New Page 1

Матричное исчисление для чайников. Урок 1 . Понятие матрицы.

Матричное исчисление (или матричная алгебра) - это раздел математики, который изучает матрицы. Матрицы присутствуют во многих расчетных задачах, например, решение систем линейных уравнений (когда их много), в задачах оптимизации и так далее. Поэтому очень важно знать и понимать этот раздел математики. Итак, сначала мы познакомимся с самим понятием матрицы.

Матрица - это просто таблица чисел. Сама обычная таблица. У нее есть строки и столбцы. Но есть еще и научное определение матрицы, его тоже надо знать. а звучит оно вот так: "Пусть дано некоторое числовое поле K. Тогда прямоугольную таблицу чисел из поля K :

будем называть матрицей ".

Тут использовано еще одно, может быть, незнакомое вам понятие - числовое поле. Давайте и с ним определимся. Итак, числовое поле - это любая совокупность чисел, в пределах которой выполнимы и однозначны четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля. Таким образом, к числовому полю принадлежать все нормальные числа, колесные, кстати, тоже (см. также циклы уроков и )). А вот если кто-нибудь изобретет какие-нибудь "экзотические" числа, для которых не будет хотя бы одного однозначно выполнимого из перечисленных четырех математических операций, то уже нельзя будет сказать, что эти числа принадлежат к числовому полю.

Если говорить простыми словами, то матрицей считается только таблица чисел, а также любых других математических объектов, которые можно нормально складывать, вычитать, умножать и делить. А вот если в таблицу поместить нечто, что нельзя, к примеру, складывать, то это будет уже не матрица. Дело в том, что над матрицами тоже можно делать некоторые математические действия, которые сводятся к действиям над входящими в матрицу числами. А если в матрице будут не числа, а невесть что, например, строки, или какие-нибудь экзотические объекты, то над такой таблицей мы уже не сможем произвести те математические операции, которые можем делать над матрицей.

Итак, давайте еще раз обсудим, что может быть внутри матрицы, а что нет. Могут быть числа, комплексные (так как их можно складывать, вычитать и делить). Могут быть функции и математические выражение, если результатом их вычисления будет число (или комплексное число). Действительно, если у нас есть некая функция и есть некая функция , результат вычисления которых "нормальное" число, то кто нам машет совершить операцию , или, например, ?

Числа n и m - это размеры матрицы, если они одинаковые, то такая матрица называется квадратной . В этом случае число n, равное m, называется порядком матрицы. В общем случае, когда m и n не равны, матрица называется прямоугольной . Числа, входящие в матрицу, называются элементами матрицы .

Рассмотрим, как матрица обозначается. В самом начале урока я показал общее обозначение матрицы. Существует еще упрощенное: , где i=1,2,3...m, j=1,2,3,... n. При двухиндексном обозначении элементов матрицы всегда первый индекс показывает номер строки, а второй - номер столбца.

Матрицу также обозначают одной буквой, например, A. Если A - это квадратная матрица порядка n, то можно записать

У квадратной матрицы может быть определитель. Определитель матрицы обозначают или . До определителей мы еще доберемся, сейчас я лишь вкратце скажу, что это такое. Итак, определитель (или детерминант) - это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. Под транспонированием понимается "переворачивание" матрицы - строки становятся столбцами, а столбцы строками.

Существуют также особые виды матрицы, которые могут иметь отдельные обозначает. В частности, прямоугольную матрицу вида:

или, говоря иными словами, матрицу, состоящую из одного столбца, принято обозначать вот так . Такая матрица называется столбцевой . Матрица бывает также и строчной :

Обозначается она вот так:

Если все элементы квадратной матрицы, кроме главной диагонали, равны нулю:

То такая матрица называется диагональной . Обозначается она вот так.

Матричным уравнением называется уравнение вида

A ⋅ X = B

X ⋅ A = B ,

где A и B - известные матрицы, X - неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

Так как E - единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

X ⋅ A = B ,

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

A ⋅ X ⋅ B = C ,

является

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

A ⋅ X = B A и неизвестной матрицы X матрица A B A A .

A :

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Решить матричное уравнение самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A B на матрицу, обратную матрице A A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

A :

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A .

Занятие № 1. Матрицы. Операции над матрицами.

1. Что называется матрицей.

2. Какие две матрицы называются равными.

3. Какая матрица называется квадратной, диагональной, единичной.

4. Как выполнить операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

5. Для каких матриц вводится операция умножения и правило ее выполнения.

6. Какие преобразования над матрицами являются элементарными.

7. Какую матрицу называют канонической.

Типовые примеры Действия над матрицами

Задача № 1. Даны матрицы

Найти матрицу D=
(1)

Решение. По определению произведения матрица на число получаем:

Задача № 2 . Найти произведение АВ двух квадратных матриц:

Решение. Обе матрицы являются квадратными матрицами 2-го порядка. Такие матрицы можно умножить, используя формулу

Формула (2) имеет следующий смысл: чтобы получить элемент матрицы С = АВ, стоящий на пересечении строки истолбца нужно взять сумму произведений элементов-ой строки матрицы А на соответствующие элементы-го столбца матрицы В.

В соответствии с формулой (2) найдем:

Следовательно, произведение С = АВ будет иметь вид:

Задача № 3. Найти произведение АВ и ВА матриц:

Решение. Согласно формуле (2),элементы матриц АВ и ВА будут иметь вид:

Вывод: Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, делаем вывод, что АВВА, т. е. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Задача № 4 (устно). Даны матрицы
Существуют ли произведения (в скобках даны правильные ответы): АВ (да), ВА (нет), АС (да), СА (нет), АВС (нет), АСВ (да), СВА (нет).

Задача № 5. Найти произведение АВ и ВА двух матриц вида:

Решение. Приведенные матрицы вида
следовательно, существуют произведения АВ и ВА данных матриц, которые будут иметь вид:

Задача № 6 . Найти произведение АВ матриц:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

Даны матрицы

Найти матрицу D=2А-4В+3С.

2. Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц:

Найти произведение матриц:

7. Найти произведение матриц:

8.Найти матрицу: В=6А 2 +8А, если
.

9. Дана матрица
.Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.

10. Доказать, что если А - диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, тоже диагональная.

Занятие 2. Определители квадратных матриц и их вычисление. Обратная матрица.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

Что называется определителем n-го порядка? Правила вычисления приn=1,2,3.

Свойства определителей.

Какая матрица называется невырожденной?

Какая матрица называется единичной?

Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

Что является необходимым и достаточным условием для существования обратной матрицы?

Сформулировать правило нахождения обратной матрицы.

Ранг матрицы. Правила нахождения.

Типовые примеры Вычисление определителей

Задача № 1. Вычислить определитель
:

а) по правилу треугольника;

б) с помощью разложения по первой строке;

в) преобразованием, используя свойства определителей.

в)

Задача № 2 . Найти минор и алгебраическое дополнение элементаa 23 определителя
и вычислить его разложением по элементам строки или столбца.

Решение.

М 23
; А 23

Задача № 3. Вычислить определитель с помощью разложения по 2 строке:

Ответ:

Задача № 4. Решить уравнение

Задача № 5. Вычислить определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца:

1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.

Итак, в предыдущем уроке мы разобрали правила сложения и вычитания матриц. Это настолько простые операции, что большинство студентов понимают их буквально с ходу.

Однако вы рано радуетесь. Халява закончилась — переходим к умножению. Сразу предупрежу: умножить две матрицы — это вовсе не перемножить числа, стоящие в клеточках с одинаковыми координатами, как бы вы могли подумать. Тут всё намного веселее. И начать придётся с предварительных определений.

Согласованные матрицы

Одна из важнейших характеристик матрицы — это её размер. Мы уже сто раз говорили об этом: запись $A=\left[ m\times n \right]$ означает, что в матрице ровно $m$ строк и $n$ столбцов. Как не путать строки со столбцами, мы тоже уже обсуждали. Сейчас важно другое.

Определение. Матрицы вида $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, в которых количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.

Ещё раз: количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй! Отсюда получаем сразу два вывода:

Нам важен порядок матриц. Например, матрицы $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 5 \right]$ являются согласованными (2 столбца в первой матрице и 2 строки во второй), а вот наоборот — матрицы $B=\left[ 2\times 5 \right]$ и $A=\left[ 3\times 2 \right]$ — уже не согласованы (5 столбцов в первой матрице — это как бы не 3 строки во второй).
Согласованность легко проверить, если выписать все размеры друг за другом. На примере из предыдущего пункта: «3 2 2 5» — посередине одинаковые числа, поэтому матрицы согласованы. А вот «2 5 3 2» — не согласованы, поскольку посередине разные числа.

Кроме того, капитан очевидность как бы намекает, что квадратные матрицы одинакового размера $\left[ n\times n \right]$ согласованы всегда.

В математике, когда важен порядок перечисления объектов (например, в рассмотренном выше определении важен порядок матриц), часто говорят об упорядоченных парах. Мы встречались с ними ещё в школе: думаю, и ежу понятно, что координаты $\left(1;0 \right)$ и $\left(0;1 \right)$ задают разные точки на плоскости.

Так вот: координаты — это тоже упорядоченные пары, которые составляются из чисел. Но ничто не мешает составить такую пару из матриц. Тогда можно будет сказать: «Упорядоченная пара матриц $\left(A;B \right)$ является согласованной, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй».

Ну и что с того?

Определение умножения

Рассмотрим две согласованные матрицы: $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$. И определим для них операцию умножения.

Определение. Произведение двух согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой считаются по формуле:

\[\begin{align} & {{c}_{i;j}}={{a}_{i;1}}\cdot {{b}_{1;j}}+{{a}_{i;2}}\cdot {{b}_{2;j}}+\ldots +{{a}_{i;n}}\cdot {{b}_{n;j}}= \\ & =\sum\limits_{t=1}^{n}{{{a}_{i;t}}\cdot {{b}_{t;j}}} \end{align}\]

Обозначается такое произведение стандартно: $C=A\cdot B$.

У тех, кто впервые видит это определение, сразу возникает два вопроса:

Что это за лютая дичь?
А почему так сложно?

Что ж, обо всём по порядку. Начнём с первого вопроса. Что означают все эти индексы? И как не ошибиться при работе с реальными матрицами?

Прежде всего заметим, что длинная строчка для расчёта ${{c}_{i;j}}$ (специально поставил точку с запятой между индексами, чтобы не запутаться, но вообще их ставить не надо — я сам задолбался набирать формулу в определении) на самом деле сводится к простому правилу:

Берём $i$-ю строку в первой матрице;
Берём $j$-й столбец во второй матрице;
Получаем две последовательности чисел. Перемножаем элементы этих последовательностей с одинаковыми номерами, а затем складываем полученные произведения.

Данный процесс легко понять по картинке:

Схема перемножения двух матриц

Ещё раз: фиксируем строку $i$ в первой матрице, столбец $j$ во второй матрице, перемножаем элементы с одинаковыми номерами, а затем полученные произведения складываем — получаем ${{c}_{ij}}$. И так для всех $1\le i\le m$ и $1\le j\le k$. Т.е. всего будет $m\times k$ таких «извращений».

На самом деле мы уже встречались с перемножением матриц в школьной программе, только в сильно урезанном виде. Пусть даны вектора:

\[\begin{align} & \vec{a}=\left({{x}_{a}};{{y}_{a}};{{z}_{a}} \right); \\ & \overrightarrow{b}=\left({{x}_{b}};{{y}_{b}};{{z}_{b}} \right). \\ \end{align}\]

Тогда их скалярным произведением будет именно сумма попарных произведений:

\[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}={{x}_{a}}\cdot {{x}_{b}}+{{y}_{a}}\cdot {{y}_{b}}+{{z}_{a}}\cdot {{z}_{b}}\]

По сути, в те далёкие годы, когда деревья были зеленее, а небо ярче, мы просто умножали вектор-строку $\overrightarrow{a}$ на вектор-столбец $\overrightarrow{b}$.

Сегодня ничего не поменялось. Просто теперь этих векторов-строк и столбцов стало больше.

Но хватит теории! Давайте посмотрим на реальные примеры. И начнём с самого простого случая — квадратных матриц.

Умножение квадратных матриц

Задача 1. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]\]

Решение. Итак, у нас две матрицы: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Понятно, что они согласованы (квадратные матрицы одинакового размера всегда согласованы). Поэтому выполняем умножение:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]. \end{align}\]

Вот и всё!

Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]$.

Задача 2. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}}9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end{array} \right]\]

Решение. Опять согласованные матрицы, поэтому выполняем действия:\[\]

\[\begin{align} & \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot 9+3\cdot \left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6\cdot \left(-2 \right) \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{matrix} \right]. \end{align}\]

Как видим, получилась матрица, заполненная нулями

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{matrix} \right]$.

Из приведённых примеров очевидно, что умножение матриц — не такая уж и сложная операция. По крайней мере для квадратных матриц размера 2 на 2.

В процессе вычислений мы составили промежуточную матрицу, где прямо расписали, какие числа входят в ту или иную ячейку. Именно так и следует делать при решении настоящих задач.

Основные свойства матричного произведения

В двух словах. Умножение матриц:

Некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$ в общем случае. Бывают, конечно, особые матрицы, для которых равенство $A\cdot B=B\cdot A$ (например, если $B=E$ — единичной матрице), но в абсолютном большинстве случаев это не работает;
Ассоциативно: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Тут без вариантов: стоящие рядом матрицы можно перемножать, не переживая за то, что стоит левее и правее этих двух матриц.
Дистрибутивно: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ и $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$ (в силу некоммутативности произведения приходится отдельно прописывать дистрибутивность справа и слева.

А теперь — всё то же самое, но более подробно.

Умножение матриц во многом напоминает классическое умножение чисел. Но есть отличия, важнейшее из которых состоит в том, что умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно .

Рассмотрим ещё раз матрицы из задачи 1. Прямое их произведение мы уже знаем:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]\]

Но если поменять матрицы местами, то получим совсем другой результат:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{matrix} -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end{matrix} \right]\]

Получается, что $A\cdot B\ne B\cdot A$. Кроме того, операция умножения определена только для согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, но никто не гарантировал, что они останутся согласованными, если их поменять местами. Например, матрицы $\left[ 2\times 3 \right]$ и $\left[ 3\times 5 \right]$ вполне себе согласованы в указанном порядке, но те же матрицы $\left[ 3\times 5 \right]$ и $\left[ 2\times 3 \right]$, записанные в обратном порядке, уже не согласованы. Печаль.:(

Среди квадратных матриц заданного размера $n$ всегда найдутся такие, которые дают одинаковый результат как при перемножении в прямом, так и в обратном порядке. Как описать все подобные матрицы (и сколько их вообще) — тема для отдельного урока. Сегодня не будем об этом.:)

Тем не менее, умножение матриц ассоциативно:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Следовательно, когда вам надо перемножить сразу несколько матриц подряд, совсем необязательно делать это напролом: вполне возможно, что некоторые рядом стоящие матрицы при перемножении дают интересный результат. Например, нулевую матрицу, как в Задаче 2, рассмотренной выше.

В реальных задачах чаще всего приходится перемножать квадратные матрицы размера $\left[ n\times n \right]$. Множество всех таких матриц обозначается ${{M}^{n}}$ (т.е. записи $A=\left[ n\times n \right]$ и \ означают одно и то же), и в нём обязательно найдётся матрица $E$, которую называют единичной.

Определение. Единичная матрица размера $n$ — это такая матрица $E$, что для любой квадратной матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ выполняется равенство:

Такая матрица всегда выглядит одинаково: на главной диагонали её стоят единицы, а во всех остальных клетках — нули.

\[\begin{align} & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end{align}\]

Другими словами, если нужно умножить одну матрицу на сумму двух других, то можно умножить её на каждую из этих «двух других», а затем результаты сложить. На практике обычно приходится выполнять обратную операцию: замечаем одинаковую матрицу, выносим её за скобку, выполняем сложение и тем самым упрощаем себе жизнь.:)

Заметьте: для описания дистрибутивности нам пришлось прописать две формулы: где сумма стоит во втором множителе и где сумма стоит в первом. Это происходит как раз из-за того, что умножение матриц некоммутативно (и вообще, в некоммутативной алгебре куча всяких приколов, которые при работе с обычными числами даже не приходят в голову). И если, допустим, вам на экзамене нужно будет расписать это свойство, то обязательно пишите обе формулы, иначе препод может немного разозлиться.

Ладно, всё это были сказки о квадратных матрицах. А что насчёт прямоугольных?

Случай прямоугольных матриц

А ничего — всё то же самое, что и с квадратными.

Задача 3. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 1 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end{array} \right]\]

Решение. Имеем две матрицы: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Выпишем числа, обозначающие размеры, в ряд:

Как видим, центральные два числа совпадают. Значит, матрицы согласованы, и их можно перемножить. Причём на выходе мы получим матрицу $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin{align} & \left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 1 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2\cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1\cdot 4 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \\\end{array} \right]. \end{align}\]

Всё чётко: в итоговой матрице 3 строки и 2 столбца. Вполне себе $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} \begin{array}{*{35}{r}} 2 \\ 11 \\ -3 \\\end{array} & \begin{matrix} 41 \\ 30 \\ 19 \\\end{matrix} \\\end{array} \right]$.

Сейчас рассмотрим одно из лучших тренировочных заданий для тех, кто только начинает работать с матрицами. В нём нужно не просто перемножить какие-то две таблички, а сначала определить: допустимо ли такое умножение?

Задача 4. Найдите все возможные попарные произведения матриц:

\\]; $B=\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]$; $C=\left[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{matrix} \right]$.

Решение. Для начала запишем размеры матриц:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Получаем, что матрицу $A$ можно согласовать лишь с матрицей $B$, поскольку количество столбцов у $A$ равно 4, а такое количество строк только у $B$. Следовательно, можем найти произведение:

\\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end{array} \right]\]

Промежуточные шаги предлагаю выполнить читателю самостоятельно. Замечу лишь, что размер результирующей матрицы лучше определять заранее, ещё до каких-либо вычислений:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Другими словами, мы просто убираем «транзитные» коэффициенты, которые обеспечивали согласованность матриц.

Какие ещё возможны варианты? Безусловно, можно найти $B\cdot A$, поскольку $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, поэтому упорядоченная пара $\left(B;A \right)$ является согласованной, а размерность произведения будет:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Короче говоря, на выходе будет матрица $\left[ 4\times 4 \right]$, коэффициенты которой легко считаются:

\\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end{array} \right]\]

Очевидно, можно согласовать ещё $C\cdot A$ и $B\cdot C$ — и всё. Поэтому просто запишем полученные произведения:

Это было легко.:)

Ответ: $AB=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end{array} \right]$; $BA=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end{array} \right]$; $CA=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end{array} \right]$; $BC=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end{array} \right]$.

Вообще, очень рекомендую выполнить это задание самостоятельно. И ещё одно аналогичное задание, которое есть в домашней работе. Эти простые на первый взгляд размышления помогут вам отработать все ключевые этапы умножения матриц.

Но на этом история не заканчивается. Переходим к частным случаям умножения.:)

Вектор-строки и вектор-столбцы

Одной из самых распространённых матричных операций является умножение на матрицу, в которой одна строка или один столбец.

Определение. Вектор-столбец — это матрица размера $\left[ m\times 1 \right]$, т.е. состоящая из нескольких строк и только одного столбца.

Вектор-строка — это матрица размера $\left[ 1\times n \right]$, т.е. состоящая из одной строки и нескольких столбцов.

На самом деле мы уже встречались с этими объектами. Например, обычный трёхмерный вектор из стереометрии $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z \right)$ — это не что иное как вектор-строка. С точки зрения теории разницы между строками и столбцами почти нет. Внимательными надо быть разве что при согласовании с окружающими матрицами-множителями.

Задача 5. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 \\ 2 \\ -1 \\\end{array} \right]\]

Решение. Перед нами произведение согласованных матриц: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Найдём это произведение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 \\ 2 \\ -1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \\ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -3 \\ 8 \\ 0 \\\end{array} \right]\]

Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-3 \\ 8 \\ 0 \\\end{array} \right]$.

Задача 6. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end{array} \right]\]

Решение. Опять всё согласовано: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Считаем произведение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}5 & -19 & 5 \\\end{array} \right]\]

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 5 & -19 & 5 \\\end{matrix} \right]$.

Как видите, при умножении вектор-строки и вектор-столбца на квадратную матрицу на выходе мы всегда получаем строку или столбец того же размера. Этот факт имеет множество приложений — от решения линейных уравнений до всевозможных преобразований координат (которые в итоге тоже сводятся к системам уравнений, но давайте не будем о грустном).

Думаю, здесь всё было очевидно. Переходим к заключительной части сегодняшнего урока.

Возведение матрицы в степень

Среди всех операций умножения отдельного внимания заслуживает возведение в степень — это когда мы несколько раз умножаем один и тот же объект на самого себя. Матрицы — не исключение, их тоже можно возводить в различные степени.

Такие произведения всегда согласованы:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

И обозначаются точно так же, как и обычные степени:

\[\begin{align} & A\cdot A={{A}^{2}}; \\ & A\cdot A\cdot A={{A}^{3}}; \\ & \underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{n}={{A}^{n}}. \\ \end{align}\]

На первый взгляд, всё просто. Посмотрим, как это выглядит на практике:

Задача 7. Возведите матрицу в указанную степень:

${{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}$

Решение. Ну ОК, давайте возводить. Сначала возведём в квадрат:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right] \end{align}\]

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}={{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right] \end{align}\]

Вот и всё.:)

Ответ: $\left[ \begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]$.

Задача 8. Возведите матрицу в указанную степень:

\[{{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{10}}\]

Решение. Вот только не надо сейчас плакать по поводу того, что «степень слишком большая», «мир не справедлив» и «преподы совсем берега потеряли». На самом деле всё легко:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{10}}={{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \right)= \\ & =\left[ \begin{matrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{matrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \end{align}\]

Заметьте: во второй строчке мы использовали ассоциативность умножения. Собственно, мы использовали её и в предыдущем задании, но там это было неявно.

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]$.

Как видите, ничего сложного в возведении матрицы в степень нет. Последний пример можно обобщить:

\[{{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{n}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & n \\ 0 & 1 \\\end{array} \right]\]

Этот факт легко доказать через математическую индукцию или прямым перемножением. Однако далеко не всегда при возведении в степень можно выловить подобные закономерности. Поэтому будьте внимательны: зачастую перемножить несколько матриц «напролом» оказывается проще и быстрее, нежели искать какие-то там закономерности.

В общем, не ищите высший смысл там, где его нет. В заключение рассмотрим возведение в степень матрицы большего размера — аж $\left[ 3\times 3 \right]$.

Задача 9. Возведите матрицу в указанную степень:

\[{{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\]

Решение. Не будем искать закономерности. Работаем «напролом»:

\[{{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}={{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{2}}\cdot \left[ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]\]

Для начала возведём эту матрицу в квадрат:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end{array} \right] \end{align}\]

Теперь возведём в куб:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end{array} \right] \end{align}\]

Вот и всё. Задача решена.

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end{matrix} \right]$.

Как видите, объём вычислений стал больше, но смысл от этого нисколько не поменялся.:)

На этом урок можно заканчивать. В следующий раз мы рассмотрим обратную операцию: по имеющемуся произведению будем искать исходные множители.

Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.