На практике часто приходится вычислять квадратные корни из различных чисел. Сейчас это можно сделать на калькуляторе или с помощью компьютера. Мы же рассмотрим способ, как вычислить квадратный корень из любого числа с необходимой точностью, не используя при этом компьютер, калькулятор или другие вычислительные средства.

Для примера, попробуем вычислить корень из числа 2, с точностью до 0.01, то есть до двух знаков после запятой.

Посчитаем квадратный корень из числа 2

Будем рассуждать следующим образом. Число √2 больше 1, так как 1 2 < 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то. 1< √2 < 2.

Теперь попытаемся отыскать цифру десятых. Для этого будем дроби от единицы до двойки возводить в квадрат, пока не получим число большее двух. Шаг деления возьмем 0,1, так как мы ищем число десятых. Другими словами будем возводить в квадрат числа: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

  • 1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Получи число превышающее двойку, остальные числа уже не надо возводить в квадрат. Число 1,4 2 меньше 2, а 1,5 2 уже больше двух, то число √2 должно принадлежать промежутку от 1,4 до 1,5 (1,4< √2 < 1,5). Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… . Иначе говоря, √2 это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.

  • 1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Уже при 1.42 получаем, что его квадрат больше двух, далее возводить в квадрат числа не имеет смысла.

Из этого получаем, что число √2 будет принадлежать промежутку от 1,41 до 1,42 (1,41< √2

Так как нам необходимо записать √2 с точностью до двух знаков после запятой, то мы уже можем остановиться и не продолжать вычисления. √2 ≈ 1,41. Это и будет ответом. Если бы необходимо было вычислить еще более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений.

Как уже и говорилось выше, данный прием позволяет извлекать корень с любой заданной наперед точностью.

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы . Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах - значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня - это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки - 1, по вертикали находим единицы - 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители . Простые множители - это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона . Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

где R - число, корень которого нужно вычислить, a - ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен - 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода :

10,55² = 111,3025.

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

10,536² = 111,0073.

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора .

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

  1. Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
  2. Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 - первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
  3. Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
  4. Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
  5. Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
  6. Повторим шаги 3-6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 - 721 = 498.
  7. Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью . Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

  1. Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10² < 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
  2. Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20 < n <30.
  3. Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27 < n < 28.
  4. Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д.) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

Задача. Комната квадратной формы имеет площадь, равную 20 кв. м. Найти её длину и ширину.

Так как комната квадратная, то её длина х равна её ширине. По условию задачи мы должны иметь:

и нам требуется найти арифметический корень из числа 20.

Очевидно, что х не может быть целым числом, так как , а между двумя соседними целыми числами 4 и 5 не содержится ни одного целого числа.

Наша задача имеет вполне определённый практический смысл, и её можно решить приближённо с требуемой точностью.

Покажем, как это можно сделать.

Мы указали два соседних целых числа 4 и 5 такие, что 42 меньше, а 52 больше, чем 20.

Число 4 называется приближённым квадратным корнем из 20 с точностью до 1 с недостатком, число 5 - приближённым корнем из 20 с точностью до 1 с избытком.

Рассмотрим теперь десятичные дроби, заключающиеся между 4 и 5 и имеющие целое число десятых долей:

Будем последовательно возводить эти дроби в квадрат, пока не получим числа, большего 20.

Итак, мы получили:

Числа 4,4 и 4,5 называются приближёнными значениями квадратного корня из 20 с точностью до 0,1 с недостатком и с избытком (соответственно).

Если нам недостаточна полученная точность, то поступим так: будем выписывать десятичные дроби, заключённые между 4,4 и 4,5 и содержащие целое число сотых долей, а затем будем последовательно возводить эти дроби в квадрат, пока не получим числа, большего 20.

Числа 4,47 и 4,48 называются приближёнными значениями квадратного корня из 20 с точностью до 0,01 с недостатком и с избытком.

Точно так же (если это нужно) можно получить приближённые значения с точностью до 0,001; это будут числа 4,472 и 4,473, так как , значит,

Итак, наша задача получила решение с точностью до трёх значащих цифр; такая точность вполне достаточна во многих практических измерениях. Можно считать, что

Дадим теперь общее определение приближённого корня.

Приближёнными значениями квадратного корня из данного числа с точностью до единицы называются два последовательных натуральных числа, из которых квадрат первого меньше, а квадрат второго больше данного числа.

Первое из этих чисел называется приближённым значением корня с недостатком, второе - приближённым значением корня с избытком.

Записывают приближённые значения корня так:

Вместо слов «приближённое значение квадратного корня» часто говорят просто «приближённый квадратный корень».

Чтобы найти приближённый корень с точностью до 1 с недостатком, надо найти наибольшее натуральное число, квадрат которого меньше подкоренного числа. Это можно сделать или путём испытаний, или пользуясь таблицами квадратов натуральных чисел.

Прибавив 1 к приближённому корню с недостатком, получим приближённый корень с избытком.

Определение. Приближёнными квадратными корнями с недостатком и с избытком из числа с точностью до 0,1 называются такие два числа, отличающиеся друг от друга на 0,1, из которых квадрат одного меньше, а квадрат другого больше данного числа.

Теперь такой вопрос: как возвести число в иррациональную степень? Например, нам хочется узнать, что такое 10 √2 Ответ в принципе очень прост. Возьмем вместо √2 его приближение в виде конечной десятичной дрдби - это- рациональное число. Возводить в рациональную степень мы умеем; дело сводится к возведению в целую степень и извлечению корня. Мы получим приближенное значение числа. Можно взять десятичную дробь подлиннее (это снова рациональное число). Тогда придется извлечь корень большей степени; ведь знаменатель рациональной дроби увеличится, но зато мы получим более точное приближение. Конечно, если взять приближенное значение √2 в виде очень длинной дроби, то возведение в степень будет делом очень трудным. Как справиться с этой задачей?

Вычисление квадратных корней, кубичных корней и других корней невысокой степени - вполне доступный нам арифметический процесс; вычисляя, мы последовательно, один за другим, пишем знаки десятичной дроби. Но для того, чтобы возвести в иррациональную степень или взять логарифм (решить обратную задачу), нужен такой труд, что применить прежнюю процедуру уже не просто. На помощь приходят таблицы. Их называют таблицами логарифмов или таблицами степеней, смотря по тому, для чего, они предназначены. Они экономят время: чтобы возвести число в иррациональную степень, мы не вычисляем, а только перелистываем страницы.

Хотя вычисление собранных в таблицы значений - процедура чисто техническая, а все же дело это интересное и имеет большую историю. Поэтому посмотрим, как это делается. Мы вычислим не только х = 10 √2 , но решим и другую задачу: 10 х = 2, или x = log 10 2. При решении этих задач мы не откроем новых чисел; это просто вычислительные задачи. Решением будут иррациональные числа, бесконечные десятичные дроби, а их как-то неудобно объявлять новым видом чисел.

Подумаем, как решить наши уравнения. Общая идея очень проста. Если вычислить 10 1 и 10 1/10 , и 10 1/100 , и 10 1/1000 , и т. д., а затем перемножить результаты, то мы получим 10 1,414… или l0 √2 Поступая так, мы решим любую задачу такого рода. Однако вместо 10 1/10 и т. д. мы будем вычислять 10 1/2 , и 10 1/4 и т. д. Прежде чем начинать вычисления, объясним еще, почему мы обращаемся к числу 10 чаще, чем к другим числам. Мы знаем, что значение таблиц логарифмов выходит далеко за рамки математической задачи вычисления корней, потому что

Это хорошо известно всем, кто пользовался таблицей логарифмов, чтобы перемножить числа. По какому же основанию b брать логарифмы? Это безразлично; ведь в основу таких вычислений положен только принцип, общее свойство логарифмической функции. Вычислив логарифмы один раз по какому-нибудь произвольному основанию, можно перейти к логарифмам по другому основанию при помощи умножения. Если умножить уравнение (22.3) на 61, то оно останется верным, поэтому если перемножить все числа в таблице логарифмов по основанию b на 61, то можно будет пользоваться и такой таблицей. Предположим, что нам известны логарифмы всех чисел по основанию b. Иначе говоря, можно решить уравнение b а = с для любого с; для этого существует таблица. Задача состоит в том, как найти логарифм этого же числа с по другому основанию, например x. Нам нужно решить уравнение х а’ = с. Это легко сделать, потому что х всегда можно представить так: х = b t . Найти t, зная х и b, просто: t = log b x. Подставим теперь х = b t в уравнение х а’ = с; оно перейдет в такое уравнение: (b t) а’ = b ta’ = c. Иными словами, произведение ta’ есть логарифм с по основанию b. Значит, а’ = a/t. Таким образом, логарифмы по основанию х равны произведениям логарифмов по основа нию b на постоянное число l/t. Следовательно, все таблицы логарифмов эквивалентны с точностью до умножения на число l/log b x. Это позволяет нам выбрать для составления таблиц любое основание, но мы решили, что удобнее всего взять за основание число 10. (Может возникнуть вопрос: не существует ли все-таки какого-нибудь естественного основания, при котором все выглядит как-то проще? Мы попытаемся ответить на этот вопрос позднее. Пока все логарифмы будут вычисляться по основанию 10.)

Теперь посмотрим, как составляют таблицу логарифмов. Работа начинается с последовательных извлечений квадратного корня из 10. Результат можно увидеть в табл. 22.1. Показатели степеней записаны в ее первом столбце, а числа 10 s - в третьем. Ясно, что 10 1 = 10. Возвести 10 в половинную степень легко -это квадратный корень из 10, а как извлекать квадратный корень из любого числа, знает каждый. (Квадратный корень лучше всего извлекать не тем способом, которому обычно учат в школе, а немного иначе. Чтобы извлечь квадратный корень из числа N, выберем достаточно близкое к ответу число а, вычислим N/a и среднее а’ =1/2; это среднее будет новым числом а, новым приближением корня из N. Этот процесс очень быстро приводит к цели: число значащих цифр удваивается после каждого шага.) Итак, мы нашли первый квадратный корень; он равен 3,16228. Что это дает? Кое-что дает. Мы уже можем сказать, чему равно 10 0,5 , и знаем по крайней мере один логарифм.

Логарифм числа 3,16228 очень близок к 0,50000. Однако нужно еще приложить небольшие усилия: нам нужна более подробная таблица. Извлечем еще один квадратный корень и найдем 10 1/4 , что равно 1,77828. Теперь мы знаем еще один логарифм: 1,250 -это логарифм числа 17,78; кроме того, мы можем сказать, чему равно 10 0,75: ведь это 10 (0,5+0,25) , т. е. произведение второго и третьего чисел из третьего столбца табл. 22.1. Если сделать первый столбец таблицы достаточно длинным, то таблица будет содержать почти все числа; перемножая числа из третьего столбца, мы получаем 10 почти в любой степени. Такова основная идея таблиц. В нашей таблице содержится десять последовательных корней из 10; основной труд по составлению таблицы вложен в вычисления этих корней.

Почему же мы не продолжаем повышать точность таблиц дальше? Потому что мы кое-что уже подметили. Возведя 10 в очень малую степень, мы получаем единицу с малой добавкой. Это, конечно, происходит потому, что если возвести, например, 10 1/1000 в 1000-ю степень, то мы снова получим 10; ясно, что 10 1/1000 не может быть большим числом: оно очень близко к единице. Более того, малые добавки к единице ведут себя так, будто их каждый раз делят на 2; поглядите-ка на таблицу повнимательнее: 1815 переходит в 903, потом в 450, 225 и т. д. Таким бразом, если вычислить еще один, одиннадцатый, квадратный корень, он с большой точностью будет равен 1,00112, и этот результат мы угадали еще до вычисления. Можно ли сказать, какова будет добавка к единице, если возвести 10 в степень ∆/1024, когда ∆ стремится к нулю? Можно. Добавка будет приблизительно равна 0,0022511∆. Конечно, не в точности 0,0022511∆; чтобы вычислить эту добавку поточнее, делают такой трюк: вычитают из 10 s единицу и делят разность на показатель степени s. Отклонения полученного таким образом частного от его точного значения одинаковы для любой степени s. Видно, что эти отношения (табл. 22.1) примерно равны. Сначала они сильно различаются, но потом все ближе подходят друг к другу, явно стремясь к какому-то числу. Что это за число? Проследим, как меняются числа четвертого столбца, если опускаться вниз по столбцу. Сначала разность двух соседних чисел равна 0,0211, потом 0,0104, потом 0,0053 и, наконец, 0,0026. Разность каждый раз убывает наполовину. Сделав еще один шаг, мы доведем ее до 0,0013, потом до 0,0007, 0,0003, 0,0002 и, наконец, примерно до 0,0001; надо последовательно делить 26 на 2. Таким образом, мы спустимся еще на 26 единиц и найдем для предела 2,3025. (Позднее мы увидим, что правильнее было бы взять 2,3026, но давайте возьмем то, что у нас получилось.) Пользуясь этой таблицей, можно возвести 10 в любую степень, если ее показатель каким угодно способом выражается через I/I024.

Теперь легко составить таблицу логарифмов, потому что все необходимое для этого мы уже припасли. Процедура этого изображена в табл. 22.2, а нужные числа берутся из второго и третьего столбцов табл. 22.1.

Предположим, что мы хотим знать логарифм 2. Это значит, что мы хотим знать, в какую степень надо возвести 10, чтобы получить 2. Может быть, возвести 10 в степень 1/2? Нет, получится слишком большое число. Глядя на табл.. 22.1, можно сказать, что нужное нам число лежит между 1/4 и 1/2. Поиск его начнем с 1/4; разделим 2 на 1,778…, получится 1,124…; при делении мы отняли от логарифма двух 0,250000, и теперь нас интересует логарифм 1,124…. Отыскав его, мы прибавим к результату 1/4 = 256/1024. Найдем в табл.22.1 число, которое бы при движении по третьему столбцу сверху вниз стояло сразу за 1,124… . Это 1,074607. Отношение 1,124… к 1,074607 равно 1,046598. В конце концов мы представим 2 в виде произведения чисел из табл. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
Для последнего множителя (1,000573) в нашей таблице места не нашлось; чтобы найти, его логарифм, надо представить это число в виде 10∆/1024 ≈ 1 + 2,3025∆/1024. Отсюда легко найти, что ∆ = 0,254. Таким образом, наше произведение можно представить в виде десятки, возведенной в степень 1/1024 (266 + 32+16 + 4 + 0,254). Складывая и деля, мы получаем нужный логарифм: log 10 2 = 0,30103; этот результат верен до пятого десятичного знака!

Мы вычисляли логарифмы точно так же, как это делал мистер Бриггс из Галифакса в 1620 г. Закончив работу, он сказал: «Я вычислил последовательно 54 квадратных корня из 10». На самом деле он вычислил только 27 первых корней, а потом сделал фокус с ∆. Вычислить 27 раз квадратный корень из 10, вообще-то говоря, немного сложнее, чем
10 раз, как это сделали мы. Однако мистер Бриггс сделал гораздо большее: он вычислял корни с точностью до шестнадцатого десятичного знака, а когда опубликовал свои таблицы, то оставил в них лишь 14 десятичных знаков, чтобы округлить ошибки. Составить таблицы логарифмов с точностью до четырнадцатого десятичного знака таким методом- дело очень трудное. Зато целых 300 лет спустя составители таблиц логарифмов занимались тем, что уменьшали таблицы мистера Бриггса, выкидывая из них каждый раз разное число десятичных знаков. Только в последнее время при помощи электронных вычислительных машин оказалось возможным составить таблицы логарифмов независимо от Мистера Бриггса. При этом использовался более эффективный метод вычислений, основанный на разложении логарифма в ряд.

Составляя таблицы, мы натолкнулись на интересный факт; если показатель степени ε очень мал, то очень легко вычислить 10 ε ; это просто 1+2,3025ε. Это значит, что 10 n/2,3025 = 1 + n для очень малых n. Кроме того, мы говорили с самого начала, что вычисляем логарифмы по основанию 10 только потому, что у нас на руках 10 пальцев и по десяткам нам считать удобнее. Логарифмы по любому другому основанию получаются из логарифмов по основанию 10 простым умножением. Теперь настало время выяснить, не существует ли математически выделенного основания логарифмов, выделенного по причинам, не имеющим ничего общего с числом пальцев на руке. В этой естественной шкале формулы с логарифмами должны выглядеть проще. Составим новую таблицу логарифмов, умножив все логарифмы по основанию 10 на 2,3025…. Это соответствует переходу к новому основанию - натуральному, или основанию е. Заметим, что log e (l + n) ≈ n или е n ≈ 1 + n, когда n → 0.

Легко найти само число е; оно равно 101/ 2,3025 или 10 0,4342294… Это 10 в иррациональной степени. Для вычисления е можно воспользоваться таблицей корней из 10. Представим 0,434294… сначала в виде 444,73/1024, а числитель этой дроби в виде суммы 444,73 = 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 0,73. Число е поэтому равно произведению чисел
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(Числа 0,73 нет в нашей таблице, но соответствующий ему результат можно представить в виде 1 + 2,3025∆/1024 и вы—числить при ∆ = 0,73.) Перемножив все 7 сомножителей, мы получим 2,7184 (на самом деле должно быть 2,7183, но и этот результат хорош). Используя такие таблицы, можно возводить число в иррациональную степень и вычислять логарифмы иррациональных чисел. Вот как надо обращаться с иррациональностями!

ГУ « Средняя общеобразовательная школа №5 им. Бауыржана Момышулы»

отдела образования акимата г. Костаная

ПЛАН-КОСПЕКТ УРОКА

ФИО (полностью) Пластун Сергей Владимирович

Предмет алгебра

Класс 8А-8б-1

Дата 23.09.17

Источники Алматы «Мектеп-2016»

Базовый учебник

Дополнительная литература

Нахождение приближенных значений квадратного корня.

1. Цель урока: познакомить учащихся с понятием « приближенное значение квадратного корня» и научить применять это понятие на практике.

Задачи:

Образовательные:

-научить находить приближенные значения квадратного корня;

-выработка умений рассуждать, четко формулировать правила, приводить примеры, применять свои знания и умения на практике.

корень, приводить и находить значения арифметического квадратного корня.

Развивающие:

-развивать у учащихся навык решения заданий на данную тему;

-развивать мыслительную деятельность учащихся.

Воспитательные:

- воспитывать внимательность, активность, ответственность.

2. Тип урока: комбинированный .

3. Формы работы с учащимися: фронтальная, индивидуальная.

4. Необходимое техническое оборудование.

5. Наглядные пособия, дидактические материалы, используемые на уроке.

6. Структура и ход урока.

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

Ход урока

1. Организационный момент .

Проверка готовности класса к уроку. Приветствие.

2. Проверка домашнего задания.

3. Повторение ранее изученного материала.

Начнем с повторения. Устная работа

Давайте вспомним, что такое квадратный корень (Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется число, квадрат которого равен а).

(Арифметический квадратный корень) Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b , квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так:. Знак называется знаком арифметического квадратного корня, или радикалом, а –подкоренным выражением. Выражение читается так: «Арифметический квадратный корень из числа а».

По определению арифметического корня равенство
выполняется при условии, когда
.

4. Изучение нового материала.

1. Вычислите: 25 , 16, 9, 81,

Найдите значение выражения √2

- Что вам необходимо было сделать?

Что у вас получилось? (Учащиеся показывают свои варианты:)

В чём возникло затруднение?

Извлекается √2 нацело?

Как будем находить?

Какие знаем способы нахождения корней?

Ребята, видите, не всегда мы имеем дело с числами, легко представимыми в виде квадрата числа, которые извлекаются из- под корня нацело

1 МЕТОД вычислить √2 с точностью до двух знаков после запятой Будем рассуждать следующим образом.

Число √2 больше 1, так как 1 2 < 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2 2 больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то.

1< √2 < 2.

Теперь попытаемся отыскать цифру десятых.

Для этого будем дроби от единицы до двойки возводить в квадрат, пока не получим число большее двух.

Шаг деления возьмем 0,1, так как мы ищем число десятых.

Другими словами будем возводить в квадрат числа: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

Получили число превышающее двойку, остальные числа уже не надо возводить в квадрат. Число 1,4 2 меньше 2, а 1,5 2 уже больше двух, то число √2 должно принадлежать промежутку от 1,4 до 1,5 . Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… .

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

Уже при 1.42 получаем, что его квадрат больше двух, далее возводить в квадрат числа не имеет смысла.

Из этого получаем, что число √2 будет принадлежать промежутку от 1,41 до 1,42 (1,41< √2<1,42)

Так как нам необходимо записать √2 с точностью до двух знаков после запятой, то мы уже можем остановиться и не продолжать вычисления.

√2 ≈ 1,41. Это и будет ответом. Если бы необходимо было вычислить еще более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений.

Задание

Вычислите с точностью до двух знаков после запятой

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

Вывод Данный прием позволяет извлекать корень с любой заданной наперед точностью.

2 МЕТОД Чтобы узнать целую часть квадратного корня числа, можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, посчитать количество выполненных действий.

Например, найдем √16 так:

Выполнено 4 действия, значит, √16 = 4

Задание. Вычислите

√1 √6