайную величину, которая в данных макроскопических условиях может принимать различные значения, подобно тому как при бросании игральной кости может выпасть любое число очков от 1 до 6 (число граней кости равно шести). Предсказать, какое число очков выпадет при данном бросании кости, нельзя. Но вероятность того, что выпадет, скажем, пять очков, поддается определению.
Что же такое вероятность наступления случайного события? Пусть произведено очень большое число N испытаний (N - число бросаний кости). При этом в N" случаях имел место благоприятный исход испытаний (т. е. выпадение пятерки). Тогда вероятность данного события равна отношению числа случаев с благоприятным исходом к полному числу испытаний при условии, что это число сколько угодно велико:
Для симметричной кости вероятность любого выбранного числа очков от 1 до 6 равна .
Мы видим, что на фоне множества случайных событий обнаруживается определенная количественная закономерность, появляется число. Это число - вероятность - позволяет вычислять средние значения. Так, если произвести 300 бросаний кости, то среднее число выпаданий пятерки, как это следует из формулы (4.6.1), будет равно 300 = 50, причем совершенно безразлично, бросать 300 раз одну и ту же кость или одновременно 300 одинаковых костей.
Несомненно, что поведение молекул газа в сосуде гораздо сложнее движения брошенной игральной кости. Но и здесь можно надеяться обнаружить определенные количественные закономерности, позволяющие вычислять статистические средние, если только ставить задачу так же, как в теории игр, а не как в классической механике. Нужно отказаться от неразрешимой задачи определения точного значения скорости молекулы в данный момент и попытаться найти вероятность того, что скорость имеет определенное значение.
Распределение молекул по скоростям - распределение Максвелла
Максвелл допустил, что в газах в состоянии теплового равновесия существует некоторое распределение скоростей, не изменяющееся с течением времени, иными словами, число молекул, имеющих скорости в заданном интервале значений, остается постоянным. И Максвелл нашел это распределение.
Но главная заслуга Максвелла состояла не столько в решении этой задачи, сколько в самой постановке новой проблемы. Он ясно осознал, что случайное в данных макроскопических условиях поведение отдельных молекул подчинено определенному вероятностному, или статистическому, закону. Этот статистический закон для распределения молекул газа по скоростям оказался сравнительно простым.
Наглядно распределение молекул по скоростям можно представить следующим образом. Выберем прямоугольную систему отсчета, на осях которой будем откладывать проекции v x , v y , v z скоростей частиц. В результате получится трехмерное «пространство скоростей», каждая точка которого соответствует молекуле со строго заданной скоростью v, равной по модулю длине радиуса-вектора, проведенного из начала системы отсчета в эту точку (рис. 4.7).
Рис. 4.7
Общее представление о распределении молекул по скоростям получится, если скорость каждой из N молекул изобразить точкой в этом пространстве скоростей (рис. 4.8). Точки окажутся расположенными довольно хаотически, но в среднем плотность точек будет убывать по мере удаления от начала отсчета (не все значения скоростей молекул встречаются одинаково часто).
Рис. 4.8
Картина распределения точек, конечно, не является застывшей. С течением времени скорости молекул за счет столкновений меняются и, следовательно, меняется картина распределения точек в пространстве скоростей. Однако ее изменение таково, что средняя плотность точек в любой области пространства скоростей со временем не будет изменяться, она остается одной и той же. Именно это и означает существование определенного статистического закона. Средней плотности соответствует наиболее вероятное распределение скоростей.
Число точек AN в некотором малом объеме Δv x Δv y Δv z пространства скоростей, очевидно, равно этому объему, помноженному на плотность точек внутри него. (Аналогично масса Δm некоторого объема ΔV равна произведению плотности вещества ρ на этот объем: Δm = ρΔV.) Обозначим через Nf(v x , v y , v z) среднюю плотность точек в пространстве скоростей, т. е. число точек, приходящихся на единицу объема пространства скоростей (N - общее число молекул газа). Тогда
Фактически ΔN - это число молекул, проекции скоростей которых лежат в интервалах значений от v x до v x + Δv x , от v y до v y + Δv y и от v z до v z + Δv z (радиусы-векторы скоростей этих молекул оканчиваются внутри объема пространства скоростей Δv = Δv x Δv y Δv z , имеющего форму куба (см. рис. 4.8).
Вероятность того, что проекции скорости молекулы лежат в заданном интервале скоростей, равна отношению числа молекул с данным значением скорости к полному числу молекул:
Функция f(v x , v y , v z) называется функцией распределения молекул по скоростям и представляет собой плотность вероятности, т. е. вероятность, отнесенную к единичному объему пространства скоростей.
Скорости молекул в данный момент времени в принципе могут оказаться любыми. Но вероятность различных распределений скоростей неодинакова. Среди всех возможных мгновенных распределений имеется одно, вероятность которого больше, чем всех других, - наиболее вероятное распределение. Максвелл установил, что функция распределения f(v x , v y , v z), дающая это наивероятнейшее распределение скоростей молекул (распределение Максвелла), определяется отношением кинетической энергии молекулы
к средней энергии ее теплового движения kT (k - постоянная Больцмана). Это распределение имеет вид
Здесь е ≈ 2,718 - основание натуральных логарифмов, а величина А не зависит от скорости.
Таким образом, по Максвеллу, плотность точек, изображающих молекулы в пространстве скоростей, максимальна вблизи начала отсчета (v = 0) и убывает с ростом v, причем тем быстрее, чем меньше энергия теплового движения kT. На рисунке 4.9 представлена зависимость функции распределения f от проекции v x при условии, что проекции v y и v z любые. Функция распределения имеет характерную колоколообразную форму, которая часто встречается в статистических теориях и называется кривой Гаусса.
Рис. 4.9
Постоянную А находят из условия, что вероятность для скорости молекулы иметь любое значение от нуля до бесконечности должна равняться единице. Это условие называется условием нормировки. (Аналогично вероятность выпадания любого числа очков от 1 до 6 при данном бросании игральной кости равна единице.) Полная вероятность получается сложением вероятностей всех возможных взаимоисключающих реализаций случайного события.
Суммируя вероятности ΔW i всех возможных значений скорости i , получим уравнение
Вычислив с помощью уравнения (4.6.5) нормировочную постоянную А, можно записать выражение для среднего числа частиц со скоростями в заданном интервале в следующей форме:
Скорость любой молекулы в данный момент времени - случайная величина. Поэтому и само распределение молекул по скоростям в данный момент времени случайно. Но среднее распределение, определяемое статистическим законом, реализуется с необходимостью в определенных макроскопических условиях и не меняется со временем. Однако всегда есть отклонения от средних - флуктуации. Эти отклонения с равной вероятностью происходят в ту и в другую сторону. Именно поэтому в среднем имеется определенное распределение молекул по скоростям.
Распределение молекул по скоростям Максвелла оказывается справедливым не только для газов, но и для жидкостей и твердых тел. Лишь в том случае, когда для описания движения частиц нельзя применить классическую механику, распределение Максвелла перестает быть верным.
Распределение модулей скоростей молекул
Найдем среднее число молекул, скорости которых по модулю лежат в интервале от v до v + Δv.
Распределение Максвелла (4.6.4) определяет число молекул, проекции скоростей которых лежат в интервалах значений от v x до v x + Δv x , от v y до v y + Δv y , от v z до v z + Δv z . Векторы этих скоростей оканчиваются внутри объема Δv x Δu y Δv z (см. рис. 4.8). Таким образом задается среднее число молекул, имеющих определенный модуль и определенное направление скоростей, задаваемые положением объема Δv x Δu y Δv z в пространстве скоростей.
Все молекулы, модули скоростей которых лежат в интервале от v до и + Δv, располагаются в пространстве скоростей внутри шарового слоя радиусом v и толщиной Δv (рис. 4.10). Объем шарового слоя равен произведению площади поверхности слоя на его толщину: 4πv 2 Δv.
Рис. 4.10
Число молекул, находящихся внутри этого слоя и, следовательно, обладающих заданными значениями модуля скорости в интервале от v до v + Δv, может быть найдено из формулы (4.6.2), если заменить объем Δv x Δu y Δv z на объем 4πv 2 Δv.
Таким образом, искомое среднее число молекул равно
Так как вероятность определенного значения модуля скорости молекулы равна отношению , то для плотности вероятности получим
График, выражающий зависимость этой функции от скорости, показан на рисунке 4.11. Мы видим, что функция f(v) имеет максимум уже не в нуле, как плотность вероятности f(v x , v y , v z). Причина этого состоит в следующем. Плотность точек, изображающих молекулы в пространстве скоростей, по-прежнему будет наибольшей вблизи v = 0, но за счет роста объемов шаровых слоев с увеличением модулей скоростей (~ v 2) происходит увеличение функции f(v). При этом число точек внутри шарового слоя растет быстрее, чем убывает функция f(v x , v y , v z) вследствие уменьшения плотности точек.
Рис. 4.11
Можно пояснить сказанное наглядным примером. Допустим, обычную мишень с концентрическими кругами обстреливает достаточно меткий стрелок. Попадания пуль концентрируются вокруг центра мишени. Плотность попаданий - число попаданий на единицу площади - будет максимальной вблизи центра мишени. Разделим мишень на отдельные узкие полоски шириной Δx (рис. 4.12, а). Тогда отношение числа попаданий на данную полоску к ее ширине будет максимально вблизи центра мишени.
Рис. 4.12
Зависимость отношения числа попаданий в данную полоску к ее ширине имеет вид, показанный на рисунке 4.12, б. Здесь опять получается гауссова кривая, как и для распределения f(v x) по проекциям скоростей (см. рис. 4.9).
Но совсем другой результат получится, если подсчитывать число попаданий в различные кольца мишени. В этом случае отношение числа попаданий в кольцо радиусом г к его ширине графически будет характеризоваться кривой, изображенной на рисунке 4.12, в. Хотя плотность попаданий по мере удаления от центра мишени убывает, но площади колец растут пропорционально r, что и приводит к смещению максимума кривой от нуля.
Наиболее вероятная скорость молекул
Зная формулу (4.6.8) для плотности вероятности модулей скоростей молекул, можно найти значение скорости, соответствующей максимуму плотности этой вероятности(1). Скорость (ее называют наиболее вероятной) оказывается равной
Большинство молекул имеют скорости, близкие к наиболее вероятной (см. рис. 4.11).
По мере увеличения абсолютной температуры Т наиболее вероятная скорость увеличивается и при этом кривая зависимости До) становится все более сглаженной (рис. 4.13).
Рис. 4.13
Роль быстрых молекул
При любой температуре имеется некоторое количество молекул, скорости которых, а значит, и кинетические энергии, заметно превышают средние.
Известно, что многие химические реакции, например горение обычных видов топлива (дрова, уголь и т. д.), начинаются только при определенной, достаточно высокой температуре. Энергия, необходимая для начала процесса окисления топлива, т. е. горения (ее называют энергией активации), имеет порядок 10 -19 Дж. А при температуре 293 К (комнатная температура) средняя кинетическая энергия теплового движения молекул составляет примерно 5 10 -21 Дж. Поэтому горение не происходит. Однако увеличение температуры всего лишь в 2 раза (до 586 К) вызывает воспламенение. Средняя энергия молекул увеличивается при этом тоже в 2 раза, но число молекул, кинетическая энергия которых превышает 10 -19 Дж, увеличивается в 10 8 раз. Это следует из распределения Максвелла. Поэтому при температуре 293 К вы чувствуете себя, читая книгу, комфортно, а при 586 К книга начинает гореть.
Испарение жидкости также определяется быстрыми молекулами правого «хвоста» максвелловского распределения. Энергия связи молекул воды при комнатной температуре значительно больше кТ. Тем не менее испарение происходит за счет небольшого числа быстрых молекул, у которых кинетическая энергия превышает кТ.
Максвелл открыл новый тип физического закона - статистический - и нашел распределение молекул по скоростям. Он отчетливо понимал значение своего открытия. В докладе Кембриджскому философскому обществу Максвелл сказал: «Я считаю, что наиболее важное значение для развития наших методов мышления молекулярные теории имеют потому, что они заставляют делать различие между двумя методами познания, которые мы можем назвать динамическим и статистическим».
(1) Это делается по правилам нахождения максимума известной функции. Нужно вычислить производную этой функции по скорости и приравнять ее нулю.
Распределение Максвелла
В равновесном состоянии в системе, состоящей из огромного числа частиц, к примеру в некотором объёме газа, при отсутствии внешних воздействий не происходит макроскопических изменений: параметры системы остаются постоянными. Постоянным остается и среднее значение скорости молекул. Ответ на вопрос, сколько молекул, или какая их часть движется с определенной скоростью в данный момент, был теоретически получен Максвеллом.
Введем понятие пространства скоростей. Для каждой молекулы откладываем компоненты ее скорости по трем взаимно перпендикулярным осям (рис. 1.3.1).
Каждая точка в пространстве скоростей соответствует одной молекуле с определенной скоростью. Вектор скорости идет от начала координат к рассматриваемой точке.
Рассмотрим, как будут распределены молекулы, содержащиеся в единичном объёме газа по скоростям.
Эти молекулы будут изображаться совокупностью из n точек. Из-за столкновений молекул какие-то точки будут выходить из элемента объёма, а другие входить в него. При этом среднее число точек в данном элементе объёма сохраняется.
Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), которая принято называть функция распределения молекул по скоростям. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, ᴛ.ᴇ.
Откуда .
Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел эту функцию:
Из формулы видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы m 0) и от параметра состояния (температуры T).
График функции f(v) приведен на рис.1.3.2. Функция f(v) начинается от нуля, достигает максимума при v в и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая не симметрична относительно v в.
Распределение Максвелла - это распределение по скоростям молекул идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия.
Интегрируя распределение Максвелла, можно рассчитать средние величины. Средний квадрат скорости (средняя квадратичная скорость)
|
Для того, чтобы найти число молекул, обладающих скоростями в интервале от v 1 до v 2 , крайне важно определить площадь под соответствующим участком кривой (рис.1.3.2.)
При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и вид кривой изменяется. Распределения для двух разных температур приведены на рис.1.3.3. Поскольку площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, следовательно, при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.
Рис.1.3.3 Т 1 < Т.
Среднее значение абсолютной величины скорости (среднее значение скорости равно нулю, так как отрицательное и положительное значения компонент равноправны) определяется по формуле
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, скорости, характеризующие состояние газа:
1) наиболее вероятная ;
2) средняя скорость ;
3) средняя квадратичная .
Эти скорости связаны соотношением
v В: ávñ: áv кв ñ @1:1,13:1,22,
то есть средняя квадратичная скорость имеет наибольшую величину.
Исходя их распределения молекул по скоростям, перейдя к новой переменной Е=m 0 v 2 /2, можно получить функцию распределения молекул по энергиям
Тогда средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа равна
Для того, чтобы рассчитать количество молекул DN, скорости которых находятся в промежутке от v до v+Dv, удобно ввести относительную скорость u=v/v В, где v В - наиболее вероятная скорость. Тогда DN - число молекул, относительные скорости которых находятся в интервале u, u+Du, ᴛ.ᴇ. v/v в, v+Dv/v В, где должно быть Dvv. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, имеем
где N - полное число молекул газа, DN/N - относительное число (доля) молекул, имеющих скорости в интервале u, u+Du. График этой зависимости соответствует рис.1.3.2, в случае если по оси абсцисс отложить u, а по оси ординат величину DN/(NDu) - функцию распределения.
Пример7. Определить среднеквадратичную скорость молекул азота при температуре 27°С. Как зависит средне квадратичная скорость от молекулярной массы и температуры?
Т=300°К, m=28 кг/кмоль, k=1,38×10 -23 Дж/град.
Решение. где ;
Таким образом
Средняя квадратичная скорость прямо пропорциональна корню квадратному из температуры и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярной массы.
Распределение Максвелла - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Распределение Максвелла" 2017, 2018.
В равновесном состоянии в системе, состоящей из огромного числа частиц, например в некотором объеме газа, при отсутствии внешних воздействий не происходит макроскопических изменений: параметры системы остаются постоянными. Постоянным остается и среднее значение... .
Молекулы газа вследствие теплового движения испытывают многочисленные соударения друг с другом. При каждом соударении скорости молекул изменяются как по величине, так и по направлению. В результате в сосуде, содержащем большое число молекул, устанавливается некоторое... .
Теперь, когда мы определились, какую же величину будем искать, давайте воспользуемся довольно часто используемым в физике приёмом. Мы попытаемся “угадать” искомое распределение. А проверку того, что мы угадали правильно, мы получим, сравнивая результаты нашей... .
В состоянии теплового равновесия частицы идеального газа имеют различные скорости, которые меняются и результате столкновений. На вопрос какова вероятность того, что частица обладает определенной скоростью, отвечает распределение Максвелла. Оно является частным... .
О т в е т ы 4.1. а) 4 % б) 4.2. 1.4× 4.3. а) . б) г) 4.4. а) б) г) В состоянии теплового равновесия частицы идеального газа имеют различные скорости, которые меняются и результате столкновений. На вопрос какова вероятность того, что частица обладает определенной...
Распределение Максвелла может быть получено при помощи статистической механики (см. происхождение статсуммы). Как распределение энергии, оно соответствует самому вероятному распределению энергии, в столкновительно-доминируемой системе, состоящей из большого... .
Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости, v определяется как: поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все распределены нормально, то будет иметь хи-квадрат... .
Предположим, что нам удалось измерить скорости всех молекул газа в некоторый момент времени, т.е. получить v1, v2, ... ,vN. Нанесем их на ось скоростей в виде точек. Как видно из рис. 8.3, распределение точек на оси не будет равномерным – в области больших и малых скоростей они... .
При столкновении молекулы газа изменяют свои скорости. Изменение скорости молекул происходит случайным образом. Нельзя заранее предсказать, какой численно скоростью будет обладать данная молекула: эта скорость случайна.
Распределение молекул по модулям скоростей описывают с помощью функции распределения f(v):
где отношение — равно доле молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv. dv - ширина интервала (рис. 2).
Рис. 2. Интервал скоростей
Зная вид f(v), можно найти число молекул ΔN V из числа данных молекул N, скорости которых попадают внутрь интервала скоростей от v до v + Δv . Отношение
дает вероятность того, что скорость молекулы будет иметь значение в пределах данного интервала скоростей dv.
Функция f(v) должна удовлетворять условию нормировки, то есть должно выполняться условие:
Левая часть выражения (17.3) дает вероятность того, что молекула обладает скоростью в интервале от 0 до ∞. Поскольку скорость молекулы обязательно имеет какое-то значение, то указанная вероятность есть вероятность достоверного события и, следовательно, равна 1.
Функция распределения была найдена теоретически Максвеллом. Она имеет следующий вид:
где т 0 - масса молекулы.
Выражение (16) называется функцией распределения Максвелла.
Из (16) следует, что вид распределения молекул по скоростям зависит от природы газа (массы молекулы) и температуры Т. Давление и объем на распределение молекул по скоростям не влияют.
Рис.3. График функции распределения Максвелла
Схематичный график функции распределения Максвелла дан на рис. 3. Проведем анализ графика.
1. При скоростях стремящихся к нулю (v - >0) и к бесконечности (v -> ∞ ) функция распределения также стремится к нулю. Это означает, что очень большие и очень маленькие скорости молекул маловероятны.
2. Скорость v B , отвечающая максимуму функции распределения, будет наиболее вероятной. Это означает, что основная часть молекул обладает скоростями близкими к вероятной.
Можно получить формулу для расчета наиболее вероятной скорости:
где k — постоянная Больцмана ; т 0 - масса молекулы.
3. В соответствии с условием нормировки (15) площадь, ограниченная кривой f(v) и осью абсцисс равна единице.
4. Кривая распределения имеет асимметричный характер. Это означает, что доля молекул, имеющих скорости больше наиболее вероятной, больше доли молекул, имеющих скорости меньше наиболее вероятной.
5. Вид кривой зависит от температуры и природы газа. На рис. 4 приведена функция распределения для одного и того же газа, находящегося при разных температурах. При нагревании максимум кривой понижается и смещается вправо, так как доля «быстрых» молекул возрастает, а доля «медленных» - уменьшается. Площадь под обеими кривыми остается постоянной и равной единице.
Установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесном состоянии. Закон Максвелла — статистический, применять его можно только к большому числу частиц
Рис. 4. Распределения Максвелла при разных температурах
Пользуясь функцией распределения Максвелла f(v) , можно найти ряд средних величин, характеризующих состояние молекул.
Средняя арифметическая скорость - сумма скоростей всех молекул, деленная на число молекул:
Средняя квадратичная скорость, определяющая среднюю кинетическую энергию молекул (см. формулу (10)), по определению равна
<v КВ > = (19)
Расчет с использованием распределения Максвелла дает следующие формулы:
<v КВ > = (21)
Если учесть, что масса одной молекулы равна , где μ - молярная масса; N А - число Авогадро , а также то, что kN A = R, то выражения для наиболее вероятной, средней арифметической и средней квадратичной скоростей можно переписать следующим образом:
<v КВ > = . (24)
Сопоставляя (22), (23) и (24), можно заметить, что v B , <v КВ > одинаково зависят от температуры газа и молярной массы, отличаясь только множителем. Их отношение выглядит следующим образом:
<v В > : <v > : <v КВ > = 1: 1,13: 1,22.
