Для операции можно также использовать оператор "набла":
Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных операторов равно нулю. Предлагается получить этот же результат путем непосредственного дифференцирования.
Из полученного результата можно получить важное следствие. Рассмотрим некоторую замкнутую кривую L и натянем на нее произвольную поверхность S .
Используя теорему Стокса, можем записать
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image030.png)
Полученный результат сформулируем в виде теоремы:
Теорема 1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
Следствие 1. Криволинейный интеграл от градиента скалярной функции не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется начальной и конечной точками линии интегрирования.
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image032.png)
Доказательство. Сделаем рисунок.
Выполним простейшие преобразования
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image033.png)
Следовательно
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image034.png)
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image035.png)
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image036.png)
Это означает, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Следовательно, величина интеграла зависит только от выбора точек А и В:
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image037.png)
Вычислим операцию. Для этого используем известную из векторной алгебры формулу для двойного векторного произведения
Перепишем эту формулу в более удобном для нас виде
Преобразование сделано так, чтобы в дальнейших формулах оператор "набла" не стоял на последней позиции. В терминах оператора "набла" получим
(Что было бы, если использовать обычную формулу для двойного векторного произведения?)
Используя обозначение оператора Лапласа, можно записать
Имеем систему трех дифференциальных соотношений, записанных для компонент вектора F .
Мы рассмотрели основные дифференциальные операции второго порядка. В дальнейшем будем их использовать при решении различных задач.
Формулы Грина
Получим еще несколько формул общего характера, которые связывают свойства различных функций и широко используются в приложениях. Запишем формулу Гаусса-Остроградского
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image041.png)
Пусть и - две произвольные скалярные функции. Положим
Тогда теорема Гаусса-Остроградского принимает вид
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image044.png)
Можно записать
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image046.png)
Здесь введено обозначение
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image047.png)
для производной функции по направлению
После подстановки этих выражений в видоизмененную формулу Гаусса-Остроградского получим
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image048.png)
Эта формула называется первой формулой Грина.
Аналогично, если положить
то первая формула Грина примет вид
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image049.png)
Вычитая соответствующие формулы, получим
Эта формула называется второй формулой Грина.
Используя формулы Грина, можно получить связи между значениями функции во внутренних точках выделенного объема и на границах.
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image052.png)
Теорема 1. Значение функции во внутренней точке области Т , ограниченной поверхностью S , определяется формулой
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image057.png)
расстояние между точками и. Доказательство. Рассмотрим точку и окружим ее маленькой сферической поверхностью радиуса
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image055.png)
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248181/image058.jpg)
Ротор (математика)
Ро́тор , или вихрь - векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Обозначается
(в русскоязычной литературе) или
(в англоязычной литературе),
а также - как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:
Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное поле:
Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.
Интуитивный образ
Если v (x,y,z) - поле скорости движения газа (или течения жидкости), то rot v - вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).
Конкретно rot v = 2 ω , где ω - эта угловая скорость.
Простую иллюстрацию этого факта - см. ниже.
Эта аналогия может быть сформулирована вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию (данное в следующем параграфе) можно считать эквивалентным полученному таким образом.
Математическое определение
Ротор векторного поля - есть вектор, проекция которого на каждое направлениеn есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L , являющемуся краем плоской площадки ΔS , перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:
.
Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур L обходился по часовой стрелке .
В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F - обозначено некое векторное поле с декартовыми компонентами , а - орты декартовых координат):
Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла(слева) и векторного поля:
(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).
Связанные определения
Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным . Поскольку эти условия являются друг для друга необходимыми и достаточными, оба термина являются практическими синонимами. (Впрочем, это верно только для случая полей, определённых на односвязной области).
Чуть подробнее о взаимной обусловленности потенциальности и безвихревого характера поля - см. ниже (Основные свойства).
Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно вихревым , такое поле не может быть потенциальным.
Обобщение
Наиболее прямое обобщение ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям, определённым на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) такое
при индексах m и n от 1 до размерности пространства.
Это же может быть записано как внешнее произведение:
При этом ротор есть антисимметричное тензорное поле валентности два.
В случае размерности 3 свертка этого тензора с символом Леви-Чивиты даёт обычное определение трехмерного ротора, приведённое в статье выше.
Для двумерного пространства может быть вдобавок при желании использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, совпадающим с проекцией традиционного векторного произведения на ось, ортогональную данному двумерному пространству - если считать при этом двумерное пространство вложенным в некое трехмерное, чтобы традиционное векторное произведение имело смысл).
1. Основные понятия теории поля
Теория поля лежит в основе многих представлений современной физики, механики, математики. Основными ее понятиями являются градиент, поток, потенциал, ротор, дивергенция, циркуляция и др. Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа функций многих переменных.
Полем называется областьG пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.
В физических задачах обычно встречаются величины двух типов: скаляры и векторы. В соответствии с этим рассматривают два вида полей.
Если каждой точке M этой области поставлено в соответствие некоторое числоU (M ) , говорят, что в
области задано (определено) скалярное поле. Примерами скалярных полей являются поле температур внутри некоторого нагретого тела (в каждой точкеM этого тела задана соответствующая температураU (M )), поле
освещённости, создаваемое каким-либо источником света. Пусть в пространстве фиксирована система
координаты точки M в этой системе координат. Значения функцииU (x ,y ,z ) совпадают со значениями поляU (M ) ,
поэтому для неё сохранён тот же символ.
Если каждой точке M этой области поставлен в соответствие определённый векторa (M ) , говорят, что
задано векторное поле. Один из примеров векторных полей - это поле скоростей стационарного потока жидкости. Оно определяется так: пусть областьG заполнена жидкостью, текущей в каждой точке с
некоторой скоростью v , не зависящей от времени (но
различной, вообще говоря, в разных точках); поставив в соответствие каждой точке M изG векторv (M ) , мы получим векторное поле, называемое полем скоростей.
Если a (M ) - некоторое векторное поле в
пространстве, то взяв в этом пространстве фиксированную прямоугольную декартову систему координат, можно
представить a (M ) как упорядоченную тройку скалярных
функций: a (M ) = (P (x ,y ,z ),Q (x ,y ,z ),R (x ,y ,z )) . Эти
Если функция U (M ) (илиa (M )) не зависит от
времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным ; поле, которое меняется с течением времени, называется нестационарным. Далее будем рассматривать только стационарные поля.
2. Основные характеристики скалярного и векторного полей
Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U (x ,y ,z ) в точке
M (x ,y ,z ) , называютградиентом функции и обозначают
gradU (x ,y ,z ) , т.е. | |||||||
∂ U(M) | ∂ U(M) | ∂ U(M) | |||||
gradU (x ,y ,z ) = | |||||||
∂x | ∂y | ∂z |
Известно, что градиент задаёт в точке M направление наибыстрейшего возрастания функцииU (x ,y ,z ) . Говорят, что скалярное полеU порождает
векторное поле градиента U .
Линией градиента скалярного поляU (M ) называют
всякую кривую, касательная к которой в каждой точке направлена по gradU в этой точке.
Таким образом, линии градиента поля - это те линии, вдоль которых поле меняется быстрее всего.
Чтобы сформулировать ещё одно свойство градиента, напомним определение поверхности уровня.
Поверхностью уровня функции (поля)U =U (x ,y ,z )
называется поверхность, на которой функция (поле) сохраняет постоянное значение. Уравнение поверхности уровня имеет вид U (x ,y ,z ) =C .
Таким образом, в каждой точке поля градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
Потоком Π векторного поляa = (P ,Q ,R ) через
поверхность σ называется поверхностный интеграл
∫∫ (P cosα + Q cosβ + R cosγ )dS
или, короче, ∫∫ a n dS , где черезn = (cosα , cosβ , cosγ )
обозначили единичный вектор нормали к поверхности σ , определяющий её сторону.
Дивергенцией векторного поляa (M ) в | |||||||||
a ns | |||||||||
называется предел | |||||||||
v→ 0 | |||||||||
области Ω G , содержащей | точку M , аσ | ||||||||
области Ω , который обозначаетсяdiva (M ) . | |||||||||
Если частные | производные | ∂ P , | ∂ Q , | ∂R |
|||||
∂x | ∂y | ∂z |
непрерывны, то
∂ P + | ∂ Q + | ∂ R . | |||||||||||||||||||||||
div a (M ) = | |||||||||||||||||||||||||
∂x | ∂y | ∂z | |||||||||||||||||||||||
Ротором (или вихрем) векторного поляa = (P ,Q ,R ) |
|||||||||||||||||||||||||
называется следующий вектор | |||||||||||||||||||||||||
∂R | ∂Q | ∂P | ∂R | ∂Q | ∂P | ||||||||||||||||||||
rot a | ∂y | ∂z | ∂z | ∂x | ∂x | ∂y | |||||||||||||||||||
Ротор векторного поля удобно записывать в виде |
|||||||||||||||||||||||||
символического детермината | |||||||||||||||||||||||||
rot a = | ∂x | ∂y | ∂z | ||||||||||||||||||||||
где под умножением одного из символов | |||||||||||||||||||||||||
∂x | ∂z |
||||||||||||||||||||||||
∂y | |||||||||||||||||||||||||
некоторую | понимается | выполнение |
|||||||||||||||||||||||
соответствующей | операции | дифференцирования |
|||||||||||||||||||||||
(например, | Q означает | ∂Q | |||||||||||||||||||||||
∂x | ∂x | ||||||||||||||||||||||||
Пусть L -- замкнутая кривая в областиΩ . Интеграл |
|||||||||||||||||||||||||
∫ P dx+ Q dy+ R dz | |||||||||||||||||||||||||
называется циркуляцией поляa = (P ,Q ,R ) | по кривой L и |
||||||||||||||||||||||||
обозначается | ∫ a d r, | d r = (dx, dy, dz) . | |||||||||||||||||||||||
3. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса
Обозначим через L -- некоторый замкнутый контур, аσ -- поверхность, натянутая на этот контур.
Предполагается, что выбор направления на контуре согласован с выбором стороны поверхности (при обходе контура в выбранном направлении выбранная сторона находится слева).
Формула Стокса говорит о том, что циркуляция векторного поля вдоль некоторого контура равна потоку ротора векторного поля через поверхность, натянутую на этот контур.
Пусть теперь Ω - некоторая замкнутая ограниченная область, аσ - граница этой области. Тогда справедлива
σ Ω
Напомним, что поверхностный интеграл в левой части формулы (5) берется по внешней стороне поверхности σ .
Формула Остроградского-Гаусса означает, что тройной интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую данную область.
4. Оператор Гамильтона. Некоторые виды скалярных и векторных полей
Английским математиком и механиком Гамильтоном был введён векторный дифференциальный оператор
∂x | ∂y | ∂z |
||||||
называемый оператором набла.
Следует сразу отметить, что аналогия между символическим вектором и "настоящими" векторами не
полная. Именно, формулы, содержащие символический вектор, аналогичны обычным формулам векторной алгебры в том случае, если они не содержат произведений переменных величин (скалярных и векторных), то есть до тех пор, пока не приходится применять входящие в операции дифференцирования к произведению переменных величин.
Используя набла-вектор, градиент скалярного поля
Целесообразность введения символического векторасостоит в том, что с его помощью удобно получать и записывать различные формулы векторного анализа.
Продемонстрируем сказанное на примерах.
Задача 1. Доказать, что ротор градиента скалярного поляU (M ) равен 0 , то есть rot(gradU ) = 0.
Докажем сначала это равенство, не используя оператор Гамильтона. Таким образом,
rot(gradU ) = rot | ∂ U(M) | , ∂ U (M ) , | ∂ U (M ) = |
∂x | ∂y | ∂z |
∂ ∂
= ∂ x∂ y∂ U∂ U
∂ x∂ y
∂z | ∂ U | ∂ U | ∂ U | |||||||||||
∂U | ∂z ∂y | ∂x ∂z | ||||||||||||
∂y ∂z | ∂z ∂x |
|||||||||||||
∂z | ||||||||||||||
∂y ∂x | ∂x ∂y | k = 0, | ||||||||||||
поскольку по теореме Шварца непрерывные смешанные производные равны.
Теперь, используя форму записи градиента (7) и ротора (9) через, имеем rot(gradU ) =× U .
Так как вектор U (произведение вектора на скалярU ) коллинеарен вектору, то их векторное
произведение равно 0 .
Задача 2. Записать дивергенцию градиента скалярного поля div(gradU ) , используя.
Образуя дивергенцию от gradU , получим
div(gradU ) = div | ∂ U s i + ∂ U s j + | ∂ U k s = |
|
∂x | ∂y | ∂z |
= ∂ 2 U + ∂ 2 U + ∂ 2 U . ∂ x 2∂ y 2∂ z 2
Оператор | ∂2 | ∂2 | ∂2 | называют оператором |
|||
∂x 2 | ∂y 2 | ∂z 2 |
|||||
Лапласа и обозначают символом:
= ∂ 2+ ∂ 2+ ∂ 2. ∂ x 2∂ y 2∂ z 2
Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то = 2 . Таким образом, div(gradU ) =2 U .
Векторное поле a (M ) называетсяпотенциальным,
если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля U (M ) :
a = gradU .
Само скалярное поле U называется при этом потенциалом векторного поляa .
Для того, чтобы векторное поле a (M ) было
Необходимость выполнения равенства (10) доказана (см. задачу 1, рассмотренную выше).
Потенциал векторного поля можно найти по формуле
U (M) = ∫ P(x, y, z) dx+ ∫ Q(x0 , y, z) dy+ ∫ R(x0 , y0 , z) dz+ C, |
||
где (x 0 ,y 0 ,z 0 ) - произвольная точка областиG .
Векторное поле a (M ) , дивергенция которого
тождественно равна нулю, называется соленоидальным (трубчатым).
Для того чтобы сформулировать одно из важнейших свойств соленоидального поля, введём понятия векторной линии и векторной трубки.
Линия L , лежащая вG называетсявекторной
линией , если в каждой точке этой линии направление касательной к ней совпадает с направлением векторного поля в этой точке.
Известно, что векторная линия является интегральной кривой системы дифференциальных уравнений
В частности, если векторное поле есть поле скоростей стационарного потока жидкости, то его векторные линии -- это траектории частиц жидкости.
Векторная трубка - это замкнутое множество Φ точек областиG , в котором задано векторное полеa (M ) , такое, что всюду на его граничной поверхности вектор нормалиn ортогоналенa (M ) .
Векторная трубка состоит из векторных линий поля a (M ) . Векторная линия целиком содержится вΦ , если
одна точка линии содержится в Φ .
Интенсивностью трубкиΦ в сечении называется поток поляa (M ) через это сечение.
Если поле соленоидальное, то выполняется закон сохранения интенсивности векторной трубки.
Для поля скоростей v (M ) несжимаемой жидкости приs отсутствии стоков и источников (то есть при условии divv (M ) = 0) закон сохранения интенсивности векторной
трубки можно сформулировать таким образом: количество жидкости, протекающей за единицу времени через сечение векторной трубки, одно и то же для всех ee сечений.
Ниже приводятся некоторые типичные задачи с решениями.
Задача 3 . Найти поверхности уровня скалярного поля
U (M) = x2 + y2 − z.
поверхности уровня представляют собой семейство эллиптических параболоидов, осью симметрии которых является ось Oz .
Задача 4. | В скалярном поле U (M ) =xy 2 + z 2 найти |
|||||||||||||||
градиент в точке M 0 (2,1,− 1) . | ||||||||||||||||
Найдем значения | частных производных | |||||||||||||||
U (M ) в точкеM 0 : | ||||||||||||||||
∂U | |M 0 =y 2 |M 0 = 12 = 1, | ∂U | |M 0 = 2xy |M 0 = 2 2 1 = 4, |
|||||||||||||
∂x | ∂y |
|||||||||||||||
∂U | 2 (− 1) =− 2. | |||||||||||||||
∂z | ||||||||||||||||
Следовательно, | ||||||||||||||||
gradU (M 0 ) =s i + 4s j − 2k s . | ||||||||||||||||
Вычислить дивергенцию векторного поля |
||||||||||||||||
a(M) = 2 xy2 i− yz j+ 3 z2 k | в точке M 0 (1,− 2,1) . | |||||||||||||||
P = 2xy 2 ,Q =− yz ,R = 3z 2 . Найдём значение |
||||||||||||||||
соответствующих частных производных в точке M 0 : |
||||||||||||||||
∂ P| | 2 y 2 | | 2 (− 2)2 = 8, | ∂Q | = − z | | = − 1, |
|||||||||||
∂x | ∂y |
|