Дисперсия
случайной величины. Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что достигает минимума по
при 
. Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно .
Определение 5 . Дисперсией случайной величины называется число .
Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений .
Утверждение 8
. Пусть - случайная величина
, и - некоторые числа, . Тогда 
.
Как следует из утверждений 3 и 5, . Следовательно, . Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то .
Утверждение 8 показывает, в частности, как меняется дисперсия результата наблюдений при изменении начала отсчета и единицы измерения. Оно дает правило преобразования расчетных формул при переходе к другим значениям параметров сдвига и масштаба.
Утверждение 9 . Если случайные величины и независимы, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий: .
Для доказательства воспользуемся тождеством
которое вытекает из известной формулы элементарной алгебры при подстановке 
и 
. Из утверждений 3 и 5 и определения дисперсии следует, что
Согласно утверждению 6 из независимости и вытекает независимость 
и 
. Из утверждения 7 следует, что
Поскольку (см. утверждение 3), то правая часть последнего равенства равна 0, откуда с учетом двух предыдущих равенств и следует заключение утверждения 9.
Утверждение 10 . Пусть - попарно независимые случайные величины (т.е. и независимы, если ). Пусть - их сумма, . Тогда математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых - . Дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых, .
Соотношения, сформулированные в утверждении 10, являются основными при изучении выборочных характеристик, поскольку результаты наблюдений или измерений, включенные в выборку, обычно рассматриваются в математической статистике, теории принятия решений и эконометрике как реализации независимых случайных величин.
Для любого набора числовых случайных величин (не только независимых) математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий. Это утверждение является обобщением утверждения 5. Строгое доказательство легко проводится методом математической индукции .
При выводе формулы для дисперсии воспользуемся следующим свойством символа суммирования:
Положим , получим
Воспользуемся теперь тем, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:
| (8) |
Как показано при доказательстве утверждения 9, из попарной независимости рассматриваемых случайных величин следует, что при . Следовательно, в сумме (8) остаются только члены с , а они равны как раз .
Полученные в утверждениях 8-10 фундаментальные свойства таких характеристик случайных величин, как математическое ожидание и дисперсия , постоянно используются практически во всех вероятностно-статистических моделях реальных явлений и процессов.
Пример 9 . Рассмотрим событие и случайную величину такую, что , если , и в противном случае, т.е. если . Покажем, что .
Воспользуемся формулой (5) для математического ожидания. Случайная величина принимает два значения - 0 и 1, значение 1 с вероятностью и значение 0 с вероятностью , а потому . Аналогично с вероятностью и с вероятностью , а потому . Вынося общий множитель , получаем, что .
Пример 10
. Рассмотрим независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие может наступить, а может и не наступить. Введем случайные величины 
следующим образом: , если в -ом испытании событие наступило, и - в противном случае. Тогда случайные величины попарно независимы (см. пример 7). Как показано в примере 9, , где . Иногда называют "вероятностью успеха" - в случае, если наступление события рассматривается как "успех".
Случайная величина
называется биномиальной. Ясно, что 
при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение , т.е. вероятности при 
, достаточно знать - вероятность
наступления рассматриваемого события в каждом из опытов. Действительно, случайное событие осуществляется тогда и только тогда, когда событие наступает ровно при испытаниях. Если известны номера всех этих испытаний (т.е. номера в последовательности испытаний), то вероятность
одновременного осуществления в опытах события и в опытах противоположного ему - это вероятность
произведения независимых событий.
Вероятность
произведения равна произведению вероятностей, т.е. 
. Сколькими способами можно задать номера испытаний из ? Это - число сочетаний из элементов по
, рассматриваемое в комбинаторике
. Как известно,
где символом ! обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до , т.е. (дополнительно принимают, что 0! = 1). Из сказанного следует, что биномиальное распределение , т.е. распределение биномиальной случайной величины, имеет вид
Название " биномиальное распределение " основано на том, что является членом с номером в разложении по биному Ньютона
если положить . Тогда при получим
Для числа сочетаний из элементов по , кроме , используют обозначение .
Из утверждения 10 и расчетов примера 9 следует, что для случайной величины , имеющей биномиальное распределение , математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами
поскольку является суммой независимых случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями, найденными в примере 9.
Неравенства Чебышева . Выше обсуждалась задача проверки того, что доля дефектной продукции в партии равна определенному числу. Для демонстрации вероятностно-статистического подхода к проверке подобных утверждений являются полезными неравенства, впервые примененные в теории вероятностей великим русским математиком Пафнутием Львовичем Чебышевым (1821–1894) и потому носящие его имя. Эти неравенства широко используются в теории математической статистики, а также непосредственно применяются в ряде практических задач принятия решений . Например, в задачах статистического анализа технологических процессов и качества продукции в случаях, когда явный вид функции распределения результатов наблюдений неизвестен (см. ниже, где, в частности, они применяются в задаче исключения резко отклоняющихся результатов наблюдений).
Первое неравенство Чебышева . Пусть - неотрицательная случайная величина (т.е. для любого ). Тогда для любого положительного числа справедливо неравенство
Доказательство . Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых . Получим, что
Из (9) и (10) следует требуемое.
Второе неравенство Чебышева . Пусть – случайная величина . Для любого положительного числа справедливо неравенство
Это неравенство содержалось в работе П.Л.Чебышева "О средних величинах", доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 г. и опубликованной в следующем году.
Для доказательства второго неравенства Чебышева рассмотрим случайную величину . Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа , как следует из первого неравенства Чебышева , справедливо неравенство
Положим . Событие совпадает с событием , а потому
что и требовалось доказать.
Пример 11 . Можно указать неотрицательную случайную величину и положительное число такие, что первое неравенство Чебышева обращается в равенство .
Достаточно рассмотреть . Тогда и 
, т.е. .
Следовательно, первое неравенство Чебышева в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для подавляющего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании процессов принятия решений , левые части неравенств Чебышева много меньше соответствующих правых частей.
Пример 12 . Может ли первое неравенство Чебышева обращаться в равенство при всех ? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число , что первое неравенство Чебышева является строгим.
Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной величины либо положительно, либо равно 0. В первом случае возьмем положительное , меньшее положительного числа , например, положим 
. Тогда больше 1, в то время как вероятность
события не может превышать 1, а потому первое неравенство
Чебышева является для этого строгим. Второй случай исключается условиями примера 11.
Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной величины. А для такой случайной величины при любом положительном и левая и правая части первого неравенства Чебышева равны 0.
Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить требование неотрицательности случайной величины ? А требование положительности ? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, поскольку иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной.
Закон больших чисел . Неравенство Чебышева позволяет доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики – закон больших чисел . Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больших чисел не было бы большей части прикладной математической статистики.
Теорема Чебышева
. Пусть случайные величины попарно независимы и существует число такое, что 
при всех 
. Тогда для любого положительного выполнено неравенство
| (11) |
Доказательство
. Рассмотрим случайные величины и 
. Тогда согласно утверждению 10
Из свойств математического ожидания следует, что , а из свойств дисперсии – . Таким образом,
Из условия теоремы Чебышева следует, что
Применим к второе неравенство Чебышева. Получим для стоящей в левой части неравенства (11) вероятности оценку
что и требовалось доказать.
Эта теорема была получена П.Л.Чебышевым в той же работе 1867 г. "О средних величинах", что и неравенства Чебышева .
Пример 13 . Пусть . При каких правая часть неравенства (11) не превосходит 0,1? 0,05? 0,00001?
В рассматриваемом случае правая часть неравенства (11) равна . Она не превосходит 0,1, если не меньше 1000, не превосходит 0,05, если не меньше 2000, не превосходит 0,00001, если не меньше 10 000 000.
Правая часть неравенства (11), а вместе с ней и левая, при возрастании и фиксированных и убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на , приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причем при любом . Это утверждение называют ЗАКОНОМ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
Наиболее важен для вероятностно-статистических методов принятия решений
(и для математической статистики в целом) случай, когда все 
., имеют одно и то же математическое ожидание и одну и ту же дисперсию 
. В качестве замены (оценки) неизвестного исследователю математического ожидания используют выборочное среднее арифметическое
Из закона больших чисел следует, что при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к , что записывают так:
Здесь знак означает " сходимость по вероятности". Обратим внимание, что понятие " сходимость по вероятности" отличается от понятия "переход к пределу" в математическом анализе. Напомним, что последовательность имеет предел при , если для любого сколь угодно малого существует число такое, что при любом справедливо утверждение: . При использовании понятия " сходимость по вероятности" элементы последовательности предполагаются случайными, вводится еще одно сколь угодно малое число и утверждение предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее .
В начале лекции отмечалось, что с точки зрения ряда естествоиспытателей вероятность события – это число, к которому приближается отношение количества осуществлений события к количеству всех опытов при безграничном увеличении числа опытов. Известный математик Якоб Бернулли (1654–1705), живший в городе Базель в Швейцарии, в самом конце XVII века доказал это утверждение в рамках математической модели (опубликовано доказательство было лишь после его смерти в 1713 году). Современная формулировка теоремы Бернулли такова.
Теорема Бернулли . Пусть – число наступлений события в независимых (попарно) испытаниях и есть вероятность наступления события в каждом из испытаний. Тогда при любом справедливо неравенство
 |
(12) |
Доказательство
. Как показано в примере 10, случайная величина
имеет биномиальное распределение
с вероятностью успеха и является суммой независимых случайных величин , каждое из которых равно 1 с вероятностью и 0 с вероятностью , т.е. . Применим к теорему Чебышева с 
и получим требуемое неравенство
(12).
Теорема Бернулли дает возможность связать математическое определение вероятности ( по А.Н. Колмогорову) с определением ряда естествоиспытателей ( по Р. Мизесу (1883–1953), согласно которому вероятность есть предел частоты в бесконечной последовательности испытаний). Продемонстрируем эту связь . Для этого сначала отметим, что
при всех . Действительно,
Следовательно, в теореме Чебышева можно использовать . Тогда при любом и фиксированном правая часть неравенства (12) при возрастании приближается к 0, что и доказывает согласие математического определения в рамках вероятностной модели с мнением естествоиспытателей.
Есть и прямые экспериментальные подтверждения того, что частота осуществления определенных событий близка к вероятности, определенной из теоретических соображений. Рассмотрим бросания монеты. Поскольку и герб, и решетка имеют одинаковые шансы оказаться сверху, то вероятность выпадения герба равна 1/2 из соображений равновозможности. Французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз, герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте Бюффона равна 0,507. Английский статистик К. Пирсон бросил монету 12000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба – частота 0,5016. В другой раз он бросил монету 24000 раз, герб выпал 12012 раз – частота 0,5005. Как видим, во всех этих случаях частоты лишь незначительно отличаются от теоретической вероятности 0,5 [ [ 2.3 ] , с.148].
О проверке статистических гипотез. С помощью неравенства (12) можно кое-что сказать по поводу проверки соответствия качества продукции заданным требованиям.
Пусть из 100000 единиц продукции 30000 оказались дефектными. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности равна 0,23? Прежде всего, какую вероятностную модель целесообразно использовать? Принимаем, что проводится сложный опыт , состоящий из 100000 испытаний 100000 единиц продукции на годность. Считаем, что испытания (попарно) независимы и что в каждом испытании вероятность того, что единица продукции является дефектной, равна . В реальном опыте получено, что событие " единица продукции не является годной" осуществилось 30000 раз при 100000 испытаниях. Согласуется ли это с гипотезой о том, что вероятность дефектности =0,23?
Для проверки гипотезы воспользуемся неравенством (12). В рассматриваемом случае . Для проверки гипотезы поступим так. Оценим вероятность того, что отличается от так же, как в рассматриваемом случае, или больше, т.е. оценим вероятность выполнения неравенства . Положим в неравенстве (12) . Тогда
| (13) |
При = 100000 правая часть (13) меньше 1/2500. Значит, вероятность того, что отклонение будет не меньше наблюдаемого, весьма мала. Следовательно, если исходная гипотеза верна, то в рассматриваемом опыте осуществилось событие, вероятность которого меньше 1/2500. Поскольку 1/2500 – очень маленькое число, то исходную гипотезу надо отвергнуть.
Подробнее методы проверки статистических гипотез будут рассмотрены ниже. Здесь отметим, что одна из основных характеристик метода проверки гипотезы – уровень значимости, т.е. вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу (ее в математической статистике называют нулевой и обозначают ), когда она верна. Для проверки статистической гипотезы часто поступают так. Выбирают уровень значимости – малое число . Если описанная в предыдущем абзаце
Более точные расчеты, основанные на применении центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. ниже), дают = 0,095, = 0,0000005, так что оценка (13) является в рассматриваемом случае весьма завышенной. Причина в том, что получена она из наиболее общих соображений, применительно ко всем возможным случайным величинам улучшить ее нельзя (см. пример 11 выше), но применительно к биномиальному распределению – можно.
Ясно, что без введения уровня значимости не обойтись, ибо даже очень большие отклонения от имеют положительную вероятность осуществления. Так, при справедливости гипотезы событие "все 100000 единиц продукции являются дефектными" отнюдь не является невозможным с математической точки зрения, оно имеет положительную
При = 10000 правая часть последнего неравенства равна 1/400. Значит, если исходная гипотеза верна, то в нашем единственном эксперименте осуществилось событие, вероятность которого весьма мала – меньше 1/400. Поэтому исходную гипотезу необходимо отвергнуть.
Если из 1000 бросаний монеты гербы выпали в 400 случаях, то правая часть выписанного выше неравенства равна 1/40. Гипотеза симметричности отклоняется на уровне значимости 0,05 (и 0,1), но рассматриваемые методы не дают возможности отвергнуть ее на уровне значимости 0,01.
Если = 100, а = 40, то правая часть неравенства равна 1/4. Оснований для отклонения гипотезы нет. С помощью более тонких методов, основанных на центральной предельной теореме теории вероятностей, можно показать, что левая часть неравенства равна приблизительно 0,05. Это показывает, как важно правильно выбрать метод проверки гипотезы или оценивания параметров. Следовательно, целесообразна стандартизация подобных методов, позволяющая сэкономить усилия, необходимые для сравнения и выбора наилучшего метода, а также избежать устаревших, неверных или неэффективных методов.
Ясно, что даже по нескольким сотням опытов нельзя достоверно отличить абсолютно симметричную монету ( = 1/2) от несколько несимметричной (для которой, скажем, = 0,49). Более того, любая реальная монета несколько несимметрична, так что монета с = 1/2 - математическая абстракция . Между тем в ряде управленческих и производственных ситуаций необходимо осуществить справедливую жеребьевку, а для этого требуется абсолютно симметричная монета. Например, речь может идти об очередности рассмотрения инвестиционных проектов комиссией экспертов, о порядке вызова для собеседования кандидатов на должность, об отборе единиц продукции из партии в выборку для контроля и т.п.
И правая часть неравенства (12) имеет вид
Итак, здесь на основе элементарной теории вероятностей (с конечным пространством элементарных событий ) мы сумели построить вероятностные модели для описания проверки качества деталей (единиц продукции) и бросания монет и предложить методы проверки гипотез, относящихся к этим явлениям. В математической статистике есть более тонкие и сложные методы проверки описанных выше гипотез, которыми и пользуются в практических расчетах.
Можно спросить: "В рассмотренных выше моделях вероятности были известны заранее – со слов Струкова или же из-за того, что мы предположили симметричность монеты. А как строить модели, если вероятности неизвестны? Как оценить неизвестные вероятности?" Теорема Бернулли – результат, с помощью которого дается ответ на этот вопрос. Именно, оценкой неизвестной вероятности является число , поскольку доказано, что при возрастании вероятность того, что отличается от более чем на какое-либо фиксированное число, приближается к 0. Оценка будет тем точнее, чем больше . Более того, можно доказать, что с некоторой точки зрения (см. далее) оценка для вероятности является наилучшей из возможных (в терминах математической статистики – состоятельной, несмещенной и эффективной).
Лекция 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема.
Несмотря на то, что заранее нельзя предсказать, какое из возможных значений примет случайная величина в результате опыта, при некоторых условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин становится закономерным. Иными словами, при очень большом числе случайных явлений их средний результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых это может происходить. Эти условия указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел , важнейшей из которых является теорема Чебышева. Для доказательства теоремы Чебышева используется неравенство Чебышева , которое мы сейчас рассмотрим.
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем , т.е.
Пример .
Номинальное значение диаметра втулки равно 5 мм, а дисперсия, из-за погрешностей изготовления, не превосходит 0,01. Оценить вероятность того, что размер втулки будет отличаться от номинала не более чем на 0,5 мм.
Решение:
По неравенству Чебышева
Неравенство Чебышева дает только верхнюю границу вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может быть ни при каком законе распределения . Например, если мы захотим выяснить, какова вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на 3 среднеквадратических отклонения, то неравенство Чебышева даст нам верхнюю границу этого значения 1/9 @ 0,111. В то же время, например для нормального распределения вероятность такого отклонения намного меньше - 0,0027 (правило трех сигм).
Теорема Чебышева .
Если - попарно независимые случайные величины, причем их дисперсии ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число e, вероятность выполнения неравенства
будет как угодно близка к единице при достаточно большом числе n. Иначе говоря
Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что для достаточно большого числа независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.
Доказательство . Введем в рассмотрение новую случайную величину – среднее арифметическое случайных величин
Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания, получим
Применяя к величиненеравенство Чебышева, имеем
Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим
Так как по условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, то
Таким образом
Подставляя правую часть последнего неравенства в (1) (отчего оно может быть только усилено), получим
Отсюда, переходя к пределу при и учитывая, что вероятность не может превосходить единицы, получим доказательство:
В важном частном случае, когда случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание (обозначим его a) формула, выражающая теорему Чебышева, принимает вид
Сущность теоремы Чебышева такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному
постоянному числу
или – в частном случае, к числу . Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеяно мало. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются .
Пусть производится процесс измерения некоторой величины. Будем рассматривать результаты каждого измерения как случайные величины . Если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных (т.е. величины попарно независимы), а случайные величины имеют одинаковое математическое ожидание и их дисперсии ограничены, то, применяя теорему Чебышева, получим, что при достаточно большом n среднее арифметическое результатов измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины (математического ожидания a).
На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят о всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов.
Теорема. Если СВ Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство:
☺ Доказательство
проведем для дискретной СВ Х. Расположим
ее значения в порядке возрастания, из
которых часть значений
будут не более числа А, а другая часть
-
будут больше А, т.е.
Запишем выражение для математического ожидания М(Х): ,
где
- вероятности того, что СВ Х примет
значения соответственно
.
Отбрасывая первые
k неотрицательных слагаемых (напомним,
что все
),
получим:.
Заменяя в неравенстве
значения
меньшим числом А, получим более сильное
неравенство:или
.
Cумма вероятностей
в левой части полученного неравенства
представляет собой сумму вероятностей
событий
,
т.е. вероятность события Х>А. Поэтому
.☻
Т.к. события Х > А и Х ≤ А противоположные, то заменяя Р(Х > А) выражением 1 - Р(Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова:
.
Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам.
Пример . Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.
Решение
.
а) По условию М(Х) = 300. По формуле
:
т.е. вероятность того, что число вызовов
превысит 400, будетне
более
0,75.
б) По формуле
:
т.е.
вероятность того, что число вызовов не
более 500, будетне
менее
0,4.
Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаидля случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.
Теорема
.
Для любой случайной величины, имеющей
математическое ожидание и дисперсию,
справедливо неравенство Чебышева:
,
где а = М(Х), е > 0.
☺ Применим
неравенство Маркова в форме
к случайной величине
,
взяв в качестве положительного числа
.
Получим:
.
Т.к. неравенство
равносильно
неравенству
,
а
есть
дисперсия случайной величины Х, то из
неравенства получаем доказываемое
неравенство. ☻
Учитывая, что
события
и
противоположны, неравенство Чебышева
можно записать и в другой форме:
.
Неравенство Чебышева
применимо для любых случайных величин.
В форме
оно устанавливаетверхнюю
границу
,
а в форме
-нижнюю
границу
вероятности рассматриваемого события.
Запишем
неравенство Чебышева в форме
для некоторых случайных величин:
а) для СВ Х = m,
имеющей биноминальный закон распределения
с математическим ожиданием а = М(Х) = nр
и дисперсией D(X) = npq:
.
б) для частости
события в n независимых испытаниях, в
каждом из которых оно может произойти
с одной и той же вероятностью
и имеющей дисперсию
:
.
3амечание
.
Если М(Х) > А или
,
то правые части неравенств Маркова и
Чебышева в форме соответственно
и
будутотрицательными
а в форме
и
будутбольше
1
.
Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к тривиальному результату: вероятность события больше отрицательного числа либо меньше числа, превосходящего 1.
Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.
Теорема
.
Если дисперсии n независимых случайных
величин
ограничены одной и той же постоянной,
то при неограниченном увеличении числа
n средняя арифметическая случайных
величин сходится по вероятности к
средней арифметической их математических
ожиданий
,
т.е.
☺ По условию ,, где С - постоянное число.
Получим неравенство
Чебышева в форме
для средней арифметической случайных
величин, т.е. для
.
Найдем математическое ожидание М(Х) и оценку дисперсии D(Х):
(Здесь использованы
свойства математического ожидания и
дисперсии и, в частности, то, что случайные
величины
независимы, а следовательно, дисперсия
их суммы равна сумме дисперсий.)
Запишем неравенство
для случайной величины
:
Т.к. по доказанному
,
то
,
Следовательно .
в пределе при n →
∞ величина
стремится к нулю, и получим доказываемую
формулу. ☻
Подчеркнем смысл теоремы Чебышева. При большом числе n случайных величин практически достоверно, что их средняя величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины, т.е. практически перестает быть случайной.
Следствие
.
Если независимые случайные величины
имеют одинаковые математические
ожидания, равные а, а их дисперсии
ограничены одной и той же постоянной,
то:
,
Теорема Чебышева и ее следствие имеют большое практическое значение. Например, страховой компании необходимо установить размер страхового взноса, который должен уплачивать страхователь; при этом страховая компания обязуется выплатить при наступлении страхового случая определенную страховую сумму. Рассматривая частоту/убытки страхователя при наступлении страхового случая как величину случайную и обладая известной статистикой таких случаев, можно определить среднее число/средние убытки при наступлении страховых случаев, которое на основании теоремы Чебышева с большой степенью уверенности можно считать величиной почти не случайной. Тогда на основании этих данных и предполагаемой страховой суммы определяется размер страхового взноса. Без учета действия закона больших чисел (теоремы Чебышева) возможны существенные убытки страховой компании (при занижении размера страхового взноса), либо потеря привлекательности страховых услуг (при завышении размера взноса).
ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО
Бьенеме - Чебышева,- неравенство теории вероятностей, дающее оценку вероятности отклонений значений случайной величины от ее математич. ожидания через ее дисперсию. Пусть - нек-рая с конечными математич. ожиданием и дисперсией Ч. н. состоит в том, что для любого вероятность события
Не превосходит или
Это неравенство было независимым образом открыто И. Бьенеме (I. Bienayme, 1853) и П. Л. Чебышевым (1866). В современной литературе это неравенство чаще наз. Ч. н., возможно, и потому, что С именем П. Л. Чебышева связано использование его при доказательстве обобщения больших чисел закона (теоремы Чебышева). Ч. н. является представителем целого класса однотипных неравенств, простейшее из к-рых утверждает, что для неотрицательной случайной величины Xс конечным математич. ожиданием
(иногда наз. неравенством Маркова). Из этого неравенства вытекают неравенства для произвольных случайных величин, зависящие от моментов:
(при r=
2 и само Ч. н.), а также более общее неравенство
Для неотрицательной четной неубывающей при положительных значениях хфункции f(x). Неравенство (3) указывает получения новых неравенств того же типа, напр. экспоненциального неравенства:
Сложилась традиция относить все эти неравенства к чебышевскому типу и даже наз. Ч. н. Существует общий принцип получения Ч. н. при определенных условиях на моменты, основанный на использовании системы многочленов Чебышева (см. ). Для произвольных случайных величин Ч. н. дают точные, неулучшаемые оценки, однако в нек-рых конкретных ситуациях эти оценки можно уточнить. Напр., если Xимеет с модой совпадающей с математич. ожиданием, то справедливо неравенство Гаусса:
где
Значение Ч. п. в теории вероятностен определяется в конечном счете не его точностью, а простотой и универсальностью. Большую роль Ч. н. и ого видоизменения сыграли применительно к суммам случайных величин при доказательстве различных форм закона больших чисел и закона повторного логарифма. Ч. н. для сумм независимых случайных величия было подвергнуто обобщению и уточнению в двух главных направлениях. Первое из них связано с переходом от Ч. н.
К значительно более сильному неравенству
К-рое было доказано А. II. Колмогоровым и использовано им при доказательстве больших чисел усиленного закона
(см. Колмогорова неравенство
).
Второе посвящено замене степенной оценки в Ч. н. на экспоненциально убывающую и приводит к неравенствам Бернштейна- Колмогорова:
Где
(см. Берпштейна неравенство
).
Такие уточнения Ч. н. получаются при дополнительных условиях ограниченности слагаемых X i .
Получены многомерные аналоги нек-рых из указанных здесь неравенств (см. ).
Лит.
: Чебышев И. Л., лМатем. сб.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО" в других словарях:
Неравенство Чебышёва (теория вероятностей) Неравенство Чебышёва для сумм … Википедия
1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей и оно имеет вид: а в интегральной форме ― вид: … … Большая советская энциклопедия
Для конечных монотонных последовательностей неравенство Ч … Математическая энциклопедия
В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышева см. Неравенство Чебышева. Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышева, утверждает, что если и то … Википедия
Отношение, связывающее два числа и посредством одного из знаков: (меньше), (меньше или равно), (больше), (больше или равно), (неравно), то есть Иногда несколько Н. записываются вместе, напр. Н. обладают многими свойствами, общими с равенствами.… … Математическая энциклопедия
В теории вероятностей неравенство Хёфдинга даёт верхнюю границу вероятности того, что сумма величин отклоняется от своего математического ожидания. Неравенство Хёфдинга было доказано Василием Хёфдингом в 1963 году. Неравенство Хёфдинга… … Википедия
В теории вероятностей, неравенством Колмогорова называется так называемое «неравенство максимума», ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного… … Википедия
В теории меры и теории вероятностей существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва см. Неравенство Чебышёва. Неравенство Чебышева для сумм, носящее имя Пафнутия Львовича Чебышёва, утверждает, что если и то … Википедия
В Википедии существует другое неравенство, носящее имя Чебышёва см. Неравенство Чебышёва для сумм. Неравенство Чебышёва, известное также как неравенство Биенэме Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории вероятностей. Оно… … Википедия
В Википедии существует другое неравенство, носящее имя Чебышева см. Неравенство Чебышева для сумм. Неравенство Чебышева, известное также как неравенство Биенэме Чебышева, это распространённое неравенство из теории меры и теории… … Википедия
Книги
- Теория вероятностей. Задачник. Учебное пособие для академического бакалавриата , Палий И.А.. Учебное пособие содержит задачи, охватывающие основные разделы базового курса теории вероятностей: комбинаторика, классические и геометрические вероятности, закон распределения и функция…
Огромный опыт, накопленный человечеством, учит нас, что явления, имеющие вероятность, весьма близкую к единице, почти обязательно происходят. Точно так же события, вероятность наступления которых очень мала (иными словами, очень близка к нулю), наступают очень редко. Это обстоятельство играет основную роль для всех практических выводов из теории вероятностей, так как указанный опытный факт даёт право в практической деятельности считать мало вероятные события практически невозможными, а события, происходящие с вероятностями, весьма близкими к единице, практически достоверными. При этом на вполне естественный вопрос, какова должна быть вероятность, чтобы мы могли событие считать практически невозможным (практически достоверным), однозначного ответа дать нельзя. И это понятно, так как в практической деятельности необходимо учитывать важность тех событий, с которыми приходится иметь дело.
Так, например, если бы при измерении расстояния между двумя пунктами оказалось, что оно равно 5340м и ошибка этого измерения с вероятностью 0,02 равна или больше (или меньше) 20м, то мы можем пренебречь возможностью такой ошибки и считать что расстояние действительно равно 5340м. Таким образом, в данном примере мы считаем событие с вероятностью 0,02 практически несущественным (практически невозможным) и в своей практической деятельности его не учитываем. В то же время в других случаях пренебрегать вероятностями 0,02 и даже ещё меньшими нельзя. Так, если при строительстве большой гидроэлектростанции, требующей огромных материальных затрат и человеческого труда, выяснилось, что вероятность катастрофического паводка в рассматриваемых условиях равна 0,02, то эта вероятность будет сочтена большой и при проектировании станции она должна быть обязательно учтена, а не отброшена, как это было сделано в предыдущем примере.
Таким образом, только требования практики могут нам подсказать критерии, согласно которым мы будем считать те или иные события практически невозможными или практически достоверными.
В то же время необходимо заметить, что любое событие, имеющее положительную вероятность, пусть даже близкую к нулю, может произойти. И если число испытаний, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью, очень велико, то вероятность хотя бы однократного его появления может стать сколь угодно близкой к единице. Это обстоятельство постоянно следует иметь в виду.
Из сказанного понятно, что в практической деятельности, да и в общетеоретических задачах, большое значении имеют события с вероятностями, близкими к единице или нулю. Отсюда становится ясным, что одной из основных задач теории вероятностей должно быть установление закономерностей, происходящих с вероятностями, близкими к единице; при этом особую роль должны играть закономерности, возникающие в результате наложения большого числа независимых или слабо зависимых случайных фактов.
Действительно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые мы не в состоянии. Казалось бы, что поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.
Наличие связи между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин, проявляемой в большом числе опытов, позволяет предугадывать результаты массовых случайных явлений долей уверенности. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в ряде предельных теорем, одна группа которых объединена под общим названием «Закон больших чисел», другая же – под общим названием «Центральная предельная теорема».
Закон больших чисел состоит из теорем Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы), в которых доказывается приближение при определённых условиях среднего арифметического случайных величин к некоторым случайным характеристикам. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.
В другой же группе
предельных теорем, объединённых под
общим названием «Центральная предельная
теорема», устанавливается факт приближения
при определённых условиях закона
распределения суммы
случайных величин к нормальному закону
распределения. Математически это
выражается в виде условий, которые
должны выполняться для рассматриваемых
случайных величин, то есть необходимо
выполнение некоторых условий для
случайных величин
,
при которых суммарная случайная величина
распределена по нормальному закону.
Таким образом, закон больших чисел и центральная теорема составляют две группы предельных теорем теории вероятностей, которые в совокупности позволяют вполне обоснованно осуществлять прогнозы в области случайных явлений, давая при этом оценку точности производимых прогнозов.
Теорема Чебышева
Для доказательства теоремы Чебышева (да и других теорем, в том числе) воспользуемся одноимённым неравенством. Неравенство Чебышева (как впрочем и теорема) справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Мы ограничимся, например, доказательством неравенства для непрерывной случайной величины.
НЕРАВЕНСТВО
Чебышева
1:
Вероятность того, что отклонение
случайной величины Х
,
имеющей конечную дисперсию
,
от её математического ожидания по
абсолютной величине на меньше любого
положительного числа
,
ограничена сверху величиной
,
то есть, справедливо неравенство:
.
Доказательство : По определению дисперсии для непрерывной случайной величины можем записать
.
-окрестность
точки
(см. рис.). Заменим теперь интегрирование
по всей оси интегралом по переменнойх
на множестве
.
Так как под знаком интеграла стоит
неотрицательная функция 2 ,
то результат интегрирования в результате
может только уменьшиться, то естьИнтеграл в правой
части полученного неравенства – это
вероятность того, что случайная величина
Х
будет принимать значения вне интервала
.
Значит
Неравенство доказано.
Замечание
.
Неравенство Чебышева имеет для практики
ограниченное значение, поскольку часто
даёт грубую, а иногда и тривиальную
(не представляющую интереса)
оценку. Например, если
и, следовательно,
;
таким образом, в этом случае неравенство
Чебышева указывает лишь на то, что
вероятность отклонения находится в
пределах от нуля до единицы, а это и без
того очевидно, так как любая вероятность
удовлетворяет этому условию.
Теоретическое же
значение неравенства Чебышева весьма
велико. Оценка, полученная Чебышевым,
является универсальной, она справедлива
для любых случайных величин, имеющих
и
.
ПРИМЕР
.Найти
вероятность выхода случайной величины
Х
,
имеющей математическое ожидание
и дисперсию
,
за трёхсигмовые границы.
Решение . Воспользуемся неравенством Чебышева:
Сравним полученный результат с тем, который следует из правила трёх сигм для нормального закона распределения:
Нетрудно сделать ВЫВОД : случайные величины, встречающиеся на практике, чаще всего имеют значительно меньшую вероятность выхода за трёхсигмовые границы, чем 1/9. Для них область является областью практически возможных значений случайной величины.
ТЕОРЕМА Чебышева (частный случай): Пусть Х 1 , Х 2 , …, Х n – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание М (Х ), и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С ). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию, то есть имеет место равенство:
.
Доказательство
.
Применим к случайной величине 
неравенство
Чебышева:
.
Заметим (по условиям
теоремы), что для дисперсии
справедливы соотношения:
То есть
.
Тогда, согласно неравенству Чебышева
.
Переходя к пределу
при
получаем
.
А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда и следует утверждение теоремы.
Теорема Чебышева была обобщена на более общий случай, доказательство которой проводится аналогично доказательству, предложенному выше.
ТЕОРЕМА Чебышева (общий случай): Пусть Х 1 , Х 2 , …, Х n – попарно независимые случайные величины, и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С ). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть имеет место равенство:
.
Сущность теоремы Чебышева
Сущность доказанной
теоремы такова: хотя отдельные независимые
случайные величины могут принимать
значения далёкие от своих математических
ожиданий, среднее арифметическое
достаточно большого числа случайных
величин с большой вероятностью принимает
значения близкие к определённому
постоянному числу, а имен к числу 
(или к числу
в частном случае). Другими словами,
отдельные случайные величины могут
иметь значительный разброс, а их среднее
арифметическое рассеянно мало.
Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть какое значение примет их среднее арифметическое.
Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины . Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.
Значение теоремы Чебышева для практики
Приведём примеры применения теоремы Чебышева к решению практических задач.
Действительно, рассмотрим результаты каждого измерения как случайные величины Х 1 , Х 2 , …, Х n . К этим величинам может быть применена теорема Чебышева, если: 1) они попарно независимы, 2) имеют одно и то же математическое ожидание, 3) дисперсии их равномерно ограничены.
Первое требование выполняется, если результат каждого измерения не зависит от результатов остальных измерений.
Второе требование
выполняется, если измерения произведены
без систематических (одного знака)
ошибок. В этом случае математические
ожидания всех случайных величин одинаковы
и равны истинному размеру
.
Третье требование выполняется, если прибор обеспечивает определённую точность измерений. Хотя при этом результаты отдельных измерений различны, но рассеяние их ограничено.
Если все указанные
требования выполнены, мы вправе применить
к результатам измерений теорему Чебышева
(частный случай): при достаточно большом
- числе измерений вероятность неравенства
как угодно близка к единице. Другими словами, при достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины.
Итак, теорема Чебышева указывает условия, при которых описанный способ измерения может быть применим 1 .
На теореме Чебышева основан широко применяемый в статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что по сравнительно небольшой случайной выборке судят обо всей совокупности (генеральной совокупности) исследуемых объектов. Например, о качестве кипы хлопка заключают по небольшому пучку, состоящему из волокон, наудачу отобранных из разных мест кипы. Хотя число волокон в пучке значительно меньше, чем в кипе, сам пучок содержит достаточно большое количество волокон, исчисляемых сотнями.
В качестве другого примера можно указать на определение качества зерна по небольшой его пробе. И в этом случае число наудачу отобранных зёрен малó сравнительно со всей массой зерна, но само по себе оно достаточно великó.
Уже из приведённых примеров можно заключить, что для практики теорема Чебышева имеет неоценимое значение.
1
Есть и другая формулировка: Вероятность
того, что отклонение случайной величины
Х
от её математического ожидания по
абсолютной величине меньше положительного
числа
,
не меньше чем
,
то есть справедливо неравенство
.
2
Напомним, что
R
1
Однако ошибочно думать, что увеличивая
число измерений можно достичь сколь
угодно большой точности. Дело в том,
что сам прибор даёт показания лишь с
точностью
;
поэтому каждый из результатов измерений,
а следовательно и их среднее арифметическое,
будут получены лишь с точностью, не
превышающей точности прибора.
