Н а этой странице собраны теоремы планиметрии, которые репетитор по математике может использовать в подготовке способного ученика к серьезному экзамену: олимпиаде или экзамену в МГУ (в подготовке на Мехмат МГУ, ВМК), к олимпиаде в Высшей Школе Экономики, к олимпиаде в Финансовой Академии и в МФТИ. Знание этих фактов открывает перед репетитором большие возможности по составлению конкурсных задач. Достаточно «обыграть» какую-нибудь упомянутую теорему на числах или дополнить ее элементы несложными взаимосвязями с другими математическими объектами, и получится вполне приличная олимпиадная задачка. Многие свойства присутствуют в сильных школьных учебниках в качестве задач на доказательство и специально не выносятся в заголовки и разделы параграфов. Я постарался исправить этот недостаток.

Математика — необъятный предмет, а количество фактов, которые можно выделять как теоремы — бесконечно. Репетитор по математике не может физически знать и помнить все. Поэтому какие-то хитрые взаимосвязи между геометрическими объектами каждый раз открываются преподавателю заново. Собрать все их на одной странице сразу — невозможно физически. Поэтому я буду заполнять страницу постепенно, по мере использования теорем на своих уроках.

Советую начинающим репетиторам по математике быть осторожнее в использовании дополнительных справочных материалов, поскольку большинство этих фактов школьники не знают.

Репетитор по математике о свойствах геометрических фигур

1) Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекается с биссектрисой противоположного ей угла на окружности, описанной около данного треугольника. Это следует из равенства дуг, на которые серединный перпендикуляр делит нижнюю дугу, и из теоремы о вписанном угле в окружность.

2) Если из одной вершины в треугольнике проведены биссектриса b, медиана m и высота h, то биссектриса будет лежать между двумя другими отрезками, а длины всех отрезков подчиняются двойному неравенству .

3) В произвольном треугольнике расстояние от любой его вершины до его ортоцентра (точки пересечения высот) в 2 раза больше расстояния от центра описанной около этого треугольника окружности до противоположной этой вершине стороны. Для доказательства можно провести через вершины треугольника прямые, параллельные его высотам. Затем использовать подобие исходного и полученного треугольника.

4) Точка пересечения медиан M любого треугольника (его центр тяжести) вместе с ортоцентром треугольника H и центром описанной окружности (точка O) лежат на одной примой, причем . Это следует из предыдущего свойства и из свойства точки пересечения медиан.

5) Продолжение общей хорды двух пересекающихся окружностей делит отрезок их общей касательной на две равные части. Это свойство верно независимо от характера этого пересечения (то есть от расположения центров окружностей). Для доказательства можно воспользоваться свойством квадрата отрезка касательной.

6) Если в треугольнике проведена биссектриса его угла, то её квадрат равен разности произведений сторон угла и отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону.

То есть имеет место следующее равенство

7) Знакома ли Вам ситуация, когда к гипотенузе проводится высота из вершины прямого угла? Наверняка. А знаете ли Вы, что все треугольники, которые при этом получаются подобны? Наверняка знаете. Тогда наверняка не знаете, что любые соответствующие элементы этих треугольников образуют равенство, повторяющее теорему Пифагора, то есть, например, , где и — радиусы вписанных окружностей в малые треугольники, а — радиус окружности, вписанной в большой треугольник.

8) Если вам попался произвольный четырехульник со всеми известными сторонами a,b,c и d, то его площадь можно легко посчитать по по формуле, напоминающей формулу Герона:
, где x – сумма любых двух противоположных углов четырехугольника. Если данный четырехугольника является вписанным в окружность, то и формула принимает вид:
и называется формулой Брахмагупты

9) Если ваш четырехугольник описан около окружности (то есть окружность в него вписана), то площадь четырехугольника вычисляется по формуле

Пояснительная записка

Предложенные билеты предназначены для проведения устного теоретического переводного годового экзамена по планиметрии учащихся 9 классов общеобразовательной школы, а также 10 и 11 классов в целях подготовки к ЕГЭ. Предлагаемые материалы полностью соответствуют программе по математике и программе для профильного обучения.

Билеты состоят из десяти вопросов, отражающих основные направления курса геометрии.

Вопросы ориентированы на проверку овладения понятийным аппаратом предмета и выявление уровня знаний важных теоретических фактов. Некоторые из них предполагают доказательство излагаемого материала, показывающих знание основных теоретических положений курса и умение привести их обоснование.

Задания этих вопросов взяты из пособий:

Геометрия. Задачи на доказательство. Смирнов В.А., Смирнова И.М.

Геометрия. Учебник для 7-9 классов. Атанасян, бутузов, Кадомцев и др.

Геометрия. Учебник для 7-11 классов.А.В.Погорелов.

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ОТВЕТА УЧАЩИХСЯ

При оценке ответа учащихся можно руководствоваться следующими критериями.

За полный и правильный ответ на все вопросы билета выставляется оценка «5». Для получения оценки «3» достаточно ответить на восемь вопросов билета.

Во всех остальных случаях выставляется оценка «4».

Зачет по планиметрии

Вариант 1

    Признаки равенства треугольников.

    Свойство средней линии треугольника.

    Определение высоты треугольника.

    Чему равны радиусы вписанной и описанной окружностей в прямоугольном треугольнике?

    Свойства подобных фигур.

    Чем измеряется центральный угол.

    Свойство хорд окружности.

    Центр описанной окружности, описанной около прямоугольного треугольника.

    Свойство прямоугольного треугольника, у которого есть острый угол 30 градусов.

    Дайте определение серединного перпендикуляра.

Вариант 2

    Признаки равенства прямоугольных треугольников.

    Определение медианы треугольника.

    Теорема Пифагора.

    Чему равна сумма квадратов диагоналей в параллелограмме?

    Формула площади правильного треугольника.

    Площадь трапеции.

    Свойство вписанных углов.

    Свойство описанного четырехугольника.

    Длина дуги.

    Синус, косинус, тангенс угла 30 градусов.

Вариант 3

    Теорема о сумме углов треугольника.

    Свойства медиан треугольника.

    Определение биссектрисы треугольника.

    Теорема косинусов.

    Формула биссектрисы треугольника.

    Площадь параллелограмма (3).

    Чему равен угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга.

    Свойство вписанного четырехугольника.

    Длина окружности.

    Основные свойства хорд.

Вариант 4

    Свойства равнобедренного треугольника.

    Свойство серединных перпендикуляров.

    Формула медиан треугольника.

    Теорема синусов.

    Чему равны элементы в равностороннем треугольнике (высота, радиусы, площадь)?

    Свойства равнобедренной трапеции.

    Свойство касательной и секущей, исходящих из одной точки.

    Чему равен угол между пересекающимися хордами.

    Синус, косинус, тангенс угла 60 градусов.

    Где находится центр вписанной окружности в треугольнике?

Вариант 5

    Неравенство треугольника.

    Теорема о высотах треугольника.

    Площади подобных треугольников.

    Формулы площадей треугольника (6).

    Признаки параллелограмма.

    Теорема о средней линии трапеции.

    Формула Герона для четырехугольника.

    Чему равен угол между касательной и хордой, проведенной и з точки касания?

    Площадь сектора.

    Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов.

Вариант 6

    Определение средней линии треугольника.

    Теорема о биссектрисах треугольника.

    Признаки подобия треугольников.

    Теорема косинусов.

    Формула Герона.

    Свойства параллелограмма.

    Площадь ромба.

    Центр вписанной и описанной окружности в треугольнике.

    Дать определение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника

    В статье приведена самая важная теоретическая информация и необходимые для решения конкретных задач формулы. По полочкам разложены важные утверждения и свойства фигур.

    Определение и важные факты

    Планиметрия - это раздел геометрии, рассматривающий объекты на плоской двумерной поверхности. Можно выделить некоторые подходящие примеры: квадрат, круг, ромб.

    Среди всего прочего стоит выделить точку и прямую. Они являются двумя основными понятиями планиметрии.

    Уже на них строятся все остальное, например:


    Аксиомы и теоремы

    Подробнее разберемся с аксиомами. В планиметрии это наиважнейшие правила, по которым работает вся наука. Да и не только в ней. По определению, речь идет об утверждениях, не требующих доказательств.

    Аксиомы, которые буду рассмотрены ниже, входят в так называемую Евклидовую геометрию.

    • Есть две точки. Через них всегда можно провести единственную прямую.
    • Если существует прямая, то есть точки, которые на ней лежат, и точки, не лежащие на ней.

    Это 2 утверждения принято называть аксиомами принадлежности, а следующие - порядка:

    • Если на прямой расположены три точки, то одна из них обязательно находится между двумя другими.
    • Плоскость делится любой прямой на две части. Когда концы отрезка лежат на одной половине, то значит и весь объект принадлежит ей. В ином случае исходная прямая и отрезок имеют точку пересечения.

    Аксиомы мер:

    • Каждый отрезок имеет длину, отличную от нуля. Если точка разбивает его на несколько частей, то их сумма будет равна полной длине объекта.
    • У каждого угла есть определенная градусная мера, которая не равна нулю. Если разбить его лучом, то исходный угол будет равен сумме образованных.

    Параллельность:

    • На плоскости расположена прямая. Через любую точку, не принадлежащую ей, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной.

    Теоремы в планиметрии - это уже не совсем фундаментальные утверждения. Обычно их принимают как факт, но каждая из них имеет доказательство, построенное на основных понятиях, упомянутых выше. Кроме того, их очень много. Разобрать все будет довольно трудно, но в представленном материале будут присутствовать некоторые из них.

    Со следующими двумя стоит ознакомиться пораньше:

    • Сумма смежных углов равна 180 градусам.
    • Вертикальные углы имеют одинаковую величину.

    Эти две теоремы могут пригодиться в решении геометрических задач, связанных с n-угольниками. Они довольно просты и интуитивно понятны. Стоит их запомнить.

    Треугольники

    Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трех последовательно соединенных отрезков. Классифицируют их по нескольким признакам.

    По сторонам (соотношения выплывают из названий):


    По углам:

    • остроугольный;
    • прямоугольный;
    • тупоугольный.

    Два угла независимо от ситуации всегда будут острыми, а третий определяется первой частью слова. То есть у прямоугольного треугольника один из углов равен 90 градусам.

    Свойства:

    • Чем больше угол, тем больше противоположная ему сторона.
    • Сумма всех углов - 180 градусов.
    • Площадь можно вычислить по формуле: S = ½ ⋅ h ⋅ a, где a - сторона, h - проведенная к ней высота.
    • Всегда можно вписать окружность в треугольник или же описать ее вокруг него.

    Об одной из основных формул планиметрии говорит теорема Пифагора. Работает она исключительно для прямоугольного треугольника и звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: AB 2 = AC 2 + BC 2 .

    Под гипотенузой подразумевают сторону, противоположную углу 90°, а под катетами - прилежащие.

    Четырехугольники

    Информации на эту тему чрезвычайно много. Ниже приведена лишь самая важная.

    Некоторые разновидности:

    1. Параллелограмм - противоположные стороны равны и попарно параллельны.
    2. Ромб - параллелограмм, чьи стороны имеют одинаковую длину.
    3. Прямоугольник - параллелограмм с четырьмя прямыми углами
    4. Квадрат - одновременно ромб и прямоугольник.
    5. Трапеция - лишь две противоположные стороны параллельны.

    Свойства:

    • Сума внутренних углов равна 360 градусам.
    • Площадь всегда можно вычислить по формуле: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), где p - половина периметра, a, b, c, d - стороны фигуры.
    • Если вокруг четырехугольник можно описать окружность, тогда его называю выпуклым, если нет - невыпуклым.

    Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

    • Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
    • Вертикальные углы равны между собой.

    Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

    Тогда, сумма углов треугольника :

    Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны . Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

    Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

    Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

    Формула Герона для площади треугольника:

    Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

    Формула медианы (медиана - линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

    Свойства медиан:

    • Все три медианы пересекаются в одной точке.
    • Медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
    • В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

    Свойство биссектрисы (биссектриса - линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

    Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:

    Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике - линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

    Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

    • Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
    • В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
    • Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

    Еще одно полезное свойство высот треугольника:

    Теорема косинусов :

    Теорема синусов :

    Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр - линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

    Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

    Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

    Площадь правильного треугольника:

    Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c - гипотенуза, a и b - катеты):

    Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

    Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

    Площадь прямоугольного треугольника (h - высота опущенная на гипотенузу):

    Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

    Подобные треугольники - треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников - стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия - число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

    • По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
    • По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
    • По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

    Трапеция

    Трапеция - четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

    Площадь трапеции:

    Некоторые свойства трапеций:

    • Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
    • Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
    • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
    • Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания - подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны - равновелики.
    • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
    • У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
    • У равнобедренной трапеции диагонали равны.
    • В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.

    Параллелограмм

    Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

    Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

    Некоторые свойства параллелограмма:

    • Противоположные стороны параллелограмма равны.
    • Противоположные углы параллелограмма равны.
    • Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
    • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
    • Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
    • Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

    Квадрат

    Квадрат - четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

    Площадь квадрата через длину его диагонали:

    Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

    Ромб и прямоугольник

    Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула - через две диагонали, вторая - через длину стороны и угол между сторонами):

    Свойства ромба:

    • Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
    • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
    • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

    Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

    Свойства прямоугольника:

    • Диагонали прямоугольника равны.
    • Прямоугольник является параллелограммом - его противоположные стороны параллельны.
    • Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
    • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
    • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.