Повторение неполной средней школы
Интеграл
Производная
Объемы тел
Тела вращения
Метод координат в пространстве
Прямоугольная система координат. Связь между координатами векторов и координатами точек. Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов.
Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса.
Площадь поверхности конуса. Сфера и шар. Площадь сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.
Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямой призмы, цилиндра. Объем пирамиды и конуса. Объём шара.
Раздел III. Начала математического анализа
Производная. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функций. Геометрический смысл производной.
Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функции. Экстремумыфункции. Применение производной к построению графиков. Наибольшее, наименьшее значенияфункции.
Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции и интеграл. Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов.
Учебно-тренировочные задания к экзаменам
Раздел I. Алгебра
Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.
Для решения задач и доказательства различных теорем крайне важно понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.
Натуральные числа - ϶ᴛᴏ числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}
Дополнением натуральных чисел нулём и отрицательными числами (ᴛ.ᴇ. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел.
Целые числа - ϶ᴛᴏ числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z={1,2,3,....}. Рациональные числа - ϶ᴛᴏ числа, представимые в виде дроби , где m - целое число, а n - натуральное число.
Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, к примеру . В случае если, к примеру, попытаться записать число в виде десятичной дроби, используя известный алгоритм деления уголком, то получится бесконечная десятичная дробь . Бесконечную десятичную дробь называют периодической, повторяющуюся цифру 3 – её периодом. Периодическую дробь коротко записывают так: 0,(3); читается: «Ноль целых и три в периоде».
Вообще, периодическая дробь - ϶ᴛᴏ бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.
К примеру, десятичная дробь периодическая с периодом 56; читается «23 целых, 14 сотых и 56 в периоде».
Итак, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где - целое число, - натуральное число.
Действительные (вещественные) числа - ϶ᴛᴏ числа, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа - ϶ᴛᴏ числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (к примеру, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел - ϶ᴛᴏ .
Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:
Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание: множество натуральных чисел входит во множество целых чисел, множество целых чисел входит во множество рациональных чисел, а множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.
Упражнения для самостоятельного решения
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 46 Сложение действительных чисел
Пока что мы умеем складывать друг с другом лишь рациональные числа. Как мы знаем,
А вот какой смысл вкладывается в сумму двух чисел, из которых хотя бы одно иррационально, этого мы еще не знаем. Нам предстоит сейчас дать определение того, что понимается под суммой α + β двух произвольных действительных чисел α и β .
Для примера рассмотрим числа 1 / 3 и √2 . Представим их в виде бесконечных десятичных дробей
1 / 3 = 0,33333...;
√2 =1,41421... .
Сначала сложим соответственные десятичные приближения данных чисел с недостатком. Эти приближения, как отмечалось в конце предыдущего параграфа, представляют собой рациональные числа. А складывать такие числа мы уже умеем:
0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................
Затем сложим соответственные десятичные приближения данных чисел с избытком:
1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................
Можно доказать*, что существует и притом единственное действительное число γ , которое больше всех сумм десятичных приближений чисел 1 / 3 и √2 с недостатком, но меньше всех сумм десятичных приближений этих чисел с избытком:
* Строгое доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы и потому здесь не приводится.
1 < γ < 3
1,7 < γ < 1,9
1,74 < γ < 1,76
1,747 < γ < 1,749
1,7475 < γ < 1,7477
1,74754 < γ < 1,74756
По определению это число γ и принимается за сумму чисел 1 / 3 и √2 :
γ = 1 / 3 + √2
Очевидно, что γ = 1,7475....
Аналогично может быть определена и сумма любых других положительных действительных чисел, из которых хотя бы одно иррационально. Суть дела не изменится и в том случае, если одно из слагаемых, а может быть, и оба будут отрицательными.
Итак, если числа α и β рациональны, то сумма их находится по правилу сложения рациональных чисел (см. § 36).
Если же хотя бы одно из них иррационально, то суммой α + β называется такое действительное число, которое больше всех сумм соответственных десятичных приближений этих чисел с недостатком, но меньше всех сумм соответственных десятичных приближений этих чисел с избытком .
Определенное таким образом действие сложения подчиняется следующим двум законам:
1) коммутативному закону:
α + β = β + α
2) ассоциативному закону:
(α + β ) + γ = α + (β + γ ).
Доказывать этого мы не будем. Учащиеся могут сделать это самостоятельно. Отметим лишь, что при доказательстве придется использовать уже известный нам факт: сложение рациональных чисел подчинено коммутативному и ассоциативному законам (см. § 36).
Упражнения
327. Данные суммы представить в виде десятичных дробей, указав не менее трех верных знаков после занятой:
а) √2 +√3 ; г) √2 + (- √3 ) ж) 3 / 4 + (-√5 );
б) √2 + 5 / 8 ; д) (- 1 / 3) + √5 з) 1 / 3 + √2 + √3 .
в) (-√2 ) + √3 ; е) 11 / 9 + (- √5 );
328. Найти несколько первых десятичных приближении (с недостатком и с избытком) для действительных чисел:
а) 1 / 2 + √7 б) √3 + √7 в) √3 + (-√7 )
329. Исходя из определения суммы действительных чисел, доказать, что для любого числа α
α + (- α ) = 0.
330. Всегда ли сумма двух бесконечных непериодических дробей есть дробь непериодическая? Ответ пояснить примерами.
В данной статье собраны основные сведения про действительные числа . Сначала дано определение действительных чисел и приведем примеры. Дальше показано положение действительных чисел на координатной прямой. А в заключение разобрано, как действительные числа задаются в виде числовых выражений.
Навигация по странице.
Определение и примеры действительных чисел
Действительные числа в виде выражений
Из определения действительных чисел понятно, что действительными числами являются:
- любое натуральное число ;
- любое целое число ;
- любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);
- любое смешанное число;
- любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).
Но очень часто действительные числа можно видеть в виде , и т.п. Более того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа (смотрите действия с действительными числами ). К примеру, - это действительные числа.
А если пойти дальше, то из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций и т.п. можно составлять всевозможные числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и есть действительные числа.
В заключение этой статьи заметим, что следующим этапом расширения понятия числа является переход от действительных чисел к комплексным числам .
Список литературы.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Тема № 1.
Действительные числа.Числовые выражения. Преобразование числовых выражений
I. Теоретический материал
Основные понятия
· Натуральные числа
· Десятичная запись числа
· Противоположные числа
· Целые числа
· Обыкновенная дробь
· Рациональные числа
· Бесконечная десятичная дробь
· Период числа, периодическая дробь
· Иррациональные числа
· Действительные числа
· Арифметические действия
· Числовое выражение
· Значение выражения
· Обращение десятичной дроби в обыкновенную
· Обращение обыкновенной дроби в десятичную
· Обращение периодической дроби в обыкновенную
· Законы арифметических действий
· Признаки делимости
Числа, употребляемые при счете предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными . Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такую запись чисел называют десятичной.
Например : 24; 3711; 40125.
Множество натуральных чисел принято обозначать N .
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, называются противоположными числами.
Например , числа 7 и – 7.
Числа натуральные, им противоположные, а также число нуль составляют множество целых Z .
Например : – 37; 0; 2541.
Число вида , где m – целое число, n – натуральное число, называется обыкновенной дробью . Заметим, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
Например : , .
Объединение множеств целых и дробных чисел (положительных и отрицательных) составляет множество рациональных чисел. Его принято обозначать Q .
Например : ; – 17,55; .
Пусть дана десятичная дробь. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей.
Например : 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .
Такая десятичная дробь называется бесконечной десятичной дробью.
Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.
Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в записи числа называется периодом , а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической . Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки.
Например : 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).
2,73000… = 2,73(0).
Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.
Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел составляет множество действительных чисел. Его принято обозначать R .
Например : ; 0,(23); 41,3574…
Число является иррациональным.
Для всех чисел определены действия трёх ступеней:
· действия I ступени: сложение и вычитание;
· действия II ступени: умножение и деление;
· действия III ступени: возведение в степень и извлечение корня.
Выражение, составленное из чисел, знаков арифметических действий и скобок, называется числовым.
Например : ; .
Число, полученное в результате выполнения действий, называется значением выражения .
Числовое выражение не имеет смысла , если содержит деление на нуль.
При нахождении значения выражения выполняются последовательно действия III ступени, II ступени и в конце действия I ступени. При этом необходимо учитывать размещение в числовом выражении скобок.
Преобразование числового выражения заключается в последовательном выполнении арифметических действий над входящими в него числами с использованием соответствующих правил (правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножения десятичных дробей и др.). Задания на преобразование числовых выражений в учебных пособиях встречаются в следующих формулировках: «Найдите значение числового выражения», «Упростите числовое выражение», «Вычислите» и др.
При нахождении значений некоторых числовых выражений приходится выполнять действия с дробями разного вида: обыкновенными, десятичными, периодическими. В этом случае бывает необходимо обратить обыкновенную дробь в десятичную или выполнить обратное действие – заменить периодическую дробь обыкновенной.
Чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную , достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр находится справа от запятой.
Например : ; .
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную , надо разделить ее числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.
Например : ;
;
.
Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную , надо:
1) из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода;
2) записать эту разность числителем;
3) в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде;
4) дописать в знаменателе столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Например : ; .
Законы арифметических действий над действительными числами
1. Переместительный (коммутативный) закон сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется:
2. Переместительный (коммутативный) закон умножения: от перестановки множителей значение произведения не меняется:
3. Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: значение суммы не изменится, если какую-либо группу слагаемых заменить их суммой:
4. Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: значение произведения не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением:
.
5. Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и сложить полученные произведения:
Свойства 6 – 10 называют законами поглощения 0 и 1.
Признаки делимости
Свойства, позволяющие в некоторых случаях, не производя деление, определить, делится ли одно число на другое, называются признаками делимости .
Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда запись числа оканчивается на четную цифру. То есть на 0, 2, 4, 6, 8.
Например : 12834; –2538; 39,42.
Признак делимости на 3 . Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Например : 2742; –17940.
Признак делимости на 4 . Число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.
Например : 15436; –372516.
Признак делимости на 5 . Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.
Например : 754570; –4125.
Признак делимости на 9 . Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Например : 846; –76455.
Повторение неполной средней школы
Интеграл
Производная
Объемы тел
Тела вращения
Метод координат в пространстве
Прямоугольная система координат. Связь между координатами векторов и координатами точек. Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов.
Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса.
Площадь поверхности конуса. Сфера и шар. Площадь сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.
Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямой призмы, цилиндра. Объем пирамиды и конуса. Объём шара.
Раздел III. Начала математического анализа
Производная. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функций. Геометрический смысл производной.
Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функции. Экстремумыфункции. Применение производной к построению графиков. Наибольшее, наименьшее значенияфункции.
Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции и интеграл. Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов.
Учебно-тренировочные задания к экзаменам
Раздел I. Алгебра
Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.
Для решения задач и доказательства различных теорем необходимо понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.
Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}
Дополнением натуральных чисел нулём и отрицательными числами (т.е. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел.
Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z={1,2,3,....}. Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби , где m - целое число, а n - натуральное число.
Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, например . Если, например, попытаться записать число в виде десятичной дроби, используя известный алгоритм деления уголком, то получится бесконечная десятичная дробь . Бесконечную десятичную дробь называют периодической, повторяющуюся цифру 3 – её периодом. Периодическую дробь коротко записывают так: 0,(3); читается: «Ноль целых и три в периоде».
Вообще, периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.
Например, десятичная дробь периодическая с периодом 56; читается «23 целых, 14 сотых и 56 в периоде».
Итак, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где - целое число, - натуральное число.
Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа – это числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел – это .
Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:
Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание: множество натуральных чисел входит во множество целых чисел, множество целых чисел входит во множество рациональных чисел, а множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.
Упражнения для самостоятельного решения