Платоновские тела. «Код да Винчи», Платоновы и Архимедовы тела, квазикристаллы, фуллерены, решетки Пенроуза и художественный мир Матюшки Тейи Крашек. Что такое «Код да Винчи»

Текущая страница: 4 (всего у книги 36 страниц) [доступный отрывок для чтения: 9 страниц]

Платон I: Структура из симметрии – платоновы тела

Платоновы тела поддерживают вокруг себя какую-то магию. Они всегда были и остаются теми объектами, с которыми можно творить волшебство. Они уходят корнями глубоко в доисторическую пору человечества и живут сейчас как предметы, сулящие удачу или неудачу в самых известных настольных играх, в частности в знаменитых «Подземельях и драконах». Кроме того, их таинственная сила вдохновила ученых на некоторые из самых плодотворных открытий в развитии математики и физики. Их невыразимая красота достойна того, чтобы поглубже сконцентрироваться на них.

Альбрехт Дюрер на своей гравюре «Меланхолия I» (илл. 4) подразумевает очарование правильных многогранников, хотя тело, изображенное на его картине, не вполне платоново. (Технически это усеченный треугольный трапецоэдр. Он может быть получен растягиванием граней октаэдра определенным образом.) Возможно, Крылатый Гений впал в меланхолию, потому что не может вникнуть, почему злобная летучая мышь сбросила ему в кабинет именно это, не вполне платоново тело вместо правильной фигуры.

Илл. 4. Альбрехт Дюрер «Меланхолия I»

На картине изображено усеченное платоново тело, магический квадрат и множество других эзотерических символов. С моей точки зрения, она прекрасно показывает досаду, которую я часто испытываю, пытаясь с помощью чистой идеи понять реальность. К счастью, так бывает не всегда.

Правильные многоугольники

Прежде чем перейти к платоновым телам, давайте начнем с чего-нибудь попроще – с их самых близких аналогов в двух измерениях, а именно с правильных многоугольников. Правильный многоугольник – это плоская фигура, у которой все стороны равны и смыкаются под равными углами. Самый простой правильный многоугольник имеет три стороны – это равносторонний треугольник. Далее идет квадрат с четырьмя сторонами. Затем – правильный пятиугольник, или пентагон (который был выбран символом пифагорейцев и взят за основу в проекте хорошо известной штаб-квартиры вооруженных сил9
Имеется в виду Пентагон – главное административное здание Министерства обороны США. – Прим. пер.

), шестиугольник (часть пчелиного улья и, как мы увидим далее, графена10
Слой атомов углерода, соединенных в гексагональную двумерную кристаллическую решетку. – Прим. пер.

), семиугольник (его можно найти на различных монетах), восьмиугольник (знаки обязательной остановки), девятиугольник… Этот ряд можно продолжать бесконечно: для каждого целого числа, начиная с трех, существует уникальный правильный многоугольник. В каждом случае количество вершин равно количеству сторон. Мы также можем рассматривать круг как предельный случай правильного многоугольника, где число сторон становится бесконечным.

Правильные многоугольники, в некотором интуитивном смысле, могут приобрести значение идеального воплощения плоскостных «атомов». Они могут служить как концептуальные атомы, из которых мы можем составлять более сложные построения порядка и симметрии.

Платоновы тела

Теперь перейдем от плоских фигур к объемным. Для максимального единообразия мы можем обобщать понятие правильного многогранника различными способами. Самый естественный из них, который оказывается наиболее плодотворным, ведет к платоновым телам. Мы говорим об объемных телах, грани которых являются правильными многоугольниками, все одинаковы и одинаково смыкаются в каждой вершине. Тогда вместо бесконечного ряда решений мы получим ровно пять тел!

Илл. 5. Пять платоновых тел – волшебных фигур

Пять платоновых тел – это:

тетраэдр с четырьмя треугольными гранями и четырьмя вершинами, в каждой из которых сходится по три грани;

октаэдр с восемью треугольными гранями и шестью вершинами, в каждой из которых сходится по четыре грани;

икосаэдр с 20 треугольными гранями и 12 вершинами, в каждой из которых сходится по пять граней;

Додекаэдр с 20 пятиугольными гранями и 20 вершинами, в каждой из которых сходится по три грани;

Куб с шестью квадратными гранями и восемью вершинами, в каждой из которых сходится по три грани.

Существование этих пяти многогранников легко понять, без особых трудностей можно и сконструировать их модели. Но почему их только пять? (Или есть еще другие?)

Чтобы разобраться с этим вопросом, заметим, что вершины тетраэдра, октаэдра и икосаэдра объединяют три, четыре и пять треугольников, сходящихся вместе, и зададим вопрос: «Что произойдет, если мы продолжим и их будет шесть?» Тогда мы поймем, что шесть равносторонних треугольников, имеющих общую вершину, будут лежать на плоскости. Сколько ни повторяй этот плоский объект, он не позволит нам построить законченную фигуру, ограничивающую некий объем. Вместо этого фигура будет бесконечно распространяться по плоскости, как показано на илл. 6 (слева).

Илл. 6. Три бесконечных платоновы поверхности

На рисунке показаны только конечные их части. Эти три правильных замещения плоскости могут и должны восприниматься как родственные платоновым телам – их блудные братья, которые отправились в паломничество и никогда не вернутся.

Мы получим такие же результаты, если совместим четыре квадрата или три шестиугольника. Эти три правильные сечения на плоскости – достойные дополнения к платоновым телам. Далее мы увидим, как они воплощаются в жизнь в микромире (илл. 29).

Если мы попытаемся совместить более шести равносторонних треугольников, четырех квадратов или трех любых бо́льших правильных многоугольников, нам не хватит места и мы просто не сможем разместить вокруг вершины их суммарный угол. И поэтому пять платоновых тел – это все конечные правильные многогранники, которые могут существовать.

Знаменательно, что определенное конечное число – пять – появляется из соображений геометрической правильности и симметрии. Правильность и симметрия – это естественные и прекрасные вещи для размышления, но у них нет очевидной или прямой связи с определенными числами. Как мы увидим, Платон интерпретировал этот сложный случай их возникновения удивительно творческим образом.

Предыстория

Часто известным людям достается слава за открытия, сделанные другими. Это «эффект Матфея», обнаруженный социологом Робертом Мёртоном и основанный на строчках из Евангелия от Матфея:

Ибо каждому имеющему будет дано, и у него будет изобилие, а у неимеющего будет взято и то, что он имеет11
Евангелие от Матфея, 13:12. – Прим. пер.

Так случилось и с платоновыми телами.

В музее Ашмолин в Оксфордском университете12
Музей искусства и археологии в Оксфорде. – Прим. пер.

Можно увидеть стенд с пятью резными камнями, изготовленными примерно в 2000 г. до н. э. в Шотландии, которые кажутся реализациями пяти платоновых тел (хотя некоторые ученые и оспаривают это). По всей видимости, они использовались в какой-то игре с костями. Можно представить, как пещерные люди собирались вокруг общего костра и резались в «Подземелья и драконы» эпохи палеолита. Вполне возможно, что не Платон, а его современник Теэтет (417–369 гг. до н. э.) первым математически доказал, что это эти самые пять тел – единственные возможные правильные многогранники. Не ясно, в какой степени Платон вдохновил Теэтета или наоборот, или в воздухе античных Афин витало что-то такое, что вдохнули они оба. В любом случае платоновы тела получили свое название, потому что Платон оригинально использовал их в работе гения, одаренного творческим воображением, чтобы провидческим образом создать теорию физического мира.

Илл. 7. Доплатоновские изображения платоновых тел, которые, возможно, использовались в играх с костями около 2000 г. до н. э.

Заглянув в гораздо более далекое прошлое, мы понимаем, что некоторые простейшие создания биосферы, в том числе вирусы и диатомеи (не пары атомов, как можно было бы подумать из названия, а морские водоросли, которые часто отращивают вычурные панцири в виде платоновых тел), не только «открыли», но и буквально воплотили платоновы тела задолго до того, как на Земле появились первые люди. Вирус герпеса; вирус, который вызывает гепатит В; вирус иммунодефицита человека и вирусы многих других болезней имеют форму, напоминающую икосаэдр или додекаэдр. Они заключают свой генетический материал – ДНК или РНК – в белковые капсулы-экзоскелеты, которые определяют их внешние формы, как показано на цветной вклейке D. Капсулы маркированы цветом таким образом, что одинаковые цвета обозначают одинаковые «строительные блоки». В глаза бросается характерное для додекаэдра соединение трех пятиугольников. Но если провести прямые линии через центры синих областей, то мы увидим икосаэдр.

Более сложные микроскопические существа, в том числе радиолярии, которые любил изображать Эрнст Геккель в своей великолепной книге «Красота форм в природе», также воплощают в жизнь платоновы тела. На илл. 8 мы видим замысловатый кремниевый экзоскелет этих одноклеточных организмов. Радиолярии – древняя форма жизни, которую обнаруживают в самых ранних окаменелостях. Ими полны океаны и сегодня. Каждое из пяти платоновых тел воплощается в некотором количестве биологических видов живых организмов. В названиях некоторых из них даже закрепилась их форма, в том числе Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra и Circorrhegma dodecahedra .

Вдохновляющая идея Евклида

«Начала» Евклида являются величайшим учебником всех времен, и другие книги им в этом не чета. Эта книга принесла в геометрию систему и строгость. Если посмотреть более широко, она ввела в область идей – путем практического применения – метод анализа и синтеза.

Илл. 8. Радиолярии становятся видимыми под объективом самого простого микроскопа. Их экзоскелеты часто демонстрируют симметрию платоновых тел.

Анализ и Синтез являются предпочтительной формулировкой «редукционизма» для Исаака Ньютона и для нас тоже. Вот что говорит Ньютон:

Путем такого анализа мы можем переходить от соединений к ингредиентам, от движений – к силам, их производящим, и вообще от действий – к их причинам, от частных причин – к более общим, пока аргумент не закончится наиболее общей причиной. Таков метод анализа, синтез же предполагает причины открытыми и установленными в качестве принципов; он состоит в объяснении при помощи принципов явлений, происходящих от них, и доказательстве объяснений13
Цит. по: Ньютон И. Оптика, или Трактат об отражениях, преломлениях, изгибаниях и цветах света. – М.-Л.: Госиздат, 1927. – С. 306.

Эту стратегию можно сравнить с подходом Евклида к геометрии, где он начинает с простых, интуитивно понятных аксиом, чтобы потом вывести из них более сложные и удивительные следствия. Великие «Математические начала» Ньютона, основополагающий документ современной математической физики, тоже следуют показательному стилю Евклида, пошагово переходя от аксиом при помощи логических построений к более значительным результатам.

Важно подчеркнуть, что аксиомы (или законы физики) не говорят вам, что с ними делать. Собирая их вместе без всякой цели, легко создать большое количество ничего не значащих фактов, о которых скоро забудут. Это как пьеса или музыкальный отрывок, которые бредут как неприкаянные и не приходят никуда. Как обнаружили те, кто пытался приспособить искусственный интеллект для решения творческих математических задач, самое трудное в этом деле – определить цели. Имея в голове стóящую цель, становится легче найти средства, чтобы достичь ее. Я люблю печенье с предсказаниями, и раз мне попалось самое удачное на свете печенье: изречение, которое я в нем нашел, великолепно подытоживает все сказанное:

Работа сама научит вас, как ее сделать.

И, конечно, для лучшего усвоения материала, для студентов и потенциальных читателей заманчиво иметь перед собой вдохновляющую цель. С самого начала на них производит глубокое впечатление понимание того, что они могут предвкушать ощущение удивительного трюка создания конструкции, которая неумолимо движется от «очевидных» аксиом к далеко не очевидным заключениям.

Итак, какова была цель Евклида в «Началах»? Тринадцатый и последний том этого шедевра завершается построением пяти платоновых тел и доказательством, почему их существует только пять. Мне приятно думать – тем более что это вполне правдоподобно, – что Евклид думал об этом заключении, когда начинал работать над всей книгой и пока писал ее. В любом случае это подходящее и приносящее чувство завершенности заключение.

Платоновы тела как атомы

Древние греки признавали в материальном мире четыре основные составляющие, или элемента: огонь, вода, земля и воздух. Вы, возможно, заметили, что количество элементов – четыре – близко к пяти, количеству правильных многогранников. Платон, разумеется, заметил! В его самом авторитетном, пророческом и непостижимом диалоге «Тимей» можно найти теорию элементов, основанную на многогранниках. Она состоит в следующем.

Каждый элемент состоит из атомов определенного вида. Атомы имеют форму платоновых тел: атомы огня – форму тетраэдра, атомы воды – икосаэдра, атомы земли – куба, атомы воздуха – октаэдра.

В этих утверждениях есть определенное правдоподобие. Они дают объяснения. Атомы огня имеют острую форму, что объясняет, почему прикосновение к огню болезненно. Атомы воды самые гладкие и круглые, поэтому они могут плавно обтекать друг друга. Атомы земли могут быть плотно прижаты друг к другу и заполняют пространство без пустот. Воздух, который может быть и горячим, и влажным, имеет промежуточную между огнем и водой форму атомов.

Хотя четыре и близко к пяти, но они не могут быть равны, поэтому полного совпадения между правильными многогранниками, рассмотренными как атомы, и элементами быть не может. Менее одаренный мыслитель был бы, возможно, обескуражен этой трудностью, но гениальный Платон не утратил присутствия духа. Он воспринял это как вызов и как возможность. Он предположил, что оставшийся правильный многогранник, додекаэдр, тоже сыграл свою роль в руках Творца-строителя, но не как атом. Нет, додекаэдр – это не просто какой-то атом, скорее, он повторяет форму самой Вселенной в целом.

Аристотель, который всегда старался превзойти Платона, предложил другую, более консервативную и последовательную теорию. Две главные идеи этих влиятельных философов состояли в том, что Луна, планеты и звезды, населяющие небесный свод, состоят из совершенно иной материи, чем та, которую мы можем найти в подлунном мире, и в том, что «природа не терпит пустоты»; таким образом, небесное пространство не могло быть пустым. Эти рассуждения требовали существования пятого элемента, или квинтэссенции, отличающейся от земли, огня, воды и воздуха, чтобы заполнить небесный свод. Так додекаэдр нашел свое место в качестве атома квинтэссенции или эфира.

Сегодня трудно согласиться с деталями обеих этих теорий. Науке нет никакой пользы от того, чтобы анализировать мир в терминах этих четырех (или пяти) элементов. В современном представлении атомы – вовсе не твердые тела, и уж подавно они не имеют форму платоновых тел. Теория элементов Платона с сегодняшней точки зрения выглядит грубой и во всех отношениях безнадежно неверной.

Структура из симметрии

Но хотя взгляды Платона провалились как научная теория, они были успешны как предсказание и, я бы сказал, как произведение интеллектуального искусства. Чтобы оценить концепцию в этом качестве, мы должны отойти от деталей и посмотреть на нее в целом. Глубинная, ключевая догадка в системе физического мира с точки зрения Платона состоит в том, что мир этот должен по большому счету воплощать в жизнь красивые понятия. И эта красота должна быть красотой особого рода: красотой математической правильности, идеальной симметрии. Для Платона, как и для Пифагора, эта догадка была в то же время верой, страстным желанием и основополагающим принципом. Они жаждали привести Разум в гармонию с Веществом, показав, что Вещество состоит из чистейших произведений Разума.

Важно подчеркнуть, что Платон поднялся в своих идеях над общепринятым уровнем философских обобщений своего времени, чтобы сделать определенные заявления о том, что же такое вещество. Его своеобразные, хотя и неправильные, идеи не попадают в позорную категорию «даже не ошибочно»14
Говорят, что знаменитый физик-теоретик Вольфганг Паули однажды раскритиковал беспомощную работу молодого ученого такими вошедшими в поговорку словами: «Это не просто неверно, это даже не дотягивает до ошибочного!» – Прим. пер.

Как мы уже видели, Платон даже сделал некоторые шаги в направлении сравнения этой теории с реальностью. Огонь обжигает, потому что у тетраэдра острые грани, вода течет, потому что икосаэдры легко перекатываются друг по другу, и т. д. В диалоге Платона «Тимей», где говорится обо всем этом, вы также найдете причудливые объяснения того, что мы бы назвали химическими реакциями и свойствами сложных (состоящих больше чем из одного элемента) веществ. Эти объяснения основаны на геометрии атомов. Но эти напрасно потраченные усилия удручающе далеки от того, что мы при всем желании могли бы считать серьезным экспериментальным доказательством научной теории и еще дальше от использования научных знаний для практических целей.

И все же взгляды Платона в нескольких направлениях предвосхищают современные идеи, находящиеся сегодня на переднем крае научного мышления.

Хотя строительные «кирпичики» материи, которые предложил Платон, совсем не те, которые мы знаем сегодня, сама идея о том, что есть лишь немногие строительные элементы, существующие в множестве одинаковых копий, остается основополагающей.

Но даже если не принимать во внимание эту смутную вдохновляющую идею, более специфический принцип построения теории Платона – выделение структуры из симметрии – оставил свой след в веках. Мы приходим к небольшому числу особых структур из чисто математических соображений – соображений симметрии – и преподносим их Природе как возможные элементы ее строения. Тот вид математической симметрии, который избрал Платон, чтобы составить свой список составляющих элементов, весьма отличен от симметрии, которую мы используем сегодня. Но идея о том, что в основе Природы лежит симметрия, стала доминировать в нашем восприятии физической реальности. Умозрительная идея о том, что симметрия определяет структуру – т. е. что кто-то может использовать высокие требования математического совершенства, чтобы прийти к небольшому перечню возможных реализаций, а потом воспользоваться этим списком как руководством по построению модели мира, – стала нашей путеводной звездой на границах неизведанного, не нанесенных ни на одну карту. Эта идея почти кощунственна в своем безрассудстве, поскольку провозглашает, что мы можем разобраться, как действовал Мастер и точно узнать, как все было сделано. И, как мы увидим далее, она оказалась совершенно правильной.

Для того чтобы обозначить Творца физического мира, Платон использовал слово «демиург». Буквальное его значение – «мастер»; обычно его переводят словом «создатель», что не совсем верно. Это греческое слово Платон подобрал очень тщательно. Оно отражало его веру в то, что физический мир не является окончательной реальностью. Есть также вечный и вневременной мир Идей, которые существуют до какого-либо, с необходимостью несовершенного, физического воплощения и независимо от него. Беспокойный творческий ум – Мастер или Создатель – отливает свои создания из идей, используя последние как формы.

«Тимей» – непростое для понимания произведение, и всегда остается соблазн принять неясность или ошибку за глубину. Осознавая это, я нахожу тем не менее интересным и вдохновляющим то, что Платон не останавливается на платоновых телах, но размышляет о том, что атомы в иных формах, подобно физическим объектам, в свою очередь могут быть составлены из более примитивных треугольников. Детали, конечно, «даже не ошибочны», но интуиция, призывающая рассмотреть модель серьезно, говорить на ее языке и раздвигать границы, в корне верна. Идея о том, что атомы могут иметь составные части, предвосхищает современное стремление анализировать все глубже и глубже. А идея о том, что эти составные части в нормальных условиях не могут существовать как отдельные объекты, а обнаруживаются только как части более сложных объектов, возможно, как раз и реализуется в сегодняшних кварках и глюонах, вечно связанных внутри атомных ядер.

Помимо всего прочего среди размышлений Платона мы найдем идею, которая является центральной в наших размышлениях, – идею о том, что мир в своей глубинной структуре воплощает Красоту. Это оживший дух умозаключений Платона. Он предполагает, что сама основа структуры мира – его атомы – это воплощения чистых идей, которые могут быть открыты и четко сформулированы одним лишь напряжением ума.

Экономия средств

Возвращаясь к вирусам: где же они научились своей геометрии?

Это тот случай, когда простота приобретает вид сложности или, если быть более точным, когда простые правила определяют строение кажущихся сложными структур, которые по зрелом размышлении становятся идеально простыми. Суть в том, что ДНК вирусов15
Не во всех вирусах генетический материал представлен в виде ДНК; есть и РНК-содержащие вирусы. – Прим. ред.

Которая должна нести в себе информацию обо всех аспектах их жизнедеятельности, очень ограничена в размерах. Чтобы сэкономить на длине строительного материала, стоит делать что-либо из простых идентичных частей, соединенных одинаковым образом. Мы уже слышали эту песню: «простые, идентичные части, одинаково соединенные» – и как раз в определении платоновых тел! Поскольку часть создает целое, вирусам не нужно знать о додекаэдрах или икосаэдрах, а только о треугольниках, да еще одно или два правила, чтобы соединить их вместе. Это только более разнородным, нерегулярным и на первый взгляд даже случайным телам – таким как люди – требуются более подробные сборочные инструкции. Симметрия появляется как структура по умолчанию, когда информация и ресурсы ограничены.

Каждый, изучавший священную геометрию или даже просто обычную геометрию, знает, что существуют пять уникальных форм, и для понимания как священной, так и обычной геометрии они являются решающими. Их именуют Платоновыми телами (Рис.6-15>).

Платоново тело определяется некоторыми характеристиками. Прежде всего, все грани его имеют одинаковый размер. Например, куб, самое известное из Платоновых тел, имеет каждой своей гранью квадрат, и все его грани - одинакового размера. Второе, все рёбра Платонового тела имеют одинаковую длину; все рёбра куба – одной длины. Третьее: все внутренние углы между гранями имеют одинаковую величину. В случае куба, этот угол равен 90 градусам. И четвёртое: если Платоново тело поместить внутрь сферы (правильной формы), то все вершины его будут касаться поверхности сферы. Таким определениям, кроме куба (А), отвечают только четыре формы, обладающие всеми этими характеристиками. Вторым будет тетраэдр (В) (тетра означает «четыре») –это полиэдр, имеющий четыре грани, все - равносторонние треугольники, одинаковую длину рёбер и одинаковый угол, и – все вершины касаются поверхности сферы. Другая простая форма – это октаэдр (С) (окта значит «восемь»), все восемь граней представляют собой равносторонние треугольники одинакового размера, длина рёбер и углов одинакова, и все вершины касаются поверхности сферы.

Остальные два Платоновых тела немного сложнее. Один называется икосаэдром (D) - значит, он имеет 20 граней, имеющих вид равносторонних треугольников при одинаковой длине рёбер и углов; все его вершины тоже касаются поверхности сферы. Последний называется пентагональным додeкаэдром (Е) (додэка - это 12), гранями которого являются 12 пентагонов (пятиугольники) при одинаковой длине рёбер и одинаковых углах; все его вершины касаются поверхности сферы.

Если вы – инженер или архитектор, то вы изучали эти пять форм в колледже, хотя бы поверхностно, потому что они являются базовыми структурами.

Их источник: Куб Метатрона

Если вы изучаете священную геометрию, то неважно, какую вы раскроете книгу: она покажет вам пять Платоновых тел, потому что они являются азбукой священной геометрии. Но если вы прочитаете все эти книги – a я прочитал их почти что все – и спросите специалистов: «Откуда берутся Платоновы тела? Каков их источник?», то почти каждый скажет, что он не знает. Дело в том, что происходят эти пять Платоновых тел из первой информационной системы Плода Жизни. Сокрытые в линиях Куба Метатрона (см.
Рис.6-14>), все эти пять форм там существуют. При разглядывании Куба Метатрона вы смотрите на все пять Платоновых тел одновременно. Чтобы увидеть каждое из них лучше, вам нужно проделать заново тот трюк, где вы стирали некоторые из линий. Стерев все линии за исключением нескольких определённых, вы получите этот куб (Рис.6-16 >).

Ну что, видите куб? В действительности, это куб внутри куба. Некоторые из линий проведены пунктиром, потому что они оказываются за передними гранями. Они невидимы, если куб становится сплошным, непрозрачным телом. Вот непрозрачная форма большего куба (Рис.6-16а>). (Убедитесь в том, что вы его видите, потому что увидеть следующие фигуры по мере нашего продвижения будет всё труднее и труднее).

Стирая некоторые линии и соединяя другие центры (
Рис.6-17>), вы получаете два вставленных друг в друга тетраэдра, которые образуют звёздный тетраэдр. Как и в случае с кубом, на самом деле вы получаете два звёздных тетраэдра, один в другом. Вот сплошная форма большего звёздного тетраэдра (Рис.6-17а>).

Рис.6-18> – это октаэдр внутри другого октаэдра, хотя вы смотрите на них под определённым особым углом. Рис.6-18а> – непрозрачная версия большего октаэдра.

Рис.6-19> – один икосаэдр внутри другого, и Рис.6-19а> – непрозрачная версия большего из них. Это становится как-то проще, если вы рассматриваете его таким образом.

Это - трёхмерные объекты, исходящие из тринадцати кругов Плода Жизни.

Это картина Суламифь Вулфинг – Христос-Младенец внутри икосаэдра (
Рис.6-20>), что очень соответствует истине, поскольку икосаэдр, как вы сейчас увидите, представляет воду, а Христос был крещён в воде, начале нового сознания.

Это пятая и последняя форма – два пентагональных додекаэдра, один в другом (Рис.6-21>) (здесь для простоты показан только внутренний додекаэдр).

Рис. 21 – это сплошная форма.

Как мы видели, все пять Платоновых тел могут быть обнаружены в Кубе Метатрона (Рис.6-22>).

Недостающие линии

Когда я искал последнее Платоново тело в Кубе Метатрона, додекаэдр, у меня ушло на это около двадцати лет. После того, как ангелы сказали: «Они все тут внутри», я начал смотреть, но никак не мог найти додэкаедр. Наконец, однажды один ученик сказал мне: «Эй, Друнвало, ты забыл некоторые линии Куба Метатрона.» Когда он показал их, я посмотрел и сказал: «Ты прав, я забыл». Я думал, что я соединил все центры между собой, но некоторые я, оказывается, забыл. Не удивительно, что я не мог найти этот додекаэдр, потому что его определяли эти недостающие линии! Более двадцати лет я был убеждён, что у меня были проведены все линии, в то время, как у меня их не было.

Это одна из больших проблем науки, когда считается, что задача разрешена; затем она двигается дальше и использует эту информацию для дальнейших своих построений. Сейчас, например, наука имеет такого же рода проблему вокруг тел, падающих в вакууме. Всегда считалось, что они падают с одинаковой скоростью, и многое в нашей передовой науке основывается на этом фундаментальном «законе». Было доказано, что это не так, но наука этим всё равно продолжает пользоваться. Вращающийся шар падает значительно быстрее, чем невращающийся. Когда-то наступит день научной расплаты.

Когда я был женат на Макки, она тоже была очень увлечена священной геометрией. Её работа для меня очень интересна, потому что она представляет женский аспект, там действуют пентагональные энергии правого полушария мозга. Она показывает, как эмоции, цвета и формы - все взаимосвязаны. В действительности она нашла додекаэдр в Кубе Метатрона прежде, чем это сделал я. Она взяла его и сделала нечто такое, до чего я бы никогда не додумался. Видите ли, Куб Метатрона обычно рисуется на плоской поверхности, но в самом деле это трёхмерная форма. Так, однажды я держал в руках это трёхмерную форму и пытался найти там додэкаедр, а Макки сказала: «Дай-ка, я взгляну на эту штуку». Она взяла трёхмерную форму и провернула его на угол пропорции f (phi ratio). (О чём мы ещё не говорили, так это то, что пропорция (ratio) Золотой Середины, именуемая также пропорцией f (phi ratio), равняется точно 1,618) . Вращение формы таким образом было чем-то, до чего я бы никогда не додумался. Проделав это, она обрисовала отбрасываемую этой формой тень и получила такое изображение (
Рис.6-23>).

Макки сначала сама создала это, а затем передала мне. Центр тут находится в пентагоне А. Затем, если вы возьмёте пять пентагонов, выходящих из А (пентагоны В) и ещё по одному пентагону, выходящему из каждого из этих пяти (пентагоны С), вы получаете развёрнутый додекаэдр. Я подумал: «Вау, я впервые нахожу тут вообще какой-то додэкаедр .» Она проделала это за три дня. Я никак не мог найти его целых двенадцать лет.

Однажды мы почти целый день провели за разглядыванием этой картинки. Она была потрясающа, потому что все до единой линии на этой картинке соответствуют пропорции Золотой Середины. И всюду тут – трёхмерные прямоугольники Золотой Середины. Один есть в точке Е, где два ромба, сверху и снизу, являются верхом и низом трёхмерного прямоугольника Золотой Середины, а пунктирные линии являются его рёбрами. Это поразительная штука. Я сказал: «Я не знаю, что это такое, но это, вероятно, очень важно». Так, мы отложили это, чтобы поразмыслить потом.

Квази-кристаллы

Позже я узнал о совершенно новой науке. Эта новая наука полностью изменит мир технологии. При использовании новой технологии металлурги наверняка смогут создать металл в десять раз твёрже алмаза, если вы можете себе такое вообразить. Он будет невероятно прочным.

Долгое время при исследовании металлов для того, чтобы увидеть, где расположены атомы, пользовались методом, именуемым рентгеновской дифракцией. Скоро я покажу фотографию рентгеновской дифракции. Обнаружились некие особые модели, определяющие существование только каких-то определённых атомных структур. Казалось, что это-то и всё, что можно узнать, потому что это было всё, что возможно было обнаружить. Это ограничило возможность изготовления металлов.

Затем, в журнале «Scientific American» проходила игра, которая основывалась на модели Пенроуза. Был такой британский математик и релятивист, Роджер Пенроуз (Roger Penrose), вычислявший, как уложить черепицу, плитки которой имеют форму пентагона, так, чтобы она полностью покрывала плоскую поверхность. Полностью покрыть плоскую поверхность черепицей в форме только лишь пентагонов невозможно – заставить это работать нет никакой возможности. Тогда он предложил две формы ромба, являющиеся производными от пентагона, и, используя эти две формы, ему удавалось создать множество различных моделей, покрывающих плоскую поверхность. В восьмидесятых годах журнал «Scientific American» предложил игру, суть которой сводилась к тому, чтобы сложить уже эти данные модели в новые формы; впоследствии это дало возможность учёным-металлургам, наблюдавшим за игрой, предположить существование чего-то нового в физике.

В конце концов, они обнаружили новую модель атомной решётки. Она существовала всегда; они просто её обнаружили. Эти модели решёток теперь именуются квази-кристаллами; это новое явление (1991). Через металлы они вычисляют, какие формы и модели возможны. Учёные находят способы использования этих форм и моделей для изготовления новых металлических изделий. Я готов биться об заклад, что модель, которую получила Макки из Куба Метатрона, является самой замечательной из всех, и что любая модель Пенроуза является её производной. Почему? Потому, что она вся подчинена закону Золотого Сечения, она основная – она произошла непосредственно из основной модели в Кубе Метатрона. Хотя это не моё дело, но когда-нибудь, вероятно, я определю, так ли это. Я вижу, что вместо того, чтобы использовать две модели Пенроуза и пентагон, тут используется только одна из этих моделей и пентагон (Я как раз подумал, что я предложил бы этот вариант). То, что происходит в этой новой науке сейчас, интересно.

Новейшая информация: Согласно данным Девида Эдейра (David Adair), NАSА только что изготовила в космосе металл, который в 500 раз прочнее титана, лёгок, как пена и прозрачен, как стекло. Основан ли он на этих законах?

По мере того, как будут разворачиваться события в этой книге, вы обнаружите, что священная геометрия может в подробностях объяснить любой, какой бы то ни было, предмет. Не существует ни единого явления, которое вы могли бы произнести своим голосом, чтобы оно не могло бы быть описано целиком, полностью и в совершенстве, с учётом всего возможного знания , священной геометрией. (Мы различаем понятия «знание» и «мудрость»: мудрость нуждается в опыте). Однако же, более важная цель этого труда заключается в напомнинании вам того, что вы сами имеете потенциал живого поля Мер-Ка-Ба вокруг своего тела и в том, чтобы научить вас, как его использовать. Я буду постоянно подходить к местам, где я отклоняюсь ко всякого рода корням и ветвям и говорю на всевозможные мыслимые и немыслимые темы. Но я всегда буду возвращаться назад в колею, потому что я веду всё в одном определённом направлении, к Мер-Ка-Ба, световому телу человека.

Много лет я провёл в изучении священной геометрии, и уверен, что можно узнать всё, что вообще узнать возможно, всё что угодно о любом предмете, стоит только сосредоточить своё внимание на сокрытой за этим предметом геометрии. Всё, что необходимо, это компас и линейка – вам даже компьютер не нужен, хотя, он помогает. Всё знание вы уже имеете внутри себя, и всё, что вам нужно сделать, это раскрыть его. Вы просто исследуете карту движения духа в Великой Пустоте, вот и всё. Вы можете разгадать тайну любого предмета.

Подведём итог: первая информационная система выходит из Плода Жизни через Куб Метатрона. Соединением центров всех сфер вы получаете пять фигур – в действительности шесть, потому что ещё есть центральная сфера, с которой всё начиналось. Так, вы имеете шесть первоначальных форм – тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр и сфера.

Новейшая информация: В 1998 году мы начинаем развивать ещё одну новую науку: нанотехнологию . Мы создали микроскопические «машины», способные входить внутрь металла или кристаллических матриц и перестраивать атомы. В 1996 или 1997 годах в Европе при использовании нанотехнологии был создан алмаз из графита. Это алмаз размером около трёх футов в поперечнике, и он – настоящий. Когда соединятся наука о квази-кристаллах и нанотехнология, то наше представление о жизни тоже изменится. Взгляните на конец 1800-ых годов по сревнению с сегодняшним днём.

Платоновы тела и Элементы

Такие древние алхимики и великие души, как Пифагор, отец Греции, считали, что каждая из этих шести фигур представляет собой модель соответствующего элемента (Рис.6-24>).

Тетраэдр считался моделью элемента огня, куб – земли, октаэдр – воздуха, икосаэдр – воды, и додекаэдр – эфира. (Эфир, прана и энергия тахиона) – всё это одно и то же; оно распространено всюду и доступно в любой точке пространства/времени/измерения. Это великая тайна технологии нулевой точки. И сфера представляет Пустоту. Эти шесть элементов являются строительными кирпичиками вселенной. Они создают качества вселенной.

В алхимии обычно говорится только об этих элементах: огонь, земля, воздух и вода; редко упоминается эфир или прана, потому что это настолько священно. В Пифагорейской школе, стоило бы вам только лишь упомянуть за стенами школы слово «додекаэдр», как вас убили бы на месте. Настолько священной считалась эта фигура. О ней даже не говорили. Спустя двести лет, при жизни Платона, о ней говорили, но только очень осторожно.

Почему? Потому, что додекаэдр расположен у внешнего края вашего энергетического поля и является высшей формой сознания. Когда вы достигаете 55-футового предела своего энергетического поля, то оно будет иметь форму сферы. Но самая близкая к сфере внутренняя фигура – это додекаэдр (в действительности, додекаэдро-икосаедральная взаимосвязь). Вдобавок к этому, мы живём внутри большого додекаэдра, который содержит в себе вселенную. Когда ваш ум достигает предела пространства космоса – а предел тут есть – то он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере. Я могу сказать это потому, что человеческое тело является голограммой вселенной и содержит в себе те же самые основы и законы. Двенадцать созвездий зодиака входят сюда же. Додекаэдр есть завершающая фигура геометрии и она очень важна. На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, планами, по которым построена вся жизнь.

Можно соотнести три столбика на этом изображении (Рис.6-24>) с Древом Жизни и тремя первичными энергиями вселенной: мужской (слева), женской (справа) и детской (в центре). Либо же, если вы вникаете непосредственно в структуру вселенной, то имеете протон слева, электрон справа и нейтрон посередине. Этот центральный столбик, который является созидающим, есть младенец. Помните, чтобы начать процесс выхода из Пустоты, мы шли от октаэдра к сфере. Это начало процесса созидания, и обнаруживается оно в младенце, или центральном столбике.

Левый столбик, содержащий тетраэдр и куб, представляет мужскую составляющую сознания, левое полушарие мозга. Гранями этих полигонов являются треугольники или квадраты. Центральный столбик – это мозолистое тело (corpus callosum), соединяющее левую и правую стороны. Правый столбик, содержащий додекаэдр и икосаэдр представляет женскую составляющую сознания, правое полушарие мозга, и грани этих полигонов составлены из треугольников и пентагонов. Таким образом, полигоны слева имеют трёх- и четырёхрёберные грани, а формы справа имеют трёх- и пятирёберные грани.

Говоря языком Земного сознания, правый столбик является недостающей составляющей. Мы создали мужскую (левую) сторону Земного сознания, и теперь, для достижения целостности и равновесия, мы завершаем создание женской составляющей. Правая сторона связана также с Христовым сознанием или сознанием единства. Додекаэдр является основной формой сетки Христова сознания вокруг Земли. Две формы правого столбика представляют собой друг относительно друга то, что именуется парными фигурами, то есть, если вы соедините центры граней додекаэдра прямыми линиями, то получите икосаэдр, если же вы соедините центры икосаэдра, то получите опять додекаэдр. Многие многогранники имеют пары.

Священные 72

В книге Дан Уинтера «Математика Сердца» (Dan Winter, Heartmath) показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру. Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК. Уже определено, что в основе структуры ДНК лежит священная геометрия, хотя, могут обнаружиться ещё и другие скрытые взаимосвязи.

Этот угол в 72 градуса, вращающийся в нашей ДНК, связан с планом/назначением Великого Белого Братства. Как вам, быть может, известно, с Великим Белым Братством связано 72 ордена. Многие говорят о 72 ангельских орденах, а Иудеи упоминают 72 названия Бога. Причина, почему именно 72, имеет отношение к строению Платоновых тел, что связано также с сеткой Христова сознания вокруг Земли.

Если взять два тетраэдра и наложить их друг на друга (но в различных положениях), то получится звёздный тетраэдр, который при рассмотрении под определённым углом будет выглядеть никак иначе, как куб (Рис.6-25>). Вы можете увидеть, как они взаимосвязаны. Таким же образом можно сложить вместе пять тетраэдров и получить икосаэдральный колпачок (Рис.6-26).

Если создать двенадцать икосаэдральных колпачков и наложить по одному на каждую грань додекаэдра (на создание додекаэдра потребуется 5 раз 12 или 60 тетраэдров), то это будет звёздный – stellated – додекаэдр, потому что каждая его вершина оказывается точно над центром каждой грани додекаэдра. Парная ему фигура будет составлена из 12 вершин в центре каждой грани додекаэдра и окажется икосаэдром. Эти 60 тетраэдров плюс 12 точек в центрах составят в сумме 72 – опять число орденов, связанных с Белым Братством. Братство в действительности действует через физические взаимоотношения этой звёздной формы додекаэдра/икосаэдра, которая является основой сетки Христова сознания вокруг мира. Иными словами, Братство предпринимает попытки выявления сознания правого полушария мозга планеты.

Первоначальный орден был Альфой и Омегой – Орден Мелхизедек, который был основан Мачивентой Мелхизедек (Machiventa Melchizedek) около 200200 лет назад. С тех пор были основаны другие ордена, всего 71. Самый молодой – это Братство Семи Лучей в Перу/Боливия, семьдесят второй орден.

Каждый из 72 орденов имеет ритм жизни, подобный синусоиде, где некоторые из них проявляются в течение какого-то отрезка времени, затем на некоторое время исчезают. У них есть биоритмы точно также, как имеет их человеческое тело. Цикл Ордена Розенкрейцеров, например, составляет столетие. Они проявляются на сто лет, затем на следующие сто лет исчезают совершенно – они буквально исчезают с лица Земли. Спустя сто лет, они опять появляются в этом мире и действуют в течение следующих ста лет.

Все они находятся в различных циклах и все действуют сообща ради достижения одной цели – вернуть Христово сознание назад на эту планету, чтобы восстановить эту утраченную женскую составляющую сознания и привести к равновесию левое и правое полушарие мозга планеты. Есть другой способ рассмотрения этого явления, коорый действительно необычен. Я к этому подойду, когда мы будем говорить об Англии.

Использование бомб и понимание основной модели творения

Вопрос: Что происходит с элементами, когда взрывают атомную бомбу?

Что касается элементов – они превращаются в энергию и другие элементы. Но дело не только в этом. Имеются бомбы двух видов: распада и расплава - термоядерные. Распад расщепляет материю на части, а термоядерная реакция сплавляет её воедино. Со сплавлением воедино всё в порядке – относительно этого никто не жалуется. Все известные солнца во вселенной представляют собой термоядерные реакторы. Я отдаю себе отчёт в том, что произносимое мною сейчас ещё не признано наукой, но - разрывание материи на части здесь, на Земле, воздействует на соответствующую область во внешнем космосе – как вверху, так и внизу. Иными словами, микрокосмос и макрокосмос взаимосвязаны. Вот почему реакция распада находится вне закона во всей вселенной.

Взрывание атомных бомб вызывает также чудовищное нарушение равновесия на Земле. Например, если принять во внимание, что созидание уравновешивает землю, воздух, огонь, воду и эфир, то атомная бомба становится причиной проявления огромного количества огня на одном месте. Это приводит к нарушению равновесия и Земля должна на это отреагировать.

Если вылить на город 80 биллионов тонн воды, это тоже будет неуравновешенной ситуацией. Если только где-то оказывается слишком много воздуха, слишком много воды, слишком много чего бы то ни было, то это нарушает равновесие. Алхимия есть знание о том, как все эти явления удерживать в равновесии. Если вы понимаете значение этих геометрических фигур и знаете их взаимоотношения, то вы можете создать то, что хотите. Вся идея заключается в понимании лежащей в основе карты . Помните, карта показывает путь, которым дух движется в Пустоте. Если вы знаете лежащую в основе карту, тогда вы обладаете знанием и пониманием, необходимым для сотворчества с Богом.

Рис.6-27> показывает взаимоотношения всех этих фигур. Каждая вершина связана со следующей и все они находятся в определённых математических соотношениях, связанных с пропорцией f (phi ratio).

декоративное искусство, декоративно прикладное искусство,
русское искусство, урок искусства, музей изобразительных искусств, искусство скачать бесплатно,
мир искусства, искусство жизни, парикмахерское искусство, произведение искусства, ораторское искусство,
детское искусство, театральное искусство, наука +и искусство, развитие искусства,
искусство 19, центр искусств, искусство россии, искусство войны,
искусство 20 века, институт искусств, художественное искусство, смерть +как искусство,
академия искусств, колледж искусств, жанры искусства, искусство 19 века, детская школа искусств, музыкальное искусство,
искусство 18, литература +и искусство, музей искусств +им пушкина, искусство эссе, музей изобразительных искусств +им пушкина, воображение, диссонанс, творчество, дефиниция, легитимность, мировозрение, мораль, вдохновение, вдохновление, амбивалентность, когнитивный диссонанс, литературные конкурсы, литература, литературный портал, антропология, семиотика, этнография, чувства, культурология +как наука, понятие культуры, культурология, предмет культурологии, настроение, стресс, фазы стресса, картина мира, одиннадцать, тринадцать, герменевтика, индустриальное общество, постиндустриальное общество, традиционное общество, антропоцентризм, диссипативные структуры, самоорганизация, синергетика, антропогенез, экзистенциализм, этногенез,
вандал, вандализм, история религий, религии мира, религия, научное знание, практика, сознание, артефакт, артифакт, наука +и техника,

Вопрос: Почему достижение цели творения – такой сложный и многоступенчатый процесс, включающий спуск, подъем, разбиение?

Ответ: Потому что изначально он состоит из двух обратных друг другу составляющих: света и желания (кли), которые строят связь между собой на основе своей противоположной природы.

Процесс развития исходит из 2 условий и обуславливает один закон развития: две противоположности – в начале должны прийти к полному подобию в конце.

Из этих начального и конечного условий неизбежно вытекает весь процесс. Мы не можем в нем ничего заменить и действовать по другой логике.

Есть жесткие условия – начальное и конечное.

Условие 1: Бесконечное расстояние между ними.

Условие 2: Их полное соединение, до самого конца.

До этого: один – весь отдающий, а второй – полностью получающий. С одной стороны, между ними бесконечная пропасть, а с другой стороны, есть конечная точка, где они сливаются в одно целое.

Попробуй теперь написать формулу, по которой от 1-го условия - полной противоположности, можно прийти ко 2-му условию – полного подобия.

В мире Бесконечности уже существует и разделение этих двух составляющих, и их союз. Хотя там есть свет и желание, но они слиты и дополняют друг друга. Это слияние держится силой высшего света.

То есть конечное условие сначала обеспечивается силой света, Творца. Это позволяет нам раскрыть формулу – как нужно сделать этот переход из одного состояния в другое?

Потенциальные условия созданы - теперь надо начинать реализацию. И вся реальность теперь последовательно раскрывается сцена за сценой перед нашими глазами – тех самых творений, находящихся в мире Бесконечности. Мы никогда не выходим оттуда.

В этом единственном месте (желании), созданном Творцом, существует свет, желание и условие их слияния – и все это сейчас осуществляется.

Поэтому мы сами называемся действиями Творца, результатами Его работы: творениями, произведениями, созданиями.

Невозможно тут что-то изменить – сами условия: начальное и конечное ("конец действия, заключенный в начальном замысле") уже определяют все, что будет происходить – включая разбиение.

Билл Гейтс готовит вакцину для снижения рождаемости

Неожиданная война развернулась в российской блогосфере после выступления Билла Гейтса на закрытой TED2010 (еще в 2010 году) Conference в Лонг-Бич, Калифорния. В своей речи под названием «Обновляясь к нулю!» основатель Microsoft заявил, что уже довольно долгое время его благотворительный фонд поддерживает разработки вакцины, ведущей к снижению репродуктивности человека. Предполагается, что такой вакцинации подвергнутся жители стран Третьего мира. Как и следовало ожидать, часть блоггеров поддерживает благотворительность самого богатого человека мира. Ведь действительно, так называемые страны третьего мира, страдают от нищеты, голода и перенаселения. Сначала «богатые белые люди» принесли этим людям цивилизацию и современную медицину, а потом оказалось, что плодородная земля не может всех обеспечить пищей, а государства – работой. Благими намерениями выстлана дорога, сами знаете куда…

Есть и радикально настроенная часть блоггеров, выступающая под лозунгом «Убить Билла!» и намекающая на евгенику Гитлера. Некоторые ехидно замечают, что в развитых странах и без вакцины с рождаемостью плоховато. Мол, если уж сами не можем плодиться, так давайте хоть накормим тех, кто ничего другого не умеет и не хочет. Проблемы в мире возникают не потому, что где-то бездельничают, не могут пользоваться контрацептивами или слишком много едят. Все дело в неверном распределении мировых сил, средств. Мир как большой дом, и мы, как измученная хозяйка, бросаемся то суп помешать, то ребенка покачать, то корову подоить, – и в результате ничего не успеваем. Поэтому и получается, что где-то гибнет урожай и из-за слишком низких цен производители вынуждены выливать молоко на землю, а где-то матери торгуют собственными детьми, чтобы накормить других детей.

При этом механическое распределение средств, благотворительная помощь и транспорт с продовольствием приведет к таким же успехам, что и вакцинация от рождаемости. Любые действия заранее обречены на провал так же как, некогда «бескорыстная» помощь Советского Союза. Земля может прокормить гораздо большее количество людей. Мы имеем возможность сделать счастливыми самих себя. Мы можем наполнить свою жизнь смыслом. Для этого только действительно нужно понять, что мы – одна семья.

Аннотация

Выдающийся русский философ Алексей Лосев, исследователь эстетики античности и эпохи Возрождения, в следующих словах сформулировал «золотую» парадигму древних греков: «С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления - золотого сечения». Новейшие открытия современной науки, основанные на Платоновых телах, золотом сечении, числах Фибоначчи: фуллерены, Нобелевская Премия - 1996; квазикристаллы, Нобелевская Премия - 2011; экспериментальное доказательство существования гармонии «золотого сечения» в квантовом мире; обнаружение фибоначчиевой закономерности в таблице Менделеева; «гипотеза Прокла» и новый взгляд на «Начала» Евклида и историю развития математики, начиная с Евклида; гиперболические фунции Фибоначчи и новая геометрическая теория филлотаксиса; треугольник Паскаля и обобщенные числа Фибоначчи; обобщенные золотые пропорции и закон структурной гармонии систем; лямбда-числа Фибоначчи как новый класс целочисленных последовательностей, обладающих уникальными математическими свойствами; «металлические пропорции» и общая теория гармонических гиперболических функций; решение четвертой проблемы Гильберта и поиск гармонических гиперболических миров Природы; "золотые" матрицы, преобразования Фибоначчи-Лоренца и «золотая» интерпретация специальной теории относительности; «золотые» геноматрицы; алгоритмическая теории измерений, коды и компьютеры Фибоначчи; системы счисления с иррациональными основаниями, троичная зеркально-симметричная арифметика и "золотая" теория чисел как новое направление в теории чисел; обобщенные матрицы Фибоначчи и новая теория кодирования; наконец, «математика гармонии» как новое междисциплинарное направление, восходящее к «Началам» Евклида, - все это «лики божественной пропорции» в современной науке, которые создают общую картину ее движения к "Золотой" Научной Революции, что в совокупности отражает одну из важнейших тенденций в развитии современной науки - возврат к Пифагору, Платону и Евклиду.

Часть III

«Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Бертран Рассел

Предисловие

Каждому из нас не раз приходилось задумываться над тем, почему Природа способна создавать такие удивительные эстетические структуры, которые восхищают и радуют глаз. Почему художники, поэты, композиторы, архитекторы создают восхитительные произведения искусства из столетия в столетие? В чем же секрет и какие законы лежат в основе этих гармоничных созданий? Что такое «гармония»? И имеет ли она математическое выражение? Для моделирования «мира гармонии» в античном мире, прежде всего в Древней Греции, была создана математика гармонии, элементы которой возрождены в современной науке во многих книгах , включая книгу Alexey Stakhov “ The Mathematics of Harmony . From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science ” , опубликованной в 2009 г. одним из наиболее престижных научных издательств мира “World Scientific” .

Цель настоящей публикации, предназначенной для широкой аудитории, состоит в том, чтобы популярно объяснить понятие «гармонии», которое было введено в науку на заре развития человеческой цивилизации, рассказать об истории этого направления в античный период, эпоху средневековья, эпоху Возрождения, в 19 и 20 веках, а также ввести в круг идей и приложений современной «математики гармонии», автивно развивающейся в 21 в. . Конечно, «математика гармонии» - это раздел математики; поэтому полностю избежать математических формул в статье, посвященной этой математической дисциплине, авторам не удалось. Однако, «математика гармонии» - это достаточно простая (можно сказать, «элементарная») математика, в которой используются математические формулы, доступные школьникам старших классов. И авторы надеются на снисхождение наших читателей.

Статья состоит из 4-х частей:

Часть III. Платоновы тела, «гипотеза Прокла», новый взгляд на «Начала» Евклида, фуллерены и квазикристаллы

Часть IV. Роль «математики гармонии» в развитии современной науки

Часть III . Платоновы тела, «гипотеза Прокла», новый взгляд на «Начала» Евклида, фуллерены и квазикристаллы

7. Платоновы тела

Правильные многоугольники и многогранники

Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.

Что же такое многоугольник и многогранник? Для ответа на этот вопрос напомним, что собственно геометрию определяют иногда как науку о пространстве и пространственных фигурах - двумерных и трехмерных. Двумерную фигуру можно определить как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником . Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства. Многоугольники, образующие многогранник, называются его гранями.

Издавна ученые интересовались идеальными или правильными многоугольниками, то есть, многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник , поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т.д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть, число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник ? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой - столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Правильные многогранники в «Началах» Евклида

Теории многогранников посвящено много книг. Одной из наиболее известных является книга английского математика М. Веннинджера «Модели многогранников» . Книга начинается с описания так называемых правильных многогранников , то есть, многогранников, образованных простейшими правильными многоугольниками одного типа. Эти многогранники принято называть Платоновыми телами , названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал правильные многогранники в своей космологии. Мы начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники (Рис.21).

Рис.21 . Платоновы тела: тетраэдр (tetrahedron), октаэдр (octahedron), куб (cube) додекаэдр (dodecaedron), икосаэдр (icosahedron)

Первым (и простейшим) среди правильных многогранников является тетраэдр (tetrahedron) . В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (octahedron) . В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями - октаэдр (octahedron) .

Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями - икосаэдр (icosahedron) .

Следующая правильная форма многоугольника - квадрат . Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (cube) .

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника - пентагона . Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (dodecahedron) .

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник . Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим плоскость, то есть, из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. По существу мы повторили рассуждения, которые провел Евклид в Книге XIII своих «Начал». Именно эта книга посвящена изложению завершенной геометрической теории Платоновых тел. И именно из этих рассуждений вытекает, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

Числовые характеристики Платоновых тел. Основными числовыми характеристиками Платоновых тел является число сторон грани m, число граней n, сходящихся в каждой вершине, число граней Г , число вершин В , число ребер Р и число плоских углов У на поверхности многогранника Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу:

В - Р + Г = 2 ,

Связывающую число вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника. Указанные выше числовые характеристики приведены в Табл.2.

Таблица 2 . Числовые характеристики Платоновых тел

Уместно обратить внимание на свойство дуальности, которое связывет Платоноваы тела. Из Табл.2 вытекает, что для гексаэдра (куба) и октаэдра число ребер Р=12 и число плоских углов на поверхности У=24 совпадают. Но число граней Г=6 куба совпадает с числом вершин В=6 октаэдра, а число вершин куба В=8 совпадает с числом граней Г=8 октаэдра. Кроме того, число сторон грани куба m = 4 совпадает с числом граней октаэдра, сходяшимся в вершине, n =4, при этом число граней куба, сходящимся в n =3, совпадает с числом сторон грани октаэдра m = 3. Подобная же сиуация наблюдается и в случае икосаэдра и додкаэдра. В таких случаях говорят о дуальности соответствующих Платновых тепл, то есть, куб дуален октаэдру, а икосаэдр дуален додекаэдру. Заметим, что в свойстве дуальности отражена «скрытая» гармония Платоновых тел.

Золотое сечение в додекаэдре и икосаэдре . Додекаэдр (dodecahedron) и дуальный ему икосаэдр (icosahedron) занимают особое место среди Платоновых тел. Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотым сечением. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, то есть, правильные пятиугольники, основанные на золотом сечении. Если внимательно посмотреть на икосаэдр, то можно увидеть, что в каждой его вершине сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотое сечение играет определяющую роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

Но существуют более глубокие подтверждения глубокой математической связи золотого сечения с икосаэдром и додекаэдром. И эта связь приводит к тому, что додекаэдр и икосаэдр выражают в «скрытой» форме гармонию золотого сечения.

9. Гипотеза Прокла: новый взгляд на «Начала» Евклида и историю развития математики

С какой целью Евклид написал свои «Начала»?

На первый взгляд, кажется, что ответ на этот вопрос очень простой: главная цель Евклида состояла в том, чтобы изложить основные достижения греческой математики за 300 лет, предшествующих Евклиду, используя «аксиоматический метод» изложения материала. Действительно, «Начала» Евклида являются главным трудом греческой науки, посвященным аксиоматическому построению геометрии и математики. Такой взгляд на «Начала» наиболее распространен в современной математике.

Однако, кроме «аксиоматической» точки зрения существует и другая точка зрения на мотивы, которыми руководствовался Евклид при написании «Начал». Эта точка зрения высказана греческим философом и математиком Проклом Диадохом (412-485), одним из первых комментаторов «Начал».

Прежде всего, несколько слов о Прокле. Прокл родился в Византии в семье богатого адвоката из Ликии. Намереваясь пойти по стопам отца, подростком уехал в Александрию, где учился сначала риторике, затем заинтересовался философией и стал учеником александрийского неоплатоника Олимпиодора Младшего. Именно у него Прокл начал изучать логические трактаты Аристотеля. В возрасте 20 лет Прокл переезжает в Афины, где Платоновскую Академию в то время возглавлял Плутарх Афинский. Уже к 28-летнему возрасту Прокл написал одну из своих главнейших работ, комментарий на платоновского «Тимея». Около 450 г. Прокл становится главой Платоновской Академии.

Среди математических сочинений Прокла наиболее известным является его «Комментарий к первой книге «Начал» Евклида». В этом Комментарии он выдвигает следующую необычную гипотезу, которую называют “гипотезой Прокла”. Суть ее состоит в следующем. Как известно, XIII-я, то есть, заключительная книга «Начал», посвящена изложению теории пяти правильных многогранников, которые играли главенствующую роль в «Космологии Платона» и в современной науке известны под названием Платоновых тел. Именно на это обстоятельство и обращает внимание Прокл. Как подчеркивает Эдуард Сороко , по мнению Прокла, Евклид «создавал «Начала» якобы не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения пяти «Платоновых тел», попутно осветив некоторые новейшие достижения математики».

Значение гипотезы Прокла для развития математики . Главный вывод из «гипотезы Прокла» состоит в том, что «Начала» Евклида, величайшее греческое математическое сочинение, было написано Евклидом под непосредственным влиянием греческой «идеи Гармонии», которая была связана с Платоновыми телами. Таким образом, «гипотеза Прокла» позволяет высказать предположение, что хорошо известные в античной науке "Пифагорейская доктрина о числовой гармонии Мироздания» и «Космология Платона», основанная на правильных многогранниках, были воплощены в величайшем математическом сочинении греческой математики, “Началах” Евклида. С этой точки зрения мы можем рассматривать “Начала” Евклида как первую попытку создать «Математическую теорию гармонии мироздания», которая ассоциировалась в античной науке с Платоновыми телами. И это было главной идеей греческой науки! Это и есть главная тайна «Начал» Евклида, которая приводит к пересмотру истории возникновения математики, начиная с Евклида.

К сожалению, оригинальная гипотеза Прокла, касающаяся истинных целей, которые преследовал Евклид при написании Начал, проигнорирована многими современными историками математики, что привело к искаженному взгляду на структуру математики и всего математического образования. И это является одной из главных «стратегических ошибок» в развитии математики.

«Гипотеза Прокла» и «ключевые» проблемы античной математики . Как известно, академик Колмогоров в книге выделил две главные, то есть, «ключевые» проблемы, которые стимулировали развитие математики на этапе ее зарождения - проблему счета и проблему измерения . Однако, из «гипотезы Прокла» вытекает еще одна «ключевая» проблема - проблема гармонии , которая была связана с «Платоновыми телами» и «золотым сечением» - одним из важнейших математических открытий античной математики (Предложение II.11 «Начал» Евклида). Именно эта проблема была положена Евклидом в основу «Начал», главной целью которых было создание геометрической теории «Платоновых тел», которые в «космологии Платона» выражали гармонию Мироздания. Эта идея приводит к новому взгляду на историю математики, представленному на Рис.22.

Рис. 22 . «Ключевые» проблемы античной математики и новые направления в математике, теоретической физике и информатике

Подход, демонстрируемый с помощью Рис.22, впервые был изложен в работе . Он основан на следующих рассуждениях. Уже на этапе зарождения математики было сделано ряд важных математических открытий, которые фундаментально повлияли на развитие математики и всей науки в целом. Важнейшими из них являются:

1. Позиционный принцип представления чисел , сделанный вавилонскими математиками во 2-м тысячелетии до н.э. и воплощенный ими в Вавилонской 60-ричной системе счисления. Это важное математическое открытие лежит в основе всех последующих позиционных систем счисления, в частности, десятичной системы и двоичной системы - основы современных компьютеров. Это открытие, в конечном итоге, привело к формированию понятия натурального числа - важнейшего понятия, лежащего в основе математики.

2. Доказательство существования несоизмеримых отрезков . Это открытие, сделанное в научной школе Пифагора, привело к переосмысливанию ранней пифагорейской математики, в основе которой лежал «принцип соизмеримости величин», и к введению иррациональных чисел - второго (после натуральных чисел) фундаментального понятия математики. В конечном итоге, эти два понятия (натуральные и иррациональные числа) и были положены в основу «Классической Математики».

3. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении («золотое сечение») . Описание этого математического открытия дано в «Началах» Евклида (Предложение II.11). Это предложение было введена Евклидом с целью создания полной геометрической теории «Платоновых тел» (в частности, додекаэдра), изложению которых посвящена заключительная (XIII-я) книга «Начал» Евклида.

Сформулированный выше подход (Рис.22) приводит к выводу, который может оказаться неожиданным для многих математиков. Оказывается, что параллельно с «Классической Математикой» в науке, начиная с древних греков, начало развиваться еще одно математическое направление - «Математика Гармонии», которая, как и классическая математика, восходит к «Началам» Евклида, но акцентирует свое внимание не на «аксиоматическом подходе», а на геометрической «задаче о делении отрезка в крайнем и среднем отношении» (Предложение II.11) и на теории правильных многогранников, изложенной в Книге XIII «Начал» Евклида. В развитии «математики гармонии» в течение нескольких тысячелетий принимали участие выдающиеся мыслители, ученые и математики: Пифагор, Платон, Евклид, Фибоначчи, Пачоли, Кеплер, Кассини, Бине, Люка, Клейн, а в 20-м веке - известные математики Коксетер, Воробьев, Хоггатт и Вайда. И мы никак не можем игнорировать этот исторический факт.

Истоки доктрины

Согласно замечанию комментатора последнего издания сочинений Платона, у него «вся космическая пропорциональность покоится на принципе золотого деления, или гармонической пропорции». Как упоминалось, космология Платона основывается на правильных многогранниках, называемых телами Платона. Представление о «сквозной» гармонии мироздания неизменно ассоциировалось с ее воплощением в этих пяти правильных многогранниках, выражавших идею повсеместного совершенства мира. И то, что главная «космическая» фигура - додекаэдр, символизировавший тело мира и вселенской души, был основан на золотом сечении, придавало последнему особое очарование, смысл главной пропорции мироздания.

Космология Платона стала началом так называемой икосаэдро-додекаэдрической доктрины , которая с античных пор красной нитью проходит через всю человеческую науку. Суть этой доктрины состоит в том, что додекаэдр и икосаэдр есть типичные формы природы во всех ее проявлениях, начиная с космоса и заканчивая микромиром.

Форма Земли

Вопрос о форме Земли постоянно занимал умы ученых античных времен. И когда гипотеза о шарообразной форме Земли получила подтверждение, возникла идея о том, что по своей форме Земля представляет собой додекаэдр. Так, уже Сократ писал:

«Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи».

Эта гипотеза Сократа нашла дальнейшее научное развитие в трудах физиков, математиков и геологов. Так, французский геолог де Бимон и известный математик Пуанкаре считали, что форма Земли представляет собой деформированный додекаэдр.

Российский геолог С. Кислицин, также разделял мнение о додекаэдрической форме Земли. Он высказал гипотезу о том, что 400-500 млн. лет назад геосфера додекаэдрической формы превратилась в гео-икосаэдр. Однако такой переход оказался неполным и незавершенным, в результате чего гео-додекаэдр оказался вписанным в структуру икосаэдра. Более подробная информация об этой гипотезе изложена в книге .

Тайна Египетского календаря

Одним из первых солнечных календарей был египетский , созданный в 4-м тысячелетии до н.э. Первоначально египетский календарный год состоял из 360 дней. Год делился на 12 месяцев ровно по 30 дней в каждом. Однако позже было обнаружено, что такая длительность календарного года не соответствует астрономическим данным. И тогда египтяне добавили к календарному году еще 5 дней, которые, однако, не считались днями месяцев. Это были 5 праздничных дней, соединявших соседние календарные годы. Таким образом, египетский календарный год имел следующую структуру: 365=12 х 30+5. Заметим, что именно египетский календарь является прообразом современного календаря.

Возникает вопрос: почему египтяне разделили календарный год на 12 месяцев? Ведь существовали календари с другим количеством месяцев в году. Например, в календаре майя год состоял из 18 месяцев по 20 дней в месяце. Следующий вопрос, касающийся египетского календаря: почему каждый месяц имел ровно 30 дней (точнее суток)? Можно поставить некоторые вопросы и по поводу системы измерения времени, которая, воможно, была сформирована в более поздние времена. В частности, возникает вопрос: почему единица часа была выбрана таким образом, чтобы она ровно 24 раза укладывалась в сутки, то есть, почему 1 сутки = 24 (2 х 12) часа? Далее: почему 1 час = 60 минут, а 1 минута = 60 секунд? Эти же вопросы относятся и к выбору единиц угловых величин, в частности: почему окружность разбита на 360°, то есть, почему 2p=360°=12 х 30°? К этим вопросам добавляются и другие, в частности: почему астрономы признали целесообразным считать, что существует 12 зодиакальных знаков, хотя на самом деле в процессе своего движения по эклиптике Солнце пересекает 13 созвездий? И еще один «странный» вопрос: почему вавилонская система счисления имела весьма необычное основание - число 60?

Анализируя египетский календарь, а также системы измерения времени и угловых величин, мы обнаруживаем, что в них с удивительным постоянством повторяются четыре числа: 12, 30, 60 и производное от них число 360 = 12´30. Возникает вопрос: не существует ли какой-то фундаментальной научной идеи, которая могла бы дать простое и логичное объяснение использованию этих чисел в египетском календаре и системах?

Обратимся к додекаэдру (Рис.21). Из Табл.1 вытекает, что додекаэдр имеет 12 граней, 30 ребер и 60 плоских углов на своей поверхности. Каково же было удивление древних египтян, когда они обнаружили, что этими же числами выражаются циклы Солнечной системы, а именно, 12-летний цикл Юпитера, 30-летний цикл Сатурна и, наконец, 60-летний цикл Солнечной системы. Таким образом, между такой совершенной пространственной фигурой, как додекаэдр , и Солнечной системой, существует глубокая математическая связь! Такой вывод сделали античные ученые. Это и привело к тому, что додекаэдр был принят в качестве «главной фигуры», которая символизировала Гармонию Мироздания . Поскольку по представлению древних движение Солнца по эклиптике имело строго круговой характер, то, выбрав 12 знаков Зодиака, дуговое расстояние между которыми равнялось ровно 30°, египтяне удивительно красиво согласовали годичное движение Солнца по эклиптике со структурой своего календарного года: один месяц соответствовал перемещению Солнца по эклиптике между двумя соседними знаками Зодиака! Более того, перемещение Солнца на один градус соответствовало одному дню в египетском календарном году! При этом эклиптика автоматически получалась разделенной на 360°. Позже эта же научная идея была использована создателями системы измерения времени. Разделение каждой половины суток на 12 частей (12 граней додекаэдра ) привело к введению часа - важнейшей единицы времени. Разделение часа на 60 минут (60 плоских углов на поверхности додекаэдра ) привело к введению минуты - следующей важной единицы времени. Точно также была введена секунда (1 минута = 60 секунд).

Таким образом, выбрав додекаэдр в качестве главной «гармонической» фигуры мироздания, и строго следуя числовым характеристикам додекаэдра 12, 30, 60, ученым удалось построить чрезвычайно стройный календарь, а также системы измерения времени и угловых величин.

Вот такие удивительные выводы вытекают из сопоставления додекаэдра с Солнечной системой. И если наша гипотеза правильна (пусть кто-нибудь попытается ее опровергнуть), то отсюда следует, что вот уже много тысячелетий человечество живет под знаком «золотого сечения» (которое лежит в основе додкаэдра)! И каждый раз, когда мы смотрим на циферблат наших часов, который также построен на использовании числовых характеристик додекаэдра 12, 30 и 60, мы прикасаемся к главной «Тайне Мироздания» - золотому сечению , сами того не подозревая! Видимо, такая гипотеза Египетского календаря касается некоторой «скрытой» тайны Солнечной системы, связнной с «золотым сечением».

Иоганн Кеплер и Феликс Клейн

“Misterium Cosmographiсum”. Свою научную деятельность Иоганн Кеплер начал в небольшом австрийском городе Граце, куда после окончания Тюбингенской академии он был направлен преподавателем математики в гимназию.

Сделаем одно «лирическое отступение». С 15-го по 19-е июля 1996 года в Граце состоялась 7-я Международная конференция по числам Фибоначчи и их приложениям. На этой конференции Алексей Стахов сделал доклад “ The Golden Section and Modern Harmony Mathematics ” , с которого, по существу, и началось развитите современной «математики гармонии» как нового междисциплинарного направления современной науки . Доклад вызвал большой интерес математиков-фибоначчистам и был отобран для публикации в сборнике «Applications of Fibonacci Numbers» (1998) . В период пребывания в Граце проф. Алексей Стахов сфотографировался возле памятника Иоганну Кеплеру, установленному в одном из парков Граца.

Алексей Стахов рядом с памятником Иоганну Кеплеру

(Грац, июль 1996)

Первым астрономическим сочинением Кеплера, написанным в Граце, была небольшая книжка со следующим названием: «Предвестник космографических исследований, содержащий тайну мироздания относительно чудесных пропорций между небесными кругами и истинных причин, числа и размеров небесных сфер, а также периодических движений, изложенных с помощью пяти правильных тел Иоганном Кеплером из Вюртемберга, математиком из достославной провинции Штирии». Сам он называл эту книгу, опубликованную в 1597 г., «Misterium Cosmographicum» («Тайна космографии»).

Читая первое сочинение Кеплера «Misterium Cosmographicum» («Тайна космографии»), не устаешь удивляться его фантазии. Глубокое убеждение в существовании гармонии мира наложило отпечаток на все мышление Кеплера. Цель своих исследований, изложенных в «Тайне космографии», Кеплер сформулировал в предисловии:

«Любезный читатель! В этой книжке я вознамерился доказать, что всеблагой и всемогущий Бог при сотворении нашего движущегося мира и при расположении небесных орбит избрал за основу пять правильных тел, которые со времен Пифагора и Платона и до наших дней снискали столь громкую славу, выбрал число и пропорции небесных орбит, а также отношения между движениями выбрал в соответствии с природой правильных тел. Сущность трех вещей - почему они устроены так, а не иначе - особенно интересовали меня, а именно: число, размеры и движения небесных орбит».

Раскрыть тайну мироздания значило, по Кеплеру, ответить на вопрос, который он сам же себе и поставил впервые в истории астрономии. Именно в книжке «Тайна космографии» Кеплеру удалось, как ему казалось, раскрыть эту тайну. Ее сущность, по мнению Кеплера, состоит в следующем:

«Земля (орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг нее опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия».

Vera W. de Spinadel. From the Golden Mean to Chaos. Nueva Libreria, 1998 (second edition, Nobuko, 2004).

Gazale Midhat J. Gnomon. From Pharaohs to Fractals. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1999 (Русский перевод: Мидхат Газале. Гномон. От фараонов до фракталов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.)

Татаренко А.А. Золотые T m - гармонии и D m - фракталы — суть солитоно-подобного Тm - cтруктурогенеза мира // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12691, 09.12.2005

Аракелян Грант. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989.

Шенягин В.П. «Пифагор, или Каждый создает свой миф» - четырнадцать лет с момента первой публикации о квадратичных мантиссовых s-пропорциях // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17031, 27.11.2011

Falcon Sergio, Plaza Angel. On the Fibonacci k-numbers Chaos, Solitons & Fractals, Volume 32, Issue 5, June 2007: 1615-1624.

A.P. Stakhov, On the general theory of hyperbolic functions based on the hyperbolic Fibonacci and Lucas functions and on Hilbert’s Fourth Problem. Visual Mathematics, Vol. 15, No.1, 2013. http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/2013stakhov/hyp.pdf

A. Stakhov, S. Aranson, “Hyperbolic Fibonacci and Lucas Functions, “Golden” Fibonacci Goniometry, Bodnar’s Geometry, and Hilbert’s Fourth Problem.” Applied Mathematics, 2011, No.1 (January), No.2 (February), No.3 (March).

Стахов, А.П. Формулы Газале, новый класс гиперболических функций Фибоначчи и Люка и усовершенствованный метод «золотой» криптографии // «Академия Тринитаризма», М.,Эл № 77-6567, публ.14098, 21.12.2006

Стахов А.П., Теория λ -чисел Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.17407, 05.04.2012 http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321250.htm

A.P. Stakhov, The Mathematics of Harmony: Clarifying the Origins and Development of Mathematics // Congressus Numerantium, 193, 2008, 5-48.

Stakhov, “The “golden” matrices and a new kind of cryptography.” Chaos, Solitons & Fractals 2007, Volume 32, Issue 3, 1138-1146.

A. Stakhov, S. Aranson. “Golden” Fibonacci Goniometry. Fibonacci-Lorentz Transformations, and Hilbert’s Fourth Problem. Congressus Numerantium, 193 (2008), 119-156.

A.P. Stakhov, “The Golden Section and Modern Harmony Mathematics.” Applications of Fibonacci Numbers, Kluwer Academic Publishing, Volume 7, 1998: 393-399.

Стахов А. П., Ткаченко И. С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи // Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993.

Stakhov A., Rozin B. On a new class of hyperbolic function // Chaos, Solitons & Fractals, 2005, Vol. 23, Issue 2, 379-389.

Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. // Украинский математический журнал, 2004, Vol. 56, No. 8, 1143-1150.

Платоновы тела

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.

Л. Кэррол

Человек всегда проявлял интерес к многогранникам. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа. Что же такое многогранник? Многогранником называется часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников.

Издавна ученые интересовались «идеальными» или правильными многоугольниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничить часть плоскости. Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон), декагон (десять сторон) и т. д. Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, то есть число правильных многоугольников бесконечно.

Что же такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? В XIII книге «Началах Эвклида», посвященной правильным многогранникам, или платоновым телам (Платон их рассматривает в диалоге «Тимей») мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны.

Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое.

Очевидно, что каждая вершина многогранника может принадлежать трем и более граням. Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника – равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла, помещенные на плоскость, дадут в сумме 180°. Если теперь согнуть эти углы по внутренним сторонам и склеить по внешним, получим многогранный угол тетраэдра – правильного многогранника, в каждой вершине которого встречаются три правильные треугольные грани. Три правильных треугольника с общей вершиной называется разверткой вершины тетраэдра. Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра. Добавление пятого треугольника даст угол 300° – мы получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной 360° – эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни одному выпуклому многограннику.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из трех квадратных граней имеет угол 3 x 90° = 270° – получается вершина куба, который также называют гексаэдром. Добавление еще одного квадрата увеличит угол до 360° – этой развертке уже не соответствует никакой выпуклый многогранник.

Три пятиугольные грани дают угол развертки 3 x 108° = 324° – вершина додекаэдра. Если добавить еще один пятиугольник, получим больше 360°.

Для шестиугольников уже три грани дают угол развертки 3 x 120° = 360°, поэтому правильного выпуклого многогранника с шестиугольными гранями не существует. Если же грань имеет еще больше углов, то развертка будет иметь еще больший угол. Значит, правильных выпуклых многогранников с гранями, имеющими шесть и более углов, не существует.

Таким образом, мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников – тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.

Пять правильных многогранников или платоновых тел использовались и были известны задолго до времени Платона. Кейт Кричлоу в своей книге «Время остановилось» дает убедительное свидетельство тому, что они были известны людям неолита Британии, по крайней мере, за 1000 лет до Платона. Это заявление основывается на наличии ряда сферических камней, хранящихся в музее Ашмолина в Оксфорде. Эти камни, размеры которых соответствовали тому, что можно уместить в руке, были покрыты геометрически точными сферическими фигурами куба, тетраэдра, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра, также как и некоторые дополнительные сложносоставные и псевдоправильные тела, такие как кубо-октаэдр и ико-додекаэдр. Кричлоу говорит: «То что у нас есть, представляет собой объекты, несомненно указывающие на степень математических способностей, которые до сих пор отрицались в отношении человека неолита некоторыми археологами или историками математики».

Теэтет Афинский (417–369 до н. э.), современник Платона, дал математическое описание правильных многогранников и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

В «Тимее», который, по сравнению со всеми остальными работами Платона, носит наиболее ярко выраженный пифагорейский характер, он утверждает, что четырьмя базовыми элементами в мире являются земля, воздух, огонь и вода, и что каждый из этих элементов соотносится с одной из пространственных фигур. Традиция связывает куб с землей, тетраэдр с огнем, октаэдр с воздухом и икосаэдр с водой. Платон упоминает «некое пятое построение», использованное создателем при сотворении вселенной. Так додекаэдр стал ассоциироваться с пятым элементом: эфиром. Устроитель вселенной Платона установил порядок из первобытного хаоса этих элементов с помощью основополагающих форм и чисел. Приведение в порядок в соответствии с числом и формой на более высоком уровне привело к предначертанному расположению пяти элементов в физической вселенной. Основополагающие формы и числа затем стали действовать в качестве границы раздела между высшим и низшим мирами. Сами по себе и в силу своей аналогии с другими элементами, они обладали способностью формировать материальный мир.

Те же пять правильных тел в соответствии с классической традицией рисуются таким образом, что они содержатся в девяти концентрических шарах, и каждое тело соприкасается со сферой, которая описана вокруг следующего тела, расположенного внутри ее. Такая композиция проявляет немало важных взаимоотношений и заимствована из дисциплины, называемой corpo transparente , относящейся к восприятию сфер, изготовленных из прозрачного материала и размещенных одна в другой. Такое наставление давалось Фра Лукой Паччоли многим великим людям Ренессанса, включая Леонардо и Брунуллески.

В своей книге «Тайна мира» (Mysterium Cosmographicum) , которая вышла в свет в 1596 г. Иоганн Кеплер предположил, что существует связь между пятью платоновыми телами и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Расхождение между моделью Кеплера и реальными размерами орбит (порядка нескольких процентов) И. Кеплер объяснял «влиянием материи».

В XX веке платоновы тела были использованы в теории electron shell model Роберта Муна, которая также известна как «теория Муна». Мун заметил, что геометрическое расположение протонов и нейтронов в атомном ядре связано с положением вершин вложенных платоновых тел. Эта концепция была вдохновлена работой И. Кеплера «Mysterium Cosmographicum».

Существует формула Эйлера для многогранников:

F + V = E + 2

В этой формуле F – число граней, V – число вершин, E – число ребер. Эти числовые характеристики для платоновых тел приведены в таблице.

Количественные особенности платоновых тел

Важные соотношения между ребрами, диаметрами вписанных и описанных сфер, площадями и объемами правильных многогранников выражаются через иррациональные числа. В таблице ниже представлено отношение длины ребра к диаметру описанной сферы для каждого из пяти платоновых тел.

Каждый полученный результат есть иррациональное число, которое можно найти только через извлечение квадратного корня. Мы видим, что здесь фигурируют числа, которые являются важными и особенными в сакральной математике.

Геометрия додекаэдра и икосаэдра связана с золотой пропорцией. Действительно, гранями додекаэдра являются пентагоны, т. е. правильные пятиугольники, основанные на золотой пропорции. Если внимательно посмотреть на икосаэдр, то можно увидеть, что в каждой вершине икосаэдра сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что золотая пропорция играет существенную роль в конструкции этих двух платоновых тел. Эти две фигуры являются обратными друг другу: обе состоят из 30 ребер, но, несмотря на это, икосаэдр имеет 20 граней и 12 вершин, а додекаэдр – 12 граней и 20 вершин. Также обратными друг другу являются октаэдр и гексаэдр, и театраэдр сам к себе.

Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками . Так, например, куб и октаэдр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники.

Роберт Лолор в своей работе показывает, что платоновы тела можно построить исходя из икосаэдра. Он пишет: «Если мы соединим все внутренние вершины икосаэдра, нарисовав три линии из каждой из них, соединяющих каждую вершину с ей противолежащей, и затем из двух верхних вершин проведем четыре линии к двум противоположным, так чтобы эти линии сошлись в центре, мы, действуя в соответствии со сказанным, естественным образом построим ребра додекаэдра. Такое построение происходит автоматически при пересечении внутренних линий икосаэдра. После создания додекаэдра мы можем, просто используя шесть из его вершин и центр, построить куб. Используя диагонали куба, мы можем построить звездообразный или переплетенный тетраэдр. Пересечения звездообразного тетраэдра с кубом дают нам точное местоположение для построения вписанного октаэдра. Затем в самом октаэдре с использованием внутренних линий икосаэдра и вершин октаэдра получается второй икосаэдр. Мы прошли через весь полный цикл, пять этапов от семени к семени. И такие действия представляют собой бесконечную последовательность.

Тетраэдр

Простейшим среди правильных многогранников является тетраэдр. У Платона он соответствует стихии Огня. В физике «огонь» можно соотнести с состоянием плазмы. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. Его четыре грани – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число граней, отделяющих часть трехмерного пространства. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Все многогранные углы тетраэдра равны между собой. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Октаэдр

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. У Платона он соответствует стихии Воздуха. В физике «воздух» можно соотнести с газообразным состоянием вещества. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Икосаэдр

Икосаэдр – одно из пяти платоновых тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. У Платона он соответствует стихии Воды. В физике «воду» можно соотнести с жидким состоянием вещества. Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°. Таким образом, икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Гексаэдр

Гексаэдр или куб составлен из шести квадратов. У Платона он соответствует стихии Земли. В физике «землю» можно соотнести с твёрдым состоянием вещества. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Додекаэдр

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. У Платона он соответствует пятому элементу – Эфиру. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Правильные многогранники встречаются в живой природе. В начале XX века Эрнст Геккель (Ernst Haeckel ) описал ряд организмов, формы скелета которых подобны различным правильным многогранникам. Например: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus и Circorrhegma dodecahedra . Формы скелета этих организмов запечатлены в их названиях.

Скелет одноклеточного организма феодарии (Circogoniaicosahedra ) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.

Многие вирусы, например вирус herpes , имеют форму правильного икосаэдра. Вирусные структуры строятся из повторяемых протеиновых субъединиц, и икосаэдр – самая подходящая форма для воспроизведения этих структур.

Кристаллические решётки многих минералов имеет форму платоновых тел.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS ). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. Минерал сильвин имеет кристаллическую решетку в форме куба. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра, а куприт образует кристаллы в форме октаэдров.

Платоновы тела – очень важный объект для изучения, как с точки зрения сакральной математики, так и с точки зрения естественных наук. Платоновы тела проявляются повсюду, начиная от вирусов, многие из которых имеют икосаэдрическую форму и заканчивая сложными макроструктурами, такими, например, как Солнечная система.

Антон Мухин

Из книги Записные книжки автора Чехов Антон Павлович

частью тела. 2 [Арх(иерей) плачет, как в детстве больной, когда его жалела мать; плакал просто от общей душев- ной прострации, толпа плакала. Он веровал, достиг всего, что было [дано (?}] доступно ч(ело- ве)ку в его положении, но все же душа болела: не все было ясно, чего-то еще

Из книги Все под контролем: Кто и как следит за тобой автора Гарфинкель Симеон

Из книги Невообразимое будущее автора Кригер Борис

Заложники собственного тела В состоянии здоровья и благополучия человек напрочь забывает о существовании собственного тела. Его не беспокоят боли и прочие проявления дискомфорта, такие как чувство холода, жары, голода и другие. Однако чувство реальности жизни как раз

Из книги «Матрица» как философия автора Ирвин Уильям

ТЕЛА, УМЫ, ПОЛ «Звезды» «Матрицы» выглядят в соответствии с определенным стандартом. В виртуальном мире их плоть скрыта под похожими друг на друга костюмами из блестящей черной кожи или латекса. «эКзистенЦия» же наполнена плотью, запекшейся и свежей кровью wetware. Такие

Из книги Япония Лики времени. Менталитет и традиции в современном интерьере. автора Прасол Александр Федорович

Глава 17 ВОКРУГ ТЕЛА ДИНАМИКА - ОСОБЕННОСТИ ЯПОНСКИХ ДВИЖЕНИЙ Отличный от европейского климат, рацион питания и образ жизни веками формировали у японцев особенности телосложения и характер движений. В этой области ещё много неизученного, поэтому попробуем разобраться

Из книги Чужие уроки - 2008 автора Голубицкий Сергей Михайлович

ЭСТЕТИКА ОБНАЖЁННОГО ТЕЛА В историческом плане отношение японцев ко многим аспектам внешнего облика человека тоже сильно отличалось от европейского. Это особенно заметно в отношении к обнажённому телу. В европейской культуре обнажение допускается в двух случаях: по

Из книги Литературная Газета 6300 (№ 45 2010) автора Литературная Газета

Язык расслабленного тела Опубликовано в журнале "Бизнес-журнал" №15 от 08 августа 2008 года. Associated Press, 4 июля 2008 года: «Филип Беннет, бывший глава Refco Inc., приговорен к 16 годам тюремного заключения за финансовые махинации, которые привели к крушению одной из крупнейших в мире

Из книги Как победить китайцев автора Маслов Алексей Александрович

Загадки тела Библиоман. Книжная дюжина Загадки тела ЧИТАЮЩАЯ МОСКВА А.А. Каменский, М.В. Маслова, А.В. Граф. Гормоны правят миром: Популярная эндокринология. – М.: АСТ-ПРЕСС, 2010. – 192 с.: ил. – (Наука и мир). – 5000 экз. Сейчас издаётся не так много научно-популярной литературы,

Из книги Критика нечистого разума автора Силаев Александр Юрьевич

Из книги В предвкушении себя. От имиджа к стилю автора Хакамада Ирина Мицуовна

Истинные тела Если лаконично: мало истину знать, надо проживать ее в своем теле. Чтобы тело вело себя истинно. И этому надо учить отдельно, специальные такие предметы-дисциплины. Все же знают, никто не

Из книги Пятое измерение. На границе времени и пространства [сборник] автора Битов Андрей

Глава 4. Одухотворение тела К телу можно относиться по?разному. Его можно обожествить и посвятить ему свою жизнь. Об этом писала в своих воспоминаниях Джейн Фонда. Создав аэробику, она замучила себя диетами и фитнесом, доведя психику до разрушительного состояния. Можно на

Из книги Картины Парижа. Том II автора Мерсье Луи-Себастьен

Тонкие тела (воочию) В 1964 ГОДУ, сразу после снятия, ленинградскому художнику Гаге Ковенчуку приснился Никита Сергеевич. Они встретились в метро. Гага очень обрадовался. «Как же так? – выразил он тут же сочувствие. – Ведь так все хорошо шло!» Никита Сергеевич был краток:

Из книги Масонерия и машинерия (сборник) автора Байков Эдуард Артурович

226. Праздник Тела господня{57} День Тела господня самый торжественный изо всех католических праздников. В этот день Париж чист, весел, безопасен, великолепен. В этот день, видно как много в церквах серебряных вещей, не говоря о золоте и бриллиантах, как роскошны церковные

Из книги Россия. Еще не вечер автора Мухин Юрий Игнатьевич

Культ тела Бодибилдинг (от англ. body – тело и building – строительство, т. е. Body-Building – телостроительство, построение тела), или культуризм (от франц. culturisme – взращивание, наращивание) – это не просто система физических упражнений, способствующих наращиванию мышечной массы и,

Из книги Доктрина шока [Становление капитализма катастроф] автора Кляйн Наоми

Исход Души из тела Думаю, вас уже не удивит, что когда человек находится в состоянии смерти, то организм делает все, чтобы спасти мозг. То есть если тело теряет кровь, то организм (Дух) будет отключать от кровоснабжения все органы и остатки крови гонять только по кругу:

Из книги автора

Шок для тела Сопротивление нарастало, а оккупанты в ответ все больше применяли шок в новой форме. Поздно ночью или ранним утром солдаты вламывались в двери, освещая фонарями темные комнаты, и наполняли дом криками, из которых местные жители могли разобрать лишь несколько

Правильным многоугольником называется ограниченная прямыми плоская фигура с равными сторонами и равными внутренними углами. Ясно, что таких фигур бесконечно много. Аналогом правильного многоугольника в трехмерном пространстве служит правильный многогранник: пространственная фигура с одинаковыми гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми многогранными углами при вершинах. На первый взгляд может показаться, что многогранников также бесконечно много, но на самом деле их, как выразился однажды Льюис Кэррол, "вызывающе мало". Существует лишь пять правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр (рис. 90).

Первое систематическое исследование пяти правильных тел было, по-видимому, предпринято еще в глубокой древности пифагорейцами. Согласно их воззрениям, тетраэдр, куб, октаэдр и икосаэдр лежат в основе традиционных четырех элементов: огня, земли, воздуха и воды. Додекаэр пифагорейцы по непонятным соображениям отождествляли со всей вселенной. Поскольку взгляды пифагорейцев подробно изложены в диалоге Платона "Тимей", правильные многогранники принято называть Платоновыми телами. Красота и удивительные математические свойства пяти правильных тел неоднократно привлекали к себе внимание ученых и после Платона. Анализ Платоновых тел является кульминационным пунктом заключительной книги "Элементов" Евклида. Иоганн Кеплер в юности считал, что расстояния между орбитами шести известных в его время планет можно получить, вписывая в определенном порядке пять правильных тел в орбиту Сатурна. В наши дни математики не приписывают Платоновым телам мистических свойств, а изучают свойства симметрии правильных многогранников методами теории групп. Платоновы тела играют заметную роль и в занимательной математике. Рассмотрим, хотя бы бегло, несколько связанных с ними задач.

Существуют четыре различных способа, как разрезать запечатанный конверт и сложить из него тетраэдр. Вот простейший из них. На обеих сторонах конверта у одного и того же края) начертим равносторонний треугольник (рис. 91) и разрежем конверт по пунктирной прямой. Правая его половина нам не нужна, а левую мы перегнем по сторонам нарисованного треугольника (на обеих сторонах конверта) и совместим точки А и В. Тетраэдр готов!

Головоломка, изображенная на рис. 92, также связана с тетраэдром. Развертку, изображенную на рис. 92 слева, можно вырезать из пластика или плотной бумаги. Сделайте две такие развертки. (На чертеже все пунктирные линии, кроме одной, которая заметно длиннее других, имеют одинаковую длину.) Сложим развертку, перегнув ее по указанным на чертеже линиям. Грани, пересекающиеся между собой вдоль ребер, показанных на чертеже сплошной линией, склеим липкой лентой. В результате у нас получится геометрическое тело, показанное на рис. 92 справа. Из двух таких тел нужно попытаться сложить тетраэдр. Один мой знакомый математик любит приставать к своим друзьям с довольно плоской шуткой. Он собирает из двух разверток две модельки, составляет из них тетраэдр и ставит его на стол, а третью развертку незаметно зажимает в руке. Затем ударом руки он расплющивает тетраэдр и в то же время кладет на стол третью развертку. Вполне очевидно, что его друзьям никак не удается собрать тетраэдр из трех блоков.

Из различных занимательных задач, связанных с кубом, я упомяну лишь головоломку с вычислением полного сопротивления электрической цепи, образованной ребрами проволочного куба, и тот удивительный факт, что куб может проходить через отверстие в меньшем кубе. В самом деле, стоит вам взять куб так, чтобы одна из его вершин была направлена прямо на вас, а ребра образовали правильный шестиугольник, как вы увидите, что в сечении, перпендикулярном лучу зрения, есть достаточно места для квадратного отверстия, которое чуть больше грани самого куба. В электрической головоломке речь идет о цепи, изображенной на рис. 93. Сопротивление каждого ребра куба равно одному ому. Чему равно сопротивление всей цепи, если ток течет от А к В? Инженеры-электрики извели немало бумаги, пытаясь решить эту задачу, хотя при надлежащем подходе найти ее решение совсем несложно.

Все пять Платоновых тел использовались в качестве игральных костей. После куба наибольшую популярность приобрели игральные кости в форме октаэдра. Как сделать такую кость, показано на рис. 94. Начертив и вырезав полоску и перенумеровав грани, ее перегибают вдоль ребер, а "открытые" ребра склеивают прозрачной лентой. Получается миниатюрный октаэдр. Сумма очков на противоположных гранях октаэдрической игральной кости, как и у обычной кубической, равна семи. При желании с помощью новой кости вы можете показать забавный фокус с отгадыванием задуманного числа. Попросите кого-нибудь загадать любое число от 0 до 7. Положите октаэдр на стол так, чтобы загадавший мог видеть только грани с цифрами 1, 3, 5 и 7, и спросите, не видит ли он задуманного им числа. Если он отвечает утвердительно, вы запоминаете про себя число 1. Затем вы переворачиваете октаэдр так, чтобы загадавшему были видны грани с цифрами 2, 3, 6 и 7, и снова задаете тот же вопрос. На этот раз утвердительный ответ означает, что вы должны запомнить число 2. В третий (и последний раз) вы повторяете свой вопрос, повернув октаэдр так, чтобы загадавший мог видеть грани с цифрами 4, 5, 6 и 7. Утвердительный ответ в этом случае оценивается числом 4. Сложив оценки всех трех ответов, вы получите задуманное вашим приятелем число. Этот фокус без труда объяснит всякий, кто знаком с двоичной системой счисления. Чтобы легче было отыскать нужные положения октаэдра, как-нибудь пометьте три вершины, которые должны быть обращены к вам, когда вы стоите лицом к зрителю (задумавшему число).

Существуют и другие не менее интересные способы нумерации граней октаэдрической игральной кости. Например, числа от 1 до 8 можно расположить так, что сумма чисел на четырех гранях, сходящихся в общей вершине, будет постоянна. Эта сумма всегда равна 18, однако существует три различных способа нумерации граней (мы не считаем различными кости, которые переходят друг в друга при поворотах и отражениях), удовлетворяющих заданному выше условию.

Изящный способ построения додекаэдра предложен книге Гуго Штейнгауза "Математический калейдоскоп" * . Из плотного картона нужно вырезать две фигуры, показанные на рис. 95. Стороны пятиугольников должны быть около 2,5-3 см. Лезвием ножа осторожно надрежем картон вдоль сторон внутреннего пятиугольника, с тем чтобы развертка легко сгибалась в одну сторону. Подготовив таким же образом вторую развертку, наложим ее на первую так, чтобы выступы второй развертки пришлись против вырезов первой. Придерживая обе развертки рукой, скрепим их резинкой, пропуская ее попеременно то над выступающим концом одной развертки, то под выступающим концом другой. Ослабив давление руки на развертки, вы увидите, как на ваших глазах, словно по волшебству, возникнет додекаэдр.

* (Эта игрушка была приложена лишь к первому изданию книги Г. Штейнгауза . В дальнейших изданиях, в том числе и в русском (1949), ее нет.- Прим. ред. )

Раскрасим модель додекаэдра таким образом, чтобы каждая грань была выкрашена только одним цветом. Чему равно наименьшее число красок, которыми можно раскрасить додекаэдр, если требуется, чтобы любые две смежные грани были разного цвета? Ответ: наименьшее число красок равно четырем. Нетрудно убедиться, что существуют четыре различных способа наиболее экономной раскраски додекаэдра (при этом два раскрашенных додекаэдра будут зеркальными отражениями двух других). Для раскраски тетраэдра также требуется четыре краски, но существует лишь два варианта раскраски, при этом один тетраэдр переходит в другой при зеркальном отражении. Куб можно раскрасить тремя, а октаэдр - двумя красками. Для каждого из этих тел существует лишь один способ наиболее экономной раскраски. Раскрасить икосаэдр можно всего лишь тремя красками, но сделать это можно не менее чем 144 способами. Лишь в 6 из них раскрашенные икосаэдры совпадают со своими зеркальными отражениями.

Рассмотрим еще одну задачу. Предположим, что муха, разгуливая по 12 ребрам икосаэдра, ползает по каждому из них по крайней мере один раз. Каков наименьший путь, который должна проделать муха, чтобы побывать на всех ребрах иксаэдра? Возвращаться в исходную точку не обязательно; некоторые ребра мухе придется пройти дважды (из всех пяти Платоновых тел только октаэдр обладает тем свойством, что его ребра можно обойти, побывав на каждом из них лишь по одному разу). Решению задачи может помочь проекция икосаэдра на плоскость (рис. 96). Только следует иметь в виду, что длина всех ребер одинакова.

Поскольку и поныне встречаются чудаки, все еще пытающиеся найти решение задач о трисекции угла и квадратуре круга, хотя давно уже доказано, что ни то, ни другое невозможно, кажется странным, что никто не предпринимает попыток найти новые правильные многогранники сверх уже известных пяти Платоновых тел. Одна из причин такого парадоксального положения заключается в том, что понять, почему не существует более пяти правильных тел, крайне несложно. Следующее простое доказательство существования не более пяти правильных тел восходит к Евклиду.

Многогранный угол правильного тела должен быть образован по крайней мере тремя гранями. Рассмотрим простейшую из граней: равносторонний треугольник. Многогранный угол можно построить, приложив друг к другу три, четыре или пять таких треугольников. При числе треугольников свыше пяти сумма плоских углов, примыкающих к вершине многогранника, составляет 360° или даже больше, и, следовательно, такие треугольники не могут образовывать многогранный угол. Итак, существует лишь три способа построения правильного выпуклого многогранника с треугольными гранями. Пытаясь построить многогранный угол из квадратных граней, мы убедимся, что это можно сделать лишь из трех граней. Аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что в одной вершине правильного многоугольника могут сходиться три и только три пятиугольные грани. Грани не могут иметь форму многоугольников с числом сторон больше 5, так как, приложив, например, друг к другу три шестиугольника, мы получим в сумме угол в 360 0 .

Приведенное только что рассуждение не доказывает возможности построения пяти правильных тел, оно лишь объясняет, почему таких тел не может быть больше пяти. Более тонкие рассуждения заставляют прийти к выводу, что в четырехмерном пространстве имеется лишь шесть правильных политопов (так называются аналоги трехмерных правильных тел). Любопытно отметить, что?в пространстве любого числа измерений, большем 4, существует лишь три правильных политопа: аналоги тетраэдра, куба и октаэдра.

Невольно напрашивается вывод. Математика в значительной мере ограничивает многообразие структур, которые могут существовать в природе. Обитатели далее самой отдаленной галактики не могут играть в кости, имеющие форму неизвестного нам правильного выпуклого многогранника. Некоторые теологи честно признали, что даже сам господь бог не смог бы построить шестое платоново тело в трехмерном пространстве. Точно так же геометрия ставит непреодолимые границы разнообразию структуры кристаллов. Может быть, наступит день, когда физики откроют математические ограничения, которым должно удовлетворять число фундаментальных частиц и основных законов природы. Разумеется, никто сейчас не имеет ни малейшего представления о том, каким образом математика делает невозможной ту или иную структуру, называемую "живой" (если только математика вообще причастна к этому кругу явлений). Вполне допустимо, например, что наличие углеродных соединений является непременным условием возникновения жизни. Как бы то ни было, человечество заранее готовит себя к мысли о возможности существования жизни на других планетах. Платоновы же тела служат напоминанием о том, что на Марсе и Венере может не оказаться многого из того, о чем думают наши мудрецы.

Ответы

Полное сопротивление цепи, образованной ребрами куба (сопротивление каждого ребра 1 ом ) составляет 5 / 6 ома . Соединим накоротко три ближайшие к А вершины куба и проделаем то же самое с тремя вершинами, ближайшими к В. Мы получим две треугольные цепи. Ни в одной из них тока не будет, так как они соединяют эквипотенциальные точки. Нетрудно заметить, что между вершиной А и ближайшей к ней треугольной цепью параллельно включены три сопротивления по 1 ому (общее сопротивление 1 / 3 ома ), между двумя треугольными цепями в параллель соединено 6 сопротивлений по 1 ому (общее сопротивление этого участка цепи 1 / 6 ома ) и между второй треугольной цепью и точкой В имеется 3 параллельно соединенных проводника по 1 ому (то есть всего 1 / 3 ома ). Таким образом, полное сопротивление цепи между точками А и В равно 5 / 6 ома .

И условие задачи, и метод решения нетрудно обобщить на случай цепи, образованной ребрами четырех остальных Платоновых тел.

Перечислим три способа нумерации граней октаэдра, удовлетворяющих условию: сумма чисел на гранях, примыкающих к любой вершине, должна быть равна 18. Числа, встречаемые при обходе (по часовой стрелке или против нее) одной вершины: 6, 7, 2, 3; при обходе противоположной вершины: 1, 4, 5, 8 (6 рядом с 1, 7 рядом с 4 и т. д.); при обходе остальных вершин: 1, 7, 2, 8 и 4, 6, 3, 5; 4, 7, 2, 5 и 6, 1, 8, 3. Простое доказательство того, что октаэдр - единственное из пяти правильных тел, чьи грани можно пронумеровать так, чтобы сумма чисел на гранях, примыкающих к любой вершине, была постоянна, можно найти в книге У. У. Роуза Болла * .

* (W. W. Rouse Ball, Mathematical recreations and essays, London, MacMillan, New York, St. Martin"s Press, 1956, p. 418. )

Кратчайшее расстояние, которое должна преодолеть муха для того, чтобы побывать на всех ребрах икосаэдра, равно 35 единицам (единица - длина ребра икосаэдра). Стерев пять ребер икосаэдра (например, ребра FM, BE, JA, ID и НС на рис. 96), мы получим граф, на котором нечетное число ребер сходится только в двух точках G и К. Поэтому муха может обойти весь этот граф (начав свой путь к точке G и закончив его в точке К), пройдя по каждому ребру лишь один раз. Пройденное мухой расстояние равно 25 единицам. Это самый длинный путь, все участки которого проходятся по одному разу. Если муха на своем пути встречает стертые ребра, мы просто добавляем их к пути из G в К, считая, что муха проходит их дважды (в противоположных направлениях). Пять стертых ребер, проходимых дважды, составляют добавку в 10 единиц к уже пройденному пути. В сумме это и составляет 35 единиц.