Глава 2. Прямоугольный металлический волновод

Лекция 4. Поле в прямоугольном волноводе

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубу прямоугольного сечения (рис.2.1). Волновод используется как линия передачи в основном в сантиметровом диапазоне длин волн, частично в дециметровом и миллиметровом диапазонах. Примеры наиболее распространённых стандартных волноводов следующих поперечных размеров (широкую стенку принято обозначать через «а», узкую – «b»):

а х b = 1,6 х 0,8 мм (λ ср ~ 2 мм)

23 х 10 мм (λ ср ~ 3 см)

72 х 34 мм (λ ср ~ 10 см)

110 х 55 мм (λ ср ~ 15 см)

Задача определения поля в волноводе решается в предположении, что стенки волновода обладают бесконечной проводимостью, а заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами  и  .. Волновод бесконечно протяжённый (чисто бегущая волна). Поле монохроматическое. Будем считать, что источник находится за пределами рассматриваемой части линии передачи и создаваемая им волна распространяется вдоль оси z.Используемая система координат и размеры a и b поперечного сечения волновода показаны на рис.2.1.

Рис. 2.1. Прямоугольный волновод

В прямоугольном металлическом волноводе с однородным диэлектрическим заполнением распространяются магнитные волны типа
, у которых компонентыH Z  0, a E Z = 0 (направление оси z совпадает с продольной осью волновода), и электрические волны
, у которыхE Z  0, H Z = 0. Поперечно электромагнитные Т -волны не существуют. Предположим, что Т волна существует, у которой Е Z = 0, Н Z = 0, Е ┴ ≠ 0, Н ┴ ≠ 0. Силовые линии вектора Н → замкнуты, в данном случае лежат в поперечной плоскости и согласно первому уравнению Максвелла охватывают линии вектора объёмной плотности полного тока:

Но у волны Т продольная составляющаяЕ Z = 0, уравнение Максвелла не выполняется, и волнаТ не существует. Здесь же можно сделать вывод, что если внутри линии есть проводник, тоТ волна существует. Но это уже другой тип линии передачи (например - коаксиальная линия).

Т
ак как поперечные составляющие векторов поля однозначно определяются через продольные (см. 1.15,1.16), то для определения поля электрических и магнитных волн достаточно решить однородные волновые уравнения Гельмгольца для продольных составляющих векторов поля

Уравнения одинаковые по структуре, достаточно заняться решением одного из них. Волна распространяется вдоль оси z.

Амплитуда Е mz (х,у ) зависит от поперечных координат, фаза β z описывает линейное изменение фазы поля вдоль координаты распространения z. При явной зависимости от z, можно сразу расписать вторую производную в операторе Лапласа:

Далее учтём, что
┴ , сократим е - jβz и уравнения Гельмгольца приводим к виду

Эти уравнения решаем методом разделения переменных, согласно которому искомое решение представляется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Займемся первым волновым уравнением (2.1).

(2.3)

Д
ля определения неизвестных функций X (x ) и Y (y ) искомое решение (2.3) подставляем в (2.1) и делим на произведение X (x ) Y (y )

(2.4)

В уравнении (2.5) сумма двух независимых функций (первое и второе слагаемые) равна постоянной величине. Это возможно только при условии, что сами функции равны пока неизвестным постоянным, называемыми константами разделения

При этом должно выполняться равенство

(2.7)

Решая полученные уравнения (2.6), находим

Неизвестные постоянные
,
определяем из граничных условий: на идеально проводящих стенках волновода касательная составляющая вектора напряженности электрического поля равна нулю. В случае электрических волн (решаем уравнение 2.1) продольная составляющая E mz является касательной ко всем стенкам волновода. Поэтому уравнения (2.3,2.8,2.9) должны быть подчинены следующим граничным условиям:

При х=0 коэффициент В=0 ; при х=a функция
.

Коэффициент A ≠0 , иначе Е Z = 0, что невозможно для Е волн. Значит,
, аргумент синуса
, и неизвестная константа разделения принимает вид:

, индекс m имеет числовые значения
(2.10)

При y=0 коэффициент D =0; при у=b функция
.

Коэффициент С ≠0, иначе Е Z = 0, что невозможно для Е волн. Значит,
, аргумент синуса
, и неизвестная константа разделения принимает вид:

, индекс n имеет числовые значения
(2.11)

В случае электрических волн значения индексов m = 0 и n = 0 не годятся, так как при этом E mz = 0 во всех точках внутри волновода. Найденное решение для продольной составляющей E mz принимает вид

В формуле (2.12) введено обозначение E 0 z = AC – максимальная амплитуда продольной составляющей вектораЕ . ВеличинаE 0 z определяется либо заданием конкретного источника, либо заданием мощности бегущей волны. Для дальнейшего анализа конкретное значение
не требуется. Волновод является линейной системой, и безразлично, на каком уровне поля проводить его анализ. Через найденную продольную составляющую (2.12) поперечные составляющие векторов поля определяются из соотношений (1.16).

имеет компоненты:

,
,
, (2.13)

где
– характеристическое сопротивление волновода с

волной
;

[Ом] – характеристическое сопротивление cреды, заполняющей волновод;

–продольное волновое число (коэффициент фазы);

–поперечное волновое число.

Электрические и магнитные волны имеют много общих черт, и их свойства удобно анализировать совместно. В случае магнитных волн решение уравнения для продольной составляющей (2.2) проводится так же, как и для электрических волн. Видоизменяется только запись граничных условий.

Электромагнитное поле распространяющейся волны
имеет компоненты:

,
,
, (2.14)

где
[Ом] – характеристическое сопротивление волновода для волн типа
.

В отличие от электрических волн для магнитных волн индексы m иn могут принимать нулевые значения, но они не могут равняться нулю одновременно, так как при этом продольная составляющаяH z не зависит от переменныхx иy и вектор Е (см. 1.5) будет равен нулю.

Значение искомого поперечного волнового числа (2.7) получаем из приведенного решения, а вслед и значение критической длины волны для электрических и магнитных волн

(2.15)

Каждой паре индексов (чисел) m иn соответствует определённое поле, называемое типом волны, или гармоникой, или модой (от латинского словаmodus– образ). Обозначаются ониЕ mn илиН mn и в волноводе может существовать бесконечный спектр электрических и магнитных волн. Не существуют в силу граничных условий (Е τ =0 на идеально проводящей стенке) волныН 00 , Е 00 , Е m 0, Е 0n . Индекс m в записи волны означает, что все составляющие электромагнитного поля имеют m вариаций поля вдоль осиo х , а индексn означает число вариаций поля вдоль оси oy .

Лекция 5. Параметры электрических и магнитных волн в прямоугольном волноводе

Из бесконечного спектра типов волн с индексами m = 0, 1, 2, ... и n = 0, 1, 2, ... распространяться в волноводе будут лишь те, для которых выполняется соотношение

или
, (2.16)

где – критическая длина волны данного типа колебания;

–критическая частота;

, – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости мате риала, заполняющего волновод;

–частота генератора;

–длина волны в безграничной cреде с параметрами материала, заполняющего волновод;

–длина волны в вакууме.

Критическая длина волны
или
вычисляется по единой формуле

, (2.17)

где a иb – размеры поперечного сечения волновода по широкой и узкой стенкам. Из выражениявидно, что чем меньше индексыmиn, тем больше λ кр. Волна, обладающая наибольшей λ кр, называется основной (основной тип), остальные волны – высшими типами. При одинаковых индексахm иn выполняется равенство

и волны
и
называются вырожденными. Невырожденными будут волны Н m 0 и Н 0 n , так как при таких индексах электрических волн нет.

Другие параметры распространяющихся
или
волн в соответствии с разделом 1 рассчитываются по следующим формулам:

, ;

фазовая скорость волны в волноводе

, где
,;

групповая скорость волны в волноводе

, .

Мощность, переносимая волной любого типа в волноводе, вычисляется интегрированием продольной составляющей вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода

, [Вт],

где
– поперечные к осиz компоненты векторов поля электромагнитной волны.

Максимальная переносимая мощность в волноводе определяется напряженностью электрического поля пробоя диэлектрика, заполняющего волновод. Для сухого воздуха при нормальном давлении напряженность пробоя Е проб = 30 кВ/см.

Коэффициент затухания волны в волноводе равен сумме коэффициентов затухания, обусловленных потерями в металлических стенках волновода и в диэлектрике, заполняющем волновод
.

Для волн типа
(m>1, n1)

, ,

где
– активное поверхностное сопротивление металла с проводимостью.

Для волн типа

. (2.19)

Коэффициент затухания, обусловленный потерями в диэлектрике с комплексной диэлектрической проницаемостью

вычисляется по формуле

, (2.20)

где – характеристическое сопротивление волновода:

–для волн типа
,

–для волн типа
.

Для нескольких первых типов волн значения критической длины волны приведены в таблице

Тип волны	Н 10	Н 20	Н 01	Н 02	Н 11

О
сновной волной прямоугольного волновода является волнаH 10 (при условии a > b ). Для волны H 10
. Немаловажной является следующая волна. Приb< это волнаН 20 , при b> следующей будет волна Н 01 . В стандартных волноводах для расширения частотного диапазона на основном типе волны принимают условие b .

Лекция 6. Основная волна типа Н 10 прямоугольного волновода

Обычно волновод проектируют таким образом, чтобы в нём распространялась одна основная волна (одномодовый режим). Определим частотный диапазон, в котором возможно распространение только основной волны и невозможно распространение других. Частотный рабочий диапазон, при котором распространяется только Н 10

<<
,
<<
(2.21)

Заполнение волновода диэлектриком смещает частотный диапазон в низкочастотную область. Для заданного частотного диапазона необходимо выбрать поперечные размеры волновода, исходя из условия распространения волн

> >;
<;
<b<Итак, <<, b<и более жёсткое условие b<. (2.22)

Поперечные размеры прямоугольных волноводов соизмеримы с длиной волны, поэтому в основном они используются в сантиметровом диапазоне, частично в дециметровом и миллиметровом диапазонах. Обычно принимают

,
. (2.23)

В качестве средней длины волны рабочего диапазона рекомендуется величина

.(2.24)

Если b < 0,5 а , то область, где распространяется только основной тип волны Н 10 , определяется соотношением
. На практике рекомендуются следующие использования допустимой полосы длин волн:

,
.(2.25).

Приведем выражения, описывающие пространственную зависимость комплексных амплитуд декартовых проекций векторов электромагнитного поля для волны типа Н 10 , подставляя индексы m =1 и n =0 в общие формулы (2.14):

(2.26)

Иногда удобно выразить амплитуды через максимальную амплитуду электрического поля Е 0 , которая максимальна в середине широкой стенки. Укажем распределение амплитуд составляющих векторов поля по координатам: вдоль осиzамплитуды постоянны (как и у любой бегущей волны), амплитуды постоянны и по координатеy(так как индексn =0), по координатеx– амплитуды имеют тригонометрическую зависимость. Цифра 1 в записиH 10 означает, что все составляющие электромагнитного поля имеют одну вариацию поля вдоль осиo х . Цифра 0 означает, что все компоненты поля имеют постоянное распределение вдоль оси oy (0 вариаций).

На рис. 2.2 показано распределение по модулю амплитуд составляющих векторов поля, нормированных к максимальному значению

Рис. 2.2 Распределение амплитуд составляющих векторов поля.

Параметры волны Н 10 рассчитываются по общим формулам направляемых волн. Длина волны

(2.27)

Следует отметить, что при изменении длины волны генератора λ 0 длина волны в волноводе λ в изменяется непропорционально ей. Закон зависимости длины волны в волноводе от длины волны в свободном пространстве называется дисперсионной характеристикой волновода (график на рис.2.3).

Область λ 0 < λ кр является областью прозрачности . При λ 0 << λ кр λ в  λ 0 . Если λ 0  λ кр, то λ в  ∞. При переходе λ 0 за граничные значения λ 0 в волноводе существует не бегущая волна, а колебание, экспоненциально затухающее вдоль продольной оси oz .

Рис. 2.3 Дисперсионная характеристика прямоугольного волновода

С фазовой скоростью распространяется фронт волны внутри волновода

(2.28)

Передача же сигнала по волноводу происходит с групповой скоростью

(2.29)

Видно, что групповая скорость всегда меньше фазовой и скорости света.

Характеристическое сопротивление волновода. По физическому смыслу характеристическое сопротивление линии передачи – это отношение некоторой электрической характеристики волнового процесса к магнитной. В теории волноводов характеристическое сопротивление определяется как отношение модулей поперечных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей. Для волны H 10 характеристическое сопротивление вычисляется по формуле

(2.30)

Характеристическое сопротивление широко используется в различных прикладных задачах (например, в задачах согласования, т.е. отсутствия отраженной волны). Через сопротивления можно оценить излучение из открытого конца волновода. Волноводу сопоставляется эквивалентная схема в виде полубесконечной линии с сопротивлением
и нагрузки с сопротивлениемZ С, равным сопротивлению свободного пространства. Используем коэффициент отражения
на границе двух сред. Погрешность этой формулы в данном случае составляет 10%-15%, так как не учитываются высшие типы, возникающие на открытом конце волновода. Через коэффициент отражения считается
. Обычно коэффициент отражения невелик на волнеН 10 и открытый конец волновода может служить эффективной антенной в СВЧ диапазоне.

9. Направляемые электромагнитные волны. Направляющие системы. Электромагнитные поля и волны

9. Направляемые электромагнитные волны. Направляющие системы

Под направляющей системой понимают устройство, ограниченное в двух измерениях и осуществляющее передачу ЭМ энергии в третьем измерении. Волны, которые распространяются в таких направляющих системах получили название - направляемые электромагнитные волны. Такие направляющие системы называются волноводами.

9.1. Недостатки обычных линий передачи преимущества волноводов

Широкое развитие получили двухпроводные и коаксиальные линии еще в прошлом веке.

Недостатки: В 2-х проводных и коаксиальных линиях резко возрастает затухание энергии с ростом частоты. Факторы:

В двухпроводных линиях при 1 м и короче потери такие больше, что ее нецелесообразно применять; на ген = 3 м, затухание в коаксиальном кабеле в среднем 0,2 дБ/м ген = 10 см затухание 2 дБ/м, т.е. ничего не дойдет от передатчика к антенне.

Из двухпроводной линии можно сделать волновод, но так не делают на практике, только на бумаге, как в детском конструкторе. Входное сопротивление отрезка длиной имеет бесконечно большое значение:

Если подключить отрезок к линии, то он никак не повлияет, т.к. . И так сколько угодно можно подключить таких отрезков. Получили волновод.

Достоинства:

Трубка жесткая. Простая конструкция.
Фактор диэлектрических потерь исключается.
Фактор излучения - исключается.
Плотность токов значительно меньше, т.к. они распределены по всем стенкам.
Можно передать большие мощности.

Академик Капица подсчитал, что в трубе (круглой) диаметром 1 м. можно передать всю мощность Красноярской ГЭС.

9.1.1. Типы волноводов

Различают 2 типа:

Односвязные волноводы,
- двухсвязные волноводы.

Порядок связности определяется тем, что поле распределено в какой-то области и не с чем не связано.

Используются и сложные формы сечения.

Все это односвязные волноводы.

Волны могут распространятся вдоль диэлектрических стержней. Их называют диэлектрическими волноводами, а в оптике - световодами. Металла вообще нет.

К 2-х связным системам относится коаксиальный волновод. Поле определяется уже двумя проводниками.

9.2. Особенности направляемых ЭМВ

Рассмотрим идеально проводящую плоскость, на которую под некоторым углом падает плоская ЭМВ.

Выясним, как распределено ЭМП над плоскостью, если на нее падает ЭМВ. В т.1 поступает отраженная волна и додающая. В каждой точке над металлической плоскостью ЭМП определяется суперпозицией полей падающих и отраженных. Результат суперпозиции зависит от того, в каких фазах эти поля складываются. Там где фазы одинаковы, будет max, где в противофазе будет min. Из граничных условий. Касательная составляющая вектора Е должна обращаться в 0, поэтому вторую плоскость располагаем в нулях. Физическая основа передачи энергии по волноводам связана с многократным отражением ЭМВ от идеально проводящих стенок. В волноводах могут распространяться ЭМВ с различной структурой поля. Угол j зависит от частоты. С уменьшением частоты угол j уменьшается.

Из качественного рассмотрения. В волноводе существует минимальная частота (критическая f кр). Ниже этой критической частоты энергию по волноводу передавать нельзя f = f кр ( = 0) .

Пример: Если по трубе подать световые волны в критическом режиме, то в конце трубы будет темно. При f f кр энергия не передается.

Покажем, что V ф всегда > С.

Перемещение фронта одинаковых фаз не совпадает с осью волновода. Почему так происходит? Волна идет под углом многократно отражаясь.

Направление распространения волны из т. М 1 в т. М 2 показано. Волна распространяется со скоростью света. В т. М 1 был 0, через длину волны в т. М 2 тоже 0 (расстояние равное ). За это же самое время вдоль оси расстояние будет пройдено другое (фазовый фронт тот же). Чтобы в т. М 3 прийти с той же фазой волне надо двигаться с большей скоростью.

Вывод: в всегда > , V ф всегда > С.

При распространении ЭМВ всегда появляется продольная составляющая либо Е либо Н.

9.3. Волновые уравнения полей в волноводе произвольного сечения

Стенки трубы идеально проводящие. Среда с параметрами , неизменна. Генератор, источник сторонних полей далеко вынесен. Тогда в любой точке этого волновода справедливы уравнения Максвелла:

Под F понимаем любую проекцию (Е х Е я и т.д.).

Как можно решить такое уравнение? Много методов. Один из наиболее удобных - метод разделения переменных по Фурье. Идея метода Фурье заключается в том, что решение ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит от одной из координат. Энергия в волноводе распространяется вдоль оси Z, это обстоятельство мы учтем, выделив функциональную зависимость от Z.

F (x,y,z) = f (x,y) Ф (z) (9.3.2.)

Поскольку решение записано в такой форме, оно должно удовлетворять уравнению.

Проверка:

Ф (z)()+ Ф (z)( ) + f (x,y) ()+ k 2 f (x,y) Ф (z) = 0

Разделим все члены уравнения на коэффициент при k 2

(f (x,y) Ф (z))

+ = - k 2

+ =-k 2 s (9.3.4.)

Индекс “S” означает, что поля изменяются только в поперечных координатах. Это поперечное волновое число.

2 - продольное волновое число

k 2 = k 2 s + 2 (9.3.5.)

для общего случая

Общее решение представляет собой два волновых процесса с амплитудами А и В и одинаковым распределением поля в поперечном сечении (f (x,y)) и распространяющихся в противоположных направлениях. Поскольку волновод бесконечно длинный, отраженной волны нет, В = 0. Нет физических условий для возникновения отраженной волны. Общая запись полей для произвольного сечения волновода:

Для конкретизации задаются , Е (х,у) Н (х,у)

В общем виде уравнения не решаются.

Установим связь между в свободном пространстве, в и кр.

В свободном пространстве волновое число:

k = (9.3.10.)

Продольное волновое число = (9.3.11.)

Поперечное волновое число k s = (9.3.12.)

k 2 = k s 2 + 2 () 2 = () 2 + () 2 (9.3.13.)

В = (9.3.14.)

если умножить на f правую и левую часть уравнения (9.3.14) получим:

V ф = в f = (9.3.15.)

9.4. Классификация ЭМВ

В основе классификации лежит критерий - наличие или отсутствие одной из продольных составляющих. Классификация волн позволяет упростить анализ волн в волноводе и записать все составляющие полей через одну составляющую. Установим связь между поперечными составляющими полей и продольными. Для этой цели спроектируем уравнения Максвелла на оси координат:

Проекции на оси х, у, z:

Начнем с уравнения (9.4.2.). Из поперечных составляющих имеем Е х и Н у. Эти же составляющие имеем в (9.4.6.). Из (9.4.2.) находим Н у и подставляем в уравнение (9.4.6.). В результате подстановки составляющие Е х, Е у, Н х, Н у будут выражены следующим образом:

Эти соотношения показывают, что отличные от 0 поперечные составляющие полей в волноводе имеют место, когда одна из продольных составляющих обращается в 0. Различают 4 класса полей.

Первый класс - Электрические волны.

Для этого класса Е z 0 , H z = 0 (Е - волны)

Второй класс - Магнитные волны.

Для этого класса H z 0 , E z = 0 (Н - волны)

Третий класс - Поперечные волны, Т - волны.

H z = 0 , E z = 0 (пример плоская ЭМВ)

Четвертый класс - Гибридные волны.

E z 0 , H z 0 (такие волны характерны для световода).

Конкретизируем связь поперечных и продольных составляющих для каждого класса.

9.4.1. Е - волны

Е z 0 , H z = 0

Смысл классификации:

Для расчета полей достаточно найти продольную составляющую.

9.4.2. Н - волны

E z = 0 , H z 0

= Z c H - называют характеристическим сопротивлением Н - волны.

Аналогично для волны типа Е:

= Z c E = - характеристическое сопротивление волны типа Е. (9.4.2.2.)

Что произойдет, если Е z = 0, H z = 0 ? “Т - волна”. Отличные от 0 поперечные составляющие могут существовать только в одном случае, когда k s = 0, тогда неопределенность (0/0) может дать при раскрытии конечное число.

k s = 0 кр = =

Волна “Т” существует в таких линиях передачи, в которых может поддерживаться устойчивое распределение электрических и магнитных полей в поперечном сечении волновода.

Пример: “Т” волна в коаксиальной линии

Коаксиальная линия обладает таким свойством. Существует “Т” волна. По такой линии можно передать и постоянный и переменный ток.

Если будет заряд, он создает поле, которое растекается по поверхности.

Убираем внутренний проводник. Пустая труба. Переменное электрическое поле будет порождать переменное магнитное поле. В поперечном сечении устойчивое распределение полей создать нельзя. В полых трубах волны “Т” распространяться не могут, а только Е, либо Н. В двух связных системах “Т” волны.

9.5. Прямоугольный волновод

Это металлическая труба прямоугольного сечения.

Задача: 1) найти распределение полей.
2) найти кр

Знаем, что все поля в волноводе можно рассчитать через продольную составляющую.

“Н” - волны в прямоугольном волноводе.

Требуется найти H z:

1) H z = ? 2) E x , E y , H x , H y - находим через H z все остальные. 3) конкретизация полей по выполнению граничных условий.

Составляющая Н z удовлетворяет волновому уравнению.

const разделения будем называть поперечными волновыми числами.

3) Запишем граничные условия для данной задачи.

а) E x = 0 при у = 0 ; y = b

б) Е у = 0 при х = 0 ; x = a

E x (A sin k x x + B cos k x x) k y (C cos k y y - D sin k y y) (9.5.11.)

Накладываем граничные условия:

const D нельзя приравнивать к 0, т.к. исчезнет поле H z , значит sin k y y = 0

k y b = n ; k y =

n = 0, 1, 2 . . . (9.5.13.)

3) E y таким же образом можно показать, что const А = 0 из условия

Е у = 0 при х = 0 (9.5.14.)

4) Е у = 0 при х = а

k x = (9.5.15.)

m = 0, 1, 2 . . .

H z (x,y) = H 0 cos () x cos () y . е j(w t-g z) ; H 0 = B D (9.5.16.)

В рамках задачи нельзя определить Н 0 , т.к. не задана мощность волны на входе. Окончательно другие составляющие полей.

Составляющие Н х, Н у, Е х, Е у умножаем на е j(w t-g z) (9.5.17.)

Соотношения (9.5.5.), (9.5.13.), (9.5.15.) позволяют определить кр.

Кр =; k s 2 = k x 2 + k y 2 = () 2 + () 2

Каждому набору значений индексов m и n соответствует свое распределение поля в волноводе, своя критическая длина волны Н mn . Минимальные значения индексов если m = 0, n = 0, но поля нет. Одновременно индексы не могут быть равны нулю, по частям возможно.

m = 0, 1, 2, 3 . . .

n = 0, 1, 2, 3 . . .

Индексы m и n определяет распределение поля по координатам х, у. С учетом периодичности функции cos, число m имеет смысл - количество полуволн, укладывающихся вдоль а, n - число полуволн, укладывающихся вдоль b. Условием распространения волны в волноводе, является ген < кр. В волноводе бесчисленное множество волн, но не все эти волны могут распространяться. Распространяются только те, которые удовлетворяют условию: ген < кр

В – длина волны в волноводе.

Кр зависит от размеров поперечного сечения а и b, и значения индексов m и n. Максимальная кр будет для индексов m = 1, n = 0, т.е. волны, у которой значения индексов минимальны.

a > b ; m = 1 , n = 0

Максимальной кр, обладает волна Н 10 * кр = 2а. У всех других волн критическая длина волны меньше, волну Н 10 называют основной волной в волноводе. Она наиболее часто используется.

Выделим ось, где откладываем .

Диаграмма спектра волн в прямоугольном волноводе.

Если ген > 2a, то волны не распространяются.

m = 1, n = 0 Н 10 кр = 2а

m = 2 , n = 0 H 20 , кр = а

m = 0 , n = 1 H 01 , кр = 2b

Стандартный волновод 2b < a для волны Н 10:

a ген 2a - одноволновый режим.

Диапазон использования одноволновой области 80 - 85 %. Не рекомендуется подходить к критическому режиму (справа и слева).

Предположим, имеем прямоугольный волновод, на входе этого волновода имеется генератор СВЧ диапазона и возбудитель волны.

Возбудитель может возбудить любую волну (Н 10 , Н 20 и т.д.). На выходе стоит похожее устройство, принимающее сигнал индикатора. Эксперимент заключается в следующем: генератор перестраивается в широком диапазоне частот.

Если ген > 2а, индикатор ничего не показывает, энергия не идет по волноводу.
ген 2а Н 10
ген < а Н 20 часть энергии идет на волне Н 20
(условно из 10 Вт генер. 8 Вт передается волной Н 20)
ген < 2b H 01

Специалисту нужно, чтобы была одна волна, для этого нужно уменьшать поперечное сечение волновода (частота генератора остается неизменной).

В реальных условиях нереально создать условия, когда волны существуют в волноводе независимо друг от друга. Многоволновое распространение нежелательно, т.к. информация из канала в канал передается. Стараются избежать взаимной связи между волнами и использовать одноволновый режим. Волна - mode - по английски. Говорят одномодовый, многомодовый.

9.5.1. Основная волна в прямоугольном волноводе. Преимущества волны Н 10

Имеет место максимальный диапазон одноволновой передачи.
При передаче энергии на волне Н 10 потери энергии волны минимальны.
Поперечные размеры волновода наименьшие при передаче волны типа Н 10 .

Выпишем составляющие волны Н 10

Восстановим из уравнений распределение силовых линий Е и Н поля для основной волны. Рассмотрим поперечное сечение волновода.

Электрическое поле волны Н 10 имеет одну составляющую Е у, она max в середине волновода.

Поле Е направлено от одной стенки к другой. Магнитное поле имеет 2 составляющие Н х и Н z .

У боковых стенок волновода Н Z максимальна. В силу непрерывности линий магнитного поля Н z замыкается через Н х (Н z переходит в Н х). Эта картинка перемещается в волноводе со скоростью:

9.5.2. Токи в стенках волновода

В силу закона электромагнитной индукции переменное магнитное поле вблизи проводников возбуждает электрический ток. Переменное магнитное

поле вблизи стенок будет создавать токи проводимости. Посмотрим как протекают токи? Знание токов позволяет решить 2 задачи:

Рассчитать потери в волноводе.
Определить как осуществить разрез стенок, чтобы из волновода извлечь энергию, либо наоборот, не нарушать распределения токов.

Установим связь между плотностью поверхностных токов и напряженностью магнитного поля. Разберем простейший случай.

Вблизи стенки волновода магнитное поле всегда имеет только касательную составляющую. Применим закон

полного тока к контуру, часть которого находится в металле, часть нет.

Определим по частям:

Предположим контур мал, Нt всегда перпендикулярна СВ, АD. Участок АВ находится в глубине металла. В силу поверхностного эффекта токи поверхностные быстро затухают. Значение магнитного поля на участке ВА очень мало. Этот интеграл обращается в 0.

Для малых АВСD

Плотность поверхностного тока числено равна касательной составляющей магнитного поля и они взаимно перпендикулярны.

Чтобы восстановить распределения токов надо воспользоваться разверткой.

Составляющая Н х порождает ток J z . В широкой стенке 2 тока, продольный J z , поперечный J y . В боковой стенке поперечные токи J y .

Н х J z , H z J x

Если щель в волноводе пересекает токи, то такая щель будет хорошо излучать, если щель вдоль токов, то она не излучает. Щели 1, 2 - не излучают; 3,4 - излучают.

9.5.3. Передача энергии по волноводу

Рассмотрим процесс передачи энергии на примере основной волны Н 10:

П z ср = Е х Н у * - Е у Н х * = - Е у Н х. Энергия, передаваемая вдоль волновода определяется только поперечными составляющими полей. (9.5.3.1.)

E y H x * =() 2 H 0 2 Z c H sin 2 () (9.5.3.)

Вычислим теперь среднюю мощность:

средняя мощность, передаваемая в волноводе. (9.5.3.3.)

Передаваемая мощность по волноводу зависит от амплитуды продольной составляющей магнитного поля Р ср Н 0 2 . Мы можем увеличить передаваемую мощность, увеличивая размеры волновода. Найдем Н 0:

H 0 = (9.5.3.4.)

Эта составляющая числено равна поперечному току в стенках волновода. Она возбуждает в стенках волновода ей ток.

Н 0 = | J x| = | J y |

E y = - () Z c H H 0 sin

E y0 = Z c H () . > (9.5.3.5.)

Напряженность электрического поля возрастает с ростом передаваемой по волноводу мощности.

Е проб max 30 для воздуха

a x b = 2,3 x 1,0 см Р ср max 1 Мвт

При проектировании различных устройств обязательно делают запас прочности:

Р раб = (0,2 ¸ 0,3) Р ср max

Один из путей повышения уровня передаваемой мощности связан с заполнением его средой, имеющей более высокое значение пробивного напряжения, чем у воздуха.

9.5.4. Потери энергии в волноводе

Можно выделить 3 основных фактора, которые несут ответственность за потери энергии:

Конечная проводимость стенок волновода. За счет этого часть токов в стенках волновода преобразуется в тепло, греет волновод (омические потери).
Несовершенство среды, которая заполняет волновод (диэлектрические потери).
Связан с нарушением однородности стенок. Из-за непрерывной эксплуатации или других факторов образуются какие-то щели и через них проходит излучение энергии.

Любая из этих причин приводит к тому, что - постоянная распространения величина комплексная, как и в случае плоских волн.

Фазовая постоянная

Коэффициент затухания.

Предположим, что имеется отрезок волновода.

На входе Р 0 , на выходе Р вых. Сколько теряется энергии?

В случае, когда параметр << 1, тогда:

Основным фактором потерь являются омические потери.

Нужно собрать все потери в стенках волновода:

R s - поверхностное сопротивление.

В области (1) потери большие, так как частота близка к критической. А дальше с ростом частоты растет поверхностное сопротивление металла, т.е. работает поверхностный эффект. Расчет по формуле (9.5.4.3.) дает чуть меньше коэффициент затухания, чем на самом деле. Поскольку мы не учитываем качество обработки поверхности. Для уменьшения потерь нужно высокое качество обработки и материал с максимально большой проводимостью. С этой целью используется покрытие стенок серебром. Реально достижимые потери (0,1 ¸ 0,01) дБ/м.

Волновод, заполненный диэлектриком

9.5.5. Е - волны в прямоугольном волноводе

Наряду с волнами Н - типа, в прямоугольном волноводе могут распространяться волны Е- типа. Анализ волн проводится по той же схем, что и в случае Н - волн.

Е - волны Е z 0, H z = 0

Решается уравнение:

Результатом решения будет:

Запись удовлетворяет граничным условиям на стенках волновода.

m = 1, 2, 3 . . . m 0

n = 1, 2, 3 . . . n 0

Если одно из чисел m или n обращается в 0, то волны не будет.

Е e = 0 при х = 0, х = а, Е х = 0 при у = 0, у = b.

Каждому набору индексов m и n соответствует своя структура поля в поперечном сечении, каждая из волн имеет свою кр.

Кр = (9.5.5.3.)

Выражение (9.5.5.3.) совпадает с выражением (9.5.18) для Н - волн. Волны Н и Е с одинаковыми индексами m и n имеют одно значение кр и V ф. Пример: Н 11 , Е 11 - одинаковые кр, V ф. Волны, имеющие одинаковые V ф, кр, но различные структуры в поперечном сечении называются вырожденными.

У волны Е индексы m и n не равны 0. У “Н” один из индексов может быть равен нулю. Из “E” - волн самая простая Е 11 .

Магнитное поле для волн типа Е всегда в плоскости поперечного сечения волновода, т.к. линии Е всегда перпендикулярны Н.

Для волн “Е” характерно присутствие Е z вдоль оси Z. Волноводы с волной “Е” используются в ускорителях и в электровакуумных приборах (в тех случаях, где необходимо осуществить взаимодействие элементарных частиц с электромагнитным полем).

9.6. Круглые волноводы

Представляют собой металлическую трубу круглого сечения. Для изучения полей в каждой точке надо применить цилиндрическую систему координат.

Особенности: своеобразная запись граничных условий. Внутри поверхности, любая касательная составляющая

( = 0) электрических полей должна обращаться в 0. Требования для граничных условий.

1) = 0 при r = R.

2) = 0 при r = R.

9.6.1. Волны “Е” типа в круглом волноводе

Е z 0, H z = 0

Это уравнение должно решаться в цилиндрических координатах.

Решаем по м. Фурье с разделением переменных:

Результат разделения: n 2 = 2 – константы разделения

Каждая составляющая электрического поля должна удовлетворять волновому уравнению. Составляющая Еу, таким образом, должна удовлетворять уравнению

Для волны TE01Ey определяется из уравнения (9). Подставляя Еу в уравнение (10), получим

где =2?/?g а c - скорость света в свободном пространстве. Так как

где? - длина волны генератора в свободном пространстве, то из уравнения (11) получим

Это равенство дает

Рис. 1.

Отсюда видно, что длина волны в трубе больше, чем в свободном пространстве. Это вызвано тем, что фазовая скорость распространения волн в волноводе больше, чем скорость распространения в свободном пространстве. Дифференцируя, получим выражение для групповой скорости

фазовая скорость будет

Кривая зависимости?g от?, соответствующая уравнению, показана на рис. 1. С приближением? к 2b ?g неограниченно нарастает. Если?>2b, то из уравнения следует, что длина волны в волноводе становится мнимой величиной.

Это означает, что при?>2b всякое распространение волны в волноводе прекращается. Поэтому за предельную длину волны в прямоугольном волноводе с волной TE01 берут?пр = 2b.

Равенство

справедливо для любого типа волны, любого волновода любого сечения при условии, что значение?g соответствует тому типу волны и тому поперечному сечению, которые в этом случае рассматриваются.

Для того чтобы понять особенности распространения электромагнитной волны в прямоугольном волноводе и наличие в нем критической волны, необходимо исходить из того, что поле в нем есть результат сложения двух плоских волн. В самом деле, рассмотрим плоскости равных фаз и направление распространения двух одинаковых плоских электромагнитных волн, изображенных на рис. 2.

Рис. 2.

Пусть направления распространения волн I и II образуют одинаковые углы падения с боковыми стенками волновода. Сплошными линиями, перпендикулярными к направлениям волн I и II, показаны плоские фронты этих волн с фазой, соответствующей максимуму бегущей синусоидальной волны для некоторого момента времени. Пунктирные линии соответствуют плоскостям минимумов бегущей волны. Как это видно из построения, на стенках в местах пересечения максимумов одной волны с минимумом другой автоматически выполняются граничные условия. Фронты максимумов плоских волн пересекаются посередине волновода под такими же углами, как и фронты минимумов. При увеличении длины плоской волны X вертикальные углы между фронтами максимумов и минимумов также увеличиваются и, таким образом, возрастают углы падения и отражения. Это и обусловливает появление предельной волны. Действительно, рассмотрим луч, соответствующий направлению волны I и ее фронт, где находится в данный момент максимум бегущей волны. Угол падения луча обозначим через?. Из треугольника EOF (рис. 3) следует

?/2=bcos?, ?=2bcos?

Рис. 3.

Следовательно, максимальная длина волны, которая может распространяться по волноводу, ?пр =2b. В этом случае угол падения и отражения? = 0 и фронт плоской волны параллелен оси волновода. При таком падении волна будет отражаться от стенки к стенке в вертикальном направлении и вдоль волновода распространяться не будет.

Отсюда следует, что длина волны в волноводе, измеряемая вдоль оси волновода?g, больше длины волны в свободном пространстве?, и так как?пр =2b, то cos?= ?/?пр С другой стороны,

и, следовательно,

Скорость движения энергии по волноводу, т.е. групповая скорость, меньше фазовой скорости и скорости света с.

Из рис. 3 видим, что групповая скорость?гр=csin? или

Фазовая скорость

больше скорости света и в пределе стремится к бесконечности при?> ?пр, это и объясняет то, что длина волны в волноводе?g больше, чем в свободном пространстве.

Нас интересуют размеры поперечного сечения волновода, от которых зависят предельные волны всех типов. Если длина волны генератора, питающего волновод, ?, то для распространения волны Н01 необходимо, чтобы размер большей стороны волновода b подчинялся условию?пр = 2b> ?, или b> ?/2, т.е. длина волны в. свободном пространстве должна быть меньше предельной волны типа Н01. Размер стороны a волновода не должен превышать длины волны, иначе в нем будет распространяться волна Н02, для которой?пр=a. Таким образом, для заданной волны? генератора ширина волновода b определяется из условия? /2

Для того, чтобы не распространялась волна Н10, для которой?пр=2a, размер меньшей стороны волновода a должен быть меньше? /2.

Обычно размер меньшей стороны волновода принимают равным половине большой, т.е. а=b/2 = 0,35 ?.

Таким образом, в волноводе е размерами сторон b = 0,7?, а = 0,35 ?, может распространяться только волна Н01.

Анализ распространяющихся в прямоугольном волноводе волн обычно опирается на решения уравнений Максвелла, получаемые с учетом граничных условий, которым должны удовлетворять поля на стенках волновода. Эти решения хорошо известны, и более подробную информацию о них можно найти в литературе, список которой приведен в конце главы. Далее ограничимся лишь записью окончательных выражений, необходимых для последующего рассмотрения.

Прямоугольный волновод представляет собой полую металлическую трубку, минимальный внутренний размер широкой стенки которой должен превышать половину длины волны, измеренной в свободном пространстве на интересующей нас рабочей частоте (рис. 2.3). Обычно предполагают, что внутренняя поверхность металлических стенок волновода идеально проводящая. Боковые стенки действуют как короткозамыкатели с нулевым сопротивлением для тока, т. е. в сечении проведенном через центр волновода, соединены два короткозамкнутых четвертьволновых отрезка линии. Как будет показано в гл. 5, входное сопротивление этих отрезков бесконечно велико, что делает возможным распространение волны по волноводу.

Физически более наглядными являются рассуждения, основанные на представлении, что волна, введенная в волновод, ведет себя подобно лучу света, который последовательно отражается от стенок волновода. На рис. 2.4 изображен частный случай, когда волна при распространении отражается лишь от верхней и нижней стенок волновода. Очевидно, что при таком распространении время, затрачиваемое волной на прохождение волновода, больше, чем при обычном прямолинейном распространении без отражений. Поэтому длина волны измеренная вдоль оси

Рис. 2.3. Поперечное сечение прямоугольного волновода

Рис. 2.4. Внутренние отражения в прямоугольном волноводе

волновода, превышает длину волны в свободном пространстве. Угол падения волны при распространении в волноводе, а следовательно, и отражения от стенок волновода зависит от частоты и размеров его стенок а и

Объясняется это тем, что при идеальной проводимости стенок на их поверхности составляющие электрического поля, параллельные стенкам, должны обращаться в нуль, т.е. вдоль широкой и узкой стенок волновода должны образовываться стоячие волны с узлами электрического поля на стенках. Как показывает более подробный анализ, по мере понижения частоты угол падения волны на стенки уменьшается, т.е. на более низкой частоте волна проходит отрезок волновода, испытывая большее число отражений. Если и далее понижать частоту, то всегда найдется такая частота, на которой для прохождения сколь угодно малого отрезка волновода волна должна претерпеть бесконечно большое число отражений от стенок. Длина волны, на которой это происходит, называется критической Очевидно, что при перенос энергии по волноводу прекращается. В простейшем случае, когда отражения происходят лишь от узких стенок волновода,

где размер широкой стенки волновода - число полупериодов стоячей волны, укладывающееся вдоль широкой стенки. Основной (низшей) моде соответствует Выпишем выражения для длины волны волноводе и ее характеристического сопротивления:

где А. 0- длина волны в свободном пространстве.

В (2.19) нижние индексы ТЕ и ТМ соответствуют поперечным электрической и магнитной модам соответственно

Рассмотрим подробнее смысл термина «мода», который часто встречается в данном и следующих разделах. Удобно определять его как одно из возможных решений уравнения Максвелла, удовлетворяющее граничным условиям на стенках волновода. Особенностью ТЕ-моды (поперечной электрической) является то, что все составляющие ее электрического поля лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Соответственно в той же плоскости располагаются все составляющие магнитного поля ТМ-моды (поперечной магнитной). Более подробная классификация основана на числе полупериодов стоячей волны вдоль широкой и узкой стенок волновода. Если число полупериодов вдоль размера число

полупериодов вдоль размера то для обозначения моды используют сокращение или . Низшей (основной), когда является мода При заданных размерах поперечного сечекия волновода этой моде соответствует наибольшая критическая длина волны. Для произвольной моды в прямоугольном волноводе

Из сопоставления характеристических сопротивлений для и ТМ-мод [См. формулу (2.19)] следует, что при характеристическое сопротивление ТЕ-моды превышает 377 Ом и стремится к бесконечности, когда отношение А. о стремится к единице. Соответственно для распространяющихся ТМ-мод это сопротивление ниже 377 Ом и стремится к нулю при

Если волновод полностью заполнен диэлектриком с относительной проницаемостью , то его влияние можно учесть, если (2.20) величину умножить на а множитель 377 в (2.19) разделить на

Пример 2.5. В прямоугольном волноводе с поперечными размерами 2,3 X 1 см. распространяется низшая мода. Частота колебаний Определить: критическую длину волны, длину волны в волноводе, характеристическое сопротивление.

1. Длина волны в свободном пространстве

Критическая длина волны

Здесь для низшей моды и см. Следует отметить, что критическая длина волны превышает длину волны в свободном пространстве.

2. Длина волны в волноводе

3. Характеристическое сопротивление

Пример 2.6. Известны размеры поперечного сечения прямоугольного волновода 2,8 X 1,2 см. Определить: 1) минимальную частоту, иа которой еще возможно распространение в волноводе низшей моды; 2) может ли одна из высших мод распространяться по волноводу на частоте критическую длину волны при и на частоте 14 ГГц для этой моды - длину волны в волноводе и характеристическое сопротивление.

На этой частоте еще возможно распространение низшей моды в волноводе с заданными размерами.

2. На частоте 8 ГГц длйиа волны в свободном пространстве

Так как 3,75 будет распространяться.

Так как см, то мода не может распространяться.

3. На частоте

См. Так как мода будет распространяться, причем для нее

Пример 2.7. На частоте по прямоугольному волноводу с поперечными размерами см распространяется мода Определить: а) критическую частоту (частоту отсечки); б) длину волны в волноводе; в) характеристическое сопротивление.

Как правило, стремятся к тому, чтобы вся энергия по волноводу переносилась низшей модой. Чтобы обеспечить такой одноволновый режим работы, необходимо определенным образом выбрать размеры поперечного сечения волновода, исходя из условия, что распространяющейся моде соответствует Для моды а, а для следующих при по порядку мод а и Поэтому обычно Структура полей низшей и нескольких мод более высокого порядка представлена на рис. 2.5. Обратите внимание, что силовые линии электрического и магнитного полей ортогональны, т. е. перпендикулярны друг другу.

Прямоугольные волноводы находят практическое применение на частотах от 1 до Выбор материала, из которого они выполняются, зависит от требований, предъявляемых к волноводу. Например, если необходима высокая стабильность размеров, то используются материалы с низким температурным коэффициентом теплового расширения, такие как инвар или ковар. Когда основным является требование малых потерь, внутреннюю поверхность стенок покрывают тонким слоем золота либо серебра. Серийно выпускаемые волноводы чаще всего изготавливают из латуни, меди или алюминия.

Программа позволяет определять для произвольной моды длину волны в прямоугольном волноводе и ее характеристическое сопротивление, если заданы внутренние размеры поперечного сечения При написании программы использовались выражения программе предусмотрена проверка условий, при выполнении которых становится возможным распространение моды. Такой случай иллюстрируется в приводимом вслед за текстом программы диалоге.

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

Длина волны в волноводе – это расстояние между двумя ближайшими точками вдоль оси волновода, фазы колебаний которых отличаются на 2пи.

Результат исследования представлен на рисунке 5.9.

На рисунке видно увеличение длины волны по мере приближения к критической длине волны.

Пунктиром – в свободном пространстве.

5.3.4. Фазовая скорость, скорость переноса энергии, групповая скорость

Фазовая скорость характеризует скорость изменения фазы.

В зависимости от знаменателя 5.32 скорость будет меняться.

Скорость переноса энергии:

Групповая скорость – скорость перемещения огибающей сигнала с ограниченным спектром.

Групповая скорость – скорость перемещения волнового пакета, образованного группой волн.

Чем длиннее импульс, тем уже спектр и пик его выше - энергетика больше.

Широкополосные сигналы могут передавать довольно большую энергию.

Заметим, что скорость переноса энергии и групповая скорость совпадают во всех случаях, когда групповая скорость имеет физический смысл.

В нашем случае это практически одно и то же понятие.

С точки зрения частоты:

Начиная с частот, выше критических, групповая сокрость увеличивается, приближаясь к скорости света.

Фазовая скорость была больше скорости света. Она уменьшается, приблежаясь к скорости света.

С точки зрения длины волны:

Фазовая скорость увеличивается, а скорость переноса энергии уменьшается.

При длине волны, равной критической, переноса энергии нет. А при длине волны больше критической волнового процесса нет.

Энергетические параметры:

В реальном волноводе амплитуда поля падающей волны уменьшается с расстоянием на величину, характеризующуюся коэффициентом затухания и уменьшается по экспоненциальному закону:

Мощность, переносимая через поперечное сечение волновода пропорциональна квадрату амплитуды вектора Е :

L – длинна волновода.

Отсюда вычислим КПД волновода:

Волновод является диспергирующая средой, т.е. для волн разной частоты разный коэффициент затухания.

ТЕМА №6. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ВОЛНОВОДЫ

Волноводы прямоугольного сечения получили самое широкое распространение при передаче Э.М.В., хотя круглые тоже используются, но преимущественно для канализации Э.М. энергии используются прямоугольные волноводы.

6.1. Эмп в прямоугольном волноводе. Определение продольных и

поперечных компонент поля.

Для грамотной эксплуатации радиоэлектронной техники, понимания физических процессов, происходящих при передаче Э.М. энергии, необходимо знать структуру поля, которая формируется в прямоугольном волноводе.

Чтобы непосредственно выйти на структуру поля в волноводе – решим простенькую задачку, основываясь на методике определения продольных и поперечных компонент поля.

Более важны для нас продольные компоненты поля.

После получения поперечных и продольных компонент можно приступать к построению типов волн в волноводе.

6.1.1. Определение продольных компонент поля Постановка задачи

Пусть имеем волновод прямоугольного сечения. Размер широкой стенки – а . Размер узкой стенки – B . Ey направлен вдоль узкой стенки волновода, Ex вдоль широкой. Пусть имеем регулярный(поперечное сечение не меняется), однородный(электромагнитные свойства среды равны константе), считаем, что волновод заполнен воздухом, идеальный (проводимости Ме и диэлектрика. Т.е. волновод без потерь). Чтобы увеличить проводимость внутреннюю поверхность волновода покрывают серебром. В волноводе отсутствуют сторонние источники тока. Ведь ЭМП формируется в радиопередающем устройстве, а потом наводится и передается по волноводу.

Требуется определить поле в любой точке волновода в любой момент времени.

Решать задачу будем по методике полей, изученной в теме 5.

Для этого выберем прямоугольную систему координат. Ось zнаправим вдоль волновода, ось у вдоль узкой стенки, осьxвдоль широкой стенки волновода.

Представим
в виде произведения двух функций.

Почему обозначили Ksx и Ksy?

Ks не зависит от x и y и постоянно=>Первое слагаемое и второе слагаемое постоянное, вот мы их и обозначили.

Итак, решения уравнений:

А1 и А2 – постоянные интегрирования. Их физический смысл – амплитуды поля.

Аналогично для Y(y).

Общее решение:

Решение в общем виде и амплитуды не определены, потому что мы ищем структуру поля(как распространяется, как меняется поле при распространении). Амплитуда поля нас не интересует.

Составляющая Emz является касательной ко всем стенкам волновода.

Поэтому должны выполняться следующие краевые условия:

Если мы возьмем:

- правая стенка;