Логика высказываний , называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.
Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.
Рисунок сверху - иллюстрация явления, известного как "Парадокс лжеца". При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет "истины" или "лжи" оцениваются только отдельно взятые высказывания . И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.
Логика высказываний применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений "ложь" или "истина", от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В небольших программах, где задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, "флаг" ("flag") и подразумевается, что "флаг поднят", когда значение этой переменной - "истина" и "флаг опущен", когда значение этой переменной - "ложь". В программах большого объёма, в которых несколько или даже очень много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.
Так, может быть объявлена логическая переменная с именем "ПользовательЗарегистрирован" (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение "истина" при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение ("истина" или "ложь") имеет переменная "ПользовательЗарегистрирован". В других случах переменной, например, с именем "ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней", может быть присвоено значение "Истина" до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на "ложь" и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.
Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.
Логические операции над высказываниями
Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами "истина" и "ложь", а для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается . Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".
Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".
Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3
Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A , B , ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л . В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.
Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания . Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π ² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.
Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л , мы определим далее логические операции над высказываниями , которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.
Пусть даны два произвольных высказывания A и B .
1 . Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".
Таблица истинности для конъюнкции:
| A | B | A ∧ B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
2 . Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B .
Таблица истинности для дизъюнкции:
| A | B | A ∨ B |
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
3 . Третья логическая операция над высказываниями A и B , выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой , B - следствием , а высказывание A → B - следованием , называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A , то B ". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B . Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A , и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".
Таблица истинности для следования (импликации):
| A | B | A → B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
4 . Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A ). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.
Таблица истинности для отрицания:
| A | ~ A |
| Л | И |
| И | Л |
5 . И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.
Таблица истинности для эквивалентности:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | И | Л |
| Л | И | И | Л | Л |
| Л | Л | И | И | И |
В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).
Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.
Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).
| Связка | Обозначение | Название операции |
| не | отрицание | |
| и | конъюнкция | |
| или | дизъюнкция | |
| если..., то... | импликация | |
| тогда и только тогда | эквивалентность |
Для логических операций верны законы алгебры логики , которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.
Пример 1.
1) (2 = 2) И (7 = 7) ;
2) Не(15 ;
3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён") ;
4) Не("Сосна" = "Дуб") ;
5) (Не(15 20) ;
6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж") ;
7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .
1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".
7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".
Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:
1) "Пользователь не зарегистрирован";
2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";
3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".
1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;
2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: ;
3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: .
Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:
1) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время") ;
2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;
3) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево") ;
4) Не((300 > 100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой")) ;
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:
1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";
2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";
Пример 5. Определите логическое значение выражения
(p → q ) ↔ (r → s ) ,
p = "278 > 5" ,
q = "Яблоко = Апельсин" ,
p = "0 = 9" ,
s = "Шапка покрывает голову" .
Формулы логики высказываний
Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний .
В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.
Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы
p , q , r , ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...
Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения "истина" и "ложь". Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами .
Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций
~, ∧, ∨, →, ↔,
а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул - левая и правая скобки.
Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:
1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;
2) если A и B - формулы логики высказываний, то ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) тоже являются формулами логики высказываний;
3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).
Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).
Пример 6. Пусть p - одиночное высказывание (атом) "Все рациональные числа являются действительными", q - "Некоторые действительные числа - рациональные числа", r - "некоторые рациональные числа являются действительными". Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:
6) 
.
1) "нет действительных чисел, которые являются рациональными";
2) "если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными";
3) "если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными";
4) "все действительные числа - рациональные числа и некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами";
5) "все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными";
6) "не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными".
Пример 7.
Составьте таблицу истинности для формулы
логики высказываний 
, которую в
таблице можно обозначить f
.
Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений ("истина" или "ложь") для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно "лжи" тогда, когда из "истины" следует "ложь".
| p | q | r | f | ||||
| И | И | И | И | И | И | И | И |
| И | И | Л | И | И | И | Л | И |
| И | Л | И | И | Л | Л | Л | Л |
| И | Л | Л | И | Л | Л | И | И |
| Л | И | И | Л | И | Л | И | И |
| Л | И | Л | Л | И | Л | И | Л |
| Л | Л | И | И | И | И | И | И |
| Л | Л | Л | И | И | И | Л | И |
Заметим, что никакой атом не имеет вида ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) . Такой вид имеют сложные формулы.
Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что
1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;
2) упорядочим знаки логических операций "по старшинству":
↔, →, ∨, ∧, ~ .
В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак ~ - самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая "порядок старшинства". А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака ~ (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.
Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .
Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:
B ↔ (~ C ) ∨ D ∧ A
B ↔ (~ C ) ∨ (D ∧ A )
B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A ))
(B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A )))
Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C ) и ~ (A → B ) дальнейшее исключение скобок невозможно.
Тавтологии и противоречия
Логические тавтологии (или просто тавтологии) - это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.
Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно "истина" и "ложь") всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.
Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "истина" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией .
Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.
Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "ложь" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием .
Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.
Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.
Решение. Составляем таблицу истинности:
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | Л | И |
| Л | И | Л | И | И |
| Л | Л | Л | Л | И |
В значениях импликации не встречаем строку, в которой из "истины" следует "ложь". Все значения исходного высказывания равны "истине". Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.
Высказывание - более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на более простые части мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».
Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.
Понятие высказывания - одно из исходных, ключевых понятий современной логики. Как таковое оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах.
Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются «истинностными значениями высказываний».
Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Например, из высказываний «Дует ветер» и «Идет дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дует ветер и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, то дует ветер» и т.п.
Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.
Высказывание называется сложным, если оно получено с помощью логических связок из других более простых высказываний.
Рассмотрим наиболее важные способы построения сложных высказываний.
Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 - четное число» является высказывание «10 не есть четное число» (или: «Неверно, что 10 есть четное число»).
Обозначим высказывания буквами А, В, С, ... Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание А истинно, его отрицание ложно, и если А ложно, его отрицание истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» - истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» - ложно, а так как «1 есть простое число» - ложно, его отрицание «1 не есть простое число» - истинно.
Соединение двух высказываний при помощи слова «и» дает сложное высказывание, называемоеконъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким образом, называются «членами конъюнкции».
Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить таким способом, получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».
Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.
В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто, и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания «2 - простое число» и «Москва - большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 - простое число и Москва - большой город», поскольку составляющие се высказывания не связаны между собой по смыслу. Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более определенным.
Соединение двух высказываний с помощью слова «или» дает дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются «членами дизъюнкции».
Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Например, высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на «Пиковую даму» или на «Аиду» допускает возможность двукратного посещения онеры. В высказывании же «Он учится в Московском или в Ярославском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.
Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает, что, по крайней мере, одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или пет. Взятая во втором, исключающему или строгом, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из высказываний истинно, а второе - ложно.
Неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны.
Исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны.
В логике и математике слово «или» почти всегда употреб***яется в неисключающем значении.
Условное высказывание - сложное высказывание, формулируемое обычно с помощью связки «если..., то...» и устанавливающее, что одно событие, состояние и т.п. является в том или ином смысле основанием или условием для другого.
Например: «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, оно делится на 3» и т.п.
Условное высказывание слагается из двух более простых высказываний. То из них, которому предпослано слово «если», называется основанием, или антецедентом (предыдущим), высказывание, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом (последующим).
Утверждая условное высказывание, мы прежде всего имеем в виду, что не может быть так, чтобы то, о чем говорится в его основании, имело место, а то, о чем говорится в следствии, отсутствовало. Иными словами, не может случиться, чтобы антецедент был истинным, а консеквент - ложным.
В терминах условного высказывания обычно определяются понятия достаточного и необходимого условия: антецедент (основание) есть достаточное условие для консеквента (следствия), а консеквент - необходимое условие для антецедента. Например, истинность условного высказывания «Если выбор рационален, то выбирается лучшая из имеющихся альтернатив» означает, что рациональность - достаточное основание для избрания лучшей из имеющихся возможностей и что выбор такой возможности есть необходимое условие его рациональности.
Типичной функцией условного высказывания является обоснование одного высказывания ссылкой на другое высказывание. Например, то, что серебро электропроводно, можно обосновать ссылкой на то, что оно металл: «Если серебро - металл, оно электропроводно».
Выражаемую условным высказыванием связь обосновывающего и обосновываемого (основания и следствия) трудно охарактеризовать в общем виде, и только иногда природа се относительно ясна. Эта связь может быть, во-первых, связью логического следования, имеющей место между посылками и заключением правильного умозаключения («Если все живые многоклеточные существа смертны, а медуза является таким существом, то она смертна»); во-вторых, законом природы («Если тело подвергнуть трению, оно начнет нагреваться»); в-третьих, причинной связью («Если Луна в новолуние находится в узле своей орбиты, наступает солнечное затмение»); в-четвертых, социальной закономерностью, правилом, традицией и т.п. («Если меняется общество, меняется и человек», «Если совет разумен, он должен быть выполнен»).
Со связью, выражаемой условным высказыванием, обычно соединяется убеждение, что следствие с определенной необходимостью «вытекает» из основания и что имеется некоторый общий закон, сумев сформулировать который, мы могли бы логически вывести следствие из основания.
Например, условное высказывание «Если висмут - металлом пластичен» как бы предполагает общий закон "Нес металлы пластичны», делающий консеквент данного высказывания логическим следствием его антецедента.
И в обычном языке, и в языке науки условное высказывание кроме функции обоснования может выполнять также ряд других задач: формулировать условие, не связанное с каким-либо подразумеваемым общим законом или правилом («Если захочу, разрежу свой плащ»); фиксировать какую-либо последовательность («Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое»); выражать в своеобразной форме неверие («Если вы решите эту задачу, я докажу великую теорему Ферма»); противопоставление («Если в огороде растет бузина, то в Киеве живет дядька») и т.п. Многочисленность и разнородность функций условного высказывания существенно затрудняет его анализ.
Употребление условного высказывания связано с определенными психологическими факторами. Так, обычно мы формулируем такое высказывание, только если не знаем с определенностью, истинны или нет его антецедент и консеквент. В противном случае его употребление кажется неестественным («Если вата - металл, она электропровод на»).
Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или импликации. При этом логика проясняет, систематизирует и упрощает употребление «если..., то...», освобождает его от влияния психологических факторов.
Логика отвлекается, в частности, от того, что характерная для условного высказывания связь основания и следствия в зависимости от контекста может выражаться с помощью нс только «если..., то...», но и других языковых средств. Например, «Так как вода жидкость, она передает давление во все стороны равномерно», «Хотя пластилин и не металл, он пластичен», «Если бы дерево было металлом, оно было бы электропроводным» и т.п. Эти и подобные им высказывания представляются в языке логики посредством импликации, хотя употребление в них «если..., то...» было бы не совсем естественным.
Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание имело место, а следствие - отсутствовало. Иными словами, импликация является ложной только в том случае, когда се основание истинно, а следствие ложно.
Это определение предполагает, как и предыдущие определения связок, что всякое высказывание является либо истинным, либо ложным и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений составляющих его высказываний и от способа их связи.
Импликация истинна, когда и ее основание, и ее следствие истинны или ложны; она истинна, если ее основание ложно, а следствие истинно. Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, импликация ложна.
Импликацией не предполагается, что высказывания А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В высказывание «если А, то В» истинно независимо от того, являетсяА истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.
Например, истинным считаются высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четыре», «Если Волга - озеро, то Токио - большая деревня» и т.п. Условное высказывание истинно также тогда, когда А ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно В или нет и связано оно по содержанию с А или нет. К истинным относятся высказывания: «Если Солнце - куб, то Земля - треугольник», «Если дважды два равно пять, то Токио - маленький город» и т.п.
В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.
Хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согласуется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты логического поведения условного высказывания, но она не является вместе с тем достаточно адекватным его описанием.
В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от описанного понятия импликации, а о введении наряду с ним другого понятия, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию.
С импликацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».
Эквивалентность - сложное высказывание «Л, если и только если В», образованное из высказываний Ли В и разлагающееся на две импликации: «если А, то В», и «если В, то А». Например: «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным». Термином «эквивалентность» обозначается и связка «..., если и только если...», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «если и только если» для этой цели могут использоваться «в том и только в том случае, когда», «тогда и только тогда, когда» и т.п.
Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба составляющих ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т.е. когда они оба истинны или оба ложны. Соответственно эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно.
Высказывание - более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на более простые части мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание «Солнце есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».
Высказывание - грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.
Понятие высказывания - одно из исходных, ключевых понятий современной логики. Как таковое оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах.
Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются «истинностными значениями высказываний».
Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Например, из высказываний «Дует ветер» и «Идет дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дует ветер и идет дождь», «Либо дует ветер, либо идет дождь», «Если идет дождь, то дует ветер» и т.п.
Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.
Высказывание называется сложным, если оно получено с помощью логических связок из других более простых высказываний.
Рассмотрим наиболее важные способы построения сложных высказываний.
Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 - четное число» является высказывание «10 не есть четное число» (или: «Неверно, что 10 есть четное число»).
Обозначим высказывания буквами А, В, С, ... Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание А истинно, его отрицание ложно, и если А ложно, его отрицание истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» - истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» - ложно, а так как «1 есть простое число» - ложно, его отрицание «1 не есть простое число» - истинно.
Соединение двух высказываний при помощи слова «и» дает сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким образом, называются «членами конъюнкции».
Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить таким способом, получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».
Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.
В обычном языке два высказывания соединяются союзом «и», когда они связаны между собой по содержанию или смыслу. Характер этой связи не вполне ясен, но понятно, что мы не рассматривали бы конъюнкцию «Он шел в пальто, и я шел в университет» как выражение, имеющее смысл и способное быть истинным или ложным. Хотя высказывания «2 - простое число» и «Москва - большой город» истинны, мы не склонны считать истинной также их конъюнкцию «2 - простое число и Москва - большой город», поскольку составляющие се высказывания не связаны между собой по смыслу. Упрощая значение конъюнкции и других логических связок и отказываясь для этого от неясного понятия «связь высказываний по смыслу», логика делает значение этих связок одновременно и более широким, и более определенным.
Соединение двух высказываний с помощью слова «или» дает дизъюнкцию этих высказываний. Высказывания, образующие дизъюнкцию, называются «членами дизъюнкции».
Слово «или» в повседневном языке имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». Например, высказывание «В этом сезоне я хочу пойти на «Пиковую даму» или на «Аиду» допускает возможность двукратного посещения онеры. В высказывании же «Он учится в Московском или в Ярославском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.
Первый смысл «или» называется неисключающим. Взятая в этом смысле дизъюнкция двух высказываний означает, что, по крайней мере, одно из этих высказываний истинно, независимо от того, истинны они оба или пет. Взятая во втором, исключающему или строгом, смысле дизъюнкция двух высказываний утверждает, что одно из высказываний истинно, а второе - ложно.
Неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно, и ложна, только когда оба ее члена ложны.
Исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из ее членов, и она ложна, когда оба ее члена истинны или оба ложны.
В логике и математике слово «или» почти всегда употребляется в неисключающем значении.
Условное высказывание - сложное высказывание, формулируемое обычно с помощью связки «если..., то...» и устанавливающее, что одно событие, состояние и т.п. является в том или ином смысле основанием или условием для другого.
Например: «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, оно делится на 3» и т.п.
Условное высказывание слагается из двух более простых высказываний. То из них, которому предпослано слово «если», называется основанием, или антецедентом (предыдущим), высказывание, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом (последующим).
Утверждая условное высказывание, мы прежде всего имеем в виду, что не может быть так, чтобы то, о чем говорится в его основании, имело место, а то, о чем говорится в следствии, отсутствовало. Иными словами, не может случиться, чтобы антецедент был истинным, а консеквент - ложным.
В терминах условного высказывания обычно определяются понятия достаточного и необходимого условия: антецедент (основание) есть достаточное условие для консеквента (следствия), а консеквент - необходимое условие для антецедента. Например, истинность условного высказывания «Если выбор рационален, то выбирается лучшая из имеющихся альтернатив» означает, что рациональность - достаточное основание для избрания лучшей из имеющихся возможностей и что выбор такой возможности есть необходимое условие его рациональности.
Типичной функцией условного высказывания является обоснование одного высказывания ссылкой на другое высказывание. Например, то, что серебро электропроводно, можно обосновать ссылкой на то, что оно металл: «Если серебро - металл, оно электропроводно».
Выражаемую условным высказыванием связь обосновывающего и обосновываемого (основания и следствия) трудно охарактеризовать в общем виде, и только иногда природа се относительно ясна. Эта связь может быть, во-первых, связью логического следования, имеющей место между посылками и заключением правильного умозаключения («Если все живые многоклеточные существа смертны, а медуза является таким существом, то она смертна»); во-вторых, законом природы («Если тело подвергнуть трению, оно начнет нагреваться»); в-третьих, причинной связью («Если Луна в новолуние находится в узле своей орбиты, наступает солнечное затмение»); в-четвертых, социальной закономерностью, правилом, традицией и т.п. («Если меняется общество, меняется и человек», «Если совет разумен, он должен быть выполнен»).
Со связью, выражаемой условным высказыванием, обычно соединяется убеждение, что следствие с определенной необходимостью «вытекает» из основания и что имеется некоторый общий закон, сумев сформулировать который, мы могли бы логически вывести следствие из основания.
Например, условное высказывание «Если висмут - металлом пластичен» как бы предполагает общий закон "Нес металлы пластичны», делающий консеквент данного высказывания логическим следствием его антецедента.
И в обычном языке, и в языке науки условное высказывание кроме функции обоснования может выполнять также ряд других задач: формулировать условие, не связанное с каким-либо подразумеваемым общим законом или правилом («Если захочу, разрежу свой плащ»); фиксировать какую-либо последовательность («Если прошлое лето было сухим, то в этом году оно дождливое»); выражать в своеобразной форме неверие («Если вы решите эту задачу, я докажу великую теорему Ферма»); противопоставление («Если в огороде растет бузина, то в Киеве живет дядька») и т.п. Многочисленность и разнородность функций условного высказывания существенно затрудняет его анализ.
Употребление условного высказывания связано с определенными психологическими факторами. Так, обычно мы формулируем такое высказывание, только если не знаем с определенностью, истинны или нет его антецедент и консеквент. В противном случае его употребление кажется неестественным («Если вата - металл, она электропровод на»).
Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или импликации. При этом логика проясняет, систематизирует и упрощает употребление «если..., то...», освобождает его от влияния психологических факторов.
Логика отвлекается, в частности, от того, что характерная для условного высказывания связь основания и следствия в зависимости от контекста может выражаться с помощью нс только «если..., то...», но и других языковых средств. Например, «Так как вода жидкость, она передает давление во все стороны равномерно», «Хотя пластилин и не металл, он пластичен», «Если бы дерево было металлом, оно было бы электропроводным» и т.п. Эти и подобные им высказывания представляются в языке логики посредством импликации, хотя употребление в них «если..., то...» было бы не совсем естественным.
Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание имело место, а следствие - отсутствовало. Иными словами, импликация является ложной только в том случае, когда се основание истинно, а следствие ложно.
Это определение предполагает, как и предыдущие определения связок, что всякое высказывание является либо истинным, либо ложным и что истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений составляющих его высказываний и от способа их связи.
Импликация истинна, когда и ее основание, и ее следствие истинны или ложны; она истинна, если ее основание ложно, а следствие истинно. Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, импликация ложна.
Импликацией не предполагается, что высказывания А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В высказывание «если А, то В» истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.
Например, истинным считаются высказывания: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четыре», «Если Волга - озеро, то Токио - большая деревня» и т.п. Условное высказывание истинно также тогда, когда А ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно В или нет и связано оно по содержанию с А или нет. К истинным относятся высказывания: «Если Солнце - куб, то Земля - треугольник», «Если дважды два равно пять, то Токио - маленький город» и т.п.
В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.
Хотя импликация полезна для многих целей, она не совсем согласуется с обычным пониманием условной связи. Импликация охватывает многие важные черты логического поведения условного высказывания, но она не является вместе с тем достаточно адекватным его описанием.
В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от описанного понятия импликации, а о введении наряду с ним другого понятия, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию.
С импликацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».
Эквивалентность - сложное высказывание «Л, если и только если В», образованное из высказываний Ли В и разлагающееся на две импликации: «если А, то В», и «если В, то А». Например: «Треугольник является равносторонним, если и только если он является равноугольным». Термином «эквивалентность» обозначается и связка «..., если и только если...», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «если и только если» для этой цели могут использоваться «в том и только в том случае, когда», «тогда и только тогда, когда» и т.п.
Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба составляющих ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т.е. когда они оба истинны или оба ложны. Соответственно эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно.
Высказывания отрицания
Среди высказываний отрицания различают высказывания с внешним и внутренним отрицанием. В зависимости от задач исследования высказывание отрицания можно рассматривать или как простое, или как сложное высказывание.
При рассмотрении высказывания отрицания как простого высказывания важной задачей является определение правильной логической формы высказывания:
Простое высказывание, содержащее внутреннее отрицание, принято относить к отрицательным высказываниям (см. «Виды атрибутивных высказывания по качеству»). Например: «Некоторые жители Республики Беларусь не пользуются банковскими кредитами», «Ни один заяц не является хищником»;
Правильной логической формой простого высказывания с внешним отрицанием является противоречащее данному высказывание (см. «Логические отношения между высказываниями. Логический квадрат»). Например: высказыванию «Не все люди жадные» соответствует высказывание «Некоторые люди не являются жадными ».
Рассматривая высказывание отрицания как сложное высказывание, необходимо определить его логическое значение.
Исходное высказывание: Солнце светит (р).
Высказывание отрицания: Солнце не светит (┐р).
Высказывание двойного отрицания: Неверно, что солнце не светит (┐┐р).
| р | ┐р | ┐┐р |
| И | Л | И |
| Л | И | Л |
| Рис. 16 |
Высказывание отрицание истинно лишь тогда, когда исходное высказывание ложно, и наоборот. С высказыванием отрицания связан закон двойного отрицания: двойное отрицание произвольного высказывания равносильно самому этому высказыванию. Условия истинности высказывания отрицания изображены на рис. 16.
Сложным считается высказывание, состоящее из нескольких простых высказываний, соединенных при помощи логических союзов «и», «или», «если…, то…» и т. д. К сложным высказываниям относят соединительные, разделительные, условные, эквивалентные высказывания, а также высказывания отрицания.
Соединительное высказывание (конъюнкция) – это сложное высказывание, состоящее из простых, соединенных при помощи логической связки «и». Логический союз «и» (конъюнкция) может выражаться в естественном языке грамматическими союзами «и», «но», «однако», «а также» и т. д. Например: «Набежали тучи, и пошел дождь», «И большие и малые радуются хорошему дню» . На символическом языке логики данные высказывания записываются следующим образом: p∧q . Конъюнкция истинна лишь тогда, когда истинны все ее составляющие простые высказывания (рис. 17).
Разделительное высказывание (дизъюнкция). Различают слабую и сильную дизъюнкцию. Слабой дизъюнкции соответствует употребление союза «или» в соединительно-разделительном смысле (или то, или другое, или то и другое вместе). Например: «Этот студент спортсмен или отличник» (p⋁q ), «Наследственные факторы, плохая экология и вредные привычки являются причинами большинства заболеваний» (p⋁q⋁r ). Слабая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в ее состав простых высказываний (см. рис. 17).
Сильной дизъюнкции соответствует употребление союза «либо» в исключающе-разделительном смысле (либо то, либо другое, но не то и другое вместе). Например: «Вечером я буду на занятиях или пойду на дискотеку», «Человек либо жив, либо мертв» . Символическая запись p⊻q . Сильная дизъюнкция истинна тогда, когда истинно только одно из входящих в ее состав простых высказываний (см. рис. 17).
Условное высказывание (импликация) – это сложное высказывание, состоящее из двух частей, соединенных с помощью логического союза «если…, то…». Высказывание, стоящее после частицы «если», называют основанием, а высказывание, стоящее после «то» – следствием. При логическом анализе условных высказываний основание импликации всегда ставится вначале. В естественном языке это правило часто не соблюдается. Пример условного высказывания: «Если ласточки низко летают, то будет дождь» (p→q ). Импликация ложна лишь в одном случае, когда ее основание истинно, а следствие – ложно (см. рис. 17).
Эквивалентное высказывание – это высказывание, состоящее из простых, соединенных с помощью логического союза «тогда и только тогда, когда» («если и только если…, то…). В эквивалентном высказывании подразумевается одновременное наличие или отсутствие двух ситуаций. В естественном языке эквиваленция может выражаться грамматическими союзами «если…, то…», «лишь в том случае, когда…» и т. д. Например: «Наша команда выиграет лишь в том случае, если хорошо подготовится » (p↔q ). Эквивалентное высказывание будет истинным тогда, когда составляющие его высказывания являются либо одновременно истинными, либо одновременно ложными (см. рис. 17).
Для формализации рассуждения необходимо:
1) найти и обозначить малыми согласными буквами латинского алфавита простые высказывания, входящие в состав сложного. Переменные присваиваются произвольно, но если одно и то же простое высказывание встречается несколько раз, то столько же раз используется соответствующая переменная;
2) найти и обозначить логическими константами логические союзы (∧, ⋁, ⊻, →. ↔, ┐);
3) в случае необходимости расставить технические знаки [...], (...).
На рис. 18 изображен пример формализации сложного высказывания.
Я уже освободился (p) и (∧) , если меня не задержат (┐q ) или (⋁)не сломается автомобиль (┐r), то(→) я скоро приеду (s) .
p ∧ ((┐q ⋁ ┐r) → s
Рис. 18
После того как высказывание записано в символическом виде, можно определить тип формулы. В логике различают тождественно-истинные, тождественно-ложные и нейтральные формулы. Тождественно-истинные формулы независимо от значений входящих в их состав переменных всегда принимают значение «истина», а тождественно-ложные – значение «ложно». Нейтральные формулы принимают как значение «истина», так и значение «ложно».
Для определения типа формулы используется табличный способ, сокращенный способ проверки формулы на истинность методом «сведения к абсурду» и приведение формулы к нормальной форме. Нормальной формой некоторой формулы является такое ее выражение, которое соответствует следующим условиям:
Не содержит знаков импликации, эквиваленции, строгой дизъюнкции и двойного отрицания;
Знаки отрицания находятся только при переменных.
Табличный способ определения типа формулы:
1. Строят столбцы входных значений для каждой из имеющихся переменных. Эти столбцы называют свободными (независимыми), в них учитывают все возможные комбинации значений переменных. Если в формуле две переменные, то строят два свободных столбца, если же три переменные, то три столбца и т. д.
2. Для каждой подформулы, то есть части формулы, содержащей хотя бы один союз, строят столбец ее значений. При этом учитываются значения свободных столбцов и особенности логического союза (см. рис. 17).
3. Строят столбец выходных значений для всей формулы в целом. По значениям, полученным в выходном столбце, определяют тип формулы. Так, если в выходном столбце имеется только значение «истина», то формула будет относиться к тождественно-истинным и т.д.
| Таблица истинности для формулы (p ^ q) → r | ||||
| p | q | r | p ^ q | (p ^ q) → r |
| И | И | И | И | И |
| Л | И | Л | Л | И |
| Л | Л | И | Л | И |
| И | Л | Л | Л | И |
| И | И | Л | И | Л |
| И | Л | И | Л | И |
| Л | И | И | Л | И |
| Л | Л | Л | Л | И |
| Рис. 19 |
Число столбцов в таблице равняется сумме переменных, входящих в формулу, и имеющихся в ней союзов. (Например: в формуле на рис. 18 четыре переменных и пять союзов, следовательно, в таблице будет девять столбцов).
Количество строк в таблице вычисляется по формуле С = 2 n , где n – количество переменных. (В таблице по формуле на рис. 18 должно быть шестнадцать строк.)
На рис. 19 изображен пример таблицы истинности.
Сокращенный способ проверки формулы на истинность методом сведения к абсурду:
((p⋁q)⋁r)→(p⋁(q⋁r))
1. Предположим, что данная формула не является тождественно-истинной. Следовательно, при некотором наборе значений она принимает значение «ложно».
2. Данная формула может принимать значение «ложно» только в том случае, если основание импликации (p⋁q)⋁r будет «истинно», а следствие p⋁(q⋁r) – «ложно».
3. Следствие импликации p⋁(q⋁r) будет ложным в том случае, когда р – «ложно» и q⋁r – «ложно» (см. значение слабой дизъюнкции на рис. 17).
4. Если q⋁r – «ложно», то и q и r – «ложно».
5. Мы установили что р – «ложно», q – «ложно» и r – «ложно». Основание импликации (p⋁q)⋁r представляет собой слабую дизъюнкцию этих переменных. Так как слабая дизъюнкция принимает значение «ложно» тогда, когда ложными являются все ее составляющие, то основание импликации (p⋁q)⋁r тоже будет «ложным».
6. В п. 2 установили, что основание импликации (p⋁q)⋁r – «истинно», а в п. 5 что оно является «ложным». Возникшее противоречие свидетельствует о том, что предположение, сделанное нами в п. 1, ошибочно.
7. Так как данная формула ни при каком наборе значений своих переменных не принимает значение «ложно», то она является тождественно-истинной.
3.8. Логические отношения между высказываниями
(логический квадрат)
Между высказываниями, имеющими сходный смысл, устанавливаются связи. Рассмотрим отношения между простыми и сложными высказываниями.
В логике всю совокупность высказываний разделяют на сравнимые и несравнимые. Несравнимыми среди простых высказываний являются высказывания, имеющие различные субъекты или предикаты. Например: «Все студенты – учащиеся» и «Некоторые студенты – отличники» .
Сравнимыми являются высказывания с одинаковыми субъектами и предикатами и различающиеся связкой и квантором. Например: «Все граждане Республики Беларусь имеют право на отдых» и «Ни один гражданин Республики Беларусь не имеет право на отдых».
|
Среди сравнимых высказываний различают совместимые и несовместимые.
Отношение совместимости
1. Эквивалентность (полная совместимость) – высказывания, которые имеют одинаковые логические характеристики: одинаковые субъекты и предикаты, однотипную утвердительную или отрицательную связку, одну и ту же логическую характеристику. Эквивалентные высказывания различаются словесным выражением одной и той же мысли. С помощью логического квадрата отношения между данными высказываниями не иллюстрируются.
2. Частичная совместимость (подпротивность, субконтрарность ). В этом отношении находятся частноутвердительное и частноотрицательное высказывания (I и О). Это означает, что два таких высказывания могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то второе обязательно истинно. Если же одно из них истинно, то второе неопределенно.
3. Подчинение (субординация ). В этом отношении находятся общеутвердительное и частноутвердительное высказывания (А и I), а также общеотрицательное и частноотрицательное высказывания (Е и О).
Из истинности общего высказывания всегда следует истинность частного. В то время как истинность частного высказывания свидетельствует о неопределенности общего высказывания.
Из ложности частного высказывания всегда следует ложность общего высказывания, но не наоборот.
Отношение несовместимости. Несовместимыми являются высказывания, которые не могут быть одновременно истинными:
1. Противоположность (противность, контрарность) – в этом отношении находятся общеутвердительное и общеотрицательное высказывания (А и Е). Это отношение означает, что два таких высказывания не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Если одно из них истинно, то второе обязательно – ложно. Если же одно из них ложно, то второе неопределенно.
2. Противоречие (контрадикторность) – в нем находятся обще-утвердительное и частноотрицательное высказывания (A и О), а также общеотрицательное и частноутвердительное высказывания (Е и I). Два противоречащих высказывания не могут быть ни одновременно ложными, ни одновременно истинными. Одно обязательно истинно, а другое ложно.
Сравнимыми среди сложных высказываний являются высказывания, имеющие хотя бы одну одинаковую составляющую. В противном случае сложные высказывания несравнимы.
Сравнимые сложные высказывания могут быть совместимыми или несовместимыми.
Отношение совместимости означает, что высказывания могут быть одновременно истинными:
| p | q | p→q | q→p |
| И | И | И | И |
| И | Л | Л | И |
| Л | И | И | Л |
| Л | Л | И | И |
| Рис. 22 |
| 3. Отношение следования (подчинения ) означает, что из истинности одного высказывания следует истинность другого, но не наоборот (рис. 23). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. Отношение сцепления означает, что истинность (ложность) одного высказывания не исключает ложности (истинности) другого (рис. 24). |
|
Отношение несовместимости означает, что высказывания не могут быть одновременно истинными:
| p | q | p→q | p∧┐q |
| И | И | И | Л |
| И | Л | Л | И |
| Л | И | И | Л |
| Л | Л | И | Л |
| Рис. 26 |
Каждый человек это индивидуальность с различными параметрами, которые словно компьютерная начинка, может выполнять различные операции за разное время. Человек конечно не компьютер, он намного круче, даже если это самый современный комп.
В каждом человеке заложено определенное зерно, это называется зерно истины, если человек будет ухаживать и лелеять за зерном внутри себя, то вырастет превосходный урожай, который будет радовать его!
Вы понимаете что зерно – это наша душа, что бы чувствовать душу, нужно обладать какими либо сверхчувственными способностями.
Другой пример — Человек ежедневно вырабатывает породу, оставляя только драгоценные камни. Если конечно знает как выглядят драгоценные камни, а если же перебирает только руду, пропуская алмазы и другие драгоценные камни, считая что это просто камни, то этот человек имеет проблемы по жизни.
Жизнь такая штука, она подобно человеку, который перелопачивает руду, что бы найти алмазы! Что такое алмазы? Это мотивация которая дает нам действовать в этом мире, но запалы мотивации постоянно тают, нужно заправлять свою мотивацию, что бы продолжать действовать эффективно. Из чего рождается мотивация? Краеугольный камень – это информация, правильная информация это подобно сжатой пружине, если ее принимаем правильно, пружина разжимается и выстреливает точно в цель и мы очень быстро добегаем до цели. Если мы относимся неправильно к мотивации, то почему, то пружина выстреливает в лоб. Почему так происходит? Потому что наше внутреннее намерение, является основой, для чего мы действуем, что мы хотим получить и не принесет ли вред окружающим наши мотивированные действия!
Я в данной статье собрал самые мотивационные цитаты и статусы, как говорится всех времен и народов. Но конечно делать выбор Вам, что Вас больше всего зацепит. А пока устраиваемся поудобнее, делаем очень умное лицо, отключаем все средства коммуникации и просто наслаждаемся мудростью поэтов, артистов и просто сантехников возможно!
У
мные и мудрые цитаты и высказывания о жизни
Обладать знанием не достаточно, необходимо его применять. Желать – не достаточно, необходимо действовать.
А я стою на правильном пути. Стою. А надо бы идти.
Работа над собой - самая тяжелая работа, поэтому ей занимаются немногие.
Жизненные обстоятельства формируются не только конкретными поступками, но и характером мыслей человека. Если вы настроены враждебно по отношению к миру, он будет отвечать вам тем же. Если вы постоянно выражаете свое недовольство, поводов для этого будет все больше. Если в вашем отношении к действительности преобладает негативизм, тогда мир будет поворачиваться к вам своей худшей стороной. И напротив, позитивное отношение будет самым натуральным образом изменять вашу жизнь к лучшему. Человек получает то, что выбирает. Такова реальность, нравится вам это или нет.
Из того, что вы обижены, еще не следует, что вы правы.Рикки Жерве
Год за годом, месяц за месяцем, день за днем, час за часом, минута за минутой и даже секунда за секундой – время бежит, не останавливаясь ни на мгновенье. Никакая сила не способна прервать этот бег, это не в нашей власти. Все, что мы можем – проводить время с пользой, конструктивно, или же тратить его впустую, во вред. Этот выбор за нами; решение в наших руках.
Ни при каких обстоятельствах не следует терять надежду. Чувство отчаяния - вот истинная причина неудач. Помните вы можете преодолеть любую трудность.
Человек устроен так, что когда что-то зажигает его душу - всё становится возможным. Жан де Лафонтен
Всё что сейчас с вами происходит, вы создали когда-то сами. Вадим Зеланд
Внутри нас есть много ненужных привычек и дел, на которые мы тратим время, мысли, энергию и которые не дают нам расцвести. Если мы будем регулярно отбрасывать все лишнее, то освободившееся время и энергия помогут нам в достижении истинных желаний и целей. Удаляя все старое и бесполезное в своей жизни, мы даем возможность расцвести сокрытым в нас талантам и чувствам.
Мы – рабы своих привычек. Измени свои привычки, изменится твоя жизнь.Роберт Кийосаки
Человек, которым вам суждено стать – это только тот человек, которым вы сами решите стать.Ральф Уолдо Эмерсон
Волшебство – это вера в себя. И когда тебе это удается, то удается и все остальное.
В паре каждый должен развить в себе способность ощущать вибрации другого, у них должны появиться общие ассоциации и общие ценности, умение слышать то, что важно для другого, и какая-то взаимная договоренность о том, как поступать, когда те или иные ценности у них не совпадают.Сальвадор Минухин
Каждый человек может быть магнетически привлекателен и невероятно красив. Истинная красота – это внутренне сияние Души человека.
Я очень ценю две вещи - душевную близость и способность доставлять радость.Ричард Бах
Борьба с другими только уловка, чтобы избежать внутренней борьбы.Ошо
Когда человек начинает жаловаться или придумывать оправдание своим неудачам, он начинает постепенно деградировать.
Хороший жизненный девиз – помоги себе сам.
Мудр не тот, кто знает много, а тот, чьи знания полезны.Эсхил
Некоторые люди улыбаются потому, что улыбаешься ты. А некоторые - для того, чтобы ты улыбнулся.
Кто царствует внутри самого себя и управляет своими страстями, желаниями и опасениями, тот более чем царь. Джон Мильтон
Каждый мужчина в итоге выбирает ту женщину, которая верит в него больше, чем он сам.
Ты однажды присядь и послушай, что же хочет твоя душа?
Мы так часто не слушаем душу, по привычке куда-то спеша.
Вы там, где вы есть, и тот, кто вы есть, из-за того, как вы себя воспринимаете. Измените мнение о себе, и вы измените вашу жизнь. Брайан Трейси
Жизнь - это три дня вчера, сегодня и завтра. Вчера уже прошло и ты ничего в нем не изменишь, завтра еще не наступило. Поэтому постарайся сегодня поступить достойно, чтобы не сожалеть.
Истинно благородный человек не рождается с великой душой, но сам себя делает таковым великолепными своими делами.Франческо Петрарка
Всегда подставляйте свое лицо солнечному свету и тени будут позади Вас, Уолт Уитмен
Единственный, кто поступал разумно, был мой портной. Он снимал с меня мерку заново каждый раз, когда видел меня. Бернард Шоу
Люди никогда полностью не используют своих собственных сил для достижения блага в жизни, потому что надеются на некоторую внешнюю для себя силу – надеются, что она сделает то, за что они сами ответственны.
Никогда не возвращайся в прошлое. Оно убивает твое драгоценное время. Не стой на месте. Люди, которым ты нужен, тебя догонят.
Пора вытряхивать плохие мысли из головы.
Если ты ищешь плохое, ты обязательно найдешь его, и не будешь замечать ничего хорошего. Поэтому если всю свою жизнь ты будешь ждать и готовиться к худшему – оно обязательно произойдет, и ты не будешь разочарован в своих страхах и опасениях, находя им все новые и новые подтверждения. Но если ты будешь надеяться и готовиться к лучшему, ты не будешь притягивать плохое в свою жизнь, а просто рискуешь всего лишь иногда быть разочарованным – жизнь невозможна без разочарований.
Ожидая худшее, ты его и получаешь, упуская из жизни все то хорошее, что в ней на самом деле есть. И наоборот ты можешь приобрести такую силу духа, благодаря которой в любой стрессовой, критической ситуации в жизни, ты будешь видеть ее положительные стороны.
Как часто, по глупости или лени, упускают люди свое счастье.
Многие привыкли существовать, откладывая жизнь на завтра. Они держат в уме грядущие года, когда они будут творить, созидать, делать, познавать. Они думают, что у них впереди полно времени. Это самая грандиозная ошибка, которую только можно совершить. Времени, на самом деле, у нас крайне мало.
Запомните чувство, которое вы испытываете, делая первый шаг, каким бы он ни оказался, в любом случае будет намного лучше, чем то чувство, которое вы испытываете, просто сидя на месте. Так что вставайте и сделайте хоть что-нибудь. Сделайте первый шаг – просто крохотный шаг вперед.
Обстоятельства не имеют никакого значения. Бриллиант, брошенный в грязь не перестает быть бриллиантом. Сердце, наполненное красотой и величием способно пережить голод, холод, предательства и всевозможные потери, но остаться собой, оставаться любящим и стремящимся к великим идеалам. Не верь обстоятельствам. Верь в свою мечту.
Будда описывал три вида лени Первая - та лень, о которой мы все знаем. Когда у нас нет желания что-либо делать.Вторая - это лень неправильного ощущения самого себя - лень мышления. «Я никогда ничего не сделаю в жизни», «У меня ничего не получается, не стоит и пробовать».Третья - постоянная занятость несущественными делами. У нас всегда есть возможность заполнить вакуум нашего времени поддерживая свою «занятость». Но, обычно, это просто способ избежать встречи с самим собой.
Как бы ни были прекрасны ваши слова, оценивать вас будут по вашим поступкам.
Не зацикливайтесь на прошлом, вас там больше не будет.
Да будет тело твоё в движении, ум твой – в покое, а душа прозрачна, как горное озеро.
Кто не мыслит позитивно - тому в жизни жить противно.
Не приходит счастье в дом, там, где ноют день за днем.
Иногда, тебе просто нужно отдохнуть и напомнить себе, кто ты есть и кем ты хочешь быть.
Главное в жизни - научиться все повороты судьбы превращать в зигзаги удачи.
Не позволяй выходить из тебя тому, что может причинить вред другим. Не впускай в себя то, что может причинить вред тебе.
Из всякого трудного положения сейчас же выйдешь, если только вспомнишь, что живешь не телом, а душою, вспомнишь, что в тебе есть то, что сильнее всего на свете. Лев Толстой
Статусы про жизнь. Мудрые высказывания.
Будь честен даже наедине с собою. Честность делает человека цельным. Когда человек думает, говорит и делает одно и то же, то его силы утраиваются.
В жизни главное – найти себя, своё и своих.
В ком правды нет, в том и добра мало.
В молодости ищем красивое тело, с годами - родную душу. Вадим Зеланд
Важно то, что человек делает, а не то, что он хотел сделать.Вильям Джеймс
Все в этой жизни возвращается бумерангом, не сомневайся.
Все препятствия и трудности – это ступени, по которым мы растем ввысь.
Все умеют любить, ибо получают этот дар при рождении.
Все, чему ты уделяешь внимание – растет.
Все, что человек как ему кажется, говорит о других, – он на самом деле говорит о себе.
Входя дважды в одну и ту же воду, не забывайте о том, что заставило вас выйти оттуда в первый раз.
Вы думаете, что это всего лишь очередной день вашей жизни. Это не просто очередной день это и есть тот самый единственный день, который вам дан сегодня.
Выйди из орбиты времени и войди в орбиту любви. Гуго Винклер
Даже несовершенства могут нравиться, если в них проявилась душа.
Даже разумный человек будет глупеть, если он не будет самосовершенствоваться.
Дай нам силы утешать, а не быть утешаемыми; понимать, а не быть понятыми; любить, а не быть любимыми. Ибо, когда отдаем, получаем мы. И, прощая, обретаем себе прощение.
Двигаясь по дороге жизни, вы сами творите свою вселенную.
Девиз дня у меня все хорошо, а будет еще лучше! Джулиана Вильсон
Дороже твоей души нет ничего на свете.Дэниел Шеллабаргер
Если внутри — агрессия, жизнь будет «нападать» на вас.
Если внутри у вас желание бороться, вы получите соперников.
Если внутри у вас обида, жизнь будет давать поводы обижаться еще больше.
Если внутри у вас страх, жизнь будет пугать вас.
Если внутри у вас чувство вины, жизнь найдет способ вас «наказать».
Если плохо мне, то это не причина, чтобы доставлять страдания другим.
Если тебе когда-нибудь захочется найти такого человека, который сможет одолеть любую, даже самую тяжелую беду и сделать тебя счастливым, когда этого не может больше никто, ты просто посмотри в зеркало и скажи «Привет».
Если тебе что-то не нравится - измени это. Если тебе не хватает времени - перестань пялиться в телевизор.
Если ты ищешь Любовь своей жизни - перестань. Она найдет тебя тогда, когда ты будешь заниматься только тем, что ты любишь. Открой свою голову, руки и сердце для нового. Не бойся спрашивать. И не бойся отвечать. Не бойся делиться мечтой. Многие возможности появляются лишь однажды. Жизнь - это люди на твоем пути и то, что ты создаешь вместе с ними. Так что начни создавать. Жизнь - это очень быстро. Самое время начать.
Если ты движешься в правильном направлении, то ты почувствуешь это сердцем.
Если ты зажжешь свечу для кого-то, это осветит и твой путь тоже.
Если ты хочешь, чтобы вокруг тебя были хорошие, добрые люди, - попробуй относиться к ним внимательно, ласково, вежливо - увидишь, что все станут лучше. Все в жизни зависит от тебя самого, поверь мне.
Если человек захочет, гору на гору поставит
Жизнь вечное движение, постоянное обновление и развитие, из поколения в поколение, от младенчества до мудрости, движение разума и сознания.
Жизнь видит вас таким, какой вы изнутри.
Зачастую человек, потерпевший поражение, узнает о том, как побеждать больше, чем тот, к кому успех приходит сразу.
Злость – самая бесполезная из эмоций. Разрушает мозг и вредит сердцу.
Злых людей я почти совсем не знаю. Однажды я встретил одного, которого я испугался и подумал, что он злой; но когда я его внимательнее рассмотрел, он всего лишь был несчастным.
И все это с одной целью показать вам то, чем вы являетесь, что носите в душе.
Каждый раз когда вы хотите отреагировать привычным старым способом, спросите себя, хотите ли вы быть пленником прошлого или пионером будущего.
Каждый является звездой и заслуживает право на сияние.
Какова бы ни была ваша проблема, ее причина кроется в вашем стереотипе мышления, а любой стереотип можно изменить.
Когда не знаешь как поступить – поступи по-человечески.
Любая трудность дарит мудрость.
Любой вид взаимоотношений – как песок, который вы держите в руке. Держите свободно, в открытой руке – и песок остается в ней. В тот момент, когда вы сожмете крепко руку, песок начнет высыпаться сквозь ваши пальцы. Таким образом вы можете удержать немного песка, но большая часть просыплется. Во взаимоотношениях – точно так же. Относитесь к другому человеку и его свободе бережно и с уважением, оставаясь близкими. Но если сожмете слишком сильно и с претензией на обладание другим человеком – взаимоотношения испортятся и рассыплются.
Мера душвного здоровья – это готовность во всем находить хорошее.
Мир полон подсказок, будьте внимательны к знакам.
Мне не понятно лишь одно, как я, как мы все, умудряемся заполнить свою жизнь таким количеством хлама, сомнениями, сожалениями, прошлым, которого уже нет, и будущим, которое еще не случилось, страхами, которые, скорее всего, никогда не сбудутся, если все настолько очевидно просто.
Много говорить и много сказать не есть одно и то же.
Мы видим все не таким, каким оно есть – мы видим все таким, какие мы есть.
Мысли положительно, если не получается положительно – не мысли. Мэрилин Монро
Найдите тихий мир в своей голове и любовь в вашем сердце. И независимо от того, что происходит вокруг, не позволяйте ничему изменить эти две вещи.
Не все наши приводят к положительным изменениям в нашей жизни, но безусловно нельзя добиться счастья ничего не делая.
Не позволяйте шуму чужих мнений перебивать ваш внутренний голос. Имейте храбрость следовать сердцу и интуиции.
Не превращайте свою книгу жизни в жалобную.
Не спеши прогонять от себя моменты одиночества. Быть может, это самый большой дар Вселенной – оградить тебя ненадолго от всего лишнего, чтобы позволить тебе стать самим собой.
Невидимой красной нитью соединены те, кому суждено встретиться, несмотря на время, место и обстоятельства. Нить может растянуться или спутаться, но никогда не порвется.
Нельзя отдать то, чего не имеешь. Нельзя сделать других людей счастливыми, если ты сам несчастен.
Нельзя победить того, кто не сдается.
Нет иллюзий – нет и разочарований. Нужно поголодать, чтобы оценить пищу, испытать холод, чтобы понять благо тепла, и побывать ребенком, чтобы увидеть ценность родителей.
Нужно уметь прощать. Многие считают, что прощение – это признак слабости. Но слова «я прощаю тебя» вовсе не означают - «я слишком мягкий человек, поэтому не могу обижаться и ты и дальше можешь портить мою жизнь, я не скажу тебе ни единого слова», они означают – «я не позволю прошлому портить свое будущее и настоящее, поэтому прощаю тебя и отпускаю все обиды.»
Обиды – как камни. Не копи их в себе. Иначе упадешь под их тяжестью.
Однажды на уроке социальных проблем наш профессор поднял черную книгу и сказал эта книга красная.
Одной из главных причин апатии является отсутствие цели в жизни. Когда не к чему стремиться, наступает упадок сил, сознание погружается в сонное состояние. И напротив, когда есть желание чего-то добиться, энергия намерения активизируется и жизненный тонус повышается. Для начала за цель можно взять самого себя – заняться собой. Что может принести вам самоуважение и удовлетворение? Есть много путей самосовершенствования. Можно поставить себе цель добиваться улучшения в каком-либо одном или нескольких аспектах. Вам лучше знать, что принесет удовлетворение. Тогда и вкус к жизни появится, и все остальное наладится автоматически.
Он повернул книгу, а её задняя обложка оказалась красной. И тогда он сказал «Не говорите кому-то, что он не прав, до того момента, пока не посмотрите на ситуацию с его точки зрения».
Пессимист – это человек, который жалуется на шум, когда к нему в дверь стучится удача. Петр Мамонов
Подлинная духовность не навязывается - ей очаровываются.
Помните, иногда тишина - самый лучший ответ на вопросы.
Портит людей не бедность или богатство, а зависть и жадность.
Правильность пути, который ты выбираешь, определяется тем, насколько ты счастлив, идя по нему.
Мотивирующие цитаты
Прощение не меняет прошлого, но освобождает будущее.
Речь человека - зеркало его самого. Всё фальшивое и лживое, как бы мы ни пытались скрыть это от других, вся пустота, черствость или грубость прорываются в речи с такой же силой и очевидностью, с какой проявляются искренность и благородство, глубина и тонкость мыслей и чувств.
Самое главное – это гармония в твоей душе, ибо она способна создавать счастье из ничего.
Слово «невозможно» блокирует ваш потенциал, в то время как вопрос «Как мне это сделать?» заставляет мозг работать на полную катушку.
Слово должно быть верным, действие должно быть решительным.
Смысл жизни в силе стремления к цели, и нужно, чтобы каждый момент бытия имел свою высокую цель.
Суета ещё никого и никогда не приводила к успеху. Чем больше покоя в душе, тем легче и быстрее решаются все вопросы.
Существует достаточно света для тех, кто хочет видеть, и достаточно мрака для тех, кто не хочет.
Существует один способ учиться – реальное действие. Праздные разговоры бессмысленны.
Счастье – не одежда, которую можно купить в магазине или пошить в ателье.
Счастье – это внутренняя гармония. Добиться её извне невозможно. Только изнутри.
Тёмные тучи превращаются в небесные цветы, когда их поцелует свет.
То, что вы говорите о других, характеризует не их, а вас.
То, что есть в человеке, несомненно, важнее того, что есть у человека.
Тот, кто может быть нежным, обладает большой внутренней силой.
Ты волен делать что угодно - только не забывай о последствиях.
У него всё получится’ – тихо сказал Бог.
У него нет шансов – громко заявили обстоятельства.Уильям Эдвард Хартпол Леки
Хочешь жить в этом мире - живи и радуйся, а не ходи с недовольным лицом, что мир несовершенен. Мир создаешь ты - в своей голове.
Человек может все. Только ему обычно мешают лень, страх и низкая самооценка.
Человек способен изменить свою жизнь, меняя всего лишь свою точку зрения.
Что мудрец делает в начале, то глупый делает в конце.
Чтобы стать счастливым, надо избавиться от всего лишнего. От лишних вещей, лишней суеты, а самое главное – от лишних мыслей.
Я - не тело, наделенное душой, я - душа, часть которой видима и называется телом.
