закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова

Выражение (45.2) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмос­ферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту: Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормаль­ным, то выражение (45.2) может быть записано в виде

(45.3)

где р - давление на высоте h.

Барометрическую формулу (45.3) можно преобразовать, если воспользоваться вы­ражением (42.6) p = nkT :

где n – концентрация молекул на высоте h , n 0 – то же, на высоте h = 0. Так как M= m 0 N A (N A – постоянная Авогадро, т 0 – масса одной молекулы), a R = kN A , то

(45.4)

где m 0 gh =П - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

Выражение (45.5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциаль­ного поля. Из вето следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (45.5) справедливо в любом вне­шнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

24. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Число степеней свободы. Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул.

На среднюю кинетическую энергию молекулы, имеющей i-степеней свободы, приходится Это есть закон Больцмана о равномерном распределении средней кинетической энергии по степеням свободы. Молекулы можно рассматривать как системы материальных точек (атомов) совершающих как поступательное, так и вращательное движения. При движении точки по прямой линии для оценки ее положения необходимо знать одну координату, т.е. точка имеет одну степень свободы. Если точка движения по плоскости, ее положение характеризуется двумя координатами; при этом точка обладает двумя степенями свободы. Положение точки в пространстве определяется 3 координатами. Число степеней свободы обычно обозначают буквой i. Молекулы, которые состоят из обычного атома, считаются материальными точками и имеют три степени свободы (аргон, гелий). Средняя кинетическая энергия молекул газа (в расчете на одну молекулу) определяется выражениемКинетическая энергия поступательного движения атомов и молекул, усредненная по огромному числу беспорядочно движущихся частиц, является мерилом того, что называется температурой. Если температура T измеряется в градусах Кельвина (К), то связь ее с Ek дается соотношениемИз уравнений (6) и (7) можно определить значение средне-квадратичной скорости молекулВнутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех частиц газа, находящихся в непрерывном и беспорядочном тепловом движении. Отсюда вытекает закон Джоуля, подтверждаемый многочисленными экспериментами. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры и не зависит от объема Молекулярно-кинетическая теория приводит к следующему выражению для внутренней энергии одного моля идеального одноатомного газа (гелий, неон и др.), молекулы которого совершают только поступательное движение:Поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул зависит от расстояния между ними, в общем случае внутренняя энергия U тела зависит наряду с температурой T также и от объема V: U = U (T, V). Принято говорить, что внутренняя энергия является функцией состояния.

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоев газа. Пусть Р давление газа на высоте h. Тогда давление на высоте h+dh будет P+dP, а разность давлений dP будет равна весу газа mg в объеме V с площадью основания S = 1 м 2 и высотой dh (V=Sdh), отнесенному к S.

Выразим плотность газа ρ через давление P из уравнения Менделеева-Клапейрона

Тогда

Проинтегрируем отдельно левую и правую части уравнения. Считая температуру постоянной T=const, получим lnP = -
, где С – постоянная интегрирования. Выражение для давления будет
Постоянную интегрирования определяют из граничного условия. Еслиh = 0, то С = Р 0 и тогда

Это уравнение носит название барометрической формулы и показывает зависимость давления газа от высоты.

Видно, что чем тяжелее молекулы и чем ниже температура, тем быстрее уменьшается давление с увеличением высоты.

Заменим в формуле давление, выразив его через концентрацию молекул из уравнений P = nkT, P 0 = n 0 kT и

где n 0 - концентрация молекул на высоте h=0;

n - концентрация молекул на высоте h≠0.

Данная формула описывает изменение концентрации молекул от высоты h в потенциальном поле земного тяготения и от температуры Т. Можно отметить две тенденции, определяющих распределение молекул по высоте:

1. Притяжение молекул к Земле (mg) стремится расположить их на поверхности Земли.

2. Тепловое движение (kT) стремится разбросать молекулы равномерно по всем высотам от 0 до .

В результате этих конкурирующих процессов распределение молекул газа по высоте имеет промежуточный вид.

Потенциальная энергия молекулы  Р =mgh. Следовательно, полученная формула представляет собой распределение молекул по значениям потенциальной энергии

Это формула функции распределения Больцмана. Здесь n 0 концентрация моле-кул в том месте, где  Р = 0, n –концентрация молекул в той точке простран-ства, где молекула обладает потенциальной энергией  p ≠ 0. Молекулы стремятся расположиться с наибольшей плотностью там, где у них минимальная потенциальная энергия

Закон Максвелла дает распределение молекул по значениям кинетической энергии, а закон Больцмана - по значениям потенциальной энергии.

Больцман доказал, что формула распределения справедлива не только в случае потенциального поля земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Контрольные вопросы

    Что такое степень свободы молекул?

    Чему равно число степеней свободы одно-, двух- и трехатомной молекул?

    Сформулируйте закон распределения энергии по степеням свободы молекул.

    Приведите выражение функции распределения молекул по скоростям.

    По каким формулам определяются среднеарифметическая, наиболее вероятная и среднеквадратичная скорости молекул?

    Каково выражение для функции распределения Больцмана по значениям потенциальной энергии?

Тесты

    чему равно число степеней свободы двухатомной молекулы?

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.

    Сколько степеней свободы приходится на вращательное движение у двухатомной молекулы?

а) 1; б) 2; в) 3; г) 4; д) 5.

    Какое из приведенных выражений описывает наиболее вероятную скорость?

Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле силы тяжести.

Для идеального газа, имеющего постоянную температуру и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где - давление газа в слое, расположенном на высоте , - давление на нулевом уровне (), - молярная масса газа, - универсальная газовая постоянная, - абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где - масса молекулы газа, - постоянная Больцмана.

Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле (см. Статистика Максвелла - Больцмана). При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной . Чем выше температура , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести может изменяться за счёт двух величин: ускорения и массы частиц .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды.

Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования - метода определения разности высот между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению ( и ). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Барометрическая формула записывается в этом случае в виде: (в м), где - средняя температура слоя воздуха между точками измерения, - температурный коэффициент объёмного расширения воздуха. Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1-0,5 % от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения.

Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа, имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где p - давление газа в слое, расположенном на высоте h , p 0 - давление на нулевом уровне (h = h 0), M - молярная масса газа, R - газовая постоянная, T - абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где M - молярная масса газа, R - газовая постоянная.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT . Чем выше температура T , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh – это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh – различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

, (2.5.3)

– это закон распределения частиц по потенциальным энергиям – распределение Больцмана. Здесь n 0 – число молекул в единице объёма там, где U = 0.

Барометрическая формула. Рассмотрим газ, находящийся в равновесии в поле силы тяжести. В этом случае сумма действующих сил на каждый элемент объема газа равна нулю. Выделим малый объем газа на высоте h (рис.2.7) и рассмотрим действующие на него силы:

На выделенный объем действует сила давления газа снизу, сила давления газа сверху и сила тяжести. Тогда баланс сил запишется в виде

где dm – масса выделенного объема. Для этого объема можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона

Выражая величину dm , можно получить уравнение

.

Разделяя переменные, получим

.

Проинтегрируем полученное уравнение, учтя, что температура постоянна,

.

Пусть давление на поверхности равно p 0 , тогда полученное уравнение легко преобразовать к виду

. (2.24)

Полученная формула называется барометрической и достаточно хорошо описывает распределение давления по высоте в атмосфере Земли и других планет. Важно помнить, что эта формула была выведена из предположения равновесия газа, при этом величины g и T считались постоянными, что, конечно, не всегда справедливо для реальной атмосферы.

Распределение Больцмана. Запишем барометрическую формулу (2.24) через концентрацию частиц, воспользовавшись тем, что p = nkT :

, (2.25)

где m 0 - масса молекулы газа.

Такой же вывод можно провести для любой потенциальной силы (не обязательно для силы тяжести). Из формулы (2.25) видно, что в числителе экспоненты стоит потенциальная энергия одной молекулы в потенциальном поле. Тогда формулу (2.25) можно записать в виде

. (2.26)

В таком виде эта формула пригодна для нахождения концентрации молекул, находящихся в равновесии в поле любой потенциальной силы.

Найдем число частиц газа, координаты которых находятся в элементе объема dV = dxdydz

.

Полное число частиц в системе может быть записано в виде

.

Здесь интеграл формально записан по всему пространству, но надо иметь в виду, что объем системы конечен, что приведет к тому, что интегрирование будет вестись по всему объему системы. Тогда отношение

как раз и даст вероятность того, что частица попадет в элемент объема dV . Тогда для этой вероятности запишем

,

где величина потенциальной энергии молекулы будет, вообще говоря, зависеть от всех трех координат. Пользуясь определением функции распределения, можно записать функцию распределения молекул по координатам в следующем виде:

. (2.27)

Это и есть функция распределения Больцмана по координатам частиц (или по потенциальным энергиям, имея в виду, что потенциальная энергия зависит от координат). Легко показать, что полученная функция нормирована на единицу.


Связь распределений Максвелла и Больцмана. Распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями распределения Гиббса. Температура определяется средней кинетической энергией. Поэтому возникает вопрос, почему в потенциальном поле температура постоянная, хотя по закону сохранения энергии при изменении потенциальной энергии частиц должна также изменяться их кинетическая энергия, а следовательно, как кажется на первый взгляд, и их температура. Другими словами, почему в поле тяжести при движении частиц вверх у всех них кинетическая энергия уменьшается, а температура остается постоянной, т.е. остается постоянной их средняя кинетическая энергия, а при движении частиц вниз энергия всех частиц увеличивается, а средняя энергия остается постоянной?

Это объясняется тем, что при подъеме из потока частиц выбывают наиболее медленные, т.е. «наиболее холодные». Поэтому расчет энергии ведется по меньшему числу частиц, которые на исходной высоте были в среднем «более горячими». Иначе говоря, если с нулевой высоты на высоту прибыло какое-то число частиц, то их средняя энергия на высоте равна средней энергии всех частиц на нулевой высоте, часть которых не смогла достигнуть высоты из-за малой кинетической энергии. Однако если на нулевой высоте рассчитать среднюю энергию частиц, достигших высоты , то она больше средней энергии всех частиц на нулевой высоте. Поэтому можно сказать, что средняя энергия частиц на высоте действительно уменьшилась и в этом смысле они «охладились» при подъеме. Однако средняя энергия всех частиц на нулевой высоте и высоте одинакова, т.е. и температура одинакова. С другой стороны, уменьшение плотности частиц с высотой также является следствием выбывания частиц из потока.

Поэтому закон сохранения энергии при подъеме частиц на высоту приводит к уменьшению их кинетических энергий и выбыванию частиц из потока. Благодаря этому, с одной стороны, плотность частиц с высотой уменьшается, а с другой стороны, их средняя кинетическая энергия сохраняется, несмотря на то, что кинетическая энергия каждой из частиц убывает. Это возможно подтвердить прямым расчетом, который рекомендуется проделать в качестве упражнения.

Атмосфера планет. Потенциальная энергия частицы массой в поле тяготения шарообразного небесного тела равна

, (2.28)

где – масса тела; – расстояние от центра тела до частицы; – гравитационная постоянная. Атмосфера планет, в том числе и Земли, не находится в равновесном состоянии. Например, вследствие того, что атмосфера Земли находится в неравновесном состоянии, ее температура не постоянна, как это должно было быть, а изменяется с высотой (уменьшается с увеличением высоты). Покажем, что равновесное состояние атмосферы планеты в принципе невозможно. Если бы оно было возможно, то плотность атмосферы должна была бы изменяться с высотой по формуле (2.26), которая принимает вид

(2.29)

где учтено выражение (2.28) для потенциальной энергии, – радиус планеты. Формула (2.29) показывает, что при плотность стремится к конечному пределу

(2.30)

Это означает, что если в атмосфере имеется конечное число молекул, то они должны быть распределены по всему бесконечному пространству, т.е. атмосфера рассеяна.

Поскольку, в конечном счете, все системы стремятся к равновесному состоянию, то атмосфера планет постепенно рассеивается. У некоторых из небесных тел, например у Луны, атмосфера полностью исчезла, другие, например Марс, имеют очень разряженную атмосферу. Таким образом, атмосфера Луны достигла равновесного состояния, а атмосфера Марса уже находится близко к достижению равновесного состояния. У Венеры атмосфера очень плотная и, следовательно, находится в начале пути к равновесному состоянию.

Для количественного рассмотрения вопроса о потере атмосферы планетами необходимо принять во внимание распределение молекул по скоростям. Силу земного притяжения могут преодолеть лишь молекулы, скорость которых превосходит вторую космическую. Эти молекулы находятся в «хвосте» распределения Максвелла и их относительное число незначительно. Тем не менее за значительные промежутки времени потеря молекул является чувствительной. Поскольку вторая космическая скорость у тяжелых планет больше, чем у легких, интенсивность потери атмосферы у массивных небесных тел меньше, чем у легких, т.е. легкие планеты теряют атмосферу быстрее, чем тяжелые. Время потери атмосферы зависит также от радиуса планеты, состава атмосферы и т.д. Полный количественный анализ этого вопроса является сложной задачей.

Экспериментальная проверка распределения Больцмана. При выводе распределения Больцмана не налагалось никаких ограничений на массу частиц. Поэтому в принципе оно применимо и для тяжелых частиц. Возьмем в качестве этих частиц, например, песчинки. Ясно, что они расположатся в некотором слое у сосуда. Строго говоря, это является следствием распределения Больцмана. При больших массах частиц показатель экспоненты столь быстро изменяется с высотой, что равен нулю везде за пределами слоя песка. Что касается пространства внутри слоя, то там надо принять во внимание объем песчинок. Это сведется к чисто механической задаче на минимум потенциальной энергии при заданных связях. Задачи такого типа рассматриваются не в статистической физике, а в механике.

Для того чтобы тяжелые частицы не «осели на дно», распределились в достаточно большом слое на высоте, необходимо чтобы их потенциальная энергия была достаточно малой. Этого можно достигнуть, помещая частицы в жидкость, плотность которой лишь на немного меньше плотности материала частиц. Обозначив плотность и объем частиц и , а плотность жидкости – , видим, что сила, действующая на частицу, равна . Следовательно, потенциальная энергия такой частицы на высоте от дна сосуда равна

(2.31)

Поэтому распределение концентраций этих частиц по высоте дается формулой

Чтобы эффект был достаточно хорошо заметен, частицы должны быть достаточно малыми. Число таких частиц на разных высотах в сосуде считают с помощью микроскопа. Эксперименты такого рода впервые были выполнены начиная с 1906 г. Ж.Б. Перреном (1870-1942).

Проделав измерения, можно прежде всего убедиться, действительно ли концентрация частиц изменяется по экспоненциальном закону. Перрен доказал, что это действительно так, и, следовательно, распределение Больцмана справедливо. Далее, исходя из справедливости распределения и измерив независимыми способами объемы и плотности частиц, можно по результатам эксперимента найти значение постоянной Больцмана , поскольку все остальные величины в (2.32) являются известными.

Таким путем Перрен измерил и получил результат, весьма близкий к современному. Другим независимым способом значение было получено Перреном из опытов с броуновским движением.

В последующем были проведены также эксперименты другого типа, полностью подтвердившие распределение Больцмана. Из экспериментов другого типа можно указать, например, на проверку зависимости поляризации полярных диэлектриков от температуры, рассмотренную выше.

Пример 2.2. Перрен использовал распределение гуммигутовых зерен в воде для измерения постоянной Авогадро. Плотность частиц гуммигута составляла r = 1,21×10 3 кг/м 3 , их объем t = 1,03×10 -19 м 3 . Температура, при которой проводился эксперимент, была равна . Найти высоту , на которой плотность распределения гуммигутовых зерен уменьшилась в два раза.

Принимая во внимание, что, по условию задачи, t(r - r 0) = 0,22×10 -16 кг, получаем на основе формулы (2.32) h = kT ln2/ = 12,3×10 -6 м.

Пример 2.3. В воздухе при температуре и давлении Па взвешены шарообразные частицы радиусом 10 -7 м. Найти массу взвешенной частицы.

По формуле (2.32) находим t(r - r 0) = kT ln2/gh = 1,06×10 -23 кг.

Учитывая, что t = 4,19×10 -21 м 3 , находим (r - r 0) = 2,53×10 -3 кг/м 3 . Поскольку r 0 = 1,293 кг/м 3 , получаем r = 1,296 кг/м 3 и, следовательно, масса частицы