Класс: 11 Урок №14 Дата проведения: ____________

Тема урока: «Прямой круговой конус, его элементы. Осевые сечения конуса. Сечения конуса плоскостью, параллельной основанию. Развертка конуса»

Цель урока:

    Ввести понятия конической поверхности, конуса, элементов конуса (боковая поверхность, основание, вершина, образующая, ось, высота), понятие усеченного конуса;

    Вывести формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса;

    Учить обучающихся решать задачи по этой теме.

    Содействовать творческому восприятию учащимися учебного материала и их желание самосовершенствоваться.

    Воспитывать организованность, дисциплинированность, ответственность за свой труд и труд одноклассников.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование урока: интерактивная доска, таблицы, модели конусов, материал для изготовления моделей: спицы, модель плоскости (пенопласт), бумага, клей, ножницы, циркуль, транспортир, линейка.

Форма организации деятельности учащихся : г рупповая.

Ход урока

1. Фронтальная работа

    Из предложенных геометрических фигур выбрать конус

    Знакомство с конической поверхностью

Определение №1 Коническая поверхность называется поверхность, образованная движением прямой, которая проходит через данную точку и пересекает данную плоскую линию.

Прямая а - образующая;

Плоская линия MN - направляющая.

Незамкнутая коническая поверхность

Если направляющая - замкнутая, то коническая поверхность – замкнутая.

Определение №2 Конусом называется тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью и пересекающей её плоскостью.

Знакомство с конусом и его элементами

А ) Конус

SO a (SO= Н , SO=h)

SO - высота конуса

SA - образующая

S - вершина конуса

Кривая ABA - направляющая .

Б) Пусть прямоугольный прямоугольник SOA вращается вокруг катета SO; при полном обороте гипотенуза AS описывает коническую поверхность, катет OA описывает круг.

Такое тело называется конусом вращения . (прямой круговой конус).

Прямой круговой конус

S - вершина конуса

SA - образующая

SO=h - высота конуса

(ось конуса - а)

Основание конуса – круг (О; r)

О - центр основания,

AO=OB=r - радиус основания круга

D SAB - осевое сечение

a||b, b SO, a SO

Круг (о;r) ~ Круг (о1; r1)


Понятие боковой (полной) поверхности.

II. Работа в группах (3-5 человек)

(задания раздается каждой группе на карточке)

Задание по теме «Конус»

1) Изобразите конус. По рисунку определите все элементы конуса.

2) По заданной модели конуса постройте развертку этого конуса. Определите соответствие элементов развертки конуса, чертежа и модели конуса.

3) Из листа плотной бумаги изготовить конус, чтобы его полная поверхность: S 110 см2 при радиусе основания r 3.1 см.

Определите какие инструменты вам для этого понадобятся, какие расчеты необходимы сделать, какие формулы придется вспомнить, а какие вывести новые?

4) Оформите работу на месте по плану:

А) Какие у вас распределились обязанности в группе в процессе выполнения заданий:

    генератор идей;

    конструктор;

    расчетчик;

    оформитель;

    изготовитель.

Б) Опишите способы и подходы к решению задачи.

    Необходимые расчеты для изготовления модели конуса. (Чертеж. Формулы. Вывод)

    Изготовление конуса.

5) Модель конуса готова.

6) Составьте формулу для расчета площади сечения, параллельного основанию конуса и делящего высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины

7) Составьте формулу для расчета площади сечения, проходящего через ось конуса. Чему равен угол при вершине данного сечения?

8) Каким образом можно из вашей модели получить усеченный конус? Рассчитать его полную поверхность используя задания (6).

9) Составьте и решите еще три задачи на данную тему.

Замечание: учитель выступает в роли консультанта при решении задач, пользуясь вопросами- подсказками и опираясь на ключевые слова.

Одной из групп были даны более легкие задания:

№1. Заполнить пропуски:

    Прямая, которая при движении образует коническую поверхность, называется…;

    Линия, которую пересекает образующая, называется…..;

    Конус вращения - частный случай…, когда основание конуса - .., а основание высоты - ..;

    Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной основанию, - …. Найдите площадь сечения.

    Если осевое сечение конуса- равносторонний треугольник, то конус…..Сделать чертеж:

№2. Решите задачу, заполняя пропуски.

В развертке боковой поверхности конуса центральный угол равен 200 o . Найти угол между образующей и основанием конуса.

Дано: ВSB=200 o , SA=L, ОВ=r

Найти SAO

Решение:

1) a =360 o …..| cos x=…

2) 200 o =…

3) cos x =… , x -

А) … образующей;

Б) … направляющей;

В) …конус, …. Круг…, центр основания

Г) …круг, …расстояния сечения от вершины конуса;

Д) … называется равносторонним

А)

Б) 200 o = 360 o *cos x;

Задание на дом.

Изучить усеченный конус, решить задачи №

Итог урока.

    В результате работы ученики

    Сами вывели формулы для вычисления боковой и полной поверхностей конуса

    Нарисовали развертку

    Сделали необходимые расчеты

Группы

L(см)

9,2

3,1

21,1754

89,5528

110,7282

7,8

28,26

73,476

101,74

9,4

28,26

88,548

116,808

10,4

4,9

75,3914

160,0144

235,4058

    Провели исследовательскую работу,

    Решили задачи,

    Постоянно общались между собой, учились мыслить и мотивировать своих товарищей по работе.

    Получили не только необходимые знания, но и большое удовольствие.

    Выяснили, что слово «Конус» произошло от греческого слова «xwnos», что означает шишка.

Определения:
Определение 1. Конус
Определение 2. Круговой конус
Определение 3. Высота конуса
Определение 4. Прямой конус
Определение 5. Прямой круговой конус
Теорема 1. Образующие конуса
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса

Объем и площади :
Теорема 2. Объем конуса
Теорема 3. Площадь боковой поверхности конуса

Усеченный конус :
Теорема 4. Сечение, параллельное основанию
Определение 6. Усеченный конус
Теорема 5. Объем усеченного конуса
Теорема 6. Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Определние
Тело ограниченное с боков конической поверхностью, взятой между её вершиной и плоскостью направляющей, и плоским основанием направляющей, образованным замкнутой кривой, называется конусом.

Основные понятия
Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.

Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.

Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную)(например, l ), лежащую в некоторой плокости, и произвольную точку (например, М), не лежащую в этой плоскости. Всевозможные прямые, соединяющие точку М со всеми точками данной линии l , образуют поверхность, называемую канонической . Точка М является вершиной такой поверхности, а заданная линия l - направляющей . Все прямые соединяющие точку М со всеми точками линии l , называют образующими . Каноническая поверхность не ограничивается ни её вершиной, ни направляющей. Она простирается неограниченно в обе стороны от вершины. Пусть теперь направляющая - замкнутая выпуклая линия. Если направляющая - ломаная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется пирамидой .
Если же направляющая - кривая или смешанная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется конусом или
Определение 1 . Конусом называют тело, состоящее из основания - плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией (кривой или смешанной), вершины - точки, не лежащей в плокости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину со всевозможными точками основания.
Все прямые, проходящие через вершину конуса и любую из точек кривой, ограничивающей фигуру основания конуса, называются образующими конуса. Чаще всего в геометрических задачах под образующей прямой имеется ввиду отрезок этой прямой, заключенный между вершиной и плоскостью основания конуса.
Основание ограниченной смешанной линией - это очень редкий случай. Он сдесь указан только потому, что он может быть рассмотрен в геометрии. Чаще рассматривается случай с криволинейной направляющей. Хотя, что случай с произвольной кривой, что случай со смешанной направляющей, мало чем полезен и в них сложно вывести какие-любо закономерности. Из числа конусов в курсе элементарной геометрии изучается прямой круговой конус.

Известно, что окружность есть частный случай замкнутой кривой линии. Круг - плоская фигура, ограниченная окружностью. Принимая окружность за направляющую, можно определеить круговой конус.
Определение 2 . Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.
Определение 3 . Высота конуса - перпендикуляр, опущенный из вершины на плокость основания конуса. Можно выделить конус, высота которого падает в центр плоской фигуры основания.
Определение 4 . Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.
Если связать эти два определения, мы получим конус, основание котрого есть круг, а высота падает в центр этого круга.
Определение 5 . Прямым круговым конусом называют конус, основание котрого есть круг, а высота его соединяет вершину и центр основания данного конуса. Такой конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и называется также конусом вращения. Если не оговорено противное, то для краткости в дальнейшем говорим просто конус.
Итак приведем некоторые свойства конуса:
Теорема 1 . Все образующие конуса равны. Доказательство. Высота МО перпендикулярна всем прямым основания по определению перпендикулярной прямой к плокости. Поэтому треугольники МОА, МОВ и МОС являются прямоугольными и равны по двум катетам (МО - общая, ОА=ОВ=ОС - радиусы основания. Поэтому равны и гипотенузы, т.е. образующие.
Радиус основания конуса иногда называют радиусом конуса . Высота конуса называется также осью конуса , поэтому любое сечение, проходящее через высоту называется осевым сечением . Любое осевое сечение пересекает основание по диаметру (т.к. прямая, по которой пересекаются осевое сечение и плокость основания, проходит через центр окружности) и образует равнобедренный треугольник.
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса есть равнобедренный треугольник. Так треугольник АМВ является равнобедренным, т.к. две его стороны МВ и МА есть образующие. Угол АМВ является углом при вершине осевого сечения.

Рассмотрим какую-либо линию l (кривую или ломаную), лежащую в некоторой плоскости (рис. 386, а, б), и произвольную точку М, не лежащую в этой плоскости. Всевозможные прямые, соединяющие точку М со всеми точками линии образуют поверхность а; такая поверхность называется конической поверхностью, точка вершиной, линия - направляющей, прямые образующими. На рис. 386 мы не ограничиваем поверхность а ее вершиной, но представляем себе ее простирающейся неограниченно в обе стороны от вершины.

Если коническую поверхность рассечь какой-либо плоскостью, параллельной плоскости направляющей , то в сечении получим линию (кривую или ломаную, в зависимости от того, была ли кривой или ломаной линия ), гомотетичную линии l, с центром гомотетии в вершине конической поверхности. Действительно, отношение любых соответствующих отрезков образующих будет постоянным:

Итак, сечения коническои поверхности плоскостями, параллельными плоскости направляющей, подобны и подобно расположены, с центром подобия в вершине конической поверхности; это же верно для любых параллельных плоскостей, не проходящих через вершину поверхности.

Пусть теперь направляющая - замкнутая выпуклая линия (кривая на рис. 387, а, ломаная на рис. 387, б). Тело, ограниченное с боков конической поверхностью, взятой между ее вершиной и плоскостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется конусом (если -кривая линия) или пирамидой (если -ломаная).

Пирамиды классифицируются по числу сторон многоугольника, лежащего в их основании. Говорят о треугольной, четырехугольной и вообще -угольной пирамидах. Заметим, что -угольная пирамида имеет грань: боковых граней и основание. При вершине пирамиды мы имеем -гранный угол с плоскими и двугранными углами.

Они соответственно называются плоскими углами при вершине и двугранными углами при боковых ребрах. При вершинах основания мы имеем трехгранных углов; их плоские углы, образованные боковыми, ребрами и сторонами основания, называются плоскими углами при основании, двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания - двугранными углами при основании.

Треугольная пирамида иначе называется тетраэдром (т. е. четырехгранником). Любая из ее граней может быть принята за основание.

Пирамида называется правильной при выполнении двух условий: 1) в основании пирамиды лежит правильный многоугольник,

2) высота, опущенная из вершины пирамиды на основание, пересекает его в центре этого многоугольника (иначе говоря, вершина пирамиды проектируется в центр основания).

Заметим, что правильная пирамида не является, вообще говоря, правильным многогранником!

Отметим некоторые свойства правильной -угольной пирамиды. Проведем через вершину такой пирамиды высоту SO (рис. 388).

Повернем всю пирамиду как целое вокруг этой высоты на угол При таком повороте многоугольник основания перейдет сам в себя: каждая из его вершин займет положение соседней. Вершина пирамиды и ее высота (ось вращения!) останутся на месте, и поэтому пирамида как целое совместится сама с собой: каждое боковое ребро перейдет в соседнее, каждая боковая грань совместится с соседней, каждый двугранный угол при боковом ребре также совместится с соседним.

Отсюда вывод: все боковые ребра равны между собой, все боковые грани суть равные равнобедренные треугольники, все двугранные углы при основании равны, все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны.

Из числа конусов в курсе элементарной геометрии мы изучаем прямой круговой конус, т. е. такой конус, основание которого круг, а вершина проектируется в центр этого круга.

Прямой круговой конус показан на рис. 389. Если проведем через вершину конуса высоту SO и повернем конус вокруг этой высоты на произвольный угол, то окружность основания будет скользить сама по себе; высота и вершина останутся на месте, поэтому при повороте на любой угол конус совместится сам с собой. Отсюда видно, в частности, что все образующие конуса равны между собой и одинаково наклонены к плоскости основания. Сечения конуса плоскостями, проходящими через его высоту, будут равнобедренными треугольниками, равными между собой. Весь конус получается от вращения прямоугольного треугольника SOA вокруг его катета (который становится высотой конуса). Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и также называется конусом вращения. Если не оговорено противное, мы для краткости в дальнейшем говорим просто «конус», понимая под этим конус вращения.

Сечения конуса плоскостями, параллельными плоскости его основания, суть круги (хотя бы потому, что они гомотетичны кругу основания).

Задача. Двугранные углы при основании правильной треугольной пирамиды равны а. Найти двугранные углы при боковых ребрах.

Решение. Обозначим временно сторону основания пирамиды через а. Проведем сечение пирамиды плоскостью, содержащей ее высоту SO и медиану основания AM (рис. 390).

Елена Голубева

Презентация для изучения темы "Тела вращения".

Конус – это тело, которое состоит из круга. Круг является основанием конуса .

Вершиной конуса – являются точки не лежащие в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса .

Прямой конус – если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярно плоскости основания.

Высота конуса – перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса – это прямая, содержащая его высоту.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

К о н у с

Наглядно прямой круговой конус можно представить себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Конус – это тело, которое состоит из круга. Круг является основанием конуса. Вершиной конуса – являются точки не лежащие в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Прямой конус – если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярно плоскости основания. Высота конуса – перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Ось прямого кругового конуса – это прямая, содержащая его высоту.

Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r , его высота – h , а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d . Найдите h , если r = 10 дм, d = 8 дм, АВ = 13 дм. ЗАДАЧА Дано: Цилиндр, r = 10 дм – радиус основания, d = 8 дм – расстояние от ОО1 до АВ, АВ = 13 дм, h – высота. Найти: h . А 1 О О 1 В 1 K Решение: Построим секущую плоскость ВВ 1 АА 1 , параллельную оси цилиндра, в которой лежит прямая АВ. Получили прямоугольник с диагональю АВ. ВВ 1 АА 1 ║ОО 1 . ВВ 1 = АА 1 = h . ВАВ 1 – прямоугольный. По теореме Пифагора: ВВ 1 = √ АВ ² - АВ 1 ² Найдем АВ 1: ∆ОАВ1 – равнобедренный (ОА = ОВ1 = r). ОК = d т. к. ОК ┴ АВ1 (высота ∆ ОАВ1), то ОК – медиана (К – середина отрезка АВ1). ∆АОК – прямоугольный, по теореме Пифагора: КА = √ ОА ² - ОК ² , КА = √ 10 ² - 8 ² = 6 дм АВ1 = 2 · КА = 6 · 2 = 12 дм ВВ1 = √ 13 ² - 12 ² = √ (13 - 12)(13 + 12) = 5 дм, h = ВВ1 = 5 дм.

Дано: цилиндр ABCD – сечение, квадрат дуга AD - 90 ° R = 4 см Найти: S ABCD Решение: S ABCD = AB · BC = BC 2 , т.к. ABCD – квадрат ВОС – прямоугольный, т.к. дуга AD - 90 ° ВОС = 90 ° ОС = ОВ = 4 (см), т.к. ОС и ОВ – радиусы основания ВС = ОВ 2 + ОС 2 = 4 2 + 4 2 = 32 = 4 2 (см) S ABCD = (4 2) 2 = 32 (см 2) Ответ: 32 см 2

Полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник , конус становится пирамидой .

"== Связанные определения ==

  • Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .
  • Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой ) поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
  • Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса .
  • Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым . При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
  • Косой (наклонный ) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
  • Круговой конус - конус, основание которого является кругом.
  • Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
  • Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
  • Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом .

Свойства

  • Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
  • Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
где - угол раствора конуса (то есть удвоенный угол между осью конуса и любой прямой на его боковой поверхности).
  • Площадь боковой поверхности такого конуса равна
где - радиус основания, - длина образующей.
  • Объем кругового конуса равен
  • Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях - эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Обобщения

В алгебраической геометрии конус - это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого

См. также

  • Конус (топология)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Конус (геометрическая фигура)" в других словарях:

    Конус: В математике Конус геометрическая фигура. Конус над топологическим пространством. Конус(Теория Категорий). В технике Конус инструментальный метод сопряжения инструмента и шпинделя в станках. Конусное устройство узел… … Википедия

    Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… … Энциклопедия Кольера

    Визуализация изображения информации на экране дисплея (монитора). В отличие от воспроизведения изображения на бумаге или ином носителе, изображение, созданное на экране, можно почти немедленно стереть или (и) подправить, сжать или растянуть,… … Энциклопедический словарь

    История науки … Википедия

    История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

    - (греч. geodaisia, от ge Земля и daio делю, разделяю), наука об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет. Это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией,… … Энциклопедия Кольера