На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Разложение корня на множители
Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель - упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде.
Определение 1
Разложение квадратного корня на множители - нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16.
Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:
Пример 1
Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.
Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.
Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.
Например, можно упростить таким способом 98: = 98 ÷ 2 = 49 . Из этого следует, что 2 × 49 = 98 , поэтому можно переписать задачу следующим образом: 98 = (2 × 49) .
Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.
Возьмем наш пример (2 × 49) :
Поскольку 2 уже и так максимально упрощено, необходимо упростить 49 . Ищем простое число, на которое можно разделить 49 . Очевидно, что ни 3 , ни 5 не подходят. Остается 7: 49 ÷ 7 = 7 , поэтому 7 × 7 = 49 .
Записываем пример в следующем виде: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .
Упростите выражение с квадратным корнем.
Поскольку в скобках у нас произведение 2 и двух одинаковых чисел (7) , то мы можем вынести за знак корня число 7 .
Пример 2
(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .
В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.
Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.
В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.
Пример 3
180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45
но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.
180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5
Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.
Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.
Пример 4
70 = 35 × 2 , поэтому 70 = (35 × 2)
35 = 7 × 5 , поэтому (35 × 2) = (7 × 5 × 2)
Как видим, все три множителя - простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить 70 нельзя.
Полный квадрат
Запомните несколько квадратов простых чисел.
Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.
Пример 5
1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100
В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата.
Сложно? Нет:
Пример 6
1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10
Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.
Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:
Пример 7
50 = (25 × 2) = 5 2 . Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.
1700 = (100 × 17) = 10 17 . Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.
72 = (9 × 8) = 3 8 . Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.
Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.
Пример 8
72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Треугольник ABC – прямоугольный (рис. 11), C = 90°, СD перпендикулярна АВ, ВD и DА – проекции катетов ВС и АС на гипотенузу АВ. Теоремы: 1) высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, т.е. ; 2) каждый катет – средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, т. е. , .
Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
|
|
Теорема. Если через точку, взятую внутри
круга, проведены диаметр и произвольная хорда,
то произведение длин отрезков диаметра рав-
но произведению длин отрезков хорды, т.е. (рис. 12).
|
Следствие. Произведения длин отрезков пересекающихся хорд равны, т.е.
Теорема. Если из точки вне круга проведены касательная и се-кущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной, т.е. (рис. 13).
|
Определения. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе, косинусом – отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенсом отношение противолежащего катета к прилежащему, котангенсом – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Из точки А вне окружности проведены касательная и секущая. Расстояние от А до точки касания 16 см, а от А до одной из точек пересечения секущей с окружностью 32 см. Найдите радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.
|
На рис. 14 АВ – касательная к окружности с центром O, AD – се-кущая. OK перпендикулярна DC, АВ = 16 см, АD = 32 см, OК = 5 см. По теореме о касательной и секущей или , АС = 8 см. см. По теореме о хордах, пересекающихся внутри круга, , но DK = KC, так как EP – диаметр, перпендикулярный хорде DС. Получим . Заменим в этом равенстве ЕК на , КР на , DК на 12, получим: OE = 13 см – искомый радиус.
104. Стороны прямоугольника 30 и 40 см. Найдите расстояние
от вершины прямоугольника до диагонали, не проходящей через эту вершину.
105. Периметр ромба равен 1 м. Одна диагональ длиннее другой на
1 дм. Вычислите диагонали ромба.
В круге по разные стороны от центра проведены параллельные хорды длиной 36 и 48 мм, расстояние между ними 42 мм. Вычислите радиус круга.
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5: 6, гипотенуза 122 см. Найдите отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.
Касательная и секущая, проведенные из одной точки к окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12, внутренняя часть секущей равна 10. Найдите радиус окружности.
К окружности с радиусом 7 см проведены две касательные из одной точки, удаленной от центра на 25 см. Найдите расстояние между точками касания.
Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм, хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Найдите радиусы окружностей.
Радиус окружности 7 см. Из точки, удаленной от центра на
9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью на равные части. Найдите длину этой секущей.
Касательная к окружности равна 20 см, а наибольшая секущая, проведенная из той же точки, равна 50 см. Найдите радиус.
Из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, длина которой а, а её внутренний отрезок больше внешнего на длину касательной. Найдите длину касательной.
В круг радиусом R вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Найдите высоту треугольника.
В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 48 и 30 дм. Вычислите радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.
Рассмотрим сначала секущую АС, проведенную из внешней по отношению к данной окружности точки А (рис. 288). Из той же точки проведем касательную АТ. Будем называть отрезок между точкой А и ближайшей к ней точкой пересечения с окружностью внешней частью секущей (отрезок АВ на рис. 288), отрезок же АС до более далекой из двух точек пересечения - просто секущей. Отрезок касательной от А до точки касания также коротко называем касательной. Тогда справедлива
Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Доказательство. Соединим точку . Треугольники ACT и ВТ А подобны, так как угол при вершине А у них общий, а углы ACT и равны, поскольку оба они измеряются половиной одной и той же дуги ТВ. Следовательно, Отсюда получаем требуемый результат:
Касательная равна среднему геометрическому между секущей, проведенной из той же точки, и ее внешней частью.
Следствие. Для любой секущей, проведенной через данную точку А, произведение ее длины на внешнюю часть постоянно:
Рассмотрим теперь хорды, пересекающиеся во внутренней точке. Справедливо утверждение:
Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (имеются в виду отрезки, на которые хорда разбивается точкой пересечения).
Так, на рис. 289 хорды АВ и CD пересекаются в точке М, и мы имеем Иначе говоря,
Для данной точки М произведение отрезков, на которые она разбивает любую проходящую через нее хорду, постоянно.
Для доказательства заметим, что треугольники МВС и MAD подобны: углы СМВ и DMA вертикальные, углы MAD и МСВ опираются на одну и ту же дугу. Отсюда находим
что и требовалось доказать.
Если данная точка М лежит на расстоянии l от центра, то, проведя через нее диаметр и рассматривая его как одну из хорд, найдем, что произведение отрезков диаметра, а значит, и любой другой хорды, равно Оно же равно квадрату минимальной полухорды (перпендикулярной к указанному диаметру), проходящей через М.
Теорема о постоянстве произведения отрезков хорды и теорема о постоянстве произведения секущей на ее внешнюю часть суть два случая одного и того же утверждения, различие состоит лишь в том, проводятся ли секущие через внешнюю или внутреннюю точку круга. Теперь можно указать еще один признак, отличающий вписанные четырехугольники:
Во всяком вписанном четырехугольнике произведения отрезное, на которые разбиваются диагонали точкой их пересечения, равны.
Необходимость условия очевидна, так как диагонали будут хордами описанной окружности. Можно показать, что это условие также и достаточно.
Математика. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия
ГЕОМЕТРИЯ: Планиметрия
10. Теоремы о пропорциональных линиях
Теорема. Стороны угла пересекаются рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.
Доказательство. Требуется доказать, что 
Проведя вспомогательные прямые DM,EN,... параллельные ВА, мы получим треугольники, которые подобны между собой, так как углы у них соответственно равны (вследствие параллельности прямых). Из их подобия следует:
Заменив в этом ряду равных отношений отрезок DM на D"E" , отрезок EN на E"F" (противоположные стороны параллелограмма) , мы получим то, что требовалось доказать.
Теорема. Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
.Обратная теорема. Если какая-нибудь сторона треугольника разделена на две части, пропорциональные двум прилежащим сторонам этого треугольника, то прямая, соединяющая точку деления с вершиной противолежащего угла, есть биссектриса этого угла
.Теорема. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в некоторой точке, то расстояния от этой точки до концов продолженной стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника
.Числовые зависимости между элементами треугольника.
Теорема. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком
.Доказательство. Требуется доказать следующие три пропорции: 1) BD:AD=AD:DC, 2) BC:AB=AB:DB, 3) BC:AC=AC:DC.
1) Треугольники ABD и ADC подобны, так как
Р 1=Р 4 и Р 2=Р 3 (так как их стороны перпендикулярны), следовательно BD:AD=AD:DC.2) Треугольники ABD и AВC подобны, так как они прямоугольные и угол В у них общий, следовательно BC:AB=AB:DB.
3) Треугольники ABС и ADC подобны, так как они прямоугольные и угол С у них общий, следовательно BC:AC=AC:DC.
Следствие. Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, есть средняя пропорциональная между отрезками диаметра, а хорда, соединяющая эту точку с концом диаметра, есть средняя пропорциональная между диаметром и прилежащим к хорде отрезком его
.Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
.Следствие. Квадраты катетов относятся между собой как прилежащие отрезки гипотенузы
.Теорема. Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного
произведения какой-нибудь из этих сторон на отрезок её от вершины острого угла до высоты .Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
.Пропорциональные линии в круге.
Теорема. Если через точку, взятую внутри круга, проведены какая-нибудь хорда и диаметр, то произведение отрезков хорды равно произведению отрезков диаметра .Следствие. Если через точку, взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд, то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд.
Теорема. Если из точки, взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая и касательная, то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной
.Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0
Использование материалов сайта возможно при условии указания активной ссылки
