Назначение сервиса . Сервис используется для расчета параметров тренда временного ряда y t онлайн с помощью метода наименьших квадратов (МНК) (см. пример нахождения уравнения тренда), а также способом от условного нуля. Для этого строится система уравнений:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

и таблица следующего вида:

t y t 2 y 2 t y y(t)
1
... ... ... ... ... ...
N
ИТОГО ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Инструкция . Укажите количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .

Количество строк (исходных данных)
Использовать способ отсчета времени от условного начала (перенос начала координат в середину ряда динамики)
",1);">

Тенденция временного ряда характеризует совокупность факторов, оказывающих долговременное влияние и формирующих общую динамику изучаемого показателя.

Способ отсчета времени от условного начала

Для определения параметров математической функции при анализе тренда в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала. Он основан на обозначении в ряду динамики показаний времени таким образом, чтобы ∑t i . При этом в ряду динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначают через нулевое значение и принимают его за условное начало отсчета времени с интервалом +1 всех последующих уровней и –1 всех предыдущих уровней. Например, при обозначения времени будут: –2, –1, 0, +1, +2 . При четном числе уровней порядковые номера верхней половины ряда (от середины) обозначаются числами: –1, –3, –5 , а нижней половины ряда обозначаются +1, +3, +5 .

Пример . Статистическое изучение динамики численности населения.

  1. С помощью цепных, базисных, средних показателей динамики оцените изменение численности, запишите выводы.
  2. С помощью метода аналитического выравнивания (по прямой и параболе, определив коэффициенты с помощью МНК) выявите основную тенденцию в развитии явления (численность населения Республики Коми). Оцените качество полученных моделей с помощью ошибок и коэффициентов аппроксимации.
  3. Определите коэффициенты линейного и параболического трендов с помощью средств «Мастера диаграмм». Дайте точечный и интервальный прогнозы численности на 2010 г. Запишите выводы.
1990 1996 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
1249 1133 1043 1030 1016 1005 996 985 975 968
Метод аналитического выравнивания

а) Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов . Используем способ отсчета времени от условного начала.
Система уравнений МНК для линейного тренда имеет вид:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

t y t 2 y 2 t y
-9 1249 81 1560001 -11241
-7 1133 49 1283689 -7931
-5 1043 25 1087849 -5215
-3 1030 9 1060900 -3090
-1 1016 1 1032256 -1016
1 1005 1 1010025 1005
3 996 9 992016 2988
5 985 25 970225 4925
7 975 49 950625 6825
9 968 81 937024 8712
0 10400 330 10884610 -4038

Для наших данных система уравнений примет вид:
10a 0 + 0a 1 = 10400
0a 0 + 330a 1 = -4038
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a 0 = -12.236, a 1 = 1040
Уравнение тренда:
y = -12.236 t + 1040

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения тренда к исходным данным.

б) выравнивание по параболе
Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt
a 0 ∑t 2 + a 1 ∑t 3 + a 2 ∑t 4 = ∑yt 2

t y t 2 y 2 t y t 3 t 4 t 2 y
-9 1249 81 1560001 -11241 -729 6561 101169
-7 1133 49 1283689 -7931 -343 2401 55517
-5 1043 25 1087849 -5215 -125 625 26075
-3 1030 9 1060900 -3090 -27 81 9270
-1 1016 1 1032256 -1016 -1 1 1016
1 1005 1 1010025 1005 1 1 1005
3 996 9 992016 2988 27 81 8964
5 985 25 970225 4925 125 625 24625
7 975 49 950625 6825 343 2401 47775
9 968 81 937024 8712 729 6561 78408
0 10400 330 10884610 -4038 0 19338 353824

Для наших данных система уравнений имеет вид
10a 0 + 0a 1 + 330a 2 = 10400
0a 0 + 330a 1 + 0a 2 = -4038
330a 0 + 0a 1 + 19338a 2 = 353824
Получаем a 0 = 1.258, a 1 = -12.236, a 2 = 998.5
Уравнение тренда:
y = 1.258t 2 -12.236t+998.5

Ошибка аппроксимации для параболического уравнения тренда.

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.

Минимальная ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе. К тому же коэффициент детерминации R 2 выше чем при линейной. Следовательно, для прогнозирования необходимо использовать уравнение по параболе.

Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

m = 1 - количество влияющих факторов в уравнении тренда.
Uy = y n+L ± K
где

L - период упреждения; у n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n-2 .
По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
Точечный прогноз, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = 1001.89 тыс. чел.

1001.89 - 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Интервальный прогноз:
t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)

Определение автокорреляции

Автокорреляция характеризует связь между наблюдениями одного ряда. Ее можно представить как связь между исходным временным рядом и тем же рядом, сдвинутым на l шагов. Набор коэффициентов автокорреляции при различных l называется автокорреляционной функцией.

Значение коэффициента автокорреляции для различных l можно использовать для определения оптимального периода прогнозирования. Если , то прогнозировать экономический показатель на l шагов имеет смысл. Коэффициент автокорреляции можно вычислить по формуле:

Пример:вычислить коэффициенты автокорреляции для рассматриваемого ряда.

l=1 r 1 =0.617

l=2 r 2 =0.248

l=3 r 3 =0.107

Прогнозировать па один шаг вперед в принципе возможно, так как значение коэффициента автокорреляции при l=1 близко к 0.7 и связь между соседними наблюдениями временного ряда можно считать достаточной.

Контрольные вопросы:

1.Что называется автокорреляцией?

2. Длячего используют коэффициент автокорреляции?

3. Какие значения может принимать коэффициент автокорреляции?

4. Какие значения коэффициента автокорреляции при различной

величине сдвига определяют тесную связь и оптимальный период

прогнозирования?

5.Что называется автокорреляционной функцией?

Заключительным этапом анализа и построения модели является получение прогнозных оценок исследуемого показателя. Прогноз осуществляют подстановкой в выбранную модель значений времени t , входящих в период упреждения. Поскольку для каждого значения t получают только одно значение прогнозируемого показателя, то такой прогноз называется точечным. Т.к. в большинстве случаев социально-экономические процессы носят стохастический характер, то вероятность того, что расчетное значение прогнозируемого показателя совпадет с фактическим, практически равна нулю. Поэтому в дополнение к точечному прогнозу строят доверительный интервал, который учитывает случайный характер исследуемого процесса. Верхняя и нижняя границы доверительного интервала прогноза находятся по формулам:



где - расчетное по модели значение прогнозируемого показателя в момент времени t=n+l , n – длина временного ряда, l - период прогнозирования;

Значение t-критерия Стьюдента с вероятностью (табличное);

S p - среднеквадратическое отклонение прогнозируемого показателя.

Для линейной модели:

,

где ,(p – число параметров модели);

Если выбранная модель полностью адекватна и достаточно точна, то при сохранении сложившихся закономерностей динамики развития прогнозируемая величина с вероятностью попадает в доверительный интервал.

Оптимальный период прогнозирования определяется с помощью коэффициента автокорреляции, вычисленного при разных сдвигах l.

ПРИМЕР. Построить точечный и интервальный прогнозы для моделей кривой роста и Брауна.

а) прогноз для модели кривой роста (параболы)

б) прогноз для адаптивной модели Брауна

Контрольные вопросы:

1. Какой прогноз называется точечным?

2. Как получить точечный прогноз экономического показателя на ос модели прогнозирования

3. Какой прогноз называется интервальным?

4. Как получить интервальный прогноз экономического показателя на основе модели прогнозирования?

5. Чем отличается точечный прогноз от интервального?

6. От каких факторов зависит величина интервального прогноза?

Точечный прогноз на основе временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t =n +1, n +2,..., n +k .

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, имеет малую вероятность.

Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами.

1. Выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты.

2. Прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту.

3. Тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов.

Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели, т.е. степени ее близости к фактическим данным, числа наблюдений, горизонта прогнозирования и выбранного пользователем уровня вероятности.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет вид:

, (1.27)

Стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от модели),

m – количество факторов в модели, для линейной модели m = 1.

Коэффициент является табличным значениемt-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений.

Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равной 70%, то при n =9 = 1,12.

При вероятности, равной 95%, = 2,36.

Для других моделей величина U(k) рассчитывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид.

Как видно из формулы (1.10), величина U зависит прямо пропорционально от точности модели, коэффициента доверительной вероятности степени углубления в будущее на k шагов вперед, т.е. на момент t = n+k, и обратно пропорциональна объему наблюдений.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

– верхняя граница прогноза = Y прогноз (n+k ) + U (k );

– нижняя граница прогноза = Y прогноз (n+k ) – U (k ).

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей.

После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.

Пример 1.5

Финансовый директор АО «Веста» рассматривает целесообразность ежемесячного финансирования инвестиционного проекта со следующими объемами нетто-платежей, тыс. руб.:

45 40 43 48 42 47 51 55 50 57 60 62.

Требуется определить:

1) Линейную модель зависимости объемов платежей от сроков (времени).

2) Оценить адекватность и точность построенной модели на основе исследования:

  • случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
  • независимости уровней ряда остатков по d- критерию (в качестве критических значений следует использовать уровни d 1 = 1,08 и d 2 = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции, критический уровень которого r (1) = 0,36;
  • нормальности распределения остаточной компоненты по RS- критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;
  • для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;

3) Определить размеры платежей на 3 последующих месяца (построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности
Р= 90% используйте коэффициент = 1,812) отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования). Оценить целесообразность финансирования этого проекта, если в следующем квартале на эти цели фирма может выделить только 120 тыс.руб.

1) оценка параметров модели.

Оценка параметров модели с помощью надстройки EXCEL Анализ данных .

Построим линейную модель регрессии Y от t . Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:

· Выберите команду Сервис Þ Анализ данных.

· В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем щелкните на кнопке ОК.

· В диалоговом окне Регрессияв поле Входной интервал Y введите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введите адрес диапазона, который содержат значения независимой переменной t Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке.

· Выберите параметры вывода. В данном примере Новая рабочая книга.

· В поле График подбора поставьте флажок.

· В поле Остатки поставьте необходимые флажки и нажмите кнопку ОК.

Результат регрессионного анализа содержится в нижеприведенных таблицах (табл. 1.13 и 1.14)

Таблица 1.13

Переменная Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика
Y -пересечение a 0 38,227 1,955 19,554
t a 1 1,811 0,266 6,818

Таблица 1.14. ВЫВОД ОСТАТКА

Наблюдение Предсказанное Y Остатки
40,038 4,962
41,850 -1,850
43,661 -0,661
45,472 2,528
47,283 -5,283
49,094 -2,094
50,906 0,094
52,717 2,283
54,528 -4,528
56,339 0,661
58,150 1,850
59,962 2,038

Во втором столбце табл. 1.13 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a 0 , a 1 , в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости объемов платежей от сроков (времени) имеет вид:

.

Оценка параметров модели по формуле (3.5) «вручную».

Промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (1.5) приведены в табл. 1.15.

№
-5,5 30,25 -5 27,5 40,04 4,96
-4,5 20,25 -10 41,85 -1,85
-3,5 12,25 -7 24,5 43,66 -0,66
-2,5 6,25 -2 45,47 2,53
-1,5 2,25 -8 47,28 -5,28
-0,5 0,25 -3 1,5 49,09 -2,09
0,5 0,25 0,5 50,91 0,09
1,5 2,25 7,5 52,72 2,28
2,5 6,25 54,53 -4,53
3,5 12,25 24,5 56,34 0,66
4,5 20,25 58,15 1,85
5,5 30,25 59,96 2,04
6,5

При вычислении «вручную» по формуле (1.4) получаем те же результаты:

,

A B C D E F G H
ВЫЧИСЛЕНИЯ В EXCEL С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛ
№
=B2-$J$15 =D2*D2 =C2-$K$15 =D2*F2 =$M$21+$M$18*B2 =C2-H2
=B3-$J$15 =D3*D3 =C3-$K$15 =D3*F3 =$M$21+$M$18*B3 =C3-H3
=B4-$J$15 =D4*D4 =C4-$K$15 =D4*F4 =$M$21+$M$18*B4 =C4-H4
=B5-$J$15 =D5*D5 =C5-$K$15 =D5*F5 =$M$21+$M$18*B5 =C5-H5
=B6-$J$15 =D6*D6 =C6-$K$15 =D6*F6 =$M$21+$M$18*B6 =C6-H6
=B7-$J$15 =D7*D7 =C7-$K$15 =D7*F7 =$M$21+$M$18*B7 =C7-H7
=B8-$J$15 =D8*D8 =C8-$K$15 =D8*F8 =$M$21+$M$18*B8 =C8-H8
=B9-$J$15 =D9*D9 =C9-$K$15 =D9*F9 =$M$21+$M$18*B9 =C9-H9
=B10-$J$15 =D10*D10 =C10-$K$15 =D10*F10 =$M$21+$M$18*B10 =C10-H10
=B11-$J$15 =D11*D11 =C11-$K$15 =D11*F11 =$M$21+$M$18*B11 =C11-H11
=B12-$J$15 =D12*D12 =C12-$K$15 =D12*F12 =$M$21+$M$18*B12 =C12-H12
=B13-$J$15 =D13*D13 =C13-$K$15 =D13*F13 =$M$21+$M$18*B13 =C13-H13
=СРЗНАЧ (A2:A13) =СРЗНАЧ (B2:B13) =СУММ (D2:D13) =СУММ (F2:F13) =СУММ (H2:H13)
a1= =G14/E14
a0= =C14-E17*B14

2) оценка качества построенной модели.

2.1) Оценка адекватности

Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений (табл. 1.17).

№ Точки поворота
4,962 24,617
-1,850 * 3,421 46,392
-0,661 0,437 1,413
2,528 * 6,391 10,169
-5,283 * 27,912 61,015
-2,094 4,387 10,169
0,094 0,009 4,791
2,283 * 5,213 4,791
-4,528 * 20,503 46,392
0,661 0,437 26,924
1,850 3,421 1,413
2,038 4,155 0,036
100,902 213,504

· При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d-критерия Дарбина–Уотсона по формуле (1.7):

Так как попало в интервал от d 2 , до 2 то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости.

Это означает, что в ряду динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

· Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек (формула (1.6)). Количество поворотных точек (p ) равно 5 (рис. 1.14).

Неравенство выполняется (5>4). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

Рис. 1.14 . График остатков

· Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:

RS= [ max – min ] / ;

где max – максимальный уровень ряда остатков, max = 4,9 62;

min – минимальный уровень ряда остатков, min = – 4, 528;

– среднеквадратическое отклонение,

= = = 3,029;

RS = / 3, 029= 3, 383

Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

· Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.

В нашем случае = 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

В табл. 1.18собраны данные анализа ряда остатков.

Таблица 1.18. Анализ ряда остатков

2.2) Оценка точности

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации

Таблица 1.19.

Номер наблюдения
4,96 0,110
-1,85 0,046
-0,66 0,015
2,53 0,053
-5,28 0,126
-2,09 0,045
0,09 0,002
2,28 0,042
-4,53 0,091
0,66 0,012
1,85 0,031
2,04 0,033

2) Размеры платежей составят 61,77 , 63,58 , 65,40 тыс. руб.

3) Денежных средств в объеме 120 тыс. руб. на финансирование этого инвестиционного проекта на 3 последующие месяца будет недостаточно, поэтому нужно либо изыскать дополнительные средства, либо отказаться от этого проекта.

Контрольные вопросы:

1.Основные понятия и определения временного ряда.

2.Основная цель статистического анализа временных рядов.

3.Какие требования предъявляются к исходной информации?

4.Какие этапы построения прогноза по временным рядам?

5.Перечислите процедуры анализа данных и их содержание.

6.Перечислите способы обнаружения тренда и их содержание.

7.Из - за каких причин проводится сглаживание временных рядов?

8.Раскройте содержание метода простой скользящей средней сглаживания временного ряда.

9. Раскройте содержание метода взвешенной скользящей средней.

10.Когда применяется метод экспоненциального сглаживания наблюдений временного ряда и его содержание?

11.Перечислите показатели развития динамики экономических процессов.

12.Что означает автокорреляция временного ряда?

13.Как вычислить коэффициент автокорреляции?

14.Для чего строятся модели временных рядов?

15.Что означает «кривая роста» показателей временного ряда?

16.Как производится оценка качества построенной модели?

17.Как оценивается точность модели?

18.Какой порядок расчета точечных интервальных прогнозов?

Литература

1. Эконометрика : Учебник / Под ред. И.И.Елисеевой. - 2-е изд.; перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 576с.

2. Практикум по эконометрике : Учебное пособие / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2001,2002,2003,2004. - 192с

3. Айвазян С.А., Мхитарян В.С . Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

4. Орлов А.И. Эконометрика: Учеб. пособие для вузов – М.: «Экзамен», 2002.


Экстраполяция - это распространение выявленных при анализе рядов динамики закономерностей развития изучаемого объекта на будущее (при предположении, что выявленная закономерность, выступающая в качестве базы прогнозирования, сохраняется и в дальнейшем).

Табличное значение t кр можно получить с помощью функции EXCEL СТЬЮДРАСПОБР.

В фактически действующих ценах соответствующих лет.
Источник - "Краткосрочные экономические показатели РФ". Госкомстат, Москва.

Значение можно получить с помощью функции Excel СТЬЮДРАСПОБР.

Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя.

Ширина интервала зависит от качества модели (т.е. степени ее близости к фактическим данным), числа наблюдений, горизонта прогнозирования, выбранного пользователем уровня вероятности и других факторов.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет вид

где S e – стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от линии тренда);

n-р – число степеней свободы (для линейной модели у=а 0 +a 1 t количество параметров p = 2).

Коэффициент t a – табличное значение t-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений. (Табличное значение t a можно получить с помощью функции Ехсеl СТЬЮДРАСПОБР).

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Y прогн(n + k) + U(k) – верхняя граница; Y прогн(n + k) - U(k) – нижняя граница.

Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей. После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.

При краткосрочном прогнозировании обычно более важна динамика исследуемого показателя на конце периода наблюдений, а не тенденция его развития, сложившаяся в среднем на всем периоде предыстории. Свойство динамичности развития экономических процессов часто преобладает над свойством инерционности. Поэтому более эффективными являются адаптивные методы, учитывающие информационную неравноценность данных. Цель адаптивных методов – построение самокорректирующихся (самонастраивающихся) экономико-математических моделей, способных отражать изменяющиеся во времени условия и давать достаточно точные оценки будущих членов данного ряда.

Основные методы оценки качества прогноза

Важным этапом прогнозирования является верификация прогнозов, т.е. оценки их точности и обоснованности. На этапе верификации используют совокупность критериев, способов и процедур которые дают возможность оценить качество прогноза.

Наиболее распространенная ретроспективная оценка прогноза, т.е. оценка прогноза для прошедшего времени. Для этого исходная информация делится на две части, одна из которых охватывает более ранние данные, а другая - более поздние. С помощью данных первой группы (ретроспекции) оцениваются параметры модели прогноза, а данные второй группы рассматриваются как фактические данные прогнозируемого показателя. Полученная ретроспективно ошибка прогноза определенной степени характеризует точность применяемой методики прогнозирования.


Все показатели, используемые для анализа качества прогноза, можно разделить на три группы: абсолютные, сравнительные и качественные.

К абсолютным относятся показатели , позволяющие количественно определить величину ошибки прогноза в единицах измерения прогнозируемого объекта или в процентах:

Средняя ошибка прогноза показывает, на сколько в среднем будут отличаться фактические значения от расчетных при большом числе прогнозов. Этот показатель, как правило, используется при сравнении точности прогнозов разнородных объектов прогнозирования. Для оценки качества прогноза учитывают следующие виды ошибок:

- ME - Средняя ошибка (MeanError);

- МАЕ - Средняя абсолютная ошибка (MeanAbsoluteError);

- MSE - Среднеквадратическая ошибка (MeanSquaredError);

- MPE - Средняяпроцентнаяошибка (Mean Percentage Error);

- MAPE - Средняя абсолютная процентная ошибка (MeanAbsolutePercentageError).

Наибольшее распространение для оценки качества прогноза получила средняя абсолютная процентная ошибка (MAPE ), отображающая среднеарифметическую относительную погрешность на прогнозируемом интервале.

Сравнительные показатели точности прогноза основываются на сравнении ошибки рассматриваемого прогноза с эталонными прогнозам определенного вида

Один из типов таких показателей К) может быть в общем виде представлен так:

где р * - прогнозируемое значение величины эталонного прогноза

Качественные показатели точности прогноза дают возможность провести анализ видов ошибок прогноза, разделить их на составные Особенно такой анализ является важным для переменных, циклически меняются, когда необходимо прогнозировать не только общее направление развития, но и поворотные точки циклу.

Одним из методов такого анализа является диаграмма \"прогноз - реализация\" Сущность метода заключается в построении точечных прогнозов в координатах, в которых на одной оси откладывается реальное значение переменной, на другой ее прогнозируемое значение. Использование диаграммы позволяет содержательно оценить качество различных прогнозов, рассчитать коэффициенты, анализируют качество прогнозирования поворотных точек, выделить наиболее типичные ошибки (недооценки или переоценки изменений).

Идея экономического прогнозирования временных рядов базируется на предположении о том, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан на экстраполяции.

Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое - ретроспективной.

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:

  • а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;
  • б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;
  • в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы.

Точечный прогноз. Точечный прогноз для временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t = п + 1, /? + 2,..., п + k, где k - прогнозируемый период.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции, происходит очень редко. Возникновение отклонений от прогнозного значения объясняется следующими причинами:

  • модель, выбранная для прогнозирования, является не единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать другую модель, которая дает более точные результаты;
  • прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Каждый исходный уровень обладает случайной компонентой, поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную составляющую;
  • тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики. Отдельные наблюдения могут отклоняться от среднего уровня. Такие отклонения будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы. Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя.

Ширина интервала зависит от качества модели (г.е. степени ее близости к фактическим данным), числа наблюдений, горизонта прогнозирования, выбранного пользователем уровня вероятности и других факторов.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина Д^, которая для линейной модели имеет вид

где S e - стандартная ошибка (СКО от линии тренда).

Коэффициент? кр - табличное значение ^-статистики Стьюдента при заданных уровне значимости а и числе степеней свободы v.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы: г/прош - Д^ - нижняя граница, г/ прогн + Д^ - верхняя граница.

Только проведя все необходимые проверки, можно утверждать, что прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границами. После получения всех оценок необходимо убедиться в их непротиворечивости смыслу изучаемого экономическому процесса.

Пример 10.9

Директор интенсивно развивающейся компании планирует развитие экономической деятельности, опираясь на результаты предыдущих лет (табл. 10.24).

Таблица 10.24

Исходные данные к примеру 10.9

Требуется выполнить следующее.

  • 1. Построить линейную модель зависимости результатов экономической деятельности от времени.
  • 2. Оценить качество построенной модели на основе исследований:
    • а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
    • б) отсутствия автокорреляции уровней ряда остатков по 1)1У-критерию (а = 0,05);
    • в) нормальности распределения остаточной компоненты но критерию;
    • г) относительной максимальной ошибки.
  • 3. Определить размеры прогноза экономической деятельности предприятия на следующие два квартала. Построить график полученных результатов расчетов и прогнозирования.

Решение. 1. Построение модели.

Уравнение тренда ищем в виде T t = b 0 + b x t. Методом наименьших квадратов, используя инструмент «Регрессия», найдем коэффициенты уравнения тренда. Получаем уравнение Т г = 2,22 + 1,05?. Стандартная ошибка - 1,71. Коэффициент детерминации R 2 = 0,82, значимость уравнения (статистика Фишера) F= 41,7, F Kp (0,05; 1; 9) = 5,12. Значимость коэффициента уравнения b x =6,46, ? кр (0,05; 11) = 2,26. Уравнение статистически значимо.

  • 2. Оценка качества модели.
  • а) Проверка случайности остаточной компоненты по критерию пиков. Данные но остаткам приведены в табл. 10.25. На графике остатков, представленном на рис. 10.5, подсчитываем число поворотных точек р = 5. Проверяем но формуле (10.5) значение р :

Данные по остаткам к примеру 10.9

Таблица 10.25

t

y(t)

е}

(е с ~е,-) 2


Так как неравенство справедливо (5 > 3), свойство случайности выполняется.

6) Проверка отсутствия автокорреляции уровней ряда остатков по DlT-критерию. Исходные данные для расчета статистики приведены в табл. 10.25. Имеем

Критические значения статистики Дарбина - Уотсона для а = 0,05 равны d L = 0,93, d v = 1,32. Найденное значение статистики попадает в интервал d v - (4 - d v) автокорреляция не обнаружена.

в) Проверка нормальности распределения остаточной компоненты по /^-критерию. Используем формулу (10.6):

Расчетное значение 2,98 попадает в интервал 2,67-3,69, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

г) Нахождение относительной максимальной ошибки проводим по формуле

Отметим, что если вычислять среднюю по модулю ошибку по формуле получим |е ср | = 1,38. Видно различие способов оценки точности модели.

Данные анализа ряда остатков приведены в табл. 10.26.

Данные анализа ряда остатков

Таблица 10.26

Вывод. Построенная модель статистически адекватна изучаемому временному процессу, несмотря на недостаточную точность модели .

3. Построение точечного и интервального прогноза на два шага вперед.

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n + k:

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уровне значимости а = 0,05 доверительная вероятность равна 95%, а значение критерия Стьюдента при v = п - 2 = 9 равно 2,26.

Ширину доверительного интервала вычисляем по формуле (10.7):

Прогнозные значения и доверительные интервалы для них приведены в табл. 10.27.

Таблица 10.27

Прогнозные значения и доверительные интервалы к примеру 10.9

Нижняя граница

Верхняя граница

На рис. 10.6 представлены исходные и рассчитанные по уравнению регрессии данные с учетом прогнозных значений.


Рис. 10.6.

1/(0: - Упф)

Вывод. Модель регрессии имеет вид T t = 2,22 + l,05f. Модель адекватна по всем проверенным параметрам и может использоваться для краткосрочного прогноза.

На этом мы заканчиваем рассмотрение временных рядов. Существуют и другие методы сглаживания и коррекции временных рядов, но их рассмотрение выходит за рамки настоящей книги.

  • Это повлияло на прогнозные значения в сторону увеличения ширины доверительногоинтервала (см. далее табл. 10.27).