1. Построение номограммы зависимости P z= f (t, S).
Зависимость силы P z от глубины t и подачи S выражается формулой:
P z = 10С pzt x pz S y pz V n K pz ,Н
Значения С pz , X pz , Y pz , K pz выбираем по таблицам общемашиностроительных нормативов или соответствующим таблицам (2) также, как и при аналитическом методе расчета режима резания; С pz = 300 ; X pz = 1; Y pz = 0.75; K pz = 0,8.
Задаваясь различными значениями глубины (при S = 1 мм/об), будем иметь различные значения силы:
, Н;
| t,мм | 0,5 | 1,5 | 2,5 | 3,5 | ||||
| P z , Н | ||||||||
| lgP z | 2.079 | 2.38 | 2.556 | 2.681 | 2.778 | 2.857 | 2.924 | 2.982 |
На оси ординат откладываем значение силы P z , на оси абсцисс – значения подачи S. P zmax берем из условия прочности станка:
, Q м.п = 6000 Н (по паспорту станка 16К20);
Н;
P zmin рассчитываем, считая, что наименьшая глубина резания будет примерно 0,5 мм, а наименьшая подача (по станку) – 0,07 мм/об.
P zmin =10 300 0,5 0,07 0,075 0,8 = 163 Н.
Принимаемый диапазон сил: 200 – 15000 Н.
Диапазон подач берем по станку: 0,07 – 4,16 мм/об. На линии ординат (при S = 1 мм/об) откладываем значения полученных сил и через соответствующие точки проводим прямые линии под углом α = 37 (tg α = Y pz = 0,075).
При S = 0,195 P z = 190 Н
2. Построение номограммы зависимости v=f(t,s)
Зависимость скоростиV от глубины t и подачи s выражается формулой:
V=C v *K v /(T m *t x v *S y v) , м/мин
Номограмма строится в логарифмических координатах. По оси ординат откладывают скорость резания lgV, а по оси абсцисс – подачу lgS.
При постоянном значении глубины резания (C v K v /T m t x v =C)
V=C/S y v
После логарифмирования получим уравнения прямой линии, наклоненной к оси абсцисс под углом a 1 (tg a 1 =у V)
lg V=lgC-y v lgS
Для различных значений t получаем ряд прямых линий. При построении монограммы удобно принять S=1мм/об.
Задаваясь различными значениями глубины резания, имеем соответствующие им значения скорости резания:
| t,мм | 0,5 | 1,5 | 2,5 | 3,5 | ||||
| V , м/мин | 93,93 | 84,657 | 79,66 | 76,3 | 73,8 | 71,8 | 68,76 | |
| lgV | 1,973 | 1,928 | 1,9 | 1,883 | 1,87 | 1,86 | 1,85 | 1,84 |
Отложив на оси абсцисс S=1мм/об, проводим вертикальную линию и на ней наносим точки, соответствующие V 1 ,V 2 ,...V n . Через них проводим прямые линии под углом a 1 = 17 (tg a 1 =у V).
При S = 0,195 V = 69 м/мин
3. Построение номограммы зависимости v=f(D,n)
Зависимость скоростиV от диаметра заготовки D и числа оборотов n выражается формулой
V=pDn/1000 ,м/мин.
Номограмма строится в логарифмических координатах. По оси ординат откладывают скорость резания lgV, а по оси абсцисс – диаметр детали lgD.
Приняв pn/1000 = С , получим V=CD
После логарифмирования получим уравнение прямой, наклоненной к оси абсцисс под углом a 2 = 45º (tg45º = 1).
lgV = lgC+ 1lgD (46)
Для различных n получаем ряд прямых линий. При построении номограммы удобно принять D=100мм, тогда
V=pn/10 , м/мин. (47)
Подставляя в формулу различные значения чисел оборотов(по станку), получим соответствующие им значения скорости резания:
| n,мм | ||||||||
| V , м/мин | 50,265 | 78,54 | 98,96 | 125,664 | 157,08 | 197,92 | 251,33 | 392,7 |
| lgV | 1,7 | 1,89 | 1,995 | 2,099 | 2,196 | 2,296 | 2,4 | 2,59 |
Отложив на оси абсцисс D = 100 мм, проведем вертикальную линию, на ней отметим точки, соответствующие значениям найденных скоростей (V 1 , V 2 , …,V n ). Через эти точки проведем линии под углом 45 0 к оси абсцисс.
При D = 100мм V = 79 м/мин
4.Посроение номограммы зависимости P z = f(M кр, D)
Зависимость P z (сила, допускаемая крутящим моментом станка - M кр) от M кр и D выражается уравнением
Номограмма строится в логарифмических координатах. По оси ординат откладывается сила резания lgP z , по оси абсцисс – диаметр детали lgD.
Логарифмируя приведенную выше зависимость, получим
lgP z = lg(2·M кр) - 1·lgD
Это уравнение прямой линии, проведенное под углом 45 0 к оси абсцисс. Для различных значений крутящих моментов получим ряд прямых линий. При построении номограммы удобно принять
D = 100 мм, тогда
Подставляя в формулу различные значения крутящих моментов (для разных ступеней чисел оборотов станка), определяются соответствующие им значения P z:
| М,Н*м | ||||||||
| P z , Н | 10,24 | 7,02 | 5,58 | 4,4 | 3,52 | 2,78 | 2,38 | 2,2 |
| lgP z | 1,01 | 0,846 | 0,747 | 0,643 | 0,547 | 0,444 | 0,377 | 0,342 |
Отложив на оси абсцисс D = 100 мм, проведем вертикальную линию, на которой отметим точки, соответствующие найденным значениям P z (P z 1, P z 2 , … , P zn).
Через эти точки проведем линии под углом 45 0 к оси абсцисс.
При D =100 Pz= 7 Н
5. Построение номограммы зависимости t 0 = f(n,S).
Зависимость основного времени t 0 от n и S выражается
где L – длина рабочего хода резца, мм.
Целесообразно строить номограмму для L = 100 мм (или другого постоянного значения, например, L = 10 мм). Номограмму строят в логарифмических координатах. По оси ординат откладывают основное время lgt 0 , по оси абсцисс - подачу lgS.
1. Номограмма Киреева для определения давления пара при разных температурах 35 (рис. 77).
В середине номограммы помещена общая для обеих ее частей шкала давлений, по бокам - шкалы температур. На шкале давлений отложены lgP, на шкале температур 1 / T .
Каждому веществу на номограмме отвечает одна точка, выражающая зависимость температуры кипения вещества от давления. Прямая, проходящая через эту точку (называемую Киреевым "точкой жидкости"), пересекает оси в соответствующих точках, показывающих давление пара вещества при данной температуре (или температуру кипения его при данном давлении). Например, прямая МN показывает, что температура кипения хлорбензола (точка 22) при давлении 64 мм равна 60° С.
Номограмма Киреева позволяет избежать трудоемких аналитических расчетов, точность которых не всегда оправдана, для нахождения зависимости между давлением пара и температурой кипения вещества. На основании имеющихся данных по давлению пара жидкости при двух температурах можно определить положение "точки жидкости" как места пересечения двух прямых, соединяющих соответствующие точки на шкалах давлений и температуры; это показано пунктирными линиями для бензола (точка 15). Кроме того, с помощью номограммы можно, правда с еще меньшей точностью, графически определять зависимость давления пара от температуры жидкостей, для которых известна лишь одна температура кипения (большей частью температура кипения при атмосферном давлении). Оказалось, что "точки жидкостей" лежат почти точно на прямой RS или симметричной ей прямой R"S". Пересечение прямой, соединяющей соответствующие точки на шкалах давления и температур с прямой RS или R"S", определяет "точку жидкости" в последнем случае.
Прямая RS соединяет "точки жидкостей" неполярных веществ, зависимость давления пара которых от температуры рассчитана по гексану (см. стр. 13); прямая R"S" соединяет точки полярных жидкостей, рассчитанные по воде. Номограмма может быть легко построена в любом масштабе для разных жидкостей и даже, как указывает Киреев, для смесей жидкостей.
2. Номограмма для определения относительной летучести двойных смесей углеводородов (рис. 78) (см. стр. 18).
3. Номограмма для определения минимального флегмового числа 83 (рис. 79).
Находят точку пересечения радиальной прямой, отвечающей содержанию легколетучего компонента в жидкости куба, и кривой, которая соответствует относительной летучести данной смеси. Линейкой соединяют найденную точку и точку на правой оси, отвечающую содержанию легколетучего компонента в дестиллате. Точка пересечения линейки и левой оси будет соответствовать минимальному флегмовому числу.
4. Номограмма для расчетов по ректификации 83 (рис. 80).
Номограмма состоит из двух частей - левой, позволяющей определять минимальное число теоретических тарелок, и правой, которая дает возможность по минимальному числу теоретических тарелок находить число теоретических тарелок в рабочих условиях при определенном флегмовом числе.
Рис. 77. Номограмма для определения давления пара при разных температурах: 1 - SiH 3 CH 3 ; 2 - СН 2 =СН=СН 2 ; 3 - СН 3 Сl; 4 - СН 2 =СНСl; 5 - бутадиен-1, 3; 6 - С 2 Н 5 Сl; 7 - изопрен; 8 - метилформиат; 9 - н-пентан; 10 - С 2 Н 5 Вr; 11 - СН 2 Сl 2 ; 12 - этилформиат; 13 - СНСl 3 ; 14 - н-гексан; 15 - бензол; 16 - этилацетат; 17- С 6 Н 5 F; 18 - н-гептан; 19 - толуол; 20 - н-октан; 21 - н-октан; 22 - С 6 Н 5 Сl; 23 - С 6 Н 5 Вr; 24 - н-декан; 25 - С 6 H 5 J; 26 - нафталин; 27 - NH 3 ; 28 - CH 3 NH 2 ; 29 - CH 3 COCH 3 ; 30 - СН 3 ОН; 31 - С 2 Н 5 ОН; 32 - Н 2 O; 33 - СН 3 СООН; 34 - C 2 Н 5 СООН; 35 - изо-С 3 Н 7 СООН; 36 - н-бутиленгликоль; 37- НОСН 2 СН 2 ОН; 38 - глицерин; 39 - Hg; А - В. Водные растворы аммиака, содержащие 5, 10, 15, 20, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65 70 75 80 85, 90, 95 и 100 вес. % NH 3 (приведено только общее давление пара раствора)
Абсцисса - относительная летучесть; ордината - разность температур кипения.
Вычисление эффективности колонки, необходимой для разделения данной смеси. Предварительно находят относительную летучесть α для данной двойной смеси или определяющей пары сложной смеси (см. стр. 155). Устанавливают желательный или допустимый минимальный состав дестиллата и жидкости куба (например, при содержании нижекипящего компонента в жидкости куба 0,05 молярных долей колонка должна давать дестиллат, содержащий не ниже 0,98 молярных долей этого компонента). Затем на нижней левой части номограммы находят точку пересечения прямых, отвечающих концентрациям нижекипящего компонента в дестиллате и жидкости куба (пунктирная линия). Из точки пересечения проводят вертикальную линию до кривой относительной летучести, соответствующей предварительно найденной величине. Из точки пересечения вертикальной линии и кривой а проводят горизонтальную линию влево до оси N.
Зная эффективность колонки при полном возврате и относительную летучесть смеси, можно определить составы дестиллата при разных составах жидкости в кубе.
Приведенный способ применим для расчетов результатов ректификации при полном орошении.
Если желательно найти требуемую эффективность колонки в рабочих условиях, то следует также определить минимальное флегмовое число для данной двойной смеси или для определяющей пары сложной смеси и минимальное число теоретических тарелок, как это указано выше, и установить, при каком флегмовом числе будет происходить перегонка. Затем из точки на оси флегмового числа, соответствующей выбранной величине (правая нижняя часть номограммы), проводят горизонтальную прямую до пересечения с кривой минимального флегмового числа (см. пунктир). Из точки пересечения проводят вертикаль до горизонтальной прямой, отвечающей минимальному числу теоретических тарелок. Положение найденной таким образом точки относительно кривых определяет число теоретических тарелок в рабочих условиях.
Пользуясь номограммой, можно определять число теоретических тарелок по найденному числу эквивалентных тарелок. Для этого находят точку пересечения вертикальной прямой на правой части номограммы, построенной, как указано выше, с горизонтальной прямой, идущей от шкалы Nмин. и отвечающей числу эквивалентных тарелок. Положение найденной точки по отношению кривых правой верхней части номограммы определяет число теоретических тарелок. Соответствующая цифра на оси Nмин. и дает искомую величину.
Определение числа теоретических тарелок по Оболенцову и Фросту (см. стр. 111)
Порядок графического расчета (см. цифры в кружках на схеме построения, рис. 81):
1. Соединяют прямой точку на правой части шкалы концентраций 1, отвечающую содержанию нижекипящего компонента в дестиллате х д, с точкой на шкале а, соответствующей молярной доле дестиллата от загрузки.
2. Соединяют точку на правой части шкалы концентраций I, отвечающую содержанию нижекипящего компонента в загрузке x загр. , с точкой пересечения первой построенной прямой и линией МN. Построенную прямую продолжают до шкалы дестиллата.
3. Из найденной точки пересечениядрамой и шкалы дестиллата проводят горизонтальную линию до кривой l. Из точки пересечения опускают вертикальную линию до прямой КL.
4. 5, 6. Делают аналогичное построение на левой части шкалы концентраций II и кривой II. Вертикальную линию проводят до линии
7. Соединяют найденные точки на линиях и КL и продолжают прямую до пересечения с линией РQ.
8. Из найденной на линии РQ точки опускают вертикальную линию до кривой III. От найденной на кривой точки проводят горизонтальную линию до линии FG.
9. Соединяют точку, найденную на линии FG, с точкой на шкале а, отвечающей относительной летучести перегоняемой смеси, и продолжают прямую до шкалы N - числа теоретических тарелок.
Номография
Геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно. Разработка теории номографических построений началась в XIX веке. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Л. К. Лаланном (1843). Основания общей теории номографических построений дал М. Окань (фр.) (1884-1891) - в его же работах впервые появился термин «номограмма », установленный для применения в 1890 году Международным математическим конгрессом в Париже. Первым в России в этой области работал Н. М. Герсеванов (1906-1908), затем, создавший советскую номографическую школу, Н. А. Глаголев .
Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертёж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.
Номограммы различают по способу изображения значений переменных (точками или линиями) и по способу задания соответствия между изображениями переменных. Наиболее распространены следующие номограммы:
| из выравненных точек | Для уравнений с тремя переменными применяют три шкалы, которые построены так, что три точки, удовлетворяющие уравнению, лежат на одной прямой - отсюда и название типа номограммы. Именно с них началось развитие номографии - раздела математики, объединяющего теорию и практические методы построения номограмм. |
| сетчатые | Для построения сетчатых номограмм из прямых линий применяются функциональные сетки, простейшими из которых являются логарифмическая и полулогарифмическая. Кроме прямой линии могут применяться и другие так называемые разрешающие индексы номограммы
: окружности (Годсель), произвольная кривая (Швердт), катеты чертёжного угольника (Сиглер) и т.д. |
| транспарантные | В простейшем случае состоит из двух плоскостей: основной плоскости и транспаранта с изображениями на них переменных. Транспарант часто делается из прозрачного материала. Пример транспарантной номограммы - логарифмическая линейка . |
При построении сетчатых номограмм может быть поставлена дополнительная задача, анаморфоза: найти такое преобразование, при котором все три семейства линий номограммы обращаются в семейства прямых, что упрощает её вычерчивание.
Для уравнений со многими переменными применяются составные номограммы, состоящие из номограмм, связанных общими шкалами или семействами линий.
См. также
Литература
- Номография - статья из Большой советской энциклопедии
Ссылки
- Java Applet (англ.) для создания простейших номограмм.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Смотреть что такое "Номограмма" в других словарях:
Номограмма … Орфографический словарь-справочник
Номограмма - особый график, позволяющий не вычислять значение к. л. величины по формулам, а узнавать это значение, наложив на Н. линейку и сделав засечку циркулем. См. пример Н.: Номограмма для нахождения квадратов чисел от 1 до 10. Показано 8,52 = 72,25 … Издательский словарь-справочник
График, номография Словарь русских синонимов. номограмма сущ., кол во синонимов: 2 график (17) … Словарь синонимов
номограмма - Чертеж, позволяющий заменять вычисление по формулам выполнением простейших геометрических построений, по которым с помощью ключа считываются ответы. [ГОСТ Р 7.0.3 2006] номограмма [Лугинский Я. Н. и др. Англо русский словарь по электротехнике и… … Справочник технического переводчика
График, позволяющий определить результат вычислений графическим путем, без дополнительных расчетов, с помощью специальных таблиц, представляющих собой значения переменных и результирующей величины. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов
- (от греческого nomos закон и...грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений.… … Современная энциклопедия
См. в ст. Номография … Большой Энциклопедический словарь
НОМОГРАММА, номограммы, жен. (от греч. nomos закон и gramma мера веса) (мат.). График геометрических величин, применяемый при различных расчетах. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
- (Nomogram, nomograph) графическое отображение в числовых пометках математического выражения, позволяющее во много раз сократить вычислительную работу. Н. применимы всюду, где не требуется большой точности расчетов, и предохраняют от случайных… … Морской словарь
Чертеж, изображающий функциональную зависимость между несколькими переменными величинами. Каждый чертеж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значении переменных в этой области изображено на нем определенным геометрическим… … Геологическая энциклопедия
- (от греч. nomos закон, порядок и grapho пишу) англ. nomogram/nomograph; нем. Nomogrатт. Чертеж, изображающий функциональную зависимость между величинами, дающий возможность без вычислений найти значение одной переменной по данным значениям… … Энциклопедия социологии
Книги
- Сборник номограмм для химико-технологических расчетов , А. К. Чернышев, К. Л. Поплавский, Н. Д. Заичко. В сборнике приведено 225 номограмм и диаграмм, с помощью которых можно быстро и достаточно точно определить основные характеристики различных веществ (коэффициентывязкости, теплопроводности,…
Номография - слово греческое. Номос - закон, графо - пишу, черчу. В буквальном переводе это слово означает ² черчение закона² .
Своей задачей номография ставит построение специальных графиков - номограмм, служащих для решения различных уравнений. Номограммы дают возможность компактно представлять функции многих переменных и таблицы с несколькими входами. На номограммах можно решать некоторые трансцендентные уравнения и системы таких уравнений. Номограммы можно применять не только для вычислительных целей, но и для исследования положенных в их основу функциональных зависимостей.
Наглядность представления различных закономерностей и простота использования номограмм при достаточно высокой точности результата обеспечивают широкое использование номограмм в различных областях техники.
В основе номограмм лежит понятие функциональной шкалы (см. выше). На основе функциональных шкал создаются не только номограммы, но и различные вычислительные средства: универсальные вычислительные номограммы, логарифмические линейки и т.п.
В данной главе излагается один из возможных видов номограмм - номограммы в декартовой системе координат, имеющие достаточно широкое использование в машиностроении.
4.1. Номограммы в декартовой системе координат
В разделах 3.1., 3.2. описана процедура построения графиков для функции одного переменного. При этом на графике получается одна линия (прямая или кривая).
Если же изучаемая функция зависит от двух переменных
то придавая в этом уравнении, например, параметру y ряд частных (постоянных) значений y 1 , y 2 , ..., y n можно, как и для функции одного переменного, построить зависимости
Z = ¦ (х, y 1);
Z = ¦ (х, y 2);
...................
Z = ¦ (х, y n).
Получим систему кривых (в частном случае прямых), называемых номограммой из ² помеченных² линий, т.к. каждая линия помечается соответствующим значением y i .
Пример. При исследовании процесса фрезерования было установлено, что наиболее целесообразно величину радиального биения смежных зубьев фрезы назначать по условию обеспечения участия в процессе резания всех зубьев фрезы. Аналитически это условие выражается уравнением
где S z - расчетная величина подачи на зуб, мм/ зуб;
k = - параметр операции;
D - диаметр фрезы, мм;
t - глубина резания, мм;
D - величина биения смежных зубьев фрезы, мм.
Как видно, S z = ¦ (k, D) является функцией двух параметров. Здесь можно отметить, что, фактически S z = ¦ (D, t, D), т.е. функцией трех параметров, но два параметра (D, t) заменены одним - k = , легко определяемым и уменьшающим количество переменных. Данный прием широко используется в номографии.
Теперь необходимо определиться с осями и помеченным параметром. В качестве оси ординат, в соответствии с функциональной зависимостью, рационально принять S z . В качестве же оси абсцисс можно принять либо k, либо D . Если в качестве оси ординат принять k (а помеченным параметром D i), то зависимость
S z = ¦ (k, D i)
будет получаться криволинейной, в соответствии с закономерностью . Проще строить и использовать прямолинейные графики при равномерных шкалах. Поэтому стараются номограммы строить на основе прямых линий. Поэтому лучше будет строить номограмму из помеченных линий вида
S z = ¦ (D , K i),
где 
.
Теперь выбираем масштаб построения и диапазоны изменения переменных. С учетом условий процесса фрезерования принимаем D £ 0,08 мм; S z £ 0,20 мм/ зуб. Параметр k изменяем дискретно k = 2; 5; 10; 20; 30; 40; 50. Так как зависимость S z = ¦ (D , K i) является прямой линией, проходящей через начало координат, то для построения графиков достаточно вычислить только одно значение S z при каком - либо значении D . Например, для k = 2, при D = 0,06 мм имеем
(мм/зуб).
Теперь через точки (0; 0) и (0,06; 0,06) можно провести прямую линию и пометить ее параметр k = 2. Аналогично проводятся и другие линии. На номограмме наносится линия, показывающая порядок ее использования.
4.2. Составные номограммы с помеченными линиями
Номограмму в одной четверти можно построить для функции двух переменных. При большем числе переменных это сделать уже нельзя. В этом случае используют составные номограммы. Идею построения рассмотрим сначала в общем виде.
Пусть нам дано уравнение в неявном виде с четырьмя переменными
¦ (х, y, z, h) = 0.
Допустим, что его можно привести к виду
¦ 1 (х, y) = ¦ 2 (z, h),
т.е. можно разделить переменные. Положим
¦ 1 (х, y) = g ;
¦ 2 (z, h) = g .
Мы получим два уравнения, зависящих от двух переменных. Каждое из этих уравнений можно номографировать, как описано выше. Обеспечив отсчет величины g на одинаковой функциональной шкале, можно обойтись и без численных значений g (если они нас не интересуют по условиям решаемой задачи).
Аналогично поступают и с уравнениями с большим числом переменных, которое будет приводить к увеличению числа общих шкал и большему числу четвертей построения номограммы. Нужно только иметь в виду, что не всякое уравнение допускает разложение на несколько уравнений с двумя переменными и, следовательно, не всякое уравнение удается таким образом номографировать.
Рассмотрим реальный пример построения составной номограммы.
При исследовании процесса фрезерования было установлено, что сила резания при фрезеровании узких поверхностей приобретает характер повторяющихся импульсов не гармонической формы. И возмущение технологической системы осуществляется не на одной, а в бесконечном диапазоне частот. Наиболее опасно воздействие первых трех гармоник, несущих значительно больше энергии возмущения, чем все другие. Распределение энергии по этим трем гармоникам осуществляется в зависимости от отношения фронтов нарастания и спада силы в импульсе. Это отношение можно характеризовать отношением углов контакта фрезы (j) и зуба фрезы (y) с заготовкой. Причем всегда j ³ y .
Для наглядного представления и определения характера распределения энергии по трем гармоникам в зависимости от условий операции построим номограмму.
В одной из четвертей первоначально отражается характер распределения энергии по гармоникам возмущения в зависимости отj / y (рис. 15). Эти зависимости построены из результатов исследований, которые здесь не отражаются. Коэффициент Х 2 характеризует² удельный вес² энергии данной гармоники в общем силовом возмущении. Диапазон j / y = 1...9.
Теперь отношение j / y раскрываем в параметрах инструмента и операции
.
Видно, что здесь четыре переменных величины: D, t, B, w .
Введем промежуточную ось С и построим номограмму из помеченных линий для одной из переменных величин, а именно В i
Видно, что это уравнения прямых линий, проходящих через начало координат. Задаваясь одним значением j / y и В i можно провести ее график. Например, при j / y = 5, В i = 5 получим С = 2× 5×5 = 50. Аналогично поступаем для В i = 10; 15; 20.
L = 50× tg 45° =50. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì и äëÿ äðóãèõ óãëîâ w i = 15° ; 30° ; 60° ; 75°. Проводим прямые линии через начало системы координат и помечаем значение угла w i каждой линии.
Таким образом осталась одна взаимосвязь параметров
.
Здесь необходимо определиться с параметром, направленном по оси и ² помеченным² параметром. В любом случае зависимость нелинейная. Кроме того, глубина резания является задаваемым параметром и его лучше взять в качестве ² помеченного²параметра. Для построения помеченных линий нужно определить несколько координат каждой линии.
Рассмотрим ² помеченную² линию t = 5 мм. В качестве переменного параметра принимаем диаметр фрезы D. При D = 25; 50; 100; 150; 200 мм соответственно имеем
По найденным точкам строится линия для t = 5 мм. Аналогично поступают и для других значений t.
Указаны промежуточные оси С, L, которые при использовании номограммы не нужны и могут не указываться, указаны и частные зависимости для каждой четверти номограммы.
Полученная номограмма наглядно показывает, что распределение энергии по гармоникам возмущения технологической системы определяется условиями операции, изменяя которые можно воздействовать на возмущение технологической системы.
Для исключения резонансных явлений необходимо знать спектр собственных частот системы и согласовывать условия операции с их значениями, уменьшая количество энергии на ² резонансной² частоте. Эти данные, как правило, отсутствуют. Поэтому используя номограмму можно скорректировать условия операции. Для этого по известным параметрам фрезы, которая показала неудовлетворительные результаты, и элементам режима резания необходимо определить распределение энергии по гармоникам возмущения и выбрать другое распределение. Так как глубину резания и ширину фрезерования изменять, как правило, невозможно, а изменение угла наклона режущей кромки часто нецелесообразно по условиям стойкости инструмента, то новое распределение энергии можно получить изменив диаметр фрезы (в большую или меньшую сторону по сравнению с первоначальным). При этом необходимо сохранить прежним относительное число зубьев (z/D) и скорость резания, так как число оборотов и зубьев фрезы играют самостоятельную роль в определении частотного диапазона возмущения (inz).
Как видно из изложенного, номограмма может существенно помогать в управлении процессом резания, на основе заложенных в нее функциональных зависимостей.
Контрольные вопросы
1. Сущность и назначение номографии;
2. Функцию какого числа переменных можно отразить в одной четверти декартовой системы координат?
3. Понятие номограммы из ² помеченных² линий;
4. Сущность составной номограммы и промежуточной функциональной шкалы.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММ В ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ МЕДИЦИНЕ.
Научный руководитель ─ учитель математики
Русская классическая гимназия №2, г. Томск
ПЛАН
1. Понятие о номографии.
2. Номограмма переносимости низких температур в зависимости от теплоизолирующих свойств одежды.
3. Расчет времени переносимости человеком холода в одежде с различной теплоизоляцией при разнообразных условиях и физической нагрузке.
4. Математическое моделирование вопросов выживания человека в холодной воде.
5. Заключение.
6. Используемая литература.
1. ПОНЯТИЕ О НОМОГРАФИИ
На производстве, в технике, медицине, в военном деле при вычислениях массового характера широко применяются номограммы - специальные чертежи, дающие возможность быстро получать готовые результаты сложных вычислений.
Номография - часть математики, которая устанавливает способы построения и использования номограмм - позволяет производить математическое моделирование различных видов деятельности человека. Творцом общей теории номограмм является французский математик Морис Окань (1862 – 1932), опубликовавший ряд работ по теории «считающих чертежей». Он и назвал их «номограммами» (от греческого номос - закон, грамма – запись). Основную роль в построении номограмм играет градуирование шкал. С помощью номограмм можно быстро выполнить расчеты, которые позволяют осуществить контроль различных производственных процессов, принять правильные управленческие решения в экстремальных ситуациях, помогают ускорить постановку диагноза заболеваний человека, определить возможный исход поражений при воздействии неблагоприятных факторов среды на организм.
Математическое моделирование с помощью номограмм в медицине, в том числе и экстремальной, осуществляется по следующей схеме:
1. Выявляется математическое правило, на основании которого строится номограмма – формула или таблица, с помощью которой задана некоторая определенная функция;
2. Устанавливается область определения функции;
3. Отбираются значения параметра, для которых строятся графики функции;
4. Строится график функции для каждого значения параметра.
Я решила изучить применение данной схемы в медицинской практике, рассмотрев построение номограмм при изучении вопросов выживания человека в экстремальных ситуациях, связанных с воздействием на организм низких температур.
2. НОМОГРАММА ПЕРЕНОСИМОСТИ
НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТЕПЛОИЗОЛИРУЮЩИХ СВОЙСТВ ОДЕЖДЫ
Где бы ни оказались люди, терпящие бедствия, - среди льдов Центрального полярного бассейна или в заснеженной тундре, - главным их врагом с первых же минут становится холод. Борьба с холодом, с воздействием на организм низких температур - важнейшая проблема автономного существования человека, особенно зимой.
Очевидно, что большое значение в предупреждении поражений холодом будет играть одежда, которая для пребывания на морозе должна обладать низкой теплопроводностью и высокой воздухопроницаемостью. Существует прямая зависимость времени, в течение которого организм человека сохраняет тепловой комфорт, от величины температуры окружающей среды и теплоизолирующих свойств одежды. Эта зависимость иллюстрируется номограммой (рис. 1).
На графике А, данной номограммы видно, что человек, одетый в летний комбинезон, при температуре минус 5˚ будет испытывать тепловой комфорт не более получаса. Столько же времени пройдет, если его одеть в шерстяное белье и ватную куртку при наружной температуре воздуха минус 30˚ (Б) или комплект, состоящий из шерстяного белья, свитера и меховой куртки с брюками при температуре минус 50˚ (В). А если добавить к меховой куртке подстежку (Г), человек начнет мерзнуть через 45-60 минут. Номограмма американского ученого С. Лутц показывает, что рано или поздно теплопотери окажутся больше, чем теплопродукция, и начнется охлаждение организма. Процесс этот начинает быстро развиваться при температуре -12˚.
Мною был проведен опыт, доказывающий что эта номограмма действительно верна: несколько человек, одетых в летнюю одежду при температуре минус 5˚ вышли на улицу. Большинство из них испытывало тепловой комфорт около 20-25 минут, и лишь два человека смогли испытывать тепловой комфорт 25-30 минут. При температуре минус 30˚ люди, одетые в теплую ватную куртку, шерстяные свитера, ватные брюки испытывали тепловой комфорт в течение 20-25 минут. К сожалению, опыт при температуре минус 50˚ мне провести не удалось. Но проведенные мной опыты доказали, что номограмма составлена верно.
3. РАСЧЕТ ВРЕМЕНИ ПЕРЕНОСИМОСТИ ЧЕЛОВЕКОМ ХОЛОДА
В ОДЕЖДЕ С РАЗЛИЧНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ ПРИ РАЗНООБРАЗНЫХ УСЛОВИЯХ И ФИЗИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ
Российские ученые В. И Кричагин, и А. И Резников составили специальную номограмму для расчетов ориентировочного времени переносимости человеком холода в одежде с различной теплоизоляцией при разнообразных условиях и физической нагрузке. В основу номограммы была положена формула:
Q=http://pandia.ru/text/80/162/images/image003_157.gif" width="11" height="20 src=">/час, обеспечивающая состояние комфорта у человека, находящегося в состоянии покоя, при теплообразовании 50ккал/м/час; thttp://pandia.ru/text/80/162/images/image005_76.jpg" width="420" height="397">
Вторая (нижняя) часть номограммы позволяет вычислить дефицит тепла в организме по формуле Д = Q – M, где Д - дефицит тепла в организме (Д, равное 80 ккал/час, соответствует переходу в состояние дискомфорта II степени, а Д, равное 180 ккал/час - III степени; Q - общие теплопотери (в ккал/час) организма, определяемые по верхней части номограммы; M-теплопродукция организма (в ккал/час). Пользуясь этой номограммой, можно решать любые задачи по прогнозированию допустимых интервалов времени пребывания человека на холоде.
Выбранная величина теплоизоляции одежды откладывается на шкале I. На этом уровне проводится горизонталь до пересечения с линией, обозначающей заданную температуру воздуха. Из этой точки опускается перпендикуляр до дугообразной линии, которая имеет соответствующие обозначение уровня физической нагрузки (в ккал/час); из последней точки проводится горизонталь до пересечения с правой или левой шкалой, где указано время наступления дискомфорта II или III степеней, при которых создается угроза трудоспособности человека.
Если числовые значения энерготрат находятся правее вертикали, проведенной от первой точки пересечения в нижнюю половину номограмм, то это значит, что теплозатрата через данную одежду недостаточна и организм будет перегреваться. Таким образом, по номограмме можно получать и количественную характеристику перегревания организма.
4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОПРОСОВ ВЫЖИВАНИЯ ЧЕЛОВЕКА В ХОЛОДНОЙ ВОДЕ
Математическое моделирование вопросов выживания человека в холодной воде является чрезвычайно важной задачей и прежде всего для организации и проведения спасательных и медицинских мероприятий.
Известно, что даже в тропиках, где температура океанской воды относительно высока, время пребывания в ней человека ограничено, поскольку она все-таки ниже температуры тела. В результате организм непрерывно теряет тепло и температура тела, постепенно снижаясь, рано или поздно достигает критического предела, при котором невозможна жизнедеятельность организма и его систем. И это не случайно, ведь теплопроводность воды в 27 раз больше, чем воздуха. При температуре воды 22˚ человек за 4 минуты теряет 100 ккал, т. е. примерно столько же, сколько на воздухе при той же температуре за час.
Известно, что в апреле 1912 года при гибели «Титаника» от столкновения с айсбергом , спасательные суда, приняв сигнал бедствия, прибыли на место катастрофы всего через 1 час 50 минут. Они подняли на борт людей, находившихся в шлюпках. Но ни одного из 1489 пассажиров оказавшихся в воде, спасти не удалось.
Американские ученые Г. Смит и Е. Хэме составили номограмму для расчета времени выживания в холодной воде.
Номограмма учитывает характер одежды, теплообразование, вес человека и, наконец, площадь тела, погруженного в воду. В примере, обозначенном мной в номограмме сплошной линией, человек, имеющий теплоизоляцию, равную Н = 0.30 кло, находящийся в воде с t = 4˚ теряет 610 ккал/кв. м /час. Теплопродукция составляет , 400 ккал/кв. м/час, дефицит тепла - 210 ккал/кв. м/час; площадь тела, погружаемого в воду - 1,75 кв. м. Уменьшение теплосодержания организма в час должно составлять 365-400 ккал/час. При весе 75 кг (В) температура тела будет падать в час на 6˚. Если за предельно низкую температуру Тула принять 31˚, то человек может находиться в воде при 4˚ в течение 1 часа.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Из выше разобранных мной номограмм, можно сделать вывод, что математическое моделирование с помощью номограмм может быть широко использовано для выполнения практических расчетов в различных областях медицины, а также при конструировании и испытании одежды для работы в условиях низких или высоких температур.
6. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Волович в экстремальных условиях природной среды. – М., Мысль, 1990.
2. , Усков вопросы работоспособности и жизнедеятельности человека при автономном существовании в условиях низких температур. – Фрунзе, Илим, 1987.
3. Шапиро задач с практическим содержанием в преподавании математики. – М., Просвещение, 1998.
