Смирнова Анастасия Юрьевна

Тип урока: урок изучения нового материала.

Форма организации учебной деятельности : фронтальная, индивидуальная.

Цель урока: познакомить с новым видом уравнений - дробными рациональными уравнениями, дать представление об алгоритме решения дробных рациональных уравнений.

Задачи урока.

Обучающая:

  • формирование понятия дробно рационального уравнения;
  • рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
  • обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму.

Развивающая:

  • создать условия для формирования навыков применения полученных знаний;
  • способствовать развитию познавательного интереса учащихся к предмету;
  • развитие у учащихся умения анализировать, сопоставлять и делать выводы;
  • развитие навыков взаимоконтроля и самоконтроля, внимания, памяти, устной и письменной речи, самостоятельности.

Воспитывающая:

  • воспитание познавательного интереса к предмету;
  • воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
  • воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Оборудование: учебник, доска, цветные мелки.

Учебник «Алгебра 8». Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова под редакцией С.А.Теляковского. Москва «Просвещение». 2010г.

На данную тему отводится пять часов. Данный урок является первым. Основное - изучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений и отработать этот алгоритм на упражнениях.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мне хотелось бы начать наш урок с четверостишия:
Что бы легче всем жилось,
Что б решалось, что б моглось,
Улыбнись, удачи всем,
Что бы не было проблем,
Улыбнулись друг другу, создали хорошее настроение и начали работу.

На доске написаны уравнения, посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

  1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
  2. Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
  3. Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (По формулам )
  4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
  5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
  6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

х 2 -7х+12 = 0

D=1›0, х 1 =3, х 2 =4.

Ответ : 3;4.

Решение уравнений типа уравнения №7 мы рассмотрим на следующих уроках.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом - два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.

  • Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-6 - выражения с переменной .)
  • Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .)
  • Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

  1. Перенести все в левую часть.
  2. Привести дроби к общему знаменателю.
  3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
  4. Решить уравнение.
  5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
  6. Записать ответ.

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в); № 601(а,д). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 - посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 - посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

5. Постановка домашнего задания.

  1. Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
  2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
  3. Решить в тетрадях № 600(г,д); №601(г,з).

6. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами. Независимо от способа решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где - рациональные выражения.

Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Получаем два корня: ; .

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: .

Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.

Ответ: .

На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.
  1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
  2. School.xvatit.com ().
  3. Rudocs.exdat.com ().

Домашнее задание

«Рациональные уравнения с многочленами» - одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» - это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.

Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.

Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.

Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!

Уравнение» мы ввели выше в § 7. Сначала напомним, что такое рациональное выражение. Это - алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Если r(х) - рациональное выражение, то уравнение r(х) = 0 называют рациональным уравнением.

Впрочем, на практике удобнее пользоваться несколько более широким толкованием термина «рациональное уравнение»: это уравнение вида h(x) = q(x), где h(x) и q(x) - рациональные выражения.

До сих пор мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований и рассуждений сводилось к линейному уравнению . Теперь наши возможности значительно больше: мы сумеем решить рациональное уравнение, которое сводится не только к линейно-
му, но и к квадратному уравнению.

Напомним, как мы решали рациональные уравнения раньше, и попробуем сформулировать алгоритм решения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде

При этом, как обычно, мы пользуемся тем, что равенства А = В и А - В = 0 выражают одну и ту же зависимость между А и В. Это и позволило нам перенести член в левую часть уравнения с противоположным знаком.

Выполним преобразования левой части уравнения. Имеем


Вспомним условия равенства дроби нулю: тогда, и только тогда, когда одновременно выполняются два соотношения:

1) числитель дроби равен нулю (а = 0); 2) знаменатель дроби отличен от нуля ).
Приравняв нулю числитель дроби в левой части уравнения (1), получим

Осталось проверить выполнение второго указанного выше условия. Соотношение означает для уравнения (1), что . Значения х 1 = 2 и х 2 = 0,6 указанным соотношениям удовлетворяют и потому служат корнями уравнения (1), а вместе с тем и корнями заданного уравнения.

1) Преобразуем уравнение к виду

2) Выполним преобразования левой части этого уравнения:

(одновременно изменили знаки в числителе и
дроби).
Таким образом, заданное уравнение принимает вид

3) Решим уравнение х 2 - 6x + 8 = 0. Находим

4) Для найденных значений проверим выполнение условия . Число 4 этому условию удовлетворяет, а число 2 - нет. Значит, 4 - корень заданного уравнения, а 2 - посторонний корень.
О т в е т: 4.

2. Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной

Метод введения новой переменной вам знаком, мы не раз им пользовались. Покажем на примерах, как он применяется при решении рациональных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение х 4 + х 2 - 20 = 0.

Решение. Введем новую переменную у = х 2 . Так как х 4 = (х 2) 2 = у 2 , то заданное уравнение можно переписать в виде

у 2 + у - 20 = 0.

Это - квадратное уравнение, корни которого найдем, используя известные формулы ; получим у 1 = 4, у 2 = - 5.
Но у = х 2 , значит, задача свелась к решению двух уравнений:
x 2 =4; х 2 =-5.

Из первого уравнения находим второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Уравнение вида ах 4 + bx 2 +c = 0 называют биквадратным уравнением («би» - два, т. е. как бы «дважды квадратное» уравнение). Только что решенное уравнение было именно биквадратным. Любое биквадратное уравнение решается так же, как уравнение из примера 3: вводят новую переменную у = х 2 , решают полученное квадратное уравнение относительно переменной у, а затем возвращаются к переменной х.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Заметим, что здесь дважды встречается одно и то же выражение х 2 + Зх. Значит, имеет смысл ввести новую переменную у = х 2 + Зх. Это позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что, собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной - и запись упроща
ется, и структура уравнения становится более ясной):

А теперь воспользуемся алгоритмом решения рационального уравнения.

1) Перенесем все члены уравнения в одну часть:

= 0
2) Преобразуем левую часть уравнения

Итак, мы преобразовали заданное уравнение к виду


3) Из уравнения - 7у 2 + 29у -4 = 0 находим (мы с вами уже решили довольно много квадратных уравнений, так что всегда приводить в учебнике подробные выкладки, наверное, не стоит).

4) Выполним проверку найденных корней с помощью условия 5 (у - 3) (у + 1). Оба корня этому условию удовлетворяют.
Итак, квадратное уравнение относительно новой переменной у решено:
Поскольку у = х 2 + Зх, а у, как мы установили, принимает два значения: 4 и , - нам еще предстоит решить два уравнения: х 2 + Зх = 4; х 2 + Зх = . Корнями первого уравнения являются числа 1 и - 4, корнями второго уравнения - числа

В рассмотренных примерах метод введения новой переменной был, как любят выражаться математики, адекватен ситуации, т. е. хорошо ей соответствовал. Почему? Да потому, что одно и то же выражение явно встречалось в записи уравнения несколько раз и был резон обозначить это выражение новой буквой. Но так бывает не всегда, иногда новая переменная «проявляется» только в процессе преобразований. Именно так будет обстоять дело в следующем примере.

Пример 5. Решить уравнение
х(х- 1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Имеем
х(х - 3) = х 2 - 3х;
(х - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Значит, заданное уравнение можно переписать в виде

(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24

Вот теперь новая переменная «проявилась»: у = х 2 - Зх.

С ее помощью уравнение можно переписать в виде у (у + 2) = 24 и далее у 2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого уравнения служат числа 4 и -6.

Возвращаясь к исходной переменной х, получаем два уравнения х 2 - Зх = 4 и х 2 - Зх = - 6. Из первого уравнения находим х 1 = 4, х 2 = - 1; второе уравнение не имеет корней.

О т в е т: 4, - 1.

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

§ 1 Целое и дробное рациональные уравнение

В этом уроке разберем такие понятия, как рациональное уравнение, рациональное выражение, целое выражение, дробное выражение. Рассмотрим решение рациональных уравнений.

Рациональным уравнением называют уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями.

Рациональные выражения бывают:

Дробные.

Целое выражение составлено из чисел, переменных, целых степеней с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

Например:

В дробных выражениях есть деление на переменную или выражение с переменной. Например:

Дробное выражение не при всех значениях входящих в него переменных имеет смысл. Например, выражение

при х = -9 не имеет смысла, так как при х = -9 знаменатель обращается в нуль.

Значит, рациональное уравнение может быть целым и дробным.

Целое рациональное уравнение - это рациональное уравнение, в котором левая и правая части - целые выражения.

Например:

Дробное рациональное уравнение - это рациональное уравнение, в котором или левая, или правая части - дробные выражения.

Например:

§ 2 Решение целого рационального уравнения

Рассмотрим решение целого рационального уравнения.

Например:

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него дробей.

Для этого:

1. найдем общий знаменатель для знаменателей 2, 3, 6. Он равен 6;

2. найдем дополнительный множитель для каждой дроби. Для этого общий знаменатель 6 делим на каждый знаменатель

дополнительный множитель для дроби

дополнительный множитель для дроби

3. умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители. Таким образом, получим уравнение

которое равносильно данному уравнению

Слева раскроем скобки, правую часть перенесем налево, изменив знак слагаемого при переносе на противоположный.

Приведем подобные члены многочлена и получим

Видим, что уравнение линейное.

Решив его, найдем, что х = 0,5.

§ 3 Решение дробного рационального уравнения

Рассмотрим решение дробного рационального уравнения.

Например:

1.Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него рациональных дробей.

Найдем общий знаменатель для знаменателей х + 7 и х - 1.

Он равен их произведению (х + 7)(х - 1).

2.Найдем дополнительный множитель для каждой рациональной дроби.

Для этого общий знаменатель (х + 7)(х - 1) делим на каждый знаменатель. Дополнительный множитель для дроби

равен х - 1,

дополнительный множитель для дроби

равен х+7.

3.Умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители.

Получим уравнение (2х - 1)(х - 1) = (3х + 4)(х + 7), которое равносильно данному уравнению

4.Слева и справа умножим двучлен на двучлен и получим следующее уравнение

5.Правую часть перенесем налево, изменив знак каждого слагаемого при переносе на противоположный:

6.Приведем подобные члены многочлена:

7.Можно обе части разделить на -1. Получим квадратное уравнение:

8.Решив его, найдем корни

Так как в уравнении

левая и правая части - дробные выражения, а в дробных выражениях при некоторых значениях переменных знаменатель может обратиться в нуль, то необходимо проверить, не обращается ли в нуль при найденных х1 и х2 общий знаменатель.

При х = -27 общий знаменатель (х + 7)(х - 1) не обращается в нуль, при х = -1 общий знаменатель также не равен нулю.

Следовательно, оба корня -27 и -1 являются корнями уравнения.

При решении дробного рационального уравнения лучше сразу указать область допустимых значений. Исключить те значения, при которых общий знаменатель обращается в нуль.

Рассмотрим еще один пример решения дробного рационального уравнения.

Например, решим уравнение

Знаменатель дроби правой части уравнения разложим на множители

Получим уравнение

Найдем общий знаменатель для знаменателей (х - 5), х, х(х - 5).

Им будет выражение х(х - 5).

теперь найдем область допустимых значений уравнения

Для этого общий знаменатель приравняем к нулю х(х - 5) = 0.

Получим уравнение, решив которое, найдем, что при х = 0 или при х = 5 общий знаменатель обращается в нуль.

Значит, х = 0 или х = 5 не могут быть корнями нашего уравнения.

Теперь можно найти дополнительные множители.

Дополнительным множителем для рациональной дроби

дополнительным множителем для дроби

будет (х - 5),

а дополнительный множитель дроби

Числители умножим на соответствующие дополнительные множители.

Получим уравнение х(х - 3) + 1(х - 5) = 1(х + 5).

Раскроем скобки слева и справа, х2 - 3х + х - 5 = х + 5.

Перенесем слагаемые справа налево, изменив знак переносимых слагаемых:

Х2 - 3х + х - 5 - х - 5 = 0

И после приведения подобных членов получим квадратное уравнение х2 - 3х - 10 = 0. Решив его, найдем корни х1 = -2; х2 = 5.

Но мы уже выяснили, что при х = 5 общий знаменатель х(х - 5) обращается в нуль. Следовательно, корнем нашего уравнения

будет х = -2.

§ 4 Краткие итоги урока

Важно запомнить:

При решении дробных рациональных уравнений надо поступить следующим образом:

1.Найти общий знаменатель дробей входящих в уравнение. При этом если знаменатели дробей можно разложить на множители, то разложить их на множители и затем найти общий знаменатель.

2.Умножить обе части уравнения на общий знаменатель: найти дополнительные множители, умножить числители на дополнительные множители.

3.Решить получившееся целое уравнение.

4.Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Список использованной литературы:

  1. Макарычев Ю.Н., Н. Г. Миндюк, Нешков К.И., Суворова С.Б. / Под редакцией Теляковского С.А. Алгебра: учебн. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2013.
  2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина.
  3. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс.- М.: ВАКО, 2010.
  4. Алгебра 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой / Авт.-сост. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учитель, 2005.