Представляются в виде рядов распределения и оформляются в виде .

Ряд распределния является одним из видов группировок.

Ряд распределения — представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:

  • Атрибутивными — называют ряды распределения, построенные по качественными признакам.
  • Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными .
Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов:

В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются . Дискретная варианта — выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд.
Во втором столбце содержится количество конкретных вариант , выраженное через частоты или частости:

Частоты — это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.

Частости () — это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

Графическое изображение рядов распределения

Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.

Ряды распределения изображаются в виде:
  • Полигона
  • Гистограммы
  • Кумуляты
  • Огивы

Полигон

При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) — частоты или частости.

Полигон на рис. 6.1 построен по данным микропереписи населения России в 1994 г.

6.1. Распределение домохозяйств по размеру

Условие : Приводятся данные о распределении 25 работников одного из предприятий по тарифным разрядам:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
Задача : Построить дискретный вариационный ряд и изобразить его графически в виде полигона распределения.
Решение :
В данном примере вариантами является тарифный разряд работника. Для определения частот необходимо рассчитать число работников, имеющих соответствующий тарифный разряд.

Полигон используется для дискретных вариационных рядов.

Для построения полигона распределения (рис 1) по оси абсцисс (X) откладываем количественные значения варьирующего признака — варианты, а по оси ординат — частоты или частости.

Если значения признака выражены в виде интервалов, то такой ряд называется интервальным.
Интервальные ряды распределения изображают графически в виде гистограммы, кумуляты или огивы.

Статистическая таблица

Условие : Приведены данные о размерах вкладов 20 физических лиц в одном банке (тыс.руб) 60; 25; 12; 10; 68; 35; 2; 17; 51; 9; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; 18; 7; 42.
Задача : Построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами.
Решение :

  1. Исходная совокупность состоит из 20 единиц (N = 20).
  2. По формуле Стерджесса определим необходимое количество используемых групп: n=1+3,322*lg20=5
  3. Вычислим величину равного интервала: i=(152 — 2) /5 = 30 тыс.руб
  4. Расчленим исходную совокупность на 5 групп с величиной интервала в 30 тыс.руб.
  5. Результаты группировки представим в таблице:

При такой записи непрерывного признака, когда одна и та же величина встречается дважды (как верхняя граница одного интервала и нижняя граница другого интервала), то эта величина относится к той группе, где эта величина выступает в роли верхней границы.

Гистограмма

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

На рис. 6.2. изображена гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.

Рис. 6.2. Распределение населения России по возрастным группам

Условие : Приводится распределение 30 работников фирмы по размеру месячной заработной платы

Задача : Изобразить интервальный вариационный ряд графически в виде гистограммы и кумуляты.
Решение :

  1. Неизвестная граница открытого (первого) интервала определяется по величине второго интервала: 7000 — 5000 = 2000 руб. С той же величиной находим нижнюю границу первого интервала: 5000 — 2000 = 3000 руб.
  2. Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываем отрезки, величины которых соответствуют интервалам варицонного ряда.
    Эти отрезки служат нижним основанием, а соответствующая частота (частость) — высотой образуемых прямоугольников.
  3. Построим гистограмму:

Для построения кумуляты необходимо рассчитать накопленные частоты (частости). Они определяются путем последовательного суммирования частот (частостей) предшествующих интервалов и обозначаются S. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем рассматриваемое.

Кумулята

Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам (частостям) изображается с помощью кумуляты.

Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат — накопленные частоты или частости (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Кумулята распределения домохозяйств по размеру

4. Рассчитаем накопленные частоты:
Наколенная частота первого интервала рассчитывается следующим образом: 0 + 4 = 4, для второго: 4 + 12 = 16; для третьего: 4 + 12 + 8 = 24 и т.д.

При построении кумуляты накопленная частота (частость) соответствующего интервала присваивается его верхней границе:

Огива

Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака — на оси ординат.

Разновидностью кумуляты является кривая концентрации или график Лоренца. Для построения кривой концентрации на обе оси прямоугольной системы координат наносится масштабная шкала в процентах от 0 до 100. При этом на оси абсцисс указывают накопленные частости, а на оси ординат — накопленные значения доли (в процентах) по объему признака.

Равномерному распределению признака соответствует на графике диагональ квадрата (рис. 6.4). При неравномерном распределении график представляет собой вогнутую кривую в зависимости от уровня концентрации признака.

6.4. Кривая концентрации

Несистематизированные данные, собранные в процессе статистического наблюдения, образуют первичный ряд данных. При достаточно большом объеме совокупности первичный ряд данных становится трудно обозримым и непосредственное его рассмотрение не может дать представления о распределении единиц совокупности по величине признака.

Первым шагом в упорядочении первичного ряда является его ранжирование, т.е. расположение всех вариантов ряда (значений признака) в возрастающем или убывающем порядке. Ранжирование данных позволяет:

  • сразу увидеть максимальное и минимальное значения признака в совокупности и оцепить разницу между ними (Х тах - X min);
  • определить число повторений отдельных вариантов ряда (частоту).

В результате первичный неупорядоченный ряд данных преобразуется в упорядоченный ряд, в котором будет отражено число повторений каждой варианты:

Этот ряд называется статистическим рядом распределения. Он характеризует состав и структуру изучаемого явления, позволяет судить о степени однородности изучаемой совокупности, закономерности и границах варьирования анализируемого признака.

Элементами статистического ряда распределения являются варианты X, и частоты / (абсолютная величина числа повторений г-й варианты).

Для характеристики структуры совокупности используется показатель, который называется частостью (4) и определяется по формуле

Из определения частоты и частости следуют следующие равенства: где N - объем совокупности.

Ряд распределения может быть получен в результате группировки. Ряды распределения могут быть атрибутивными и вариационными.

Атрибутивным рядом является статистический ряд распределения, который построен по атрибутивному признаку. В качестве примера такого ряда можно рассматривать, в частности, распределение рабочих цеха предприятия по профессиям (табл. 3.2).

Распределение рабочих цеха по профессиям

Вариационным рядом является статистический ряд распределения, который построен по количественному признаку. Вариационный ряд можно считать дискретным рядом, если признак, по котором}" он построен, соответственно является дискретным. Вариационный ряд распределения также может быть и интервальным, если признак, по которому он построен, является непрерывным. В качестве примера такого ряда можно привести распределение рабочих цеха или предприятия по уровню квалификации (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Распределение рабочих цеха по уровню квалификации

В качестве примера интервального ряда распределения можно привести пример распределения предприятий по объему производства (см. параграф 3.3). Интервальное распределение при этом выполняется в процессе построения соответствующей аналитической группировки, представленной в табл. 3.4.

Интервальный ряд распределения, наряду с дискретным рядом распределения, позволяет выявить и исследовать структуру изучаемого явления (объекта наблюдения).

Таблица 3.4

Распределение предприятий по объему производства продукции

Группы предприятий но объему производства, млн руб.

Количество

предприятий

(частота)

Удельный вес в общем количестве пред!хриятий

Накопленная

/о

Xi

А

А

d,

Статистический ряд распределения можно рассматривать как обязательный итог любой статистической группировки. При построении рядов распределения число групп и длина интервала определяются по правилам, применяемым при выполнении статистических группировок (см. параграф 3.2).

Для наглядности и лучшего понимания статистические ряды распределения могут быть представлены не в табличном, а в графическом виде.

Наиболее часто графический вид рядов распределения используется для отображения вариационных статистических рядов распределения.

Для отображения дискретного ряда используют линейные диаграммы, которые называются полигонами распределения. При построении полигона распределения в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают варианты (значения) анализируемого признака. На оси ординат откладывают частость распределения вариантов или значений признака. Целесообразность отображения на оси ординат частостей объясняется следующим:

  • это наиболее удобный способ при большом объеме исследуемой статистической совокупности;
  • это дает возможность в рамках одного графика изображать статистические ряды распределения двух и более признаков с разным числом единиц совокупности.

Пересечение точек по оси абсцисс и оси ординат образует ломаную линию, которая и представляет собой полигон распределения (рис. 3.1 - на основе данных табл. 3.3).

Для графического отображения интервального ряда, как правило, используют столбиковые диаграммы, которые принято в данном случае называть гистограммами.

Можно построить гистограмму интервального ряда распределения предприятий по объему производства продукции (см. габл. 3.4). Ось абсцисс в данном случае представляет собой отрезки, равные величине интервалов ряда распределения (в принятом масштабе). Далее на этих отрезках строят прямоугольники, которые по высоте, откладываемой по оси ординат, равны частоте или частости каждого интервала (рис. 3.2).


Рис. 3.1.


Рис. 3.2.

Для решения таких задач, как определение структурных средних, наблюдение за процессом концентрации изучаемого явления и т.п., ряды распределения принято преобразовывать в кумулятивные ряды, которые выстраиваются в зависимости от накопленных частот или частостей. Правило расчета накопления частот (частостей) каждого интервала ряда распределения достаточно простое. Накопление частот (частостей) рассчитывается как сумма частоты (частости) данного интервала и частот (частостей) всех интервалов, предшествующих данному интервалу.

В качестве примера построения кумулятивного ряда возьмем данные табл. 3.4 из последней графы (см. накопленная частота s,) и построим соответствующую диаграмму (рис. 3.3).

При построении кумулятивных рядов в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают верхние границы интервалов ряда распределения, а на оси ординат - накопленные частоты (частости), которые соответствуют этим интервалам.


Рис. 3.3.

С использованием кумуляты может быть проиллюстрирован процесс концентрации, где наряду с накоплением частот (частостей) имеются в статистическом ряду распределения и суммы накопленных группировочных (или иных важных) признаков изучаемого явления. Такие кривые, которые отражают процесс концентрации, называют кривыми Лоренца.

Так, если обратиться к данным табл. 3.4 и рис. 3.3, то можно отметить, что накопленная частота второго интервала свидетельствует о том, что семь предприятий из 25 производят около 19% всего объема продукции, при этом каждое из семи предприятий имеет объем производства не более 8,2 млн руб. и эти семь предприятий составляют 28% общего количества рассмотренных предприятий.

Самым важным требованием из всех, которые могут быть предъявлены к построению статистических рядов распределения, является требование сопоставимости во времени и в пространстве данных об интервалах. При этом вполне понятно, что в рядах с равными интервалами это требование выполняется автоматически. В тех рядах распределения, интервалы которых не равны, принято рассчитывать плотность распределения как частное от деления частоты интервала на его длину. В графическом отображении рядов распределения с неравными интервалами на оси ординат принято откладывать нс частоты (частости), а значения плотности распределения.

Для облегчения построения группировок и графических отображений статистических рядов могут быть использованы редакторы электронных таблиц (например, Excel ).

  • См.: Макарова Н. В., Трофимец В. С. Статистика в Excel. М.: Финансы и статистика,2009; и другие подобные издания.

Тема 9. Ряды распределения

Статистические ряды распределения – это первичная характеристика массовой статистической совокупности, упорядоченное разложение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному признаку. Любой статистический ряд распределения состоит из двух элементов:

1) отдельных значений варьирующего признака (вариантов );

2) величин, которые показывают, сколько раз повторяется данная варианта (частот ).

Примечание . Частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу, называются частостями ; это численность ряда распределения выражается суммой частот .

Если за основу группировки взят качественный признак, то такой ряд распределения называют атрибутивным (распределение по видам труда, по полу, по профессии, по религиозному признаку, национальной принадлежности и т.д.). Если ряд распределения построен по количественному признаку, то такой ряд называют вариационным . Построить вариационный ряд - значит упорядочить количественное распределение единиц совокупности по значениям признака, а затем подсчитать числа единиц совокупности с этими значениями (построить групповую таблицу).

Выделяют три формы вариационного ряда :

1) ранжированный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака; ранжирование позволяет легко разделить количественные данные по группам, сразу обнаружить наименьшее и наибольшее значения признака, выделить значения, которые чаще всего повторяются; другие формы вариационного ряда - групповые таблицы , составленные по характеру вариации значений изучаемого признака;

2) дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением, между которыми нет промежуточных значений (дискретные признаки - тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д.); эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений;

Дискретный ряд представляет собой групповую таблицу , которая состоит из двух граф: в первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака;

3) если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака нужно строить интервальный ряд (с равными или неравными интервалами).

Групповая таблица здесь также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота). Очень часто таблица дополняется графой, в которой подсчитываются накопленные частоты S, которые показывают, какое количество единиц совокупности имеет значение признака не большее, чем данное значение. Частоты ряда f могут заменяться частностями w , выраженными в относительных числах (долях или процентах). Они представляют собой отношения частот каждого интервала к их общей сумме (9.1):



(9.1)

При построении вариационного ряда с интервальными значениями, прежде всего, необходимо установить величину интервала i, которая определяется как отношение размаха вариации R к числу групп n (9.2):

где R = x max - x min ; n = 1 + 3,322 lgN(формула Стерджесса ); N - общее число единиц совокупности.

Интервальные вариационные ряды могут быть построены и для признаков с дискретной вариацией. Нередко в статистическом исследовании указывать отдельное значение дискретного признака нецелесообразно, т.к. это, как правило, затрудняет рассмотрение вариации признака. Поэтому возможные дискретные значения признака распределяются по группам и подсчитываются соответствующие им частоты (частности). При построении интервального ряда по дискретному признаку границы смежных интервалов не повторяют друг друга: следующий интервал начинается со следующего по порядку (после верхнего значения предыдущего интервала) дискретного значения признака.

При сравнении частот ряда с неравными интервалами для характеристики их наполненности рассчитывают плотность распределения. Средняя плотность в интервале – это частное от деления частоты и частности на величину интервала. В первом случае плотность абсолютная, во втором – относительная. Средняя плотность показывает, сколько единиц или их процентов приходится на единицу измерения варианты. Частота, частность, плотность и накопленная частота – это различные функции от величины варианты.

В процессе анализа статистических данных , представленных рядами распределения, кроме знания о характере распределения (или структуре совокупности) могут вычисляться различные статистические показатели (числовые характеристики), которые в обобщенном виде отражают особенности распределения изучаемых признаков. Эти характеристики (показатели) могут быть разделены на 3 основные группы

1) характеристики центра распределения (средняя, мода, медиана);

2) характеристики степени вариации (вариационный размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации);

3) характеристики формы (типа) распределения (показатели эксцесса и асимметрии, ранговые характеристики, кривые распределения).

Наиболее надежный путь выявления закономерности распределения состоит в следующем:
1) увеличить количество наблюдаемых случаев (в соответствии с законом больших чисел, в таких рядах случайные отклонения от общей закономерности у индивидуальных значений будут взаимно погашаться);

2) первоначально совокупность разбить на максимальное возможное число групп, затем, постепенно сокращая число групп, оптимизировать группировку с точки зрения выявления закономерности распределения.

При реализации такого подхода закономерность, характерная для данного распределения будет выступать все более и более ясно, а ломаная линия, изображающая полигон, будет приближаться к некоторой плавной линии и в пределе должна превратиться в кривую линию.

Результаты сводки и группировки материалов статистического наблюдения оформляются в виде статистических рядов распределения. Статистические ряды распределения представляют собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному (варьирующему) признаку. Они характеризуют состав (структуру) изучаемого явления, позволяют судить об однородности совокупности, границах ее изменения, закономерностях развития наблюдаемого объекта. В зависимости от признака статистические ряды распределения делятся на:

Атрибутивные (качественные);

Вариационные (количественные)

а) дискретные;

б) интервальные.

Атрибутивные ряды распределения

Атрибутивные ряды образуются по качественным признакам, которыми могут выступать занимаемая должность работников торговли, профессия, пол, образование и т.д.

Таблица 1 - Распределение работников предприятия по образованию.

В данном примере группировочным признаком выступает образование работников предприятия (высшее, среднее). Данные ряды распределения являются атрибутивными, поскольку варьирующий признак представлен не количественными, а качественными показателями. Наибольшее число составляют работники со средним образованием (порядка 40%); остальные работники распределяются на группы по данному качественному признаку: со средним специальным образованием - 25%; с неполным высшим - 20%; с высшим - 15%.

Вариационные ряды распределения

Вариационные ряды строятся на основе количественного группировочного признака. Вариационные ряды состоят из двух элементов: вариант и частот.

Варианта - это отдельное значение варьируемого признака, которое он принимает в ряду распределения. Они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными. Частота - это численность отдельных вариант или каждой группы вариационного ряда. Частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу, называются частостями . Сумма частот называется объемом совокупности и определяет число элементов всей совокупности.

Частости - это частоты, выраженные в виде относительных величин (долях единиц или процентах). Сумма частостей равна единице или 100 %. Замена частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с разным числом наблюдений.

Вариационные ряды в зависимости от характера вариации подразделяются на: дискретные (прерывные) и интервальные (непрерывные). Дискретные ряды распределения основаны на дискретных (прерывных) признаках, имеющих только целые значения (например, тарифный разряд рабочих, число детей в семье).

Интервальные ряды распределения базируются на непрерывно изменяющемся значении признака, принимающем любые (в том числе и дробные) количественные выражения, т.е. значение признаков таких рядах задается в виде интервала.

При наличии достаточно большого количества вариантов значений признака первичный ряд является труднообозримым, и непосредственное рассмотрение его не дает представления о распределении единиц по значению признака в совокупности. Поэтому первым шагом в упорядочении первичного ряда является его ранжирование - расположение всех вариантов в возрастающем (убывающем) порядке.

Для построения дискретного ряда с небольшим числом вариантов выписываются все встречающиеся варианты значений признака Х i , а затем подсчитывается частота повторения варианта f i . Ряд распределения принято оформлять в виде таблицы, состоящей из двух колонок (или строк), в одной из которых представлены варианты, а в другой - частоты.

Для построения ряда распределения непрерывно изменяющихся признаков, либо дискретных, представленных в виде интервалов, необходимо установить оптимальное число групп (интервалов), на которые следует разбить все единицы изучаемой совокупности.

Наиболее простым способом обобщения статистического материала является построение рядов. Результатом сводки статистического исследования могут быть ряды распределения.

После определения группировочного признака, количества групп и интервалов группировки данные сводки и группировки представляются в виде рядов распределения и оформляются в виде статистических таблиц.

Ряд распределния является одним из видов группировок.

Рядом распределения в статистике называется упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по какому-либо одному признаку: по качественному или количественному.

  1. Виды рядов распределения

В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:

    атрибутивными называют ряды распределения, построенные по качественными признакам;

    вариационными называют ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака.

Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов. В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются. Дискретная варианта - выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд. Во втором столбце содержится количество конкретных вариант, выраженное через частоты или частости:

    частоты - это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака; сумма всех частот должна быть равна численности единиц всей совокупности;

    частости - это частоты выраженные в процентах к итогу; сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

Вариационный ряд характеризуется двумя элементами: вариантой (Х) и частотой (f). Варианта – это отдельное значение признака отдельной единицы или группы совокупности. Число, показывающее, сколько раз встречается то или иное значение признака, называется частотой. Если частота выражена относительным числом, то она называется частостью.

Вариационный ряд может быть:

    интервальным, когда определены границы «от» и «до», интервальные ряды распределения можно представить графически в виде гистограммы;

    дискретным, когда изучаемый признак характеризуется определенным числом.

  1. Графическое изображение рядов распределения

Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.

Ряды распределения изображаются в виде:

    полигона;

    гистограммы;

    кумуляты;

При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) - частоты или частости.

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам (частостям) изображается с помощью кумуляты.

Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат - накопленные частоты или частости.

Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака - на оси ординат.

Разновидностью кумуляты является кривая концентрации или график Лоренца. Для построения кривой концентрации на обе оси прямоугольной системы координат наносится масштабная шкала в процентах от 0 до 100. При этом на оси абсцисс указывают накопленные частости, а на оси ординат - накопленные значения доли (в процентах) по объему признака.