Введение

Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометри ческих построениях с помощью циркуля и линейки. Однако три задачи не поддавались их усилиям. Прошли тысячелетия, и только в наше время, наконец, были получены их решения.

Вот эти три великие задачи: построение квадрата, равновеликого данному кругу (или, сокращенно, квадратура круга); деление произвольно заданного угла или дуги на три равновеликие части (или трисекция угла), и построение куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба (или удвоение куба).

Квадратура круга

математический куб древность квадрат

История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой р . Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2 р r, а так как площадь круга равна S = р r 2 , то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2 р r и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат.

Итак, задача сводилась к построению отрезка, длина которого равна длине окружности данного круга. Это было показано еще Архимедом в сочинении «Измерение круга», где он доказывает, что число р меньше чем

Но больше чем,

т.е. 3,1408 < n < 3,1429.

В наши дни с помощью ЭВМ число р вычислено с точностью до миллиона знаков, что представляет скорее технический, чем научный интерес, потому что такая точность никому не нужна. Десяти знаков числа л (n = =3,141592653…) вполне достаточно для всех практических целей. Долгое время в качестве приближенного значения р использовали число 22/7, хотя уже в V в. в Китае было найдено приближение 355/113=3,1415929…, которое было открыто вновь в Европе лишь в XY1 в. В Древней Индии р считали равным v10= =3,1622…. Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. р с 9 знаками. Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда-число р , вычисленное с 32 знаками.

Но все эти уточнения значения числа р производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника - больше. Но при этом оставалось неясным, является ли число р рациональным, т.е. отношением двух целых чисел, или иррациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число р иррационально, а еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик - Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.

Конечно, способов приближенного решения квадратуры круга с помощью циркуля и линейки было придумано великое множество. Так, в Древнем Египте было распространено правило: площадь круга равна площади квадрата со стороной, равной 8/9; р = 256/81 = = 3,1604….

Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н.э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего

способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой).

Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала принципиальная ее сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построение с помощью циркуля и линейки?

Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть еще в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих сочинениях V в. до н.э. В своем произведении «О изгнании» Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500-428 до н.э.), находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей квадратуры круга. В комедии «Птицы» (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста астронома Метона следующие слова:

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернется,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут-

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!.

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярной в Греции. Один из современников Сократа - софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцатиугольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольется с окружностью. Но так как можно построить квадрат, равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать.

Рис. 1

Однако уже Аристотель указал, что это будет только приближенное, но не точное решение задачи, так как никогда многоугольник не может совпасть с кругом.

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. - Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникло сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (рис. 1), известные под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром ВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник ВАС (ВА = АС). На АВ и АС, как на диаметрах, описываются полуокружности. Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченные круговыми дугами, и называются луночками. По теореме Пифагора имеем:

BC/ 2 = AB 2 + АС 2 = 2АС 2 . (1)

Отношение площадей кругов или полукругов ВМАЕС и AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров, которое в силу (1) равно 2. Итак, площадь сектора ОАС равна площади полукруга, построенного на диаметре АС. Если из обеих этих равных площадей вычесть общую площадь сегмента АСЕ, то и получим, что площадь треугольника АОС равна площади луночки ADCE, или сумма площадей обеих луночек равна площади равнобедренного треугольника ВСА. Гиппократ нашел и другие луночки, допускающие квадратуру, и продолжал свои изыскания в надежде дойти до квадратуры круга, что ему, конечно, не удалось.

Различные другие попытки, продолжавшиеся в течение тысячелетий попытки найти квадратуру круга неизменно оканчивались неудачей. Лишь в 80-х годах XIX в. было строго доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна.

Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если применять, кроме циркуля и линейки, еще другие средства построения. Так, еще в IV в. до н.э. греческие математики Динострат и Менехм пользовались для решения задачи одной кривой, которая была найдена еще в V в. до н.э. Гиппием Элидским. Однако ученых Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом пи, и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.

1 Сергей Дениченко :

КВАДРАТУРА КРУГА

«Квадратура круга», как я это понимаю – философия, затрагивающая историческую тему, выполненная на математическом материале. Решением Квадратуры круга показано, что нет неразрешимых проблем, а следовательно, не нужно рубить (Гордиев) узел, все решается мирным путем, в том числе и международные конфликты, и проблема с терроризмом.

Решение Квадратуры круга – не открытие чего то нового, я не решил задачу, а показал, как она могла решаться в древности. Это переворачивает сознание человека, в восприятии себя умнее, своих предков. Рушится канон:- «Не учите меня жить, я самый умный.» Человечество должно задуматься:- « А так ли я живу? Куда катится цивилизация?»
Иначе, пустая трата времени на разработку темы по переселению человечества на другие планеты. Прежде чем потухнет Солнце, человек погубит себя на нашей грешной Земле, не успев нагрешить на чужой планете.

“Квадратура круга” – синоним проблемы не имеющей решения. А может нужно изменить подход к стоящей перед Вами задачи. Так “Квадратура круга” – необходимо с помощью циркуля и односторонней линейки (рейки), построить квадрат равновеликий по площади заданному кругу. А если изменить подход к решению. Ход решения: “Равновеликость квадрата и шестеренки” – “Кругатура квадрата” (в этом нет поиска трансцендентного числа Pi) А далее решение “Кругатуры квадрата” позволяет выразить геометрически сторону квадрата равновеликого по площади заданному кругу (решить “Квадратуру круга”) и выразить длину окружности прямым отрезком. Во всяком случае числа 1,7724538968686925718887244115238… и 3,1415928165250138836954861078059… не трансцендентны.
Кому интересна данная тема, можно познакомиться с решением на сайте по адресу:
2 Анатолий:

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КВАДРАТУРЕ КРУГА

Задача о КВАДРАТУРЕ КРУГА: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

РОСТОВЩИКОВ АНАТОЛИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ 3604 364780
Необходимость в построении обусловлена невозможностью высокоточного расчёта площади круга и длины окружности без привязки к параметрам соразмерного квадрата.
Квадрат – единственная геометрическая фигура, площадь и периметр которой вычисляются минимальным количеством арифметических действий при абсолютной точности результата.
Таким образом, финалом решения задачи становится не столько само построение квадрата, (ради квадрата), сколько вычисление площади круга и длины окружности с максимальной точностью по отношению к квадрату.
Результаты расчётов названных параметров традиционным способом выражаются с погрешностью, заложенной в число Pi, т.к. значение этого показателя обусловлено вычислением сторон и площадей бесконечного множества треугольников.
Точность результатов вычисления площади круга и длины окружности в приведённых ниже расчётах не превышает погрешность результата при извлечении квадратного корня. Более высокая точность расчёта невозможна, как невозможно ещё точнее вычислить параметры самого квадрата.

ПРИМЕЧАНИЕ:
Некоторые значения, определения и ссылки в соответствии с законами математических и геометрических пропорций представлены без комментариев.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ:
D – диаметр окружности, (Для удобства восприятия вычислений принято значение D = 7)
R – радиус окружности
S – площадь круга, S = Sвк + 4Sс
L – длина окружности
O – центр окружности
Sок – площадь Описанного Квадрата ABCE, Sок = D2
Pок – периметр Описанного Квадрата ABCE, Pок = 4D
Sвк – площадь Вписанного Квадрата A’B"C’E", Sвк = Sок / 2 = D2 / 2
Sс – площадь одного Сегмента
Nок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (Nок/с = Sок / Sс = 14)
КК – Квадратура Круга

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ПРОВЕРОЧНОМ ВАРИАНТЕ:
N’ок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (N’ок/с = 14,1)
N”ок/с – величина, отражающая числовое значение соотношения Sок и Sс; (N”ок/с = 13,9)
S’с – площадь одного Сегмента; (при N’ок/с = 14,1)
S”с – площадь одного Сегмента; (при N”ок/с = 13,9)
S’- площадь круга; (при N’ок/с = 14,1)
S”- площадь круга; (при N”ок/с = 13,9)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:
Посредством дискретного замещения значений соотношения Sок и Sс установлено:
(1) Nок/с = Sок / Sс = 14, const

ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА:
(2) Sс = Sок / 14
(3) Sс = Sвк / 7
(4) Sс = D2 / 14 = 49 / 14 = 3,5

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ:
(5) 4Sс = 4D2 / 14 = 196 / 14 = 14

ПЛОЩАДЬ КРУГА:
(6) S = Sвк + 4Sс = 24,5 + 14 = 38,5
(7) S = (D2 / 2) + (4D2 / 14)
(8) S = 11D2 / 14 = 539 / 14 = 38,5

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ:
(9) Sок / S = Pок / L
(10) L = SPок / Sок
(11) L = (11D2 / 14) (4D) / (D2)
(12) L = 22D / 7

ПРОВЕРКА

Вариант 1: N’ок/с = Sок / S’с = 14,1 Вариант 2: N”ок/с = Sок / S”с = 13,9

ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА: ПЛОЩАДЬ ОДНОГО СЕГМЕНТА:
S’с = Sок / 14,1 = 49 / 14,1 = 3,475… S”с = Sок / 13,9 = 49 / 13,9 = 3,525…

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ: ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХ СЕГМЕНТОВ:
4S’с = 4D2 / 14,1 = 196 / 14,1 = 13,9 4S”с = 4D2 / 13,9 = 196 / 13,9 = 14,1

ПЛОЩАДЬ КРУГА: ПЛОЩАДЬ КРУГА:
S’= Sвк + 4S’с = 24,5 + 13,9 = 38,4 S”= Sвк + 4S”с = 24,5 + 14,1 = 38,6

ПЛОЩАДЬ КРУГА, (S’кк) ПО ФОРМУЛЕ (8): ПЛОЩАДЬ КРУГА, (S”кк) ПО ФОРМУЛЕ (8):
S’кк = 11D2 / 14,1 = 539 / 14,1 = 38,227 S”кк = 11D2 / 13,9 = 539 / 13,9 = 38,777

РЕЗЮМЕ: РЕЗЮМЕ:
S’≠ S’кк, (38,475 ≠ 38,227) S”≠ S”кк, (38,525 ≠ 38,777)

СЛЕДОВАТЕЛЬНО:
(1) Nок/с = Sок / Sс = 14, const
(8) S = 11D2 / 14

СРАВНИТЕЛЬНЫЕ РАСЧЁТЫ:
В таблице приведены сравнительные результаты вычислений S и L, с произвольно выбранными значениями D по приведённой технологии, (КК) и с применением числа Pi, (Pi):

D S L
KK Pi KK Pi
5,0 19,6428571428571 19,6349540849312 15,7142857142857 15,707963267945
6,0 28,2857142857142 28,274333882301 18,8571428571428 18,849555921534
7,0 38,5 38,4845100064652 22,0 21,991148575123
8,0 50,2857142857142 50,265482457424 25,142857142857 25,132741228712
56,78 2533,11802857142 2532,09886021077 178,451428571428 178,379630870783
4 Геннадий Кудрявцев:

На одной вертикальной оси постройте одну под другой две одинаковые окружности. Из верхней точки верхней окружности проведите касательные к нижней окружности. Они пересекут верхнюю окружность в двух точках. Соедините их прямой. Верхняя часть диаметра верхней окружности, отсечённая этой прямой,будет равна (точность очень велика, предлагаю вычислить самим)) стороне искомого квадрата.
Кто-нибудь знает метод получения более точного результата?
5 Геннадий Кудрявцев:

Извините. Забыл уточнить, что окружности должны касаться друг друга.
6 vasil stryzhak:

На рисунке изображен метод построения с лучшим показателем точности относительно предыдущего комментария.
7 vasil stryzhak:

Второй вариант построения с более оптимальным решением квадратуры круга. Пунктирными линиями изображены описанный и вписанный квадраты в окружность с центром О и радиусом R = 1. Окружности с центрами в точках О₁, О₂, О₃, О₄ описаны радиусом r = 0,5. Точки пересечения окружностей служат для построения квадрата равновеликого исходной окружности.
9 vasil stryzhak:

Уважаемый Геннадий! Специально для Вас более подробно остановлюсь на вычислении погрешности метода по поз. 6. Обозначим верхнюю точку пересечения окружностей буквой А. Тогда согласно построения О₁А=1, О₁О₂=2,25, О₂А=2. Высота hₐ треугольника О₁АО₂ равна половине стороны искомого квадрата. Ее можно вычислить по формуле Герона
hₐ = 2√(p(p – a)(p – b)(p –c))/a, где p = (a + b + c)/2.
Определим абсолютную погрешность метода: δ = 2hₐ – √π = 1,77756… – 1,77245… ≈ 0,0051, что соответствует 0,29%. Следовательно, Вы допустили явную ошибку в вычислениях. Погрешность метода по поз. 7 составляет 0,27%. Обычно я подвергаю методы построения анализу в системе прямоугольных координат. Тогда проще рассчитать координаты точек пересечения прямых и окружностей, как между собой, так и друг с другом. Два предложенных ранее варианта квадратуры круга наиболее простые. В качестве примера рассмотрим еще один более точный метод построения с абсолютной погрешностью 0,00018,а относительной 0,01%.

Впишем в квадрат ABCD окружность. Не изменяя раствора циркуля, из середины стороны квадрата (точки О₁) как из центра делаем первую засечку на окружности в точке L. Далее уже из построенной точки как из центра тем же растворам циркуля проводим вторую засечку на другой стороне квадрата и получаем точку G, которую соединяем с серединой противоположной стороны квадрата. Отрезок О₄G пресекает окружность в точке Н. Проведем дуги из точек О₁, О₂, О₃, О₄ (середин сторон квадрата) как из центров кривизны радиусом r = НО₂ до пересечения с окружностью. Полученные таким образом точки служат для построения квадрата A₁B₁C₁D₁ равновеликого кругу.
10 Геннадий Кудрявцев:

УВАЖАЕМЫЙМ VASIL!
Вы правы. Поздравляю!. Успехов Вам в новом году. И в последующих тоже.
11 Геннадий Кудрявцев:

Решение задачи о квадратуре круга наталкивает на мысль о решении другой, сходной задачи: квадратура эллипса.
Формулу площади эллипса можно преобразовать так:
S = √∏R͗͗² х √∏r.²
Корни квадратные из окружностей – это те самые стороны квадратов, равновеликих по площадям этих окружностей, которые запросто определяет уважаемый Vasil. Значит, имеем две стороны прямоугольника. А, уж, построить равновеликий ему по площади квадрат – не проблема.
12 vasil stryzhak:

Уважаемый Геннадий! Спасибо за пожелания. Вам тоже взаимно успехов по жизни. Идея квадратуры эллипса для меня нова, предложенное решение довольно интересное и самое главное верное. Если принять малую полуось эллипса равной единичному отрезку α =1, тогда сторона равновеликого эллипсу квадрата определиться как c=√(πb), где b – большая полуось. Построить отрезок равный π теоретически возможно с любой степенью точности. Свой вариант как это сделать изложу, возможно, позже, когда выкрою время и придет вдохновение.
13 Геннадий Кудрявцев:

Уточню вторую позицию:
– метод рассечения конуса для получения коников с наперёд заданными параметрами.
14 vasil stryzhak:

Если принять радиус окружности за единицу, то длина полуокружности - это число . Прямоугольник со сторонами и равен площади круга, тогда среднее геометрическое этих сторон и есть сторона квадрата равновеликого исходному кругу. Рассмотрим вариант построения отрезка равного длине полуокружности, тем самым решение задачи квадратуры круга.

На горизонтальной прямой из точки , как из центра, проведем окружность произвольным радиусом . Опишем вокруг окружности и впишем в нее по три стороны от правильного шестиугольника, охватывающих полуокружность, необходимых для разъяснения материала. В построении участвует одна сторона от вписанного шестиугольника, перпендикулярная горизонтальной прямой. Проведем два луча через точки и из центра окружности . Далее из точки , как из центра, опишем дугу радиусом , пересекающую лучи в точках и , а горизонтальную прямую в точке . Построение может осуществляется от любого вписанного правильного многоугольника, тогда радиус дуги определяется делением количества его сторон на два . Соединим между собой точки и . Полученный таким образом отрезок, равен сумме изображенных на рисунке сторон от вписанного в окружность шестиугольника

С недостатком относительно длинны полуокружности. Затем, параллельно проведем через точку прямую до пересечения с лучами. В результате имеем отрезок, равный сумме сторон от описанного шестиугольника

С избытком относительно длинны полуокружности. Следовательно, отрезок равный , т.е. длине полуокружности, находится между построенными отрезками и .
Определим местоположение искомого отрезка следующим образом. Соединим концы отрезков и крест накрест, а точку (середину ) с точками и . В местах скрещивания новых отрезков получим точки и . Проведем прямую проходящую через эти точки до пересечения с лучами в точках и . Насколько построенный отрезок соответствует длине полуокружности, можно проверить вычислением в два этапа следующими формулами:
, ( – равно высоте треугольника ),

Задача о квадратуре круга пользовалась исключительной известностью с древнейших времён и тысячелетиями привлекала к себе внимание математиков. Она привлекает к себе внимание прежде всего простотой формулировки: построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Долгое время не возникало сомнения в возможности осуществить квадратуру круга. Эта уверенность подкреплялась, по-видимому, тем, что ещё в V в. до н. э. греческому геометру Гиппократу удалось превратить в квадрат некоторые круговые луночки" (часть плоскости, ограниченная дугами двух окружностей). На рисунке 199 изображена "луночка" равновеликая треугольнику (который нетрудно превратить в равновеликий ему квадрат).

Популярность задачи о квадратуре круга "росла вместе с числом неудачных попыток её разрешения".

В XV в. были высказаны предположения о невозможности решить эту задачу циркулем и линейкой (Леонардо да Винчи и другие).

В XVII и XVIII вв. делались попытки доказать неразрешимость задачи о квадратуре круга. Исследования этого вопроса вызвали к жизни некоторые проблемы из области алгебры и теории чисел.

Площадь круга радиуса равна т. е. равна площади квадрата со стороной которая строится как средний пропорциональный отрезок между отрезками

И если бы можно было, зная радиус круга построить отрезок длиной то легко можно было бы построить такой квадрат.

И обратно: если бы при данном можно было построить квадрат, равновеликий кругу, то можно было бы построить отрезок, равный по длине окружности. В самом деле: если а - сторона упомянутого квадрата, то так что искомый отрезок строится как четвёртый пропорциональный отрезок к отрезкам 2а, а к

Итак, задача о квадратуре круга равносильна задаче о "спрямлении окружности", т. е. о построении отрезка длиной При длина окружности равна Поэтому задача о спрямлении окружности привела к изучению свойств числа

В 1766 г. известным швейцарским математиком Иоганном Ламбертом (1728-1777) было дано первое доказательство иррациональности числа впоследствии усовершенствованное Лежандром (1752-1833). Доказательства иррациональности числа дали также Эйлер, Гаусс, Эрмит и другие. Но этим лишь наметился путь для дальнейших исследований: иррациональность числа ещё не решала вопроса о возможности квадратуры круга ни в положительном, ни в отрицательном смысле.

Чтобы уяснить себе алгебраическую сторону проблемы, вспомним признак возможности построения отрезка циркулем и линейкой (глава VI, § 8): если длина отрезка,

который может быть построен с помощью циркуля и линейки, является функцией длин данных отрезков, то она может быть выражена через длины данных отрезков с помощью конечного числа рациональных операций и операций извлечения квадратного корня. Исходя только из и полагая мы заметим, что длина искомого отрезка должна образоваться из 1 с помощью только рациональных операций и операций извлечения квадратного корня. Известно, что такие числа являются алгебраическими, т. е. служат корнями многочленов с рациональными коэффициентами (см., например, Курош, Курс высшей алгебры, 1955, § 55. Числа, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными. Таким образом, для разрешимости задачи о квадратуре круга необходимо, чтобы число было алгебраическим, а не трансцендентным.

Первые примеры трансцендентных чисел были получены только во второй половине XIX в. Впоследствии оказалось, что множество трансцендентных чисел является "более мощным", "более богатым" элементами, чем множество алгебраических чисел. В 1882 г. было доказано, что число является трансцендентным числом Линдеманн, 1852- 1939).

Вместе с этим, наконец, была разрешена проблема квадратуры круга: квадратура круга невозможна с помощью циркуля и линейки.

Несмотря на то, что задача о спрямлении окружности (и задача о квадратуре круга) с помощью циркуля и линейки теоретически точно не разрешима, можно указать различные простые приёмы приближённого решения этой задачи с достаточной для практических целей точностью.

Если разделить окружность точками на достаточно большое число достаточно малых дуг, то периметр многоугольника, для которого эти точки служат последовательно вершинами, может быть принят за длину окружности. Этот приём широко используется в чертёжной практике. Недостаток его состоит в том, что точность решения сравнительно трудно поддаётся учету.

Известно, что ещё в III в. до н. э. Архимед нашел, что тсйу. При таком допущении отрезок длиной строится как три целых и одна седьмая диаметра данной

окружности. Это построение даёт приближённое решение задачи с избытком, причём относительная погрешность не превышает

Интересный приём приближённого спрямления окружности с помощью только циркуля предложил итальянский геометр Маскерони (1750-1800). Пусть О - центр данной окружности, А - какая-либо точка окружности (рис. 200).

Строим четыре последовательные вершины правильного вписанного шестиугольника: Пусть точка пересечения окружности и окружности Пусть в пересечении дуги данной окружности с окружностью образуется точка Тогда длина отрезка равна одной четвёртой части длины окружности с точностью до

квадратура круга

знаменитая задача древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу. Попытки решить квадратуру круга с помощью циркуля и линейки (односторонней, без делений) успеха не имели, т.к. задача сводится к построению отрезка длины, что, как было доказано в 19 в., невозможно. Задача становится разрешимой, если для построения привлечь другие средства.

Квадратура круга

задача о разыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Под К. к. понимают как задачу точного построения квадрата, равновеликого кругу, так и задачу вычисления площади круга с тем или иным приближением. Задачу о точной К. к. пытались решить первоначально с помощью циркуля и линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную (см., например, Гиппократовы луночки). Попытки решения задачи о К. к., продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 Парижская АН, а затем и др. академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвященных К. к. Лишь в 19 в. было дано научное обоснование этого отказа: строго установлена неразрешимость К. к. с помощью циркуля и линейки.

Если радиус круга равен г, то сторона равновеликого этому кругу квадрата равна. Таким образом, задача сводится к следующей: осуществить построение, в результате которого данный отрезок (r) был бы умножен на данное число (). Однако графическое умножение отрезка на число осуществимо циркулем и линейкой, если упомянутое число ≈ корень алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Т. о., окончательная ясность в вопросе о К. к. могла быть достигнута на пути изучения арифметической природы числа p. В конце 18 в. нем. математиком И. Ламбертом и французским математиком А. Лежандром была установлена иррациональность числа p. В 1882 нем. математик Ф. Линдеман доказал, что число p (а значит и) трансцендентно, т. е. не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана положила конец попыткам решения задачи о К. к. с помощью циркуля и линейки. Задача о К. к. становится разрешимой, если расширить средства построения. Уже греч. геометрам было известно, что К. к. можно осуществить, используя трансцендентные кривые; первое решение задачи о К. к. было выполнено Диностратом (4 в. до н. э.) при помощи специальной кривой ≈ так называемые квадратрисы (см. Линия). О задаче нахождения приближённого значения числа p см. в ст. Пи.

Лит.: О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса, пер. с нем., 3 изд., М. ≈ Л., 1936; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем.,2 изд., М., 1969.

Википедия

Квадратура круга

Квадрату́ра кру́га - задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить R радиус заданного круга, x - длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x = π R , откуда получаем: $x = \sqrt{\pi} R \approx 1{,}77245 R.$ Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

Трофимова Ксения

С глубокой древности известна задача «квадратура круга» - самая старая из всех математических задач. Она сыграла особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи - «доказать неразрешимость» - была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики - среди них знаменитая задача древности особенно популярна. Задача кажется доступной любому: вводит в заблуждение ее простая формулировка. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение знаменитой задачи с помощью циркуля и линейки. Это обстоятельство обусловливает актуальность данной работы.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МОУ СОШ №2 имени А.С. Пушкина

Математическое исследование

Знаменитая задача древности «Квадратура круга»

Ученица 11 класса

Трофимова Ксения

Руководитель:

Трофимова Т.Б.

учитель математики

2014 г.

Введение.

1. Первые способы решения квадратуры круга в Древней Греции.

2. Попытка решить задачу о квадратуре круга.

3. Решение задачи о квадратуре круга при помощи вспомогательных средств.

Заключение.

Список использованной литературы.

Приложения.

Введение

Тема математического исследования очень важна и интересна как для меня, так и для общества в целом, так как поможет расширить знания и умения в области математики, а так же предоставит возможность глубокого изучения литературы, посвященной этому вопросу.

Цель работы: выяснить, возможно ли решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки. Достижение поставленной цели осуществлялось в ходе решения следующих задач :

Изучение теории посвященной данной проблематике;

Разработка собственного решения задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки и проведение анализа;

Объектом исследования: задача о квадратуре круга.

Предмет исследования: неразрешимость задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

Методы исследования:

Графическое построение;

Структура и объем работы. Математическое исследование состоит из введения, 3 глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Содержание работы изложено на 9 страницах, включая 10 рисунков и список литературы из 7 наименований.

1.Первые способы решения квадратуры круга в Древней Греции

«Из всех математических задач, в течение веков занимавших человечество, ни одна не пользовалась такой известностью, как задача о квадратуре круга. Это самая древняя из всех математических задач, ибо история ее охватывает четыре тысячелетия, столько же, сколько история человеческой культуры.»

«Следы попыток решения задачи о вычислении площади круга и длины окружности мы находим в Древней Греции. Здесь эта задача приобрела теоритический характер, а также были разработаны многие методы точного и приближенного ее решения.»

«В задаче о квадратуре круга требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу. По свидетельству древнегреческого историка Плутарха, философ Анаксагор , коротая время в тюрьме, пытался квадрировать круг, т. е. превратить его в равновеликий квадрат. Если считать радиус данного круга равным 1, то сторона искомого квадрата должна составить √п. Но как он это делал науке не известно: его труды не сохранились, и нет никаких подробностей об этом у древних писателей.»

«О попытках Антифона, Бризона и Гиппократа решить эту задачу имеются более полные сведения.

В «Истории геометрии» Евдем так описывал попытку Антифона (5в. до н.э.) сквадрировать круг: «Начертив круг, он вписал в него такой правильный многоугольник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квадрат. Потом он разделил каждую сторону квадрата пополам и через точки деления провел прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с окружностью. Очевидно, они делят сегменты круга на две равные части (см. Приложения рис.1). Затем он соединил полученные точки с концами сторон квадрата так, что получились четыре треугольника и вся, образовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольником…»

Продолжая дальше этот процесс, Антифон получил 16-угольник,32-угольник и т.д. « Поступает он так, - продолжает Евдем, - пока не исчерпает весь круг. И Антифон заключает, что таким образом будет вписан многоугольник, периметр которого можно рассматривать как длину окружности». Следовательно, Антифон считал, что можно получить многоугольник равновеликий кругу. В то время было известно, что любой многоугольник можно преобразовать в равновеликий квадрат, то вполне возможно, что Антифон думал, что ему удалось найти квадратуру круга с помощью циркуля и линейки.

Пифагориец Бризон (5 в. до н.э.) при решении задачи о квадратуре круга не только вписывал в круг, но и описывал около него соответствующие правильные многоугольники (см. Приложения рис.2). Справедливо считая, что площадь круга больше площади вписанного и меньше площади описанного n-угольника, он, однако, ошибочно утверждал, что площадь круга (Sкр) есть среднее арифметическое площади вписанного n-угольника (Sn) и описанного n-угольника (Sn ’ ), т.е .

Антифон и Бризон, предложив свои способы квадратуры круга, не дали доказательства справедливости своих утверждений, а в дальнейшем они подверглись критике.

Надежды «квадратурщиков» подогревались существованием криволинейных фигур, квадратируемых циркулем и линейкой. Гиппократ Хиосский нашел одну из таких фигур, известную как «луночки Гиппократа». Евдем и комментатор Аристотеля Симпликий (6в. н.э) утверждают, что Гиппократ Хиосский нашел три случая квадрируемых круговых луночек. Симпликий со ссылкой на «историю геометрии» Евдема писал: «Сначала он рассмотрел луночку, внешний обвод которой составляет полуокружность..(см. Приложения рис.3) после этого он начал разбирать случай, когда внешний обвод был больше полукруга (см. Приложения рис.4)…, а затем рассмотрел сегмент меньше полукруга (см. Приложения рис.5)..»Так Гиппократ Хиосский впервые в истории нашей науки показал возможность квадратуры криволинейных фигур циркулем и линейкой. Это был важный шаг в развитии математики. Но это не помогло ему решить саму исходную задачу.»

«Было предложено множество построений. В лучшем случае они давали приближенное значение п с достаточно хорошей точностью (см. Приложения рис. 6). Авторы таких построений часто не сомневались в их абсолютной точности и горячо отстаивали свои заблуждения.

В 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман доказал, что число п трансцендентно, т.е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Так он поставил точку в проблеме разрешимости посредством циркуля и линейки задачи древности о квадратуре круга. »

«Доказательство неразрешимости какой-либо задачи рассматривается в математике как своего рода решение проблемы, потому что такое утверждение дает вполне исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. В этом смысле доказательство Линдемана можно считать решением задачи о квадратуре круга, решением, полагающим конец двухтысячелетней работе над этой проблемой.»

2.Попытка решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

«Продолжают искать другого решения задачи, только любители. «Таких искателей - писал еще в 18-м столетии математик Ламберт - всегда будет достаточно…»»

Ламберт был прав: попытки решить задачу с помощью циркуля и линейки не прекратились и после того, как была доказана их неразрешимость. Фанатиков никакие доказательства не интересуют. Также и я как многие искатели попробую решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки.

Вспомним еще раз формулировку задачи: требуется построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий данному кругу.

Дано: окружность с центром в точке О, R=4см;

Доказать: S окружности =S ABCD

Доказательство:

1.Построим окружность R=4см.

2.Отступим 5мм от краев окружности, проведем прямые, так что бы получился квадрат ABCD.

3.По рисунку (см. Приложения. рис.7) видно, что если круговой сегмент –N будет равен, сегменту M, то окружность будет равна квадратуABCD.

4.Найдем площадь сегмента - N по формуле(1): S N SΔ,

где α - градусная мера центрального угла, SΔ - площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор; Знак «−» надо брать, когда α 180°.

а) Найдем SΔ по формуле(2): S ΔA1OB1 = (A 1 B 1 OH),

где OH-высота Δ A1OB1 ; А 1 В 1 - основание Δ A1OB1 ;

S ΔA1OB1 = (3.4 3.55) = 6.035см 2

б) Подставим полученные значения в формулу (1): где

S N = 2

5. Найдем площадь сегмента-M по формуле(3): S M = S A1AD1 сектора M1

а)S A1AD1 = , где A1D1-основание Δ A1AD1 , AH1-высота Δ A1AD1 ;

S A1AD1 = 1.38 см 2

б) Найдем площадь сектора – M1(см. Приложения рис. 8.) по формуле(4): S сектора M1 = SΔ, где

SΔ A1OD1 = , где A1D1-основание Δ A1OD1 , OH1-высота Δ A1OD1 ;

S ΔA1OD1 = см 2

Подставим значения в формулу (4):

S сектора M1 41 4.37 1.3517777796 см 2

Подставляем значения в формулу(3):

6. Сегменты S M S N . Разница между S N и S M равна:

S N S M 1.2218888912 1.1936666708см 2

Значит S ABCD S окружности .

Проведя еще несколько возможных вариантов решения (вместо 5 мм, 4мм и 6 мм), я остановилась на выше изложенной версии, так как считаю ее наиболее оптимальным решением.

В результате проделанных мной вычислений, я убедилась в том, что древняя задача о квадратуре круга не разрешима с помощью циркуля и линейки.

3. Решение задачи о квадратуре круга при помощи вспомогательных средств

Решение Динострата при помощи квадратрисы

«Известно, что задача о квадратуре круга неразрешима с помощью циркуля и линейки. Однако задача о квадратуре круга становится вполне разрешимой, если специально для нее расширить средства построения. Это знали еще древние греки. Они знали, что квадратура круга будет вполне разрешимой, если в процессе построения воспользоваться некоторыми специальными кривыми. Первое такое решение задачи о квадратуре круга еще в 4 в. до н.э. выполнил Динострат (древнегреческий математик, член Платоновской Академии, ученик Евдокса.). Он при своем решении воспользовался квадратрисой.

«Квадратриса - плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задачи квадратуры круга.

Рассмотрим квадрат ABCD, в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A"B" равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A"B" опишет квадратрису (см. Приложения рис. 9, выделена красным цветом)»

Суть решения Динострата заключается в следующем:

Пусть ANB-четверть окружности, расположенной в квадранте AOB, а AMC- квадратриса этого квадранта (см. Приложения рис. 10). Далее Динострат воспользовался соотношением, которое позднее было доказано Паппом Александрийским: ANB:OB OB:OC, где С-конечная точка квадратрисы. Поскольку OA OB R, то ANB:R R:OC, или . Откуда длина окружности радиуса R равняется . Таким образом, длина окружности определена. Чтобы построить квадрат, равновеликий кругу, Динострат, по-видимому, воспользовался теоремой: площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно окружности, а высота - радиусу круга.»

Заключение

Изучив теоритический материал, посвященный данной теме и проанализировав полученный результат собственного решения, я выяснила, что знаменитую задачу древности о квадратуре круга невозможно решить при помощи циркуля и линейки, только с помощью вспомогательных средств. Попытки древнегреческих ученых решить задачу о квадратуре круга путем проведения прямых и окружностей так и не увенчались успехом. Окончательный удар всем иллюзиям решить эту задачу был нанесен в конце 19в. Ф.Линдеманом. Его заслуга заключается в том, что он впервые в мировой науке окончательно установил невозможность решения задачи. Вот почему Ф.Линдемана называют «победителем задачи о квадратуре круга». Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Безрезультатность исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает безнадежное, бессмысленное или тщетное предприятие.

Список использованной литературы

1.«О квадратуре круга» с приложением истории вопроса, составленной Ф. Рудио. изд.3-е, ОНТИ НКТП СССР, М.- -Л, 1936г. Ст.17.

2.С.Е.Белозеров. «Пять знаменитых задач древности (История и современная теория)». Издательство Ростовского университета, 1975. Ст. 13.

3.М.Д.Аксенова. «Энциклопедия для детей»Т11. Издательский центр «Аванта+».-M,2003. Ст.324.

4.С.Е.Белозеров «Пять знаменитых задач древности (История и современная теория)». Издательство Ростовского университета, 1975.Ст. 14-15.

5. Я.И.Перельман. «Квадратура круга». Дом занимательной науки.-Л., 1941г. Ст16.

6. Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата. Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). Ст. 220-221.

7.В.Д.Чистяков «Три знаменитые задачи Древности». Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,-М. 1963г.Ст 55-56.

Приложения

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5. Рис. 6.

Рис. 7. Рис. 8.

В.Д.Чистяков «Три знаменитые задачи Древности». Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР,-М. 1963г.Ст 55-56.