Учебное пособие представляет собой практическое руководство по курсу стереометрии общеобразовательной школы. В нем представлен материал, посвященный теории изображений пространственных фигур в произвольной параллельной проекции.
В книге содержатся алгоритмы построения изображений многогранников, круглых тел и их комбинаций, описаны основные случаи обоснования выполнения чертежей, представлен подробный анализ возможностей проекционных чертежей для решения задач на построение сечений многогранников. Теоретический материал снабжен большим количеством иллюстраций, многие из которых выполнены «в динамике».
Первая глава посвящена основам теории изображений плоских и пространственных фигур в параллельной проекции, содержит алгоритмы построения изображений плоских и пространственных фигур.
Вторая глава посвящена решению позиционных задач на проекционных чертежах. Здесь даются понятая позиционных задач, полного и неполного изображений, приводятся приемы и методы построения сечений многогранников на полных чертежах.
В третьей главе рассматриваются приемы обоснования выполнения чертежей, приводятся примеры решения стереометрических задач на проекционных чертежах.
Пособие рассчитано на учащихся 10-11 классов, учителей математики и студентов педагогических вузов.

Пирамида.
Изображаем основание пирам иды в виде многоугольника, затем высоту пирамиды - вертикальным отрезком. Выбираем вершину пирамиды, изображаем боковые ребра. Выделяем видимые и невидимые линии. На рисунке 16 изображена произвольная пирамида SABCD, положение высоты SO которой нс определено условием задачи.

Однако в большинстве случаев положение основания высоты пирамиды, точки О. определено условием задачи. В частности, если пирамида правильная, то О - центр основания. На рисунке 17 изображена правильная треугольная пирамида. Особо выделим такие пирамиды, у которых все ребра или все грани равнонаклонны к плоскости основания, а также пирамиды, у которых боковое ребро или две грани перпендикулярны к плоскости основания. Положение высоты у таких пирамид подробно исследовано в главе 3 настоящего пособия.

Оглавление
Глава 1. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР В ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
1.1. Основы теории параллельного проектирования
1.2. Изображение плоских фигур
1.3. Изображение пространственных фигур
1.3.1. Призма
1.3.2. Пирамида
1.3.3. Цилиндр
1.3.4. Конус
1.3.5. Шар
1.3.6. Комбинации цилиндра с многогранниками
1.3.7. Комбинации конуса с многогранниками
1.3.8. Описанный шар
1.3.9. Вписанный шар
Глава 2. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ НА ПОЛНЫХ И НЕПОЛНЫХ ЧЕРТЕЖАХ
2.1. Позиционная задача, полные и неполные изображения
2.2. Основные позиционные задачи
2.3. Элементарные способы построения сечений многогранников
2.3.1. Аксиоматический подход к построению стереометрии
2.3.2. Аксиомы и теоремы стереометрии в построении сечений многогранников
2.3.3. Параллельность прямых и плоскостей в построении сечений многогранников
2.4. Построение сечений многогранников на полных чертежах
2.4.1. Метод «следа секущей плоскости»
2.4.2. Метод «внутреннего проектирования»
Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МНОГОГРАННИКОВ И КРУГЛЫХ ТЕЛ НА ПОЛНОМ ЧЕРТЕЖЕ
3.1. Высота многогранника
3.2. Угол прямой с плоскостью
3.3. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла
3.4. Форма граней и сечений многогранников
3.5. Перпендикуляр из точки к прямой и плоскости в пространстве
3.5.1. Перпендикуляр из точки к прямой в пространстве
3.5.2. Перпендикуляр из точки к плоскости
3.5.3. Расстояние от прямой до плоскости
3.6. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых
3.7. Комбинации многогранников и круглых тел
3.7.1. Комбинации цилиндра с многогранниками
3.7.2. Комбинации конуса с многогранниками
3.7.3. Шар, описанный около многогранников и круглых тел
3.7.4. Вписанный шар
3.7.5. Нестандартные комбинации многогранников и круглых тел
3.7.6. Вычисление элементов многогранников и круглых тел на полных чертежах
Заключение
Список литературы.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Наглядная стереометрия в теории, задачах, чертежах, Бобровская А.В., 2013 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Назначение: Для углублённого изучения в 10 и 11 классах

Издательство: МФТИ Москва 1996

Формат: DjVu, Размер файла: 8.72 MB

11 КЛАСС: ГЛАВЫ 5-9

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга написана на основе лекций, читавшихся авторами на протяжении нескольких лет учащимся физико-математических классов при Московском физико-техническом институте, созданных на базе средней школы №5 г. Долгопрудного, а также на основе опыта проведения практических занятий по стереометрии в этих классах.

Смотреть ПРЕДИСЛОВИЕ полностью......

Книга обладает рядом особенностей, на которые нам хотелось бы обратить внимание читателей. В нее включены некоторые разделы стереометрии, которые ранее традиционно относились к курсу одиннадцатого класса (двугранные и многогранные углы, теория многогранников). Причин этому несколько.

Во-первых, отделение аффинных вопросов стереометрии от метрических (десятый класс - параллельность прямых и плоскостей в пространстве, одиннадцатый класс - многогранники, тела вращения, теория площадей и объемов) представляется нам неестественным. Интуитивные представления о геометрических телах и их объемах формируются у нас с самого детства. Этих представлений, основанных на нашем позеедневном опыте, зачастую оказывается Достаточно для решения многих содержательных метрических задач. Нам кажется, что не стоит терять драгоценное время, нужно по возможности раньше учиться решать задачи, ведь формулировки многих из них понятны даже если строгие определения тела и объема еще неизвестны.

Во-вторых, как нам кажется, изучение нового материала в конце одиннадцатого класса вряд ли целесообразно. Не секрет, что в это время у большинства учащихся на первый план выходит решение чисто утилитарной задачи - успешного поступления в избранный

Книга - это большое кладбище, где на многих плитах уж не прочесть стершиеся имена.

Скачать учебник - Стереометрия. Для углублённого изучения в 10 и 11 классах 1996 года

См. Отрывок из учебника........

§ 1. Игра в геометрию

Все мои произведения - это игры.

Серьезные игры.

М. К. Эшер

Изучая планиметрию, Вы уже несколько лет играли в увлекательную игру под названием «геометрия». Правила этой игры вырабатывались тысячелетиями и окончательно сложились лишь к концу прошлого века. Их обсуждение естественно начать с вопроса: а что такое геометрия? Как это, быть может, ни странно, на этот вопрос очень трудно дать однозначный ответ. Геометрия многолика, и в школе изучается лишь малая часть того, что в современной математике принято называть геометрией. Но дело не только в этом. Даже если мы ограничимся рассмотрением планиметрии и стереометрии в традиционном их понимании, наша задача вряд ли будет существенно облегчена. С одной стороны, геометрия - это аксиоматическая теория, которая изучает объекты абстрактной природы, находящиеся в определенных отношениях друг с другом. С другой стороны, геометрия изучает размеры и форму реальных тел. Для того чтобы понять, как соотносятся между собой две эти ипостаси геометрии, коротко проследим исторический путь ее развития.

Всякая естественная наука начинается с установления некоторых фактов. Затем, по мере их накопления, вырабатываются законы и теории, превращающие науку в стройную систему. Так развивалась и геометрия. Еще в древнем Египте и Вавилоне были известны многие содержательные факты, такие, как теорема Пифагора или формула для вычисления объема пирамиды. Эти результаты были получе-

ны опытным путем, их справедливость подтверждалась множеством экспериментов. Количество подмеченных геометрических закономерностей росло, и возникла задача систематизации накопленных знаний.

К началу III в. до н. э. окончательно оформилась идея построения научной теории, согласно которой отправным пунктом теории должны служить положения, основанные на опытных данных и поэтому не вызывающие сомнения. Все остальные положения должны быть получены из них логическим (дедуктивным) путем. Здание логики уже было возведено, в основном благодаря работам древнегреческого философа Аристотеля (384-322 гг. до н. э.). Им же впервые была ясно сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид (IIIв. до н.э.) в своих «Началах». Опираясь на опьггы своих предшественников, он сформулировал несколько утверждений (аксиом, или постулатов), принимаемых без доказательства. Из аксиом выводились их логические следствия - теоремы. Так геометрия превратилась в дедуктивную науку. Суть дедукшвного метода блестяще передал Артур Конан Дойл словами своего излюбленного героя Шерлока Холмса: «...человека, умеющего наблюдать и анализировать, обмануть просто невозможно. Его выводы будут безошибочны, как теоремы Евклида... По одной капле воды... человек, умеющий мыслить логически, может сделать вывод о возможности существования Атлантического океана или Ниагарского водопада, даже если он не видел ни тош, ни другого и никогда о них не слышал. Всякая жизнь - это огромная цепь причин и следствий, и природу ее мы можем познать по одному звену».

Система Евклида просуществовала больше двух тысячелетий без сколько-нибудь существенных изменений. Однако с современной точки зрения она уже не кажется совершенной. В ней не выделены основные понятия, некоторые аксиомы излишни, многие доказательства не ограничиваются логическим выводом, а апеллируют к соображениям наглядности.

На рубеже XIX и XX веков после кропотливых усилий многих математиков, среди которых в первую очередь следует назвать Феликса Клейна (1849-1925 гг.) и Давида Гильберта (1862- 1943 гг.), была построена геометрическая система, свободная от указанных недостатков. В основу этой системы был положен аксиоматический метод.

Суть этого метода построения научной теории заключается в следующем. Перечисляются основные (неопределяемые) понятия, или объекты. Все вновь возникающие понятия должны бьггь определены через основные понятия и понятия, определенные ранее. Формулируются аксиомы - предложения, принимаемые без доказательства. Все остальные предложения должны являться логическими следствиями аксиом или ранее доказанных предложений.

Отметим, что аксиомы вовсе не являются «очевидными истинами». То, что очевидно для одного, вполне может казаться абсурдным для другого. Так, зритель футбольного матча, знающий правила игры, может получить офомное удовольствие от разворачивающегося на поле захватывающего действия. Тот же, кто не знаком с правилами, вполне может считать происходящее на поле нелепицей, не заслуживающей внимания. Смысл аксиом в том, что они являются соглашениями, которые мы заключаем, приступая к созданию теории.

Основные понятия и аксиомы вовсе не обязательно имеют отношение к окружающему нас реальному миру. Строя абстрактную теорию, мы отвлекаемся от наглядного смысла основных понятий (если он вообще существует). Единственный смысл, который вкладывается в основные понятия, таков: они обладают ровно теми свойствами, которые описаны в аксиомах. Поэтому часто говорят, что аксиомы являются «скрытыми определениями» основных понятий. Подчеркнем еше раз, что математик отнюдь не утверждает, что аксиомы верны. Он лишь строит систему утверждений, с необхо димостью вытекающую из них, оставляя за собой свободу менять аксиомы (и соответственно получать другую систему следствий).

Итак, понятия абстрактной теории лишены конкретного смысла. Но если им можно придать этот смысл (т.е. указать систему конкретных объектов и отношений между ними) так, чтобы соблюдались установленные аксиомы, то мы получим, как говорят, интерпретацию, или модель абстрактной теории. Одна и та же теория может иметь множество различных моделей.

Теперь мы можем объяснить ту двойственность геометрии, о которой говорили выше. Пока мы не конкретизируем смысл основных геометрических понятий, т. е. не прибегаем к наглядным представлениям о прямой, плоскости и т.п., построенная нами геометрия - абстрактная теория. Все выводы этой теории будут понятны воображаемому существу, которое обладает нашей логикой и нашей арифметикой, но ровным счетом ничего не знает об устройстве окружающего нас мира (французский математик Жак Ада мар назвал это существо «Гомо Арифметикус»), Но как только мы представим себе точку как идеализацию следа остро отточенного карандаша на бумаге, прямую - как идеализацию туго натянутой нити, а плоскость - как идеализацию гладкой поверхности стола, наша геометрия становится моделью абстрактной теории. Эта модель не единственная из возможных, но именно ее мы и изучаем в школьном курсе геометрии, так как она с большой точностью описывает геометрические свойства окружающих нас реальных тел.

Вернемся теперь к вопросу о правилах нашей шры, резюмируя сказанное выше. Предметом нашего изучения является модель абстрактной теории, построенной на основе аксиоматического метода. Эта модель отражает геометрические свойства окружающей нас части пространства в том виде, в каком оно воспринимается нашими органами чувств. Все утверждения, относящиеся к этой модели, являются логическими следствиями аксиом и ранее установленных утверждений (т. е. доказываются). Все вновь возникающие понятия определяются через основные и известные ранее. В процессе доказательств мы прибегаем к чертежам, которые помогают делать правильные логические выводы (но отнюдь не заменяют их). Использование чертежей удобно по той причине, что изучаемая модель является для нас естественной и привычной, мы многое можем «подсмотреть» на чертеже, догадаться с его помощью о правильной формулировке утверждения, а затем уже доказать его (ясно, что это - специфика нашего восприятия: для Гомо Арифметикуса наши чертежи непонятны, а поэтому бесполезны).

Но нет правил без исключений. Отметим, что при построении школьного курса геометрии идея аксиоматического метода не выдерживается до конца. Вместо последовательного изложения логических следствий из аксиом с полными их доказательствами принят, выражаясь шахматным языком, гамбитный стиль: логическая строгость и стройность изложения местами сознательно приносятся в жертву краткости и наглядности. Некоторые теоремы не доказываются или доказываются лишь для простейших частных случаев, не даются строгие определения некоторых понятий и т. п. Это связано с тем, что все логически строгие курсы геометрии довольно трудны для восприятия и весьма объемны.

В заключение мы обсудим весьма важный вопрос о выборе аксиом. Требования, предъявляемые к системе аксиом, которая кладется в основу теории, таковы. Во-первых, система аксиом должна быть непротиворечивой, т. е. из нее не должно следовать какое-либо утверждение вместе с его отрицанием. Это требование самое главное, оно является абсолютно необходимым. Далее мы будем говорить только о непротиворечивых системах аксиом. Во-вторых, желательно, чтобы система аксиом была независимой, т. е. чтобы ни одна из этих аксиом не следовала из других. Выполнение этого требования не обязательно, но все же естественно стремиться к тому, чтобы среди аксиом не было «лишних». В-третьих, хотелось бы, чтобы система аксиом была полной, т. е. чтобы к этой системе нельзя было добавить новую аксиому так, чтобы она не следовала из уже имеющихся аксиом и не противоречила им (имеется в виду, что множество основных понятий остается при этом неизменным). Заметим, что системы аксиом геометрии являются полными, но это, скорее, исключение, чем правило: обычно в математике системы аксиом оказываются неполными. Наконец, в-четвертых, можно потребовать от системы аксиом ее замкнутости, т. е. чтобы в ней не использовались понятия из другой теории. Системы аксиом геометрии, как правило, незамкнуты, поскольку в них, например, используется понятие числа, определяемое обычно в курсах математического анализа.

§ 2. Элементы логики и теории множеств

Так бы и сказала, - заметил Мартовский Заяц. - Нужно всегда говорить то, что думаешь.

Я так и делаю, - поспешила объяснить Алиса. - По крайней мере... По крайней мере я всегда думаю то, что говорю... а это одно и то же...

Совсем не одно и то же, - возразил Болван-шик. - Так ты еще чего доброго скажешь, будто «Я вижу то, что ем» и «Я ем то, что вижу», - одно и то же!

Л. Кэрролл. Приключения Алисы в стране чудес

В этом параграфе приводятся элементарные сведения из логики и теории множеств. Возможно, Вы уже знакомы с изложенным здесь материалом, однако ввиду важности обсуждаемых понятий лучше повторить их еше раз. Мы затрагиваем логику и теорию множеств настолько, насколько это необходимо для нашего курса стереометрии. Более подробное и строгое введение в эти разделы математики можно найти, например, в книге [Кутасов и др., 1981].

Будем называть высказыванием любое утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Примерами высказываний могут служить следующие утверждения: сборная Бразилии - чемпион мира по футболу 1994 года; число 100 четное; сумма углов треугольника равна 90°. Первые два из этих высказываний истинны, а последнее ложно. Не является высказыванием, например, такое утверждение: учиться в школе легко; так как нельзя наверняка сказать, истинно оно или ложно. Многие теоремы (в частности, боль-

1 Поясним смысл слова «следует» в этом определении: утверждение следует из системы аксиом, если во всякой модели, где выполняются эти аксиомы, верно и данное утверждение; если же существует такая модель этой системы аксиом, где данное утверждение неверно, то считается что оно не следует из этой системы аксиом.

• Устные упражнения по геометрии 9-10 КЛАССЫ 1983 год скачать Советский учебник
• Начала стереометрии ДЛЯ 10 КЛАССА 1982 год скачать Советский учебник

МБОУ «СОШ №7»

Методическая разработка

по стереометрии

для учащихся 10 11 класса

Белоусова Е.Н., учитель математики

2012 г, Нальчик

«Основные понятия и аксиомы стереометрии.

Параллельность прямых и плоскостей»

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Аксиомы стереометрии и их следствия

С этими наглядным пособиями я провожу занятия по стереометрии в 10 — 11 классе при подготовке к ЕГЭ. Очевидно, что репетитор по математике, использующий реальные трехмерные аналоги чертежей, сможет быстрее сформировать у ученика необходимые навыки работы с многогранниками. Модели облегчают восприятие условий задач и помогают репетитору развивать пространственное мышление школьника. Предупреждаются ошибки, связанные с неверным чтением рисунка и ускоряется процесс поиска алгоритмов решения сложных задач.

Наведите курсор на фотографию и кликните на нее. Она откроется в увеличенном масштабе.

Обратите внимание на специальные крепежи на ребрах моделей. Они двигающиеся и я могу закреплять ими любые положения любых сечений. Это позволяет достраивать модели до их точного соответствия условию конкретной задачи.

Мы можем имитировать сечения, проводить линии в гранях, показывать высоту пирамиды, высоту призмы, апофемные и реберные треугольники и многое другое...

Вместо того, чтобы разбираться в многочисленных нагромождениях и искажениях тетрадного аналога задачи, ее можно воссоздать в реальности.

Использование репетитором по математике реальных моделей помогает ученику распознать

• скрещивающие прямые
• перпендикуляры к плоскостям
• угол между прямой и плоскостью
• угол между плоскостями

При решении задач ученику предоставляется возможность

• взять модель в руки
• повернуть ее к себе удобной стороной
• вложить листочек, имитирующий сечение
• провести в сечении любые линии
• обозначить вершины сечения A,B,C...

Репетитору по математике на моделях удобно

• давать пояснения к задачам
• знакомить ученика с видами многогранников и их свойствами
• указывать ошибки в выявлении различных углов
• доказывать стереометрические теоремы и выводить формулы

Выдержки из писем репетиторов:

Вера Викторовна, репетитор по математике на пенсии
«У Вас прекрасные стереометрические модели. Неужели Вы их делали сами?! Или они покупались? Подскажите, пожалуйста, где можно заказать именно прозрачные пособия? Может быть, кто-то из Ваших знакомых репетиторов их делает? С удовольствием воспользовалась бы их услугами.»

Я ни у кого ничего не покупал, кроме материала для сборки. Все модели сделаны моими руками летом на даче и, насколько я знаю, никто из репетиторов по математике в Москве ничего подобного не предлагает. По крайней мере открытых моделей ни у кого нет. Купить их вряд ли удастся и уж точно на заказ их никто не собирает. Это весьма хлопотное занятие. На каждый экземпляр я трачу в среднем по 5 — 6 часов времени. Обрезаю, зачищаю, подгоняю.

Краювцева И.П., начинающий преподаватель : «Это фантастика! Безумно понравились модели!!! Я сама репетитор по математике и большую часть времени занимаюсь подготовкой к ЕГЭ. Мучаюсь с рисунками в стереометрии постоянно. Ученики не умеют представить себе всей картины в задаче. Каким образом Вам удалось скрепить между собой ребра моделей? Поделитесь, пожалуйста секретом производства.»

До конца не стану раскрывать секреты конструкций. Скажу лишь то, что для ребер был использован моток очень жесткой проволоки с идеально подходящим диаметром под отверстия в пластмассовых крепежных механизмах. Для соединения боковых ребер с многоугольником основания эти крепления специально подрезались в зависимости от величин углов фигуры в основании. Самым простым занятием оказалась сборка многоугольников для оснований. Для этого я снял обмотку из куска еще одной проволоки (мягкой), порезал ее на кусочки длиной примерно в 1 сантиметр и просто вставил в каждый из них с разных сторон отрезанные кусочки жесткой провоолоки. На мое счастье все размеры идеально подошли друг для друга.

Репетитор по математике о моделях «последнего поколения».
Летом я приступил к усовершенствованию наглядных пособий. На ребра последних моделей поставлены специальные ползуночки с отверстиями, через которые можно продеть мягкую проволоку или толстую нитку, имитирующую след от сечения. Кликните на маленькую фотографию, которую Вы видите справа от текста и она откроется в новом окне в увеличенном виде. На фотографии показан такой ползунок крупным планом. Ползунки позволяют репетитору по математике моделировать следы от любых сечений плоскостей с поверхностью многогранника.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике в Москве .