Рассмотрим две независимые выборки x 1, x 2 , ….. , x n и y 1 , y 2 , … , y n , извлеченные из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями , причем объемы выборок соответственно n и m, а средние μ x , μ y и дисперсия σ 2 неизвестны. Требуется проверить основную гипотезу Н 0: μ x =μ y при конкурирующей Н 1: μ x μ y .
Как известно, выборочные средние и будут обладать свойствами: ~N(μ x , σ 2 /n), ~N(μ y , σ 2 /m).
Их разность - нормальная величина со средним 
и дисперсией , так что
~ 
(23).
Допустим на время, что основная гипотеза Н 0 верна: μ x –μ y =0. Тогда 
и, деля величину на ее стандартное отклонение, получим стандартную нормальную сл. Величину 
~N(0,1).
Раньше отмечалось, что сл. величина 
распределена по закону с (n-1)-ой степенью свободы, a 
- по закону с (m-1) степенью свободы. С учетом независимости этих двух сумм, получаем, что их общая сумма 
распределена по закону с n+m-2 степенями свободы.
Вспоминая п.7, видим, что дробь 
подчиняется t-распределенню (Стьюдента) с ν=m+n-2 степенями свободы: Z=t. Этот факт имеет место только тогда, когда истинна гипотеза Н 0 .
Заменяя ξ и Q их выражениями, получим развернутую форнулу для Z:
(24)
Сл.величина Z, называемая статистикой критерия, позволяет принять решение при такой последовательности действий:
1. Устанавливается область D=[-t β,ν , +t β,ν ], содержащая β=1–α площади под кривой t ν –распределения (табл.10).
2. Вычисляется по формуле (24) опытное значение Z on статистики Z, для чего вместо X 1 и Y 1 подставляются значения x 1 и y 1 конкретных выборок, а также их выборочные средние и .
3. Если Z on D, то гипотеза Н 0 считается не противоречащей опытным данным и принимается.
Если Z on D, то принимается гипотеза Н 1 .
Если гипотеза Н 0 верна, то Z подчиняется известному t ν –распределению с нулевым средним и с высокой вероятностью β=1–α попадает в D-область принятия гипотезы Н 0 . Когда наблюдаемое, опытное значение Z on попадает в D. Мы рассматриваем это как свидетельство в пользу гипотезы Н 0 .
Когда жe Z 0 n лежит за пределами D (как говорят, лежит в критической области К), что естественно, если верна гипотеза Н 1 , но маловероятно, если верна Н 0 , то нам остается отклонить гипотезу Н 0 , приняв H 1 .
Пример 31.
Сравниваются две марки бензина: А и В. На 11 автомашинах одинаковой мощности по кольцевому шассе испытан по разу Бензин марки А и В. Одна машина в пути вышла из строя н для нее данные по бензину В отсутствуют.
Расход бензина в пересчете на 100 км пути
Таблица 12
| i | ||||||||||||
| X i | 10,51 | 11,86 | 10,5 | 9,1 | 9,21 | 10,74 | 10,75 | 10,3 | 11,3 | 11,8 | 10,9 | n=11 |
| У i | 13,22 | 13,0 | 11,5 | 10,4 | 11,8 | 11,6 | 10,64 | 12,3 | 11,1 | 11,6 | - | m=10 |
Дисперсия расхода бензина марок А и В неизвестна и предполагается одинаковой. Можно ли при уровне значимости α=0,05 принять гипотезу о том, что истинные средние расходы μ А и μ В этих видов бензина одинаковы?
Решение. Проверку гипотезы Н 0: μ А -μ В =0 при конкурирующей. Н 1:μ 1 μ 2 делаем по пунктам:
1. Находим выборочные средние и сумму квадратов отклонений Q.
;
;
2. Вычисляем опытное значение статистики Z
3. Находим из таблицы 10 t-распределения предел t β,ν , для числа степеней свободы ν=m+n–2=19 и β=1–α=0.95. В таблице 10 есть t 0.95.20 =2,09 и t 0.95.15 =2,13, но нет t 0.95.19 . Находим интерполяцией t 0.95.19 =2,09+ =2,10.
4. Проверяем, в какой из двух областей D или К лежит число Z on . Zon=-2,7 D=[-2,10; -2,10].
Поскольку наблюденное значение Z on лежит в критической области, К=R\D, то отбрасываем. Н 0 и приникаем гипотезу Н 1 . В этом случае про и говорят, что их разность значима. Если бы при всех условиях этого примера изменилось бы лишь Q, скажем, Q вдвое возросло, то изменился бы и наш вывод. Увеличение Q вдвое привело бы к уменьшению в раза величины Z on и тогда число Zon попало бы в допустимую область D, так что гипотеза H 0 выдержала бы проверку и была принята. В этом случае расхождение между и объяснялось бы естественным разбросом данных, а не тем, что μ А μ В.
Теория проверки гипотез весьма обширна, гипотезы могут быть о виде закона распределения, об однородности выборок, о независимости сл.величины и т.д.
КРИТЕРИЙ c 2 (ПИРСОНА)
Самый распространенный на практике критерий проверки простой гипотезы. Применяется, когда закон распределения неизвестен. Рассмотрим случайную величину X, над которой проведено n независимых испытаний. Получена реализация x 1 , x 2 ,...,x n . Необходимо проверить гипотезу о законе распределения этой случайной величины.
Рассмотрим случай простой гипотезы. Простая гипотеза проверяет согласование выборки с генеральной совокупностью, имеющей нормальное распределение (известное). По выборкам строим вариационный ряд x (1) , x (2) , ..., x (n) . Интервал разбиваем на подинтервалы. Пусть этих интервалов r. Тогда найдем вероятность попадания X в результате испытания в интервал Di, i=1 ,..., r в случае истинности проверяемой гипотезы.
Критерий проверяет не истинность плотности вероятности, а истинность чисел
С каждым интервалом Di свяжем случайное событие A i - попадание в этот интервал (попадание в результате испытания над X ее результата реализации в Di). Введем случайные величины. m i - количество испытаний из n проведенных, в которых произошло событие A i . m i распределены по биномиальному закону и в случае истинности гипотезы
Dm i =np i (1-p i)
Критерий c 2 имеет вид 
p 1 +p 2 +...+p r =1
m 1 +m 2 +...+m r =n
Если проверяемая гипотеза верна, то m i представляет частоту появления события, имеющего в каждом из n проведенных испытаний вероятность p i , следовательно, мы можем рассматривать m i как случайную величину, подчиняющуюся биномиальному закону с центром в точке np i . Когда n велико, то можно считать, что частота распределена асимптотически нормально с теми же параметрами. При правильности гипотезы следует ожидать, что будут асимптотически нормально распределены
связанные между собой соотношением
В качестве меры расхождения данных выборки m 1 +m 2 +...+m r с теоретическими np 1 +np 2 +...+np r рассмотрим величину
c 2 - сумма квадратов асимптотически нормальных величин, связанных линейной зависимостью. Мы ранее встречались уже с аналогичным случаем и знаем, что наличие линейной связи привело к уменьшению на единицу числа степеней свободы.
Если проверяемая гипотеза верна, то критерий c 2 имеет распределение, стремящееся при n®¥ к распределению c 2 с r-1 степенями свободы.
Допустим, что гипотеза неверна. Тогда существует тенденция к увеличению слагаемых в сумме, т.е. если гипотеза неверна, то эта сумма будет попадать в некую область больших значений c 2 . В качестве критической области возьмем область положительных значений критерия
| |
В случае неизвестных параметров распределения каждый параметр уменьшает на единицу количество степеней свободы для критерия Пирсона
Рассмотрим ту же задачу, что и в предыдущем пункте 3.4, но только при условии, что объемы выборок и Невелики (меньше 30). В этом случае замена генеральных дисперсий и , входящих в (3.15), на исправленные выборочные дисперсии и может привести к большой ошибке в величине , а следовательно, к большой ошибке в установлении области принятия гипотезы Н0 . Однако если есть уверенность в том, что неизвестные генеральные и Одинаковы (например, если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке), то можно, используя распределение Стьюдента, и в этом случае построить критерий проверки гипотезы Н0 X и Y . Для этого вводят случайную величину
, (3.16)
(3.17)
Среднее из исправленных выборочных дисперсий и , служащее точечной оценкой обеих одинаковых неизвестных генеральных дисперсий и . Как оказывается (см. , стр.180), при справедливости нулевой гипотезы Н0
случайная величина Т
имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы независимо от величин и объемов выборок. Если гипотеза Н0
верна, то разница должна быть невелика. То есть экспериментальное значение T
Эксп. величины Т
должно быть невелико. А именно, должно заключаться в некоторых границах . Выход же его за эти границы мы будем считать опровержением гипотезы Н0
, и допускать это будем с вероятностью, равной задаваемому уровню значимости α
.
Таким образом, областью принятия гипотезы Н0 будет являться некоторый интервал , в который значения случайной величины Т должны попадать с вероятностью 1- α :
Величину , определяемую равенством (3.18), для различных уровней значимости α и различных числах K степеней свободы величины Т можно найти в таблице критических точек распределения Стьюдента (таблице 4 Приложения). Тем самым будет найден интервал принятия гипотезы Н0 . И если экспериментальное значение T Эксп величины Т попадет в этот интервал – гипотезу Н0 принимают. Не попадает - не принимают.
Примечание 1. Если нет оснований считать равными генеральные дисперсии и величин Х и Y , то и в этом случае для проверки гипотезы Н0 о равенстве математических ожиданий величин Х и Y допускается использование изложенного выше критерия Стьюдента. Только теперь у величины Т число K степеней свободы следует считать равным не , а равным (см. )
(3.19)
Если исправленные выборочные дисперсии и различаются существенно, то второе слагаемое в последней скобке (3.19) невелико по сравнению с 0,5, так что выражение (3.19) по сравнению с выражением уменьшает число степеней свободы случайной величины Т
почти вдвое. А это ведет к существенному расширению интервала принятия гипотезы Н0
и, соответственно, к существенному сужению критической области непринятия этой гипотезы. И это вполне справедливо, так как степень разброса возможных значений разности Будет, в основном, определяться разбросом значений той из величин Х
и Y
, которая имеет большую дисперсию. То есть информация от выборки с меньшей дисперсией как бы пропадает, что и ведет к большей неопределенности в выводах о гипотезе Н0
.
Пример 4. По приведенным в таблице данным сравнить средние удои коров, получавших различные рационы. При проверке нулевой гипотезы Н0 о равенстве средних удоев принять уровень значимости α =0,05.
|
Поголовье коров, получавших рацион (Голов ) |
Среднесуточный удой в пересчете на базисную жирность (Кг/на голову ) |
Среднеквадратическое отклонение суточной молочной продуктивности коров (Кг/на голову ) |
|
. Так как приведенные табличные данные получены на основании малых выборок объемами =10 и =8, то для сравнения математических ожиданий среднесуточных удоев коров, получавших тот и другой кормовые рационы, мы должны использовать теорию, изложенную в этом пункте. Для этого в первую очередь выясним, позволяют ли найденные исправленные выборочные дисперсии =(3,8)2=14,44 и =(4,2)2=17,64 считать равными генеральные дисперсии и . Для этого используем критерий Фишера-Снедекора (см. пункт 3.3). Имеем:
По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора для α =0,05; K 1 =8-1=7 и K 2 =10-1=9 находим
И так как , то у нас нет оснований при данном уровне значимости α =0,05 отвергать гипотезу H 0 о равенстве генеральных дисперсий и .
Теперь, в соответствии с (3.17) и (3.16), подсчитаем экспериментальное значение величины Т :
Далее, по формуле находим число K
степеней свободы величины Т
: K
=10+8-2=16. После этого для п0+8-2=16. ооды (3.16) подсчитаем экспериментальное значение величины Т: Ы кормовые рационы, мы должны испол α
=0,05 и K
=16 по таблице критических точек распределения Стьюдента (таблица 4 Приложения) находим : =2,12. Таким образом, интервалом принятия гипотезы H
0
о равенстве средних удоев коров, получавших рационы № 1 и № 2, является интервал =(-2,12; 2,12). И так как = - 0,79 попадает в этот интервал, то у нас нет оснований отвергать гипотезу H
0
.
То есть мы вправе считать, что различие кормовых рационов не сказывается на среднесуточном удое коров.
Примечание 2. В рассмотренных выше пунктах 3.4 и 3.5 рассматривалась нулевая гипотеза H 0 о равенстве М(Х)=М(Y ) при альтернативной гипотезе Н1 об их неравенстве: М(Х)≠М(Y ). Но альтернативная гипотеза Н1 может быть и другой, например, М(Y )>М(X ). На практике этот случай будет иметь место, когда вводится некоторое усовершенствование (положительный фактор), который позволяет рассчитывать на увеличение в среднем значений нормально распределенной случайной величины Y по сравнению со значениями нормально распределенной величины Х . Например, в рацион коров введена новая кормовая добавка, позволяющая рассчитывать на увеличение среднего удоя коров; под культуру внесена дополнительная подкормка, позволяющая рассчитывать на увеличение средней урожайности культуры, и т. д. И хотелось бы выяснить, существенен (значим) или незначим этот введенный фактор. Тогда в случае больших объемов и Выборок (см. пункт 3.4) в качестве критерия справедливости гипотезы H 0 рассматривают нормально распределенную случайную величину
При заданном уровне значимости α Гипотеза H 0 о равенстве М(Х) и М(Y ) будет отвергнута, если экспериментальное значение величины Будет положительным и бόльшим , где
Так как при справедливости гипотезы H 0 М(Z )= 0, то
Проверка однородности двух выборок производится с помощью критерия Стьюдента (или t – критерия). Рассмотрим постановку задачи проверки однородности двух выборок. Пусть произведено две выборки объемом и . Необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что генеральные средние двух выборок равны. То есть, и . n 1
Прежде чем рассматривать методику решения задачи рассмотрим некоторые теоретические положения, используемые для решения задачи. Известный математик У.С. Госсет (ряд своих работ публиковал под псевдонимом Стьюдент) доказал, что статистика t (6.4) подчиняется определенному закону распределения, который в последствии был назван законом распределения Стьюдента (второе название закона – ”t – распределение”).
Среднее значение случайной величины X ;
Математическое ожидание случайной величины X ;
Среднеквадратичного отклонения среднего выборки объема n .
Оценка среднеквадратичного отклонения среднего рассчитывается по формуле (6.5):
Среднеквадратичного отклонения случайной величины X .
Распределение Стьюдента имеет один параметр – количество степеней свободы .
Теперь вернемся к исходной постановке задачи с двумя выборками и рассмотрим случайную величину равную разности средних двух выборок (6.6):
(6.6)
При условии выполнения гипотезы о равенстве генеральных средних справедливо (6.7):
(6.7)
Перепишем соотношение (6.4) применительно нашему случаю:
Оценка среднеквадратичного отклонения может быть выражена через оценку среднеквадратичного отклонения объединенной совокупности (6.9):
(6.9)
Оценка дисперсии объединенной совокупности может быть выражена через оценки дисперсии, рассчитанные по двум выборкам и :
(6.10)
С учетом формулы (6.10) соотношение (6.9) можно переписать в виде (6.11). Соотношение (6.9) является основной расчетной формулой задачи сравнения средних:
При подстановке значения в формулу (6.8) будем иметь выборочное значение t
-критерия . По таблицам распределения Стьюдента при количестве степеней свободы 
и заданном уровне значимости можно определить . Теперь, если , то гипотеза о равенстве двух средних отвергается.
Рассмотрим пример выполнения расчетов для проверки гипотезы равенства двух средних в EXCEL. Сформируем таблицу данных (рис. 6.22). Данные сгенерируем с помощью программы генерации случайных чисел пакета ”Анализ данных”:
X1 выборка из нормального распределения с параметрами 
объемом ;
X2 выборка из нормального распределения с параметрами объемом ;
X3 выборка из нормального распределения с параметрами 
объемом ;
X4 выборка из нормального распределения с параметрами 
объемом .
Проверим гипотезу равенства двух средних (X1-X2), (X1-X3), (X1-X4). В начале рассчитаем параметры выборок признаков X1-X4 (рис. 6.23). Затем рассчитаем значение t - критерия. Расчеты выполнит с помощью формул (6.6) – (6.9) в EXCEL. Результаты расчетов сведем в таблицу (рис. 6.24).
Рис. 6.22. Таблица данных
Рис. 6.23. Параметры выборок признаков X1-X4
Рис. 6.24. Сводная таблица расчета значений t – критерия для пар признаков (X1-X2), (X1-X3), (X1-X4)
По результатам, приведенным в таблице на рис. 6.24 можно сделать заключение, что для пары признаков (X1-X2) гипотеза равенства средних двух признаков отвергается, а для пар признаков (X1-X3), (X1-X4) гипотезу можно считать справедливой.
Такие же результаты можно получить с помощью программы “Двухвыборочный t -тест с одинаковыми дисперсиями” пакета Анализ данных. Интерфейс программы приведен на рис. 6.25.
Рис. 6.25. Параметры программы “Двухвыборочный t - тест с одинаковыми дисперсиями”
Результаты расчетов проверки гипотез равенства двух средних пар признаков (X1-X2), (X1-X3), (X1-X4), полученные с помощью программы приведены на рис. 6.26-6.28.
Рис. 6.26. Расчет значения t – критерия для пары признаков (X1-X2)
Рис. 6.27. Расчет значения t – критерия для пары признаков (X1-X3)
Рис. 6.28. Расчет значения t – критерия для пары признаков (X1-X4)
Двухвыборочный t -тест с одинаковыми дисперсиями иначе называется t -тестом с независимыми выборками. Большое распространение так же получил t -тестом с зависимыми выборками. Ситуация, когда необходимо применять этот критерий возникает тогда, когда одна и та же случайная величина подвергается измерению дважды. Количество наблюдений в обоих случаях одинаково. Введем обозначения для двух последовательных измерений некоторого свойства одних и тех же объектови , , а разность двух последовательных измерений обозначим :
В этом случае формула для выборочного значения критерия приобретает вид:
, (6.13)
(6.15)
В этом случае количество степеней свободы . Проверку гипотезы можно выполнить с помощью программы “Парный двухвыборочный t -тест” пакета анализа данных (рис. 6.29).
Рис. 6.29. Параметры программы “Парный двухвыборочный t -тест”
6.5. Дисперсионный анализ –классификация по одному признаку (F - критерий)
В дисперсионном анализе проверяется гипотеза, которая является обобщением гипотезы равенства двух средних на случай, когда проверяется гипотеза равенства одновременно нескольких средних. В дисперсионном анализе исследуется степень влияния одного или нескольких факторных признаков на результативный признак. Идея дисперсионного анализа принадлежит Р. Фишеру. Он использовал его для обработки результатов агрономических опытов. Дисперсионный анализ применяется для установления существенности влияния качественных факторов на исследуемую величину. Английское сокращенное название дисперсионного анализа – ANOVA (analysis variation).
Общая форма представления данных с классификацией по одному признаку представлена в таблице 6.1.
Таблица 6.1. Форма представления данных с классификацией по одному признаку
Рассмотрим использование MS EXCEL при проверке статистических гипотез о среднем значении распределения в случае неизвестной дисперсии. Вычислим тестовую статистику t 0 , рассмотрим процедуру «одновыборочный t -тест», вычислим Р-значение (Р- value ).
Материал данной статьи является продолжением статьи . В указанной статье даны основные понятия проверки гипотез (нулевая и альтернативная гипотезы, тестовые статистики, эталонное распределение, Р-значение и др. ).
СОВЕТ : Для проверки гипотез потребуется знание следующих понятий:
- , и их .
Формулировка задачи. Из генеральной совокупности имеющей с неизвестным μ (мю) и неизвестной дисперсией взята выборка размера n. Необходимо проверить статистическую гипотезу о равенстве неизвестного μ заданному значению μ 0 (англ. Inference on the mean of a population, variance unknown).
Примечание : Требование о нормальности исходного распределения, из которого берется выборка , не является обязательным. Но, необходимо, чтобы были выполнены условия применения .
Сначала проведем проверку гипотезы , используя доверительный интервал , а затем с помощью процедуры t -тест. В конце вычислим Р-значение и также используем его для проверки гипотезы .
Пусть нулевая гипотеза Н 0 утверждает, что неизвестное среднее значение распределения μ равно μ 0 . Соответствующая альтернативная гипотеза Н 1 утверждает обратное: μ не равно μ 0 . Это пример двусторонней проверки , т.к. неизвестное значение может быть как больше, так и меньше μ 0 .
Если упрощенно, то проверка гипотезы заключается в сравнении 2-х величин: вычисленного на основании выборки среднего значения Х ср и заданного μ 0 . Если эти значения «отличаются больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайности», то нулевую гипотезу отклоняют.
Поясним фразу «отличаются больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайности». Для этого, вспомним, что распределение Выборочного среднего (статистика Х ср ) стремится к нормальному распределению со средним значением μ и стандартным отклонением равным σ/√n, где σ – стандартное отклонение распределения, из которого берется выборка (не обязательно нормальное ), а n – объем выборки (подробнее см. ).
К сожалению, в нашем случае дисперсия а, значит, и стандартное отклонение , неизвестны, поэтому вместо нее мы будем использовать ее оценку - s 2 и, соответственно, стандартное отклонение выборки s.
Известно, что если вместо неизвестной дисперсии распределения σ 2 мы используем дисперсию выборки s 2 , то распределением статистики Х ср является с n-1 степенью свободы .
Таким образом, знание распределения статистики Х ср и заданного , позволяют нам формализовать с помощью математических выражений фразу «отличаются больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайности».
В этом нам поможет доверительный интервал (как строится доверительный интервал нам известно из статьи ). Если среднее выборки попадает в доверительный интервал, построенный относительно μ 0 , то для отклонения нулевой гипотезы оснований нет. Если не попадает, то нулевая гипотеза отвергается.
Воспользуемся выражением для Доверительного интервала , которое мы получили в статье .
Напомним, что доверительный интервал обычно определяют через количество стандартных отклонений , которые в нем укладываются. В нашем случае в качестве стандартного отклонения берется стандартная ошибка s/√n.
Количество стандартных отклонений зависит от количества степеней свободы используемого t-распределения и уровня значимости α (альфа) .
Для визуализации проверки гипотезы методом доверительного интервала в создана .
Примечание : Перечень статей о проверке гипотез приведен в статье .
t-тест
Ниже приведем процедуру проверки гипотезы в случае неизвестной дисперсии . Данная процедура имеет название t -тест :
В MS EXCEL верхний α
/2-квантиль
вычисляется по формуле
=СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-α
/2; n-1)
Учитывая симметричность t-распределения
относительно оси ординат, верхний
α
/2-квантиль
равен обычному α
/2-квантилю
со знаком минус:
=-СТЬЮДЕНТ.ОБР(α
/2; n-1)
Также в MS EXCEL имеется специальная формула для вычисления двухсторонних квантилей
:
=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(α
; n-1)
Все три формулы вернут один и тот же результат.
Примечание : Подробнее про квантили распределения можно прочитать в статье .
Примечание : Если вместо t-распределения использовать стандартное нормальное распределение, то мы получим необоснованно более узкий доверительный интервал , тем самым мы будем чаще необоснованно отвергать нулевую гипотезу , когда она справедлива (увеличим ошибку первого рода ).
Отметим, что различие в ширине интервалов зависит от размера выборки n (при уменьшении n различие увеличивается) и от уровня значимости (при уменьшении α различие увеличивается). Для n=10 и α = 0,01 относительная разница в ширине интервалов составляет порядка 20%. При большом размере выборки n (>30), различием в интервалах часто пренебрегают (для n=30 и α = 0,01 относительная разница составляет 6,55%). Это свойство используется в функции Z.ТЕСТ() , которая вычисляет р-значение (см. ниже) с использованием нормального распределения (аргумент σ должен быть опущен или указана ссылка на стандартное отклонение выборки ).
В случае односторонней гипотезы речь идет об отклонении μ только в одну сторону: либо больше либо меньше μ 0 . Если альтернативная гипотеза звучит как μ>μ 0 , то гипотеза Н 0 отвергается в случае t 0 > t α ,n-1 . Если альтернативная гипотеза звучит как μ<μ 0 , то гипотеза Н 0 отвергается в случае t 0 < - t α ,n-1 .
Вычисление Р-значения
При проверке гипотез большое распространение также получил еще один эквивалентный подход, основанный на вычислении p -значения (p-value).
СОВЕТ : Подробнее про p -значение написано в статье .
Если p-значение , вычисленное на основании выборки , меньше чем заданный уровень значимости α , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза . И наоборот, если p-значение больше α , то нулевая гипотеза не отвергается.
Другими словами, если p-значение меньше уровня значимости α , то это свидетельство того, что значение t -статистики , вычисленное на основе выборки при условии истинности нулевой гипотезы , приняло маловероятное значение t 0 .
Формула для вычисления p-значения зависит от формулировки альтернативной гипотезы :
- Для односторонней гипотезы μ<μ 0 p-значение вычисляется как =СТЬЮДЕНТ.РАСП(t 0 ; n-1; ИСТИНА)
- Для другой односторонней гипотезы μ>μ 0 p-значение вычисляется как =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(t 0 ; n-1; ИСТИНА)
- Для двусторонней гипотезы p-значение вычисляется как =2*(1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(ABS(t 0);n-1;ИСТИНА))
Соответственно, t 0 =(СРЗНАЧ(выборка )-μ 0)/ (СТАНДОТКЛОН.В(выборка )/ КОРЕНЬ(СЧЁТ(выборка ))) , где выборка – ссылка на диапазон, содержащий значения выборки .
В файле примера на листе Сигма неизвестна показана эквивалентность проверки гипотезы через доверительный интервал , статистику t 0 (t -тест) и p -значение .
Примечание : В MS EXCEL нет специализированной функции для одновыборочного t-теста . При больших n можно использовать функцию Z.ТЕСТ() с опущенным 3-м аргументом (подробнее про эту функцию см. статью ). Функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ() предназначена для .
Пример
. Доходы аптек одного из микрорайонов города за некоторый период составили 128; 192; 223; 398; 205; 266; 219; 260; 264; 98 (условных единиц). В соседнем микрорайоне за то же время они были равны 286; 240; 263; 266; 484; 223; 335.
Для обеих выборок вычислите среднее, исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найдите размах варьирования, среднее абсолютное (линейное) отклонение, коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции.
Предполагая, что данная случайная величина имеет нормальное распределение, определите доверительный интервал для генеральной средней (в обоих случаях).
По критерию Фишера проверьте гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. По критерию Стьюдента проверьте гипотезу о равенстве генеральных средних (альтернативная гипотеза – об их неравенстве).
Во всех расчётах уровень значимости α = 0,05.
Решение проводим с помощью калькулятора Проверка гипотезы о равенстве дисперсий .
1. Находим показатели вариации для первой выборки
.
| x | |x - x ср | | (x - x ср) 2 |
| 98 | 127.3 | 16205.29 |
| 128 | 97.3 | 9467.29 |
| 192 | 33.3 | 1108.89 |
| 205 | 20.3 | 412.09 |
| 219 | 6.3 | 39.69 |
| 223 | 2.3 | 5.29 |
| 260 | 34.7 | 1204.09 |
| 264 | 38.7 | 1497.69 |
| 266 | 40.7 | 1656.49 |
| 398 | 172.7 | 29825.29 |
| 2253 | 573.6 | 61422.1 |
.
Показатели вариации
.
.
R = X max - X min
R = 398 - 98 = 300
Среднее линейное отклонение
Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 57.36
Дисперсия
Несмещенная оценка дисперсии
.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 225.3 в среднем на 78.37
.
.
Коэффициент вариации
Поскольку v>30% ,но v или
Коэффициент осцилляции
.
.
По таблице Стьюдента находим:
T табл (n-1;α/2) = T табл (9;0.025) = 2.262
(225.3 - 59.09;225.3 + 59.09) = (166.21;284.39)
2. Находим показатели вариации для второй выборки
.
Проранжируем ряд. Для этого сортируем его значения по возрастанию.
Таблица для расчета показателей.
| x | |x - x ср | | (x - x ср) 2 |
| 223 | 76.57 | 5863.18 |
| 240 | 59.57 | 3548.76 |
| 263 | 36.57 | 1337.47 |
| 266 | 33.57 | 1127.04 |
| 286 | 13.57 | 184.18 |
| 335 | 35.43 | 1255.18 |
| 484 | 184.43 | 34013.9 |
| 2097 | 439.71 | 47329.71 |
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Показатели центра распределения
.
Простая средняя арифметическая
Показатели вариации
.
Абсолютные показатели вариации
.
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X max - X min
R = 484 - 223 = 261
Среднее линейное отклонение
- вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.
Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 62.82
Дисперсия
- характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Несмещенная оценка дисперсии
- состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
Среднее квадратическое отклонение
.
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 299.57 в среднем на 82.23
Оценка среднеквадратического отклонения
.
Относительные показатели вариации
.
К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.
Коэффициент вариации
- мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.
Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.
Линейный коэффициент вариации
или Относительное линейное отклонение
- характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.
Коэффициент осцилляции
- отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.
Интервальное оценивание центра генеральной совокупности
.
Доверительный интервал для генерального среднего
.
Определяем значение t kp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим:
T табл (n-1;α/2) = T табл (6;0.025) = 2.447
(299.57 - 82.14;299.57 + 82.14) = (217.43;381.71)
С вероятностью 0.95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:
H 0: D x = D y ;
H 1: D x Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера:
Поскольку s y 2 > s x 2 , то s б 2 = s y 2 , s м 2 = s x 2
Числа степеней свободы:
f 1 = n у – 1 = 7 – 1 = 6
f 2 = n x – 1 = 10 – 1 = 9
По таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора при уровне значимости α = 0.05 и данным числам степеней свободы находим F кр (6;9) = 3.37
Т.к. F набл Проводим проверку гипотезы о равенстве генеральных средних:
Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента:
Число степеней свободы f = n х + n у – 2 = 10 + 7 – 2 = 15
Определяем значение t kp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим:
T табл (f;α/2) = T табл (15;0.025) = 2.131
По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости α = 0.05 и данному числу степеней свободы находим t кр = 2.131
Т.к. t набл
