Производные тригонометрических функций. Производная косинуса: (cos x)′. Производная логарифмической функции

Найти производную.

Вариант 1.

Вариант 2.

у = 2х + 5.

у = 2х – 5.

у = 4cos х .

у = 3sin х .

у = tg х + ctg х .

у = tg х – ctg х .

у = sin 3х .

у = cos 4х .

Варианты ответов.

– 4sin х

– 3cos х

1/cos 2 х + 1/sin 2 х

1/cos 2 х –1/sin 2 х

1/sin 2 х –1/cos 2 х

– 4sin4х

– 3cos3х

f (x ) = sin x + cos x

f (x ) = sin 2x – x

f (x ) = 2x + cos(4x – )

Вариант 1

Вариант 2

y = 2х 3

y = 3х 2

y = 1/4 х 4 + 2х 2 – 7

y = 1/2 х 4 + 4х + 5

y = х 3 + 4х 2 – 3х .
Решить уравнение y " = 0

y = 2х 3 – 9х 2 + 12х + 7.
Решить уравнение y " = 0.

y = sin 2х – cos 3х .

y = cos 2х – sin 3х .

y = tg х – ctg(х + /4).

y = ctg х + tg(х – /4).

y = sin 2 х .

y = cos 2 х .

Варианты ответов.

Представлено доказательство и вывод формулы для производной косинуса - cos(x). Примеры вычисления производных от cos 2x, cos 3x, cos nx, косинуса в квадрате, в кубе и в степени n. Формула производной косинуса n-го порядка.

Производная по переменной x от косинуса x равна минус синусу x:
(cos x)′ = - sin x .

Доказательство

Чтобы вывести формулу производной косинуса, воспользуемся определением производной:
.

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим законам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Тригонометрические формулы . Нам понадобится следующая формула:
(1) ;
2) Свойство непрерывности функции синус:
(2) ;
3) Значение первого замечательного предела:
(3) ;
4) Свойство предела от произведения двух функций:
Если и , то
(4) .

Применяем эти законы к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(1) ;
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.

Сделаем подстановку . При , . Используем свойство непрерывности (2):
.

Сделаем такую же подстановку и применим первый замечательный предел (3):
.

Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):

.

Тем самым мы получили формулу производной косинуса.

Примеры

Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих косинус. Найдем производные от следующих функций:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x ; y = cos 3 x и y = cos n x .

Пример 1

Найти производные от cos 2x, cos 3x и cos nx .

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = cos nx . Затем, в производную от cos nx , подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от cos 2x и cos 3x .

Итак, находим производную от функции
y = cos nx .
Представим эту функцию от переменной x как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)
2)
Тогда исходная функция является сложной (составной) функцией, составленной из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем .
.
Подставим :
(П1) .

Теперь, в формулу (П1) подставим и :
;
.

Ответ

;
;
.

Пример 2

Найти производные от косинуса в квадрате, косинуса в кубе и косинуса в степени n:
y = cos 2 x ; y = cos 3 x ; y = cos n x .

Решение

В этом примере также функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от самой общей функции - косинуса в степени n:
y = cos n x .
Затем подставим n = 2 и n = 3 . И, тем самым, получим формулы для производных от косинуса в квадрате и косинуса в кубе.

Итак, нам нужно найти производную от функции
.
Перепишем ее в более понятном виде:
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из двух функций и :
.

Находим производную от функции по переменной x:
.
Находим производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции .
.
Подставим :
(П2) .

Теперь подставим и :
;
.

Ответ

;
;
.

Производные высших порядков

Заметим, что производную от cos x первого порядка можно выразить через косинус следующим образом:
.

Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции :

.
Здесь .

Заметим, что дифференцирование cos x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .

Более строго эту формулу можно доказать с помощью метода математической индукции. Доказательство для n-й производной синуса изложено на странице “Производная синуса ”. Для n-й производной косинуса доказательство точно такое. Нужно только во всех формулах заменить sin на cos.

Из курса геометрии и математики школьники привыкли, что понятие производной доносится до них через площадь фигуры, дифференциалы, пределы функций, а также лимиты. Попробуем посмотреть на понятие производной под другим углом, и определить, как можно увязать производную и тригонометрические функции.

Итак, рассмотрим некую произвольную кривую, которая описывается абстрактной функцией y = f(x).

Представим что график — это карта туристического маршрута. Приращение ∆x (дельта икс) на рисунке — это определенный промежуток пути, а ∆y – это изменение высоты тропы над уровнем моря.
Тогда получается, что отношение ∆x/∆y будет характеризовать сложно маршрута на каждом отрезке пути. Узнав это значение можно с уверенностью сказать крутой ли подъем/спуск, понадобится ли альпинистское снаряжение и нужна ли туристам определенная физическая подготовка. Но показатель этот будет справедлив только для одного маленького промежутка ∆x.

Если организатор похода возьмет значения для начальной и конечной точек тропы, то есть ∆x – будет равен длине маршрута, то не сможет получить объективные данные о степени сложности путешествия. Следовательно, необходимо построить еще один график, который будет характеризовать скорость и «качество» изменений пути, другими словами определять отношение ∆x/∆y для каждого «метра» маршрута.

Этот график и будет являться наглядной производной для конкретной тропы и объективно опишет ее изменения на каждом интересующем интервале. Убедиться в этом очень просто, значение ∆x/∆y – есть не что иное, как дифференциал, взятый для конкретного значения x и y. Применим же дифференцирование не определенным координатам, а к функции в целом:

Производная и тригонометрические функции

Тригонометрические функции неразрывно связаны с производной. Понять это можно из следующего чертежа. На рисунке координатной оси изображена функция Y = f (x) – синяя кривая.

K (x0; f (x0)) – произвольная точка, x0 + ∆x – приращение по оси OX, а f (x0 + ∆x) – приращение по оси OY в некой точке L.

Проведем прямую через точки K и L и построим прямоугольный треугольник KLN. Если мысленно перемещать отрезок LN по графику Y = f (x), то точки L и N будут стремиться к значениям K (x0; f (x0)). Назовем эту точку условным началом графика — лимитом, если же функция бесконечна, хотя бы на одном из промежутков – это стремление также будет бесконечным, а его предельное значение близким к 0.

Характер данного стремления можно описать касательной к выбранной точке y = kx + b или графиком производной первоначальной функции dy – зеленая прямая.

Но где же здесь тригонометрия?! Все очень просто рассмотрим прямоугольный треугольник KLN. Значение дифференциала для конкретной точки K есть тангенс угла α или ∠K:

Таким образом можно описать геометрический смымсл производной и ее взаимосвязь с тригонометрическими функциями.

Формулы производных для тригонометрических функций

Преобразования синуса, косинуса, тангенса и котангенса при определении производной необходимо заучить наизусть.

Последние две формулы не являются ошибкой, дело в том, что существует разница между определением производной простого аргумента и функции в том же качестве.

Рассмотрим сравнительную таблицу с формулами производных от синису, косинуса, тангенса и котангенса:

Также выведены формулы для производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, хотя они применяются крайне редко:

Стоит отметить, что приведенных формул явно недостаточно для успешного решения типовых заданий ЕГЭ, что будет продемонстрированно при решении конкретного примера поиска производной тригонометрического выражения.

Задание : Необходимо найти производную функции и найти ее значение для π/4:

Решение : Чтобы найти y’ необходимо вспомнить основные формулы преобразования исходной функции в производную, а именно.

Для нахождения производной тригонометрической функции нужно пользоваться таблицей производных , а именно производными 6-13.

При нахождении производных простых тригонометрических функций во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

• в выражении функции часто одно из слагаемых представляет собой синус, косинус или другую тригонометрическую функцию не от аргумента функции, а от числа (константы), поэтому производная этого слагаемого равна нулю;
• почти всегда нужно упростить выражение, полученное в результате дифференцирования, а для этого нужно уверенно пользоваться знаниями по действиям с дробями;
• для упрощения выражения почти всегда нужно знать тригонометрические тождества, например, формулу двойного угла и формулу единицы как сумму квадратов синуса и косинуса .

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Допустим, с производной косинуса всё понятно, скажут многие, начинающие изучать производные. А как быть с производной синуса двенадцати, делённых на пи? Ответ: считать равной нулю! Здесь синус (функция всё-таки!) - ловушка, потому что аргумент - не переменная икс или любая другая переменная, а просто число. То есть, синус этого числа - тоже число. А производная числа (константы), как мы знаем из таблицы производных, равна нулю. Итак, оставляем только минус синус икса и находим его производную, не забывая про знак:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Второе слагаемое - тот же случай, что и первое слагаемое в предыдущем примере. То есть, число, а производная числа равна нулю. Находим производную второго слагаемого как производную частного:

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Это уже другая задача: здесь в первом слагаемом нет ни арксинуса, ни другой тригонометической функции, но есть икс, а значит, это функция от икса. Следовательно, дифференцируем её как слагаемое в сумме функций:

Здесь потребовались навыки в действиях с дробями , а именно - в ликвидации трёхэтажности дроби.

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Здесь буква "фи" играет ту же роль, что "икс" в предыдущих случаях (и в большинстве других, но не во всех) - независимой переменной. Поэтому, когда будем искать производную произведения функций, не будем спешить объявлять равной нулю производную корня от "фи". Итак:

Но на этом решение не заканчивается. Так как в двух скобках собраны подобные члены, от нас ещё требуется преобразовать (упростить) выражение. Поэтому умножаем скобки на вынесенные за них множители, а далее приводим слагаемые к общему знаменателю и выполняем другие элементарные преобразования:

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В этом примере от нас потребуется знание того факта, что существует такая тригонометрическая функция - секанс - и её формулы через косинус. Дифференцируем:

Пример 6. Найти производную функции

.

Решение. В этом примере от нас потребуется помнить из школьного курса формулу двойного угла. Но сначала дифференцируем:

,

(это и есть формула двойного угла)

Рейтинг: