Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому в соответствии с формулой (11.10) поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие
Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую, поверхность равен нулю.
Заменив в соответствии с (11.41) поверхностный интеграл в (49.1) объемным, получим, что
Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция всюду равна нулю:
Теперь обратимся к циркуляции вектора В. По определению циркуляция равна интегралу
Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. 49.1; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции через ( - проекция элемента контура на направление вектора В)
Из рисунка видно, что равно где b - расстояние от провода с током до , - угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок Таким образом, подставив выражение (42.5) для В, получим
С учетом равенства (49.4) имеем
При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. ). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1-2), а затем в противоположном (участок ), вследствие чего равен нулю.
Учтя этот результат, можно написать
где под следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю.
Знак выражения (49.6) зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол а). Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина (49.6) положительна, в противном случае - отрицательна. Знак можно учесть, полагая алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным.
С помощью соотношения (49.6) легко восстановить в памяти формулу (42.5) для В поля прямого тока.
Представим себе плоский контур в виде окружности радиуса b (рис. 49.2). В каждой точке этого контура вектор В одинаков по величине и направлен по касательной к окружности. Следовательно, циркуляция равна произведению В на длину окружности и соотношение (49.6) имеет вид
Отсюда (ср. с (42.5)).
Случай неплоского контура (рис. 49.3) отличается от рассмотренного выше случая плоского контура лишь тем, что при перемещении вдоль контура радиальная прямая не только поворачивается вокруг провода, но и перемешается вдоль него. Все выкладки, приведшие нас к формуле (49.6), остаются справедливыми, если под подразумевать угол, на который поворачивается проекция радиальной прямой на перпендикулярную к току плоскость. Суммарный угол поворота этой проекции равен если контур охватывает ток, и нулю в противном случае.
Следовательно, мы снова приходимк формуле (49.6).
Формула (49.6) получена нами для случая прямого тока. Можно показать, что она справедлива и для тока, текущего по проводу произвольной формы, например для кругового тока.
Допустим, что некоторый контур охватывает несколько проводов с токами. В силу принципа суперпозиции (см. (40.1))
Каждый из интегралов в этой сумме равен Следовательно,
(напомним, что - алгебраическая величина).
Если токи текут во всем пространстве, где расположен контур, алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром, можно представить в виде
Интеграл берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур. Вектор есть плотность тока в той точке, где расположена площадка ; - положительная нормаль к этой площадке (т. е. нормаль, образующая с направлением обхода по контуру при вычислении циркуляции правовинтовую систему).
Заменив в (49.7) сумму токов выражением (49.8), получим
Преобразовав левую часть по теореме Стокса, придем к равенству
Полученное равенство должно выполйяться при произвольном выборе поверхности S, по которой берутся интегралы. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные функции имеют в каждой точке одинаковые значения. Таким образом, мы приходим к выводу, что ротор вектора магнитной индукции пропорционален вектору плотности тока в данной точке:
Коэффициент пропорциональности в СИ равен .
Отметим, что формулы (49.7) и (49.9) справедливы только для поля в вакууме в отсутствие меняющихся во времени электрических полей.
Итак, мы нашли дивергенцию и ротор магнитного поля в вакууме. Сравним полученные формулы с аналогичными формулами для электростатического поля в вакууме. Согласно (13.5), (12.3), (49.2) и (49.9)
Сопоставление этих формул показывает, что электростатическое и магнитное поля имеют существенно различный характер. Ротор электростатического поля равен нулю; следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано скалярным потенциалом Поле, у которого ротор отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным.
Поскольку дивергенция вектора В всюду равна нулю, этот вектор можно представить в виде ротора некоторой функции А:
(дивергенция ротора всегда равна нулю; см. (11.39)). Функция А называется векторным потенциалом магнитного поля. Некоторые сведения о векторном потенциале содержатся в Приложении III (стр. 486).
Ротор (математика)
Ро́тор , или вихрь - векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Обозначается
(в русскоязычной литературе) или
(в англоязычной литературе),
а также - как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:
Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное поле:
Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.
Интуитивный образ
Если v (x,y,z) - поле скорости движения газа (или течения жидкости), то rot v - вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).
Конкретно rot v = 2 ω , где ω - эта угловая скорость.
Простую иллюстрацию этого факта - см. ниже.
Эта аналогия может быть сформулирована вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию (данное в следующем параграфе) можно считать эквивалентным полученному таким образом.
Математическое определение
Ротор векторного поля - есть вектор, проекция которого на каждое направлениеn есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L , являющемуся краем плоской площадки ΔS , перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:
.
Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур L обходился по часовой стрелке .
В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F - обозначено некое векторное поле с декартовыми компонентами , а - орты декартовых координат):
Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла(слева) и векторного поля:
(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).
Связанные определения
Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным . Поскольку эти условия являются друг для друга необходимыми и достаточными, оба термина являются практическими синонимами. (Впрочем, это верно только для случая полей, определённых на односвязной области).
Чуть подробнее о взаимной обусловленности потенциальности и безвихревого характера поля - см. ниже (Основные свойства).
Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно вихревым , такое поле не может быть потенциальным.
Обобщение
Наиболее прямое обобщение ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям, определённым на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) такое
при индексах m и n от 1 до размерности пространства.
Это же может быть записано как внешнее произведение:
При этом ротор есть антисимметричное тензорное поле валентности два.
В случае размерности 3 свертка этого тензора с символом Леви-Чивиты даёт обычное определение трехмерного ротора, приведённое в статье выше.
Для двумерного пространства может быть вдобавок при желании использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, совпадающим с проекцией традиционного векторного произведения на ось, ортогональную данному двумерному пространству - если считать при этом двумерное пространство вложенным в некое трехмерное, чтобы традиционное векторное произведение имело смысл).
Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. В этом параграфе мы рассмотрим математическое описание этих характеристик векторных поле и методы их вычисления с помощью дифференциальных операций. При этом мы будем использовать только декартову систему координат. Более полное определение дивергенции и ротора и их физический смысл рассмотрим в следующей главе. Вычисление этих величин в криволинейных системах координат рассмотрим позже.
Рассмотрим векторное поле, заданное в трехмерном пространстве.
Определение 1. Дивергенцией векторного поля называется число, которое определяется выражением
При этом предполагается, что соответствующие частные производные существуют в рассматриваемой точке. Дивергенцию векторного поля, так же, как и градиент, можно записать, используя оператор набла
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image054.png)
Здесь дивергенция представлена как скалярное произведение векторов и F . Отметим без доказательства, что дивергенция описывает плотность источников, создающих поле.
Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке.
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image055.png)
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image058.png)
Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, который определяется выражением
Отметим, что в представленной сумме индексы в соседних слагаемых изменяются согласно правилу круговой перестановки с учетом правила.
Ротор векторного поля можно записать с помощью оператора набла
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image061.png)
Ротор характеризует тенденцию к вращению или завихрению векторного поля, поэтому иногда его называют вихрем и обозначают curlF .
Пример 1. Вычислить ротор векторного поля в точке.
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image063.png)
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image064.png)
Иногда возникает необходимость вычисления градиента векторного поля. В этом случае вычисляется градиент от каждой компоненты векторного поля. В результате получается тензор второго ранга, которым и определяется градиент вектора. Этот тензор можно описать матрицей
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image067.png)
Для описания таких объектов удобно использовать тензорные обозначения
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image068.png)
полагая. Использование тензорных методов упрощает математические операции над такими объектами. Детальное изложение аппарата тензорного исчисления дается в курсе «Основы тензорного анализа», который читается параллельно курсу «Дополнительные главы высшей математики».
Пример 1. Вычислить градиент векторного поля.
Решение. Для вычислений используем тензорные обозначения. Имеем
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image071.png)
Здесь символ Кронекера, - единичная матрица.
Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля и сравнить выражения и.
Некоторые свойства оператора набла
Ранее мы ввели оператор векторного дифференцирования
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image076.png)
С помощью этого оператора мы записали основные дифференциальные операции в тензорных полях:
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image077.png)
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image078.png)
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image079.png)
Оператор является обобщением оператора дифференцирования и обладает соответствующими свойствами производной:
1) производная суммы равна сумме производных
2) постоянный множитель можно выносить за знак оператора
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image081.png)
В переводе на язык векторных функций эти свойства имеют вид:
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image086.png)
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/248172/image087.png)
Выводятся эти формулы так же, как и соответствующие формулы для производных функции одной переменной.
Использование оператора Гамильтона позволяет упростить многие операции, связанные с дифференцированием в тензорных полях. Однако следует иметь в виду, что этот оператор векторный и с ним надо обращаться аккуратно. Рассмотрим некоторые применения этого оператора. При этом соответствующие формулы записываются как с помощью оператора Гамильтона, так и в обычных обозначениях.