Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность.
Математическая статистика – раздел математики, который изучает способы отбора, группировки, систематизации и анализа статистических данных, для получения научно обоснованных выводов.
Статистические данные – числовые значения рассматриваемого признака изучаемых объектов, полученные как результат случайного эксперимента.
Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, но в отличие от теории вероятностей, математическая модель эксперимента неизвестна. В математической статистике по статистическим данным необходимо установить неизвестное распределение вероятностей или объективно оценить параметры распределения.
Методы математической статистики позволяют строить оптимальные математические модели массовых, повторяющихся явлений. Связующим звеном между теорией вероятностей и математической статистикой являются предельные теоремы теории вероятностей.
В настоящее время статистические методы используются практически во всех отраслях народного хозяйства.
Генеральная совокупность – статистические данные всех изучаемых объектов (иногда – сами объекты). Часто генеральную совокупность рассматривают как СВ Х.
Выборка (выборочная совокупность) – статистические данные объектов, выбранных случайно из генеральной совокупности.
Объём выборки n (объём генеральной совокупности N ) – количество объектов, выбранных для изучения из генеральной совокупности (количество объектов в генеральной совокупности).
Примеры .
а) Статистическими данными могут быть: рост студентов; количество глаголов (или других частей речи) в отрывке текста определённой длины; средний балл аттестата; уровень интеллекта; число ошибок, допущенных диспетчером и т. п.
б) Генеральной совокупностью может быть: рост всех людей, разряды всех рабочих завода, частота употребления определённой части речи во всех произведениях изучаемого автора, средний балл аттестата всех выпускников и т. п.
в)Выборкой может быть: – рост 20 студентов, количество глаголов в выбранных произвольно 50 однородных отрывках текста длиной 500 словоупотреблений, средний балл аттестата 100 выпускников, выбранных случайно из школ города и т.п.
Выборка называется репрезентативной, если она верно отражает свойство генеральной совокупности. Репрезентативность выборки достигается случайностью отбора, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность быть отобранными.
Для того чтобы выборка была репрезентативной применяют различные способы отбора объектов изучения.
Виды отбора : простой, механический, серийный, типический.
Простой . Произвольно отбираются элементы из всей генеральной совокупности.
Механический отбор . Выбирают каждый 10 (25, 30 и т.п.) объект из генеральной совокупности.
Серийный . Проводится исследование в каждой серии (например, из текста выбирают 10 отрывков по 500 словоупотреблений- 10 серий).
Типический . Генеральную совокупность по определённому признаку разделяют на типические группы. Количество серий, извлекаемых из каждой такой группы, определяется удельным весом этой группы в генеральной совокупности.
Статистическое распределение выборки и его графическое изображение.
Пусть изучается СВ Х (генеральная совокупность) относительно некоторого признака. Проводится ряд независимых испытаний. В результате опытов СВ Х принимает некоторые значения. Совокупность полученных значений представляет собой выборку, а сами значения являются статистическими данными.
Первоначально проводят ранжирование выборки - расположение статистических данных выборки по неубыванию. Получаем вариационный ряд.
Вариационный ряд - проранжированная выборка.
Дискретный статистический ряд
Если генеральная совокупность является дискретной СВ, строится дискретный статистический ряд (статистическое распределение).
Пусть значение появилось в выборке раз,
Разa , …, - раз.
I-тая варианта выборки; - частота i-той варианты Частота показывает, сколько раз данная варианта появилась в выборке.
- относительная частота i-той варианты
(показывает какую часть выборки составляет ).
Статистическое распределение – это соответствие между вариантами выборки и их частотами или относительными частотами.
Для ДСВ статистическое распределение можно представить в виде таблицы – статистического ряда частот или статистического ряда относительных частот.
Статистический ряд частот Статистический ряд
относительных частот
| ........ | ||||
| ........ |
| ........ | ||||
| ........ |
Для наглядности представления статистического распределения выборки строят «графики» статистического распределения: полигон и гистограмму.
Полигон частот (относительных частот) – графическое изображение дискретного статистического ряда - ломаная линия, последовательно соединяющая точки [ для полигона относительных частот].
Пример. Исследователя интересуют знания абитуриентов по математике. Выбирают 10 абитуриентов и записывают их школьные оценки по этому предмету. Получена следующая выборка: 5;4;4;3;2;5;4;3;4;5.
а) Представить выборку в виде вариационного ряда;
б) построить статистический ряд частот и относительных частот;
в) изобразить полигон относительных частот для полученного ряда.
а) Проведем ранжирование выборки, т.е. расположим члены выборки по неубыванию. Получаем вариационный ряд: 2; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5;5.
б) Построим статистический ряд частот (соответствие между вариантами выборки и их частотами) и статистический ряд относительных частот (соответствие между вариантами выборки и их относительными частотами)
| 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,3 |
Статистический ряд частот статистический ряд отн. частот
1+2+4+3=10=n 0,1+0,2+0,4+0,3=1.
Полигон относительных частот.
Тема 9. Ряды распределения
Статистические ряды распределения – это первичная характеристика массовой статистической совокупности, упорядоченное разложение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному признаку. Любой статистический ряд распределения состоит из двух элементов:
1) отдельных значений варьирующего признака (вариантов );
2) величин, которые показывают, сколько раз повторяется данная варианта (частот ).
Примечание . Частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу, называются частостями ; это численность ряда распределения выражается суммой частот .
Если за основу группировки взят качественный признак, то такой ряд распределения называют атрибутивным (распределение по видам труда, по полу, по профессии, по религиозному признаку, национальной принадлежности и т.д.). Если ряд распределения построен по количественному признаку, то такой ряд называют вариационным . Построить вариационный ряд - значит упорядочить количественное распределение единиц совокупности по значениям признака, а затем подсчитать числа единиц совокупности с этими значениями (построить групповую таблицу).
Выделяют три формы вариационного ряда :
1) ранжированный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака; ранжирование позволяет легко разделить количественные данные по группам, сразу обнаружить наименьшее и наибольшее значения признака, выделить значения, которые чаще всего повторяются; другие формы вариационного ряда - групповые таблицы , составленные по характеру вариации значений изучаемого признака;
2) дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением, между которыми нет промежуточных значений (дискретные признаки - тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д.); эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений;
Дискретный ряд представляет собой групповую таблицу , которая состоит из двух граф: в первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака;
3) если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака нужно строить интервальный ряд (с равными или неравными интервалами).
Групповая таблица здесь также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота). Очень часто таблица дополняется графой, в которой подсчитываются накопленные частоты S, которые показывают, какое количество единиц совокупности имеет значение признака не большее, чем данное значение. Частоты ряда f могут заменяться частностями w , выраженными в относительных числах (долях или процентах). Они представляют собой отношения частот каждого интервала к их общей сумме (9.1):
(9.1)
При построении вариационного ряда с интервальными значениями, прежде всего, необходимо установить величину интервала i, которая определяется как отношение размаха вариации R к числу групп n (9.2):
где R = x max - x min ; n = 1 + 3,322 lgN(формула Стерджесса ); N - общее число единиц совокупности.
Интервальные вариационные ряды могут быть построены и для признаков с дискретной вариацией. Нередко в статистическом исследовании указывать отдельное значение дискретного признака нецелесообразно, т.к. это, как правило, затрудняет рассмотрение вариации признака. Поэтому возможные дискретные значения признака распределяются по группам и подсчитываются соответствующие им частоты (частности). При построении интервального ряда по дискретному признаку границы смежных интервалов не повторяют друг друга: следующий интервал начинается со следующего по порядку (после верхнего значения предыдущего интервала) дискретного значения признака.
При сравнении частот ряда с неравными интервалами для характеристики их наполненности рассчитывают плотность распределения. Средняя плотность в интервале – это частное от деления частоты и частности на величину интервала. В первом случае плотность абсолютная, во втором – относительная. Средняя плотность показывает, сколько единиц или их процентов приходится на единицу измерения варианты. Частота, частность, плотность и накопленная частота – это различные функции от величины варианты.
В процессе анализа статистических данных , представленных рядами распределения, кроме знания о характере распределения (или структуре совокупности) могут вычисляться различные статистические показатели (числовые характеристики), которые в обобщенном виде отражают особенности распределения изучаемых признаков. Эти характеристики (показатели) могут быть разделены на 3 основные группы
1) характеристики центра распределения (средняя, мода, медиана);
2) характеристики степени вариации (вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации);
3) характеристики формы (типа) распределения (показатели эксцесса и асимметрии, ранговые характеристики, кривые распределения).
Наиболее надежный путь выявления закономерности распределения состоит в следующем:
1) увеличить количество наблюдаемых случаев (в соответствии с законом больших чисел, в таких рядах случайные отклонения от общей закономерности у индивидуальных значений будут взаимно погашаться);
2) первоначально совокупность разбить на максимальное возможное число групп, затем, постепенно сокращая число групп, оптимизировать группировку с точки зрения выявления закономерности распределения.
При реализации такого подхода закономерность, характерная для данного распределения будет выступать все более и более ясно, а ломаная линия, изображающая полигон, будет приближаться к некоторой плавной линии и в пределе должна превратиться в кривую линию.
Математическая статистика - раздел математики, посвященный математическим методам обработки, систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.
3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
В медико-биологических задачах часто приходится исследовать распределение того или иного признака для очень большого числа индивидуумов. У разных индивидуумов этот признак имеет различное значение, поэтому он является случайной величиной. Например, любой лечебный препарата имеет различную эффективность при его применении к разным пациентам. Однако для того чтобы составить представление об эффективности данного препарата, нет необходимости применять его ко всем больным. Можно проследить результаты применения препарата к сравнительно небольшой группе больных и на основании полученных данных выявить существенные черты (эффективность, противопоказания) процесса лечения.
Генеральная совокупность - подлежащая изучению совокупность однородных элементов, характеризуемых некоторым признаком. Этот признак является непрерывной случайной величиной с плотностью распределения f(x).
Например, если нас интересует распространенность какого-либо заболевания в некотором регионе, то генеральная совокупность - все население региона. Если же мы хотим выяснить подверженность этому заболеванию мужчин и женщин по отдельности, то следует рассматривать две генеральные совокупности.
Для изучения свойств генеральной совокупности отбирают некоторую часть ее элементов.
Выборка - часть генеральной совокупности, выбираемая для обследования (лечения).
Если это не вызывает недоразумений, то выборкой называют как совокупность объектов, отобранных для обследования, так и совокупность
значений исследуемого признака, полученных при обследовании. Эти значения могут быть представлены несколькими способами.
Простой статистический ряд - значения исследуемого признака, записанные в том порядке, в котором они были получены.
Пример простого статистического ряда, полученного при измерении скорости поверхностной волны (м/с) в коже лба у 20 пациентов приведен в табл. 3.1.
Таблица 3.1. Простой статистический ряд
Простой статистический ряд - основной и самый полный способ записи результатов обследования. Он может содержать сотни элементов. Окинуть такую совокупность одним взглядом весьма затруднительно. Поэтому большие выборки обычно подвергают разбиению на группы. Для этого область изменения признака разбивают на несколько (N) интервалов равной ширины и подсчитывают относительные частоты (n/n) попадания признака в эти интервалы. Ширина каждого интервала равна:
Границы интервалов имеют следующие значения:
Если какой-то элемент выборки является границей между двумя соседними интервалами, то его относят к левому интервалу. Сгруппированные таким образом данные называют интервальным статистическим рядом.
- это таблица, в которой приведены интервалы значений признака и относительные частоты попадания признака в эти интервалы.
В нашем случае можно образовать, например, такой интервальный статистический ряд (N = 5, d = 4), табл. 3.2.
Таблица 3.2. Интервальный статистический ряд
Здесь к интервалу 28-32 отнесены два значения равные 28 (табл. 3.1), а к интервалу 32-36 - значения 32, 33, 34 и 35.
Интервальный статистический ряд можно изобразить графически. Для этого по оси абсцисс откладывают интервалы значений признака и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник с высотой, равной относительной частоте. Полученная столбцовая диаграмма называется гистограммой.
Рис. 3.1. Гистограмма
На гистограмме статистические закономерности распределения признака просматриваются достаточно отчетливо.
При большом объеме выборки (несколько тысяч) и малой ширине столбцов форма гистограммы близка к форме графика плотности распределения признака.
Число столбцов гистограммы можно выбрать по следующей формуле:
Построение гистограммы вручную - процесс долгий. Поэтому разработаны компьютерные программы для их автоматического построения.
3.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА
Многие статистические процедуры используют выборочные оценки для математического ожидания и дисперсии (или СКО) генеральной совокупности.
Выборочное среднее (Х) - это среднее арифметическое всех элементов простого статистического ряда:
Для нашего примера Х = 37,05 (м/с).
Выборочное среднее - это наилучшая оценка генерального среднего М.
Выборочная дисперсия s 2 равна сумме квадратов отклонений элементов от выборочного среднего, поделенной на n - 1:
В нашем примере s 2 = 25,2 (м/с) 2 .
Обратите внимание, что при вычислении выборочной дисперсии в знаменателе формулы стоит не объем выборки n, а n-1. Это связано с тем, что при вычислении отклонений в формуле (3.3) вместо неизвестного математического ожидания используется его оценка - выборочное среднее.
Выборочная дисперсия - это наилучшая оценка генеральной дисперсии (σ 2).
Выборочное среднеквадратическое отклонение (s) - это квадратный корень из выборочной дисперсии:
Для нашего примера s = 5,02 (м/с).
Выборочное среднеквадратическое отклонение - это наилучшая оценка генерального СКО (σ).
При неограниченном увеличении объема выборки все выборочные характеристики стремятся к соответствующим характеристикам генеральной совокупности.
Для вычисления выборочных характеристик используют компьютерные формулы. В приложении Excel эти вычисления выполняют статистические функции СРЗНАЧ, ДИСП. СТАНДОТКЛОН.
3.3. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА
Все выборочные характеристики являются случайными величинами. Это означает, что для другой выборки того же объема значения выборочных характеристик получатся другими. Таким образом, выборочные
характеристики являются лишь оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности.
Недостатки выборочного оценивания компенсирует интервальная оценка, представляющая числовой интервал, внутри которого с заданной вероятностью Р д находится истинное значение оцениваемого параметра.
Пусть U r - некоторый параметр генеральной совокупности (генеральное среднее, генеральная дисперсия и т.д.).
Интервальной оценкой параметра U r называется интервал (U 1 , U 2), удовлетворяющий условию:
P(U < Ur < U2) = Рд. (3.5)
Вероятность Р д называется доверительной вероятностью.
Доверительная вероятность Р д - вероятность того, что истинное значение оцениваемой величины находится внутри указанного интервала.
При этом интервал (U 1 , U 2) называется доверительным интервалом для оцениваемого параметра.
Часто вместо доверительной вероятности используют связанную с ней величину α = 1 - Р д, которая называется уровнем значимости.
Уровень значимости - это вероятность того, что истинное значение оцениваемого параметра находится за пределами доверительного интервала.
Иногда α и Р д выражают в процентах, например, 5% вместо 0,05 и 95% вместо 0,95.
При интервальном оценивании сначала выбирают соответствующую доверительную вероятность (обычно 0,95 или 0,99), а затем находят соответствующий интервал значений оцениваемого параметра.
Отметим некоторые общие свойства интервальных оценок.
1. Чем ниже уровень значимости (чем больше Р д), тем шире интервальная оценка. Так, если при уровне значимости 0,05 интервальная оценка генерального среднего есть 34,7 < М < 39,4, то для уровня 0,01 она будет гораздо шире: 33,85 < М < 40,25.
2. Чем больше объем выборки n, тем уже интервальная оценка с выбранным уровнем значимости. Пусть, например, 5 - процентная оценка генеральной средней (β=0,05), полученная по выборке из 20 элементов, тогда 34,7 < М < 39,4.
Увеличив объем выборки до 80, мы при том же уровне значимости получим более точную оценку: 35,5 < М < 38,6.
В общем случае построение надежных доверительных оценок требует знания закона, по которому оцениваемый случайный признак распределен в генеральной совокупности. Рассмотрим, как строится интервальная оценка генерального среднего признака, который распределен в генеральной совокупности по нормальному закону.
3.4. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНОГО СРЕДНЕГО ДЛЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Построение интервальной оценки генерального среднего М для генеральной совокупности с нормальным законом распределения основано на следующем свойстве. Для выборки объема n отношение
подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы ν = n - 1.
Здесь Х - выборочное среднее, а s - выборочное СКО.
Используя таблицы распределения Стьюдента или их компьютерный аналог, можно найти такое граничное значение что c заданной доверительной вероятностью выполняется неравенство:
Этому неравенству соответствует неравенство для М:
где ε - полуширина доверительного интервала.
Таким образом, построение доверительного интервала для М проводится в следующей последовательности.
1. Выбирают доверительную вероятность Р д (обычно 0,95 или 0,99) и для нее по таблице распределения Стьюдента находят параметр t
2. Рассчитывают полуширину доверительного интервала ε:
3. Получают интервальную оценку генерального среднего с выбранной доверительной вероятностью:
Кратко это записывается так:
Для нахождения интервальных оценок разработаны компьютерные процедуры.
Поясним, как пользоваться таблицей распределения Стьюдента. Эта таблица имеет два «входа»: левый столбец, называемый числом степеней свободы ν = n - 1, и верхняя строка - уровень значимости α. На пересечении соответствующей строки и столбца находят коэффициент Стьюдента t.
Применим этот метод к нашей выборке. Фрагмент таблицы распределения Стьюдента представлен ниже.
Таблица 3.3. Фрагмент таблицы распределения Стьюдента
Простой статистический ряд для выборки из 20 человек (n = 20, ν =19) представлен в табл. 3.1. Для этого ряда расчеты по формулам (3.1-3.3) дают: Х = 37,05; s = 5,02.
Выберем α = 0,05 (Р д = 0,95). На пересечении строки «19» и столбца «0,05» найдем t = 2,09.
Вычислим точность оценки по формуле (3.6): ε = 2,09?5,02/λ /20 = 2,34.
Построим интервальную оценку: с вероятностью 95% неизвестное генеральное среднее удовлетворяет неравенству:
37,05 - 2,34 < М < 37,05 + 2,34, или М = 37,05 ± 2,34 (м/с), Р д = 0,95.
3.5. МЕТОДЫ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Статистические гипотезы
Прежде чем сформулировать, что такое статистическая гипотеза, рассмотрим следующий пример.
Для сравнения двух методик лечения некоторого заболевания были отобраны две группы пациентов по 20 человек, лечение которых проводилось по этим методикам. Для каждого пациента фиксировалось количество процедур, после которого достигался положительный эффект. По этим данным для каждой группы находились выборочные средние (Х), выборочные дисперсии (s 2) и выборочные СКО (s).
Результаты представлены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Количество процедур, необходимое для получения положительного эффекта, - случайная величина, вся информация о которой на данный момент содержится в приведенной выборке.
Из табл. 3.4 видно, что выборочное среднее в первой группе меньше, чем во второй. Означает ли это, что и для генеральных средних имеет место такое же соотношение: М 1 < М 2 ? Достаточно ли статистических данных для такого вывода? Ответы на эти вопросы и дает статистическая проверка гипотез.
Статистическая гипотеза - это предположение относительно свойств генеральных совокупностей.
Мы будем рассматривать гипотезы о свойствах двух генеральных совокупностей.
Если генеральные совокупности имеют известные, одинаковые распределения оцениваемой величины, а предположения касаются величин некоторого параметра этого распределения, то гипотезы называются параметрическими. Например, выборки извлечены из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковой дисперсией. Требуется выяснить, одинаковы ли генеральные средние этих совокупностей.
Если о законах распределения генеральных совокупностей ничего не известно, то гипотезы об их свойствах называют непараметрическими. Например, одинаковы ли законы распределения генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки.
Нулевая и альтернативная гипотезы.
Задача проверки гипотез. Уровень значимости
Познакомимся с терминологией, применяемой при проверке гипотез.
Н 0 - нулевая гипотеза (гипотеза скептика) - это гипотеза об отсутствии различий между сравниваемыми выборками. Скептик считает, что различия между выборочными оценками, полученными по результатам исследований, - случайны;
Н 1 - альтернативная гипотеза (гипотеза оптимиста) - это гипотеза о наличии различий между сравниваемыми выборками. Оптимист считает, что различия между выборочными оценками вызваны объективными причинами и соответствуют различиям генеральных совокупностей.
Проверка статистических гипотез осуществима только тогда, когда из элементов сравниваемых выборок можно составить некоторую величину (критерий), закон распределения которой в случае справедливости Н 0 известен. Тогда для этой величины можно указать доверительный интервал, в который с заданной вероятностью Р д попадает ее значение. Этот интервал называют критической областью. Если значение критерия попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н 0 . В противном случае принимается гипотеза Н 1 .
В медицинских исследованиях используют Р д = 0,95 или Р д = 0,99. Этим значениям соответствуют уровни значимости α = 0,05 или α = 0,01.
При проверке статистических гипотез уровнем значимости (α) называется вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она верна.
Обратите внимание на то, что по своей сути процедура проверки гипотез направлена на обнаружение различий, а не на подтверждение их отсутствия. При выходе значения критерия за пределы критической области мы можем с чистым сердцем сказать «скептику» - ну что, Вы еще хотите?! Если бы различия отсутствовали, то с вероятностью 95% (или 99%) расчетное значение было бы в указанных пределах. Так ведь нет!..
Ну а если значение критерия попадает в критическую область, то нет никаких оснований считать что гипотеза Н 0 верна. Это, скорее всего, указывает на одну из двух возможных причин.
1. Объемы выборок недостаточно велики, чтобы обнаружить имеющиеся различия. Вполне вероятно, что продолжение экспериментов принесет успех.
2. Различия есть. Но они настолько малы, что не имеют практического значения. В этом случае продолжение экспериментов не имеет смысла.
Перейдем к рассмотрению некоторых статистических гипотез, используемых в медицинских исследованиях.
3.6. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИЙ, F-КРИТЕРИЙ ФИШЕРА
В некоторых клинических исследованиях о положительном эффекте свидетельствует не столько величина исследуемого параметра, сколько его стабилизация, уменьшение его колебаний. В этом случае возникает вопрос о сравнении двух генеральных дисперсий по результатам выборочного обследования. Эта задача может быть решена с помощью критерия Фишера.
Постановка задачи
нормальным законом распределения. Объемы выборок -
n 1 и n 2 , а выборочные дисперсии равны s 1 и s 2 2 генеральные дисперсии.
Проверяемые гипотезы:
Н 0 - генеральные дисперсии одинаковы;
Н 1 - генеральные дисперсии различны.
Показано, если выборки извлечены из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения, то при справедливости гипотезы Н 0 отношение выборочных дисперсий подчиняется распределению Фишера. Поэтому в качестве критерия для проверки справедливости Н 0 берется величина F, вычисляемая по формуле:
где s 1 и s 2 - выборочные дисперсии.
Это отношение подчиняется распределению Фишера с числом степеней свободы числителя ν 1 = n 1 - 1 и числом степеней свободы знаменателя ν 2 = n 2 - 1. Границы критической области находятся по таблицам распределения Фишера или с помощью компьютерной функции БРАСПОБР.
Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: ν 1 = ν 2 = 20 - 1 = 19; F = 2,16/4,05 = 0,53. При α = 0,05 границы критической области равны соответственно: = 0,40, = 2,53.
Значение критерия попало в критическую область, поэтому принимается гипотеза Н 0: генеральные дисперсии выборок одинаковы.
3.7. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ ОТНОСИТЕЛЬНО РАВЕНСТВА СРЕДНИХ, t-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА
Задача сравнения средних двух генеральных совокупностей возникает, когда практическое значение имеет именно величина исследуемого признака. Например, когда сравниваются сроки лечения двумя различными методами или количества осложнений, возникающих при их применении. В этом случае можно использовать t-критерий Стьюдента.
Постановка задачи
Получены две выборки {Х 1 } и {Х 2 }, извлеченные из генеральных совокупностей с нормальным законом распределения и одинаковыми дисперсиями. Объемы выборок - n 1 и n 2 , выборочные средние равны Х 1 и Х 2, а выборочные дисперсии - s 1 2 и s 2 2 соответственно. Требуется сравнить между собой генеральные средние.
Проверяемые гипотезы:
Н 0 - генеральные средние одинаковы;
Н 1 - генеральные средние различны.
Показано, что в случае справедливости гипотезы Н 0 величина t, вычисляемая по формуле:
распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы ν = ν 1 + + ν2 - 2.
Здесь где ν 1 = n 1 - 1 - число степеней свободы для первой выборки; ν 2 = n 2 - 1 - число степеней свободы для второй выборки.
Границы критической области находят по таблицам t-распределения или с помощью компьютерной функции СТЬЮДРАСПОБР. Распределение Стьюдента симметрично относительно нуля, поэтому левая и правая границы критической области одинаковы по модулю и противоположны по знаку: -и
Для примера, представленного в табл. 3.4, получим:
ν 1 = ν 2 = 20 - 1 = 19; ν = 38, t = -2,51. При α = 0,05 = 2,02.
Значения критерия выходит за левую границу критической области, поэтому принимаем гипотезу Н 1: генеральные средние различны. При этом среднее генеральной совокупности первой выборки МЕНЬШЕ.
Применимость t-критерия Стьюдента
Критерий Стьюдента применим только к выборкам из нормальных совокупностей с одинаковыми генеральными дисперсиями. Если хотя бы одно из условий нарушено, то применимость критерия сомнительна. Требование нормальности генеральной совокупности обычно игнорируют, ссылаясь на центральную предельную теорему. Действительно, разность выборочных средних, стоящая в числителе (3.10), может считаться нормально распределенной при ν > 30. Но вопрос о равенстве дисперсий проверке не подлежит, и ссылки на то, что критерий Фишера не обнаружил различий, принимать во внимание нельзя. Тем не менее t-критерий достаточно широко применяется для обнаружения различий в средних значениях генеральных совокупностей, хотя и без достаточных оснований.
Ниже рассматривается непараметрический критерий, который с успехом используют для этих же целей и который не требует ни нормальности, ни равенства дисперсий.
3.8. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ ДВУХ ВЫБОРОК: КРИТЕРИЙ МАННА-УИТНИ
Непараметрические критерии предназначены для обнаружения различий в законах распределения двух генеральных совокупностей. Критерии, которые чувствительны к различиям генеральных средних, называют критериями сдвига. Критерии, которые чувствительны к различиям генеральных дисперсий, называют критериями масштаба. Критерий Манна-Уитни относится к критериям сдвига и используется для обнаружения различий в средних значениях двух генеральных совокупностей, выборки из которых представлены в ранговой шкале. Измеренные признаки распологаются на этой шкале в порядке возрастания, а затем нумеруются целыми числами 1, 2... Эти числа и называются рангами. Равным величинам присваивают одинаковые ранги. Значение имеет не сама величина признака, а лишь порядковое место, который она занимает среди других величин.
В табл. 3.5. первая группа из таблицы 3.4 представлена в развернутом виде (строка 1), подвергнута ранжированию (стока 2), а затем ранги одинаковых величин заменены среднеарифметическими значениями. Например, элементы 4 и 4, стоящие в первой строке, получили ранги 2 и 3, которые затем заменены на одинаковые значения 2,5.
Таблица 3.5
Постановка задачи
Независимые выборки {Х 1 } и {Х 2 } извлечены из генеральных совокупностей с неизвестными законами распределения. Объемы выборок n 1 и n 2 соответственно. Значения элементов выборок представлены в ранговой шкале. Требуется проверить, различаются ли эти генеральные совокупности между собой?
Проверяемые гипотезы:
Н 0 - выборки принадлежат к одной генеральной совокупности; Н 1 - выборки принадлежат к различным генеральным совокупностям.
Для проверки таких гипотез применяется {/-критерий Манна-Уитни.
Сначала из двух выборок составляется объединенная выборка {X}, элементы которой ранжируются. Затем находится сумма рангов, соответствующих элементам первой выборки. Эта сумма и является критерием для проверки гипотез.
U = Сумме рангов первой выборки. (3.11)
Для независимых выборок, объемы которых больше 20, величина U подчиняется нормальному распределению, математическое ожидание и СКО которого равны:
Поэтому границы критической области находятся по таблицам нормального распределения.
Для примера, представленного в табл. 3.4, получим: ν 1 = ν 2 = 20 - 1 = 19, U = 339, μ = 410, σ = 37. Для α = 0,05 получим: и лев = 338, и прав = 482.
Значение критерия выходит за левую границу критической области, поэтому принимается гипотеза Н 1: генеральные совокупности имеют различные законы распределения. При этом среднее генеральной совокупности первой выборки МЕНЬШЕ.
При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи статистического материала - она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке - строится так называемый «статистический ряд».
Предположим, что в нашем распоряжении результаты наблюдений над непрерывной случайной величиной , оформленные в виде простой статистической совокупности. Разделим весь диапазон наблюденных значений на интервалы или «разряды» и подсчитаем количество значений , приходящееся на каждый -й разряд. Это число разделим на общее число наблюдений и найдем частоту, соответствующую данному разряду:
Сумма частот всех разрядов, очевидно, должна быть равна единице.
Построим таблицу, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие частоты. Эта таблица называется статистическим рядом:
Здесь -обозначение -го разряда - его границы; - соответствующая частота; - число разрядов.
Пример 1. Произведено 500 измерений боковой ошибки наводки при стрельбе с самолета по наземной цели. Результаты измерений (в тысячных долях радиана) сведены в статистический ряд:
Здесь обозначены интервалы значений ошибки наводки; - число наблюдений в данном интервале, - соответствующие частоты.
При группировке наблюденных значений случайной величины по разрядам возникает вопрос о том, к какому разряду отнести значение, находящееся в точности на границе двух разрядов. В этих случаях можно рекомендовать (чисто условно) считать данное значение принадлежащим в равной мере к обоим разрядам и прибавлять к числам , того и другого разряда по .
Число разрядов, на которые, следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания); с другой стороны, оно не должно быть слишком малым (при малом числе разрядов свойства распределения описываются статистическим рядом слишком грубо). Практика показывает, что в большинстве случаев рационально выбирать число разрядов порядка 10 – 20. Чем богаче и однороднее статистический материал, тем большее число разрядов можно выбирать при составлении статистического ряда. Длины разрядов могут быть как одинаковыми, так и различными. Проще, разумеется, брать их одинаковыми. Однако при оформлении данных о случайных величинах, распределенных крайне неравномерно, иногда бывает удобно выбирать в области наибольшей плотности распределения разряды более узкие, чем в области малой плотности.
Статистический ряд часто оформляется графически в виде так называемой гистограммы. Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются разряды, и на каждом из разрядов как их основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Для построения гистограммы нужно частоту каждого разряда разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице.
В качестве примера можно привести гистограмму для ошибки наводки, построенную по данным статистического ряда, рассмотренного в примере 1 (рис. 7.3.1).
Очевидно, при увеличении числа опытов можно выбирать все более и более мелкие разряды; при этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой, ограничивающей площадь, равную единице. Нетрудно убедиться, что эта кривая представляет собой график плотности распределения величины .
Пользуясь данными статистического ряда, можно приближенно построить и статистическую функцию распределения величины . Построение точной статистической функции распределения с несколькими сотнями скачков во всех наблюденных значениях слишком трудоемко и себя не оправдывает. Для практики обычно достаточно построить статистическую функцию распределения по нескольким точкам. В качестве этих точек удобно взять границы разрядов, которые фигурируют в статистическом ряде. Тогда, очевидно,
(7.3.2)
Соединяя полученные точки ломанной линией или плавной кривой, получим приближенный график статистической функции распределения.
Пример 2. Построить приближенно статистическую функцию распределения ошибки наводки по данным статистического ряда примера 1.
Что такое группировка статистических данных, и как она связана с рядами распределения, было рассмотрено этой лекции, там же можно узнать, о том что такое дискретный и вариационный ряд распределения.
Ряды распределения одна из разновидностей статистических рядов (кроме них в статистике используются ряды динамики), используются для анализа данных о явлениях общественной жизни. Построение вариационных рядов вполне посильная задача для каждого. Однако есть правила, которые необходимо помнить.
Как построить дискретный вариационный ряд распределения
Пример 1. Имеются данные о количестве детей в 20 обследованных семьях. Построить дискретный вариационный ряд распределения семей по числу детей .
0 1 2 3 1
2 1 2 1 0
4 3 2 1 1
1 0 1 0 2
Решение:
- Начнем с макета таблицы, в которую затем мы внесем данные. Так как ряды распределения имеют два элемента, то таблица состоять будет из двух колонок. Первая колонка это всегда варианта – то, что мы изучаем – ее название берем из задания (конец предложения с заданием в условиях) — по числу детей – значит наша варианта это число детей.
Вторая колонка это частота – как часто встречается наша варианта в исследуемом явление – название колонки так же берем из задания — распределения семей – значит наша частота это число семей с соответствующим количеством детей.
- Теперь из исходных данных выберем те значения, которые встречаются хотя бы один раз. В нашем случае это
И расставим эти данные в первой колонке нашей таблицы в логическом порядке, в данном случае возрастающем от 0 до 4. Получаем
И в заключение подсчитаем, сколько же раз встречается каждое значение варианты.
0 1 2 3 1
2 1 2 1 0
4 3 2 1 1
1 0 1 0 2
В результате получаем законченную табличку или требуемый ряд распределения семей по количеству детей.
Задание . Имеются данные о тарифных разрядах 30 рабочих предприятия. Построить дискретный вариационный ряд распределения рабочих по тарифному разряду. 2 3 2 4 4 5 5 4 6 3
1 4 4 5 5 6 4 3 2 3
4 5 4 5 5 6 6 3 3 4
Как построить интервальный вариационный ряд распределения
Построим интервальный ряд распределения, и посмотрим чем же его построение отличается от дискретного ряда.
Пример 2. Имеются данные о величине полученной прибыли 16 предприятий, млн. руб. — 23 48 57 12 118 9 16 22 27 48 56 87 45 98 88 63. Построить интервальный вариационный ряд распределения предприятий по объему прибыли, выделив 3 группы с равными интервалами.
Общий принцип построения ряда, конечно же, сохраниться, те же две колонки, те же варианта и частота, но в здесь варианта будет располагаться в интервале и подсчет частот будет вестись иначе.
Решение:
- Начнем аналогично предыдущей задачи с построения макета таблицы, в которую затем мы внесем данные. Так как ряды распределения имеют два элемента, то таблица состоять будет из двух колонок. Первая колонка это всегда варианта – то, что мы изучаем – ее название берем из задания (конец предложения с заданием в условиях) — по объему прибыли – значит, наша варианта это объем полученной прибыли.
Вторая колонка это частота – как часто встречается наша варианта в исследуемом явление – название колонки так же берем из задания — распределения предприятий – значит наша частота это число предприятий с соответствующей прибылью, в данном случае попадающие в интервал.
В итоге макет нашей таблицы будет выглядеть так:
где i – величина или длинна интервала,
Хmax и Xmin – максимальное и минимальное значение признака,
n – требуемое число групп по условию задачи.
Рассчитаем величину интервала для нашего примера. Для этого среди исходных данных найдем самое большое и самое маленькое
23 48 57 12 118
9
16 22 27 48 56 87 45 98 88 63 – максимальное значение 118 млн. руб., и минимальное 9 млн. руб. Проведем расчет по формуле.
В расчете получили число 36,(3) три в периоде, в таких ситуациях величину интервала нужно округлить до большего, чтобы после подсчетов не потерялось максимальное данное, именно поэтому в расчете величина интервала 36,4 млн. руб.
- Теперь построим интервалы – наши варианты в данной задаче. Первый интервал начинают строить от минимального значения к нему добавляется величина интервала и получается верхняя граница первого интервала. Затем верхняя граница первого интервала становится нижней границей второго интервала, к ней добавляется величина интервала и получается второй интервал. И так далее столько раз сколько требуется построить интервалов по условию.
Обратим внимание если бы мы не округлили величину интервала до 36,4, а оставили бы ее 36,3, то последнее значение у нас бы получилось 117,9. Именно для того чтобы не было потери данных необходимо округлять величину интервала до большего значения.
- Проведем подсчет количества предприятий попавших в каждый конкретный интервал. При обработке данных необходимо помнить, что верхнее значение интервала в данном интервале не учитывается (не включается в этот интервал), а учитывается в следующем интервале (нижняя граница интервала включается в данный интервал, а верхняя не включается), за исключением последнего интервала.
При проведении обработки данных лучше всего отобранные данные обозначить условными значками или цветом, для упрощения обработки.
23 48 57 12 118 9 16 22
27 48 56 87 45 98 88 63
Первый интервал обозначим желтым цветом – и определим сколько данных попадает в интервал от 9 до 45,4, при этом данное 45,4 будет учитываться во втором интервале (при условии что оно есть в данных) – в итоге получаем 7 предприятий в первом интервале. И так дальше по всем интервалам.
- (дополнительное действие ) Проведем подсчет общего объема прибыли полученного предприятиями по каждому интервалу и в целом. Для этого сложим данные отмеченные разными цветами и получим суммарное значение прибыли.
По первому интервалу — 23 + 12 + 9 + 16 + 22 + 27 + 45 = 154 млн. руб.
По второму интервалу — 48 + 57 + 48 + 56 + 63 = 272 млн. руб.
По третьему интервалу — 118 + 87 + 98 + 88 = 391 млн. руб.
Задание . Имеются данные о величине вклада в банке 30 вкладчиков, тыс. руб. 150, 120, 300, 650, 1500, 900, 450, 500, 380, 440,
600, 80, 150, 180, 250, 350, 90, 470, 1100, 800,
500, 520, 480, 630, 650, 670, 220, 140, 680, 320
Построить интервальный вариационный ряд распределения вкладчиков, по размеру вклада выделив 4 группы с равными интервалами. По каждой группе подсчитать общий размер вкладов.
