Пусть имеем совокупность функций: ,,...,и необходимо установить, зависима или нет эта совокупность. Оказывается, использование определителя Вронского позволяет решить вопрос о линейной зависимости (и независимости) совокупности функций.

Теорема :

Если функции ,,..., линейно зависимы на интервале , и имеют производные до - го порядка, то определитель (Вронского): = тождественно равен нулю для всех .

Доказательство теоремы:

Запишем функцию: =. Так как по условию функции ,,...,линейно зависимы на
, то существуют такие числа
, не все равные нулю, что выполняются тождество: 0 для всех
. Дифференцируя
раз функцию , получим тождества 0,
0,...,
0, которые также выполняются для всех
. Полученные тождества эквивалентны системе линейных однородных уравнений:

0,

0,

. . . . . . . . . . . . . , (13)

0.

В соответствии с определением линейной зависимости функций ,,..., система уравнений (13) должна иметь ненулевое решение
для любого
. Но это возможно только в случае, если определитель этой системы равен нулю (вспомним теорему Кронекера-Капелли!), причём для всех
. Нетрудно заметить, что определитель системы (13) есть определитель Вронского
. Это значит, что теорема доказана! ◄

Следствие : Если
хотя бы в одной точке
, то функции ,,..., – линейно независимы на интервале
.

Итак, определитель Вронского позволяет установить свойство
для совокупности функций,,...,, которые являютсяфункциями-решениями некоторого линейного однородного дифференциального уравнения- го порядка.

Более того, используя результаты теории линейных векторных пространств (вспомним курс Линейная алгебра!), можем установить, что совокупность функций-векторов ,,...,естьбазис в пространстве решений линейного дифференциального уравнения- го порядка. Но, тогдалюбое решение такого уравнения может быть записано в виде линейной комбинации:=. Это значит, что свойство
мы также доказали.

Остаётся доказать свойство
ФСР, но, прежде познакомимся поближе с определителем Вронского, рассмотрев несколько Примеров.

Пример 8 –02
,
,
.

Решение :

1). Для исследования линейной зависимости совокупности функций ,, составим линейную комбинацию заданных функций: .

2). Так как
, то при любом значении
указанное равенство выполняется. Это значит, что совокупность функций зависима.

Ответ

Замечание : В рассмотренном примере не потребовалось вычислять определитель Вронского, но мы знаем, что в этом случае он равен нулю, так как установлена линейная зависимость совокупности функций.

Пример 8 –03 : Исследовать на линейную зависимость систему функций:
,
.

Решение :

1). Нетрудно заметить, что
. Но, тогда
. Согласно второму определению линейной зависимости совокупности функций, можем утверждать, что совокупность функций , зависима.

2). И в этом примере определитель Вронского равен нулю, хотя вычислять его не пришлось.

Ответ : совокупность функций зависима.

Замечание : В рассмотренных примерах не потребовалось вычислять определитель Вронского, но мы знаем, что в этом случае он равен нулю, так как установлена линейная зависимость совокупности функций.

Пример 8 –04
,
,

Решение :

=
=
= 3
.

2). Видим: определитель Вронского не равен (тождественно) нулю. Это значит, что заданная совокупность функций линейно независима.

Ответ : совокупность функций независима.

В Теореме 8.4 рассмотрена произвольная совокупность функций. А что, если совокупность функций ,,...,составлена из решений линейного однородного уравнения? Оказывается верна следующая Теорема.

Теорема :

Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения: с непрерывными коэффициентами , были линейно независимы на интервале , необходимо и достаточно, чтобы определитель для всех .

Доказательство теоремы:

1). Пусть
для всех
. В таком случае функции ,,..., линейно независимы на интервале
, в любом случае: будут эти функции решениями уравнения (14), или нет.

2). Пусть теперь имеем решения ,,..., уравнения (14), причем известно, что они линейно независимы на
. Допустим, что все-таки нашлось значение = такое, что
=0. Составим систему уравнений (формально ):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (15)

Система (15) есть система линейных однородных уравнений. По предположению
=0, следовательно, для точки = она имеет ненулевое решение.

Обозначим строки системы уравнений (15) через:
=0,
=0, ... ,
=0. Теперь учтем, что линейная комбинация = есть тоже решение уравнения (14): в соответствии с доказанными Теоремами 8.2 и 8.3. Примем для функции в качестве начальных условий:
=0,
=0, ... ,
=0.

Но для уравнения (14) решением будет и такая функция : 0 (очевидно !), причем с начальными условиями: y (x 0)=0, y ′ (x 0)=0, ... , y (n –1) (x 0)=0. Так как для уравнения (14) выполняются условия Теоремы о существовании и единственности решений (для нас сейчас важно второе!), то функции = и y ≡ 0 должны совпадать для всех
. Но это значит, что решения ,,..., – линейно зависимы. Противоречие! ..

Итак, если решения уравнения (14) линейно независимы, то определитель не может быть равным нулю ни в одной точке области определения:
. ◄

Пример 8 –05 : Задана совокупность функций:
,
,
. Исследовать линейную зависимость этой совокупности.

Решение :

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского:

=
=
.

2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Это значит, что заданная совокупность функций линейно независима для любых значений .

Ответ : совокупность функций независима для любых значений .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Метод Бернулли

Дифференциальные уравнения вида называются линейными. Существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя.
МетодБернулли
Решение уравнения ищется в виде . При этой замене получаем: Функцию выбирают из условия .Полученную функцию подставляют в уравнение (учитываем ), решая которое находят функцию .

Однородные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным , если правая часть удовлетворяет соотношению

для всех значений t . Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y :

Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде

или через дифференциалы:

где P (x,y ) и Q (x,y ) − однородные функции одинакового порядка.

Определение однородной функции

Функция P (x,y ) называется однородной функцией порядка n , если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение:

32.Линейная зависимость и независимость системы функций на интервале. Функции y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x), определённые на отрезке [ a ; b ], называются линейно зависимыми на [ a ; b ] , если существуют постоянные α 1 , α 2 , ..., α n , не равные нулю одновременно и такие, что α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) + ... + α n y n (x) = 0 для всех x из отрезка [ a ; b ]. В противном случае функции y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x a ;b ] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является на этом отрезке линейной комбинацией других.

Очевидны следующие утверждения.

Если среди функций y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x ) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.

Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y k (x ) линейно зависимы, то при любых y k + 1 (x ), y k + 2 (x ), ..., y n (x ) функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y k (x ), y k + 1 (x ), ..., y n (x ) также линейно зависимы.

Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x ) линейно зависимы на отрезке [a ;b ] , то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a ;b ] .

Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x ) линейно независимы на [a ;b ] , то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b ] (если, они определены на этом отрезке).

Определитель Вронского. Общие теоремы

Дадим признак линейной независимости n частных решений однородного линейного уравнения n -го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

W (x ) =

Этот определитель называется определителем Вронского решений y 1 , y 2 , …, y n .

Теорема. Для того чтобы решения были линейно независимы в (a , b ), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L (y ) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W (x ) не обращался в нуль ни в одной точке из (a , b ).

Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L (y ) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского-Лиувилля:

W (x ) = W (x 0) .

Из формулы видно, что определитель Вронского n решений уравнения L (y ) = 0 обладает двумя замечательными свойствами:

1. Если W (x ) обращается в нуль в одной точке из интервала (a , b ), то он равен нулю во всех точках этого интервала.
2. Если W (x ) не равен нулю в одной точке из интервала (a , b ), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

Таким образом, для того, чтобы n решений составляли фундаментальную систему решений уравнения L (y ) = 0 в интервале (a , b ), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x 0 ∈ (a , b ).

Определитель Вронского

Определитель Вронского системы функций, дифференцируемых на промежутке (n-1)-раз -- функция на I, задаваемая определителем следующей матрицы:

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций с n компонентами. Тогда определитель будет выглядеть так (обозначу его через):

Вектор-функция -- функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

• 1. Одна скалярная переменная -- тогда значения вектор-функции определяют в некоторую кривую;
• 2. m скалярных переменных -- тогда значения вектор-функции образуют в, вообще говоря, m-мерную поверхность;
• 3. Векторная переменная -- в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на.

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми.

Свойства определителя Вронского

• 1. Если линейно зависимы на интервале, то
• 2. Если определитель Вронского на интервале отличается от нуля хотя бы в одной точке, то функции являются линейно независимыми. Обратное вообще говоря неверно.
• 3. Если - решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка, то называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке, что означает линейную независимость функций.
• 4. Если - решения линейной однородной системы, то либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке, что означает линейную не зависимость функций.

1. Убедимся, что вронскиан линейно-зависимых функций, равен нулю:

2. Проверим теперь линейную независимость функций, :

Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.

3. Приведём теперь пример, когда вронскиан всюду равен нулю, но функции всё равно линейно независимы. Зададим две функции:

Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду равен нулю:

Однако эти функции, очевидно, являются линейно-независимыми. Видим, что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.

Системы линейных дифференциальных уравнений

Определение. Система Дифференциальных Уравнений называется линейной , если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

Общий вид системы дифференциальных уравнений

Если задано начальное условие: , (3)

то решение будет единственным при условии, что вектор-функция непрерывна на и коэффициенты матрицы: тоже непрерывные функции.

Введем линейный оператор, тогда (6) можно переписать в виде:

если, то операторное уравнение (4) называется однородным и имеет вид:

в ином случае оно называется неоднородным .

Так как оператор линейный, то для него выполняются следующие свойства:

• 1. Если решение однородной системы (5), то будет тоже решением уравнения (5).
• 2. Если являются решением (5), то тоже решение (5).

Рассмотрим ЛОУ.

Какие-то решения ЛОУ.

Определителем Вронского (вронскиан) называется W(x)=

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций . Если система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во . Если функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа c1,c2,...,cn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

Продифференцируем по x равенство n - 1 раз и составим систему уравнений:

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно c1,c2,...,cn. Определитель этой системы - определитель Вронского W(x).

При эта система имеет нетривиальное решение c1,c2,...,cn, следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Итак, W(x) = 0 при , т.е.W(x) на (a, b).

Теорема Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке , то система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Док-во:

Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W() является определителем,

имеет нетривиальное решение относительно C1, C2, …, Cn. Рассмотрим линейную комбинацию функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с этими коэффициентами C1, C2, …, Cn:

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).

Эта функция удовлетворяет уравнению и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x0, т.е. является решением задачи Коши

Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) = 0 для . Таким образом, система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Теорема. Если определитель Вронского W(x) системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала.

Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a, b), что противоречит условию .

Теорема. Если W(x) - определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).

Существование фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения.

Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.

Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

Возьмём любую точку и сформулируем для уравнения n задач Коши, причём начальные условия в точке x0 для i-ой задачи возьмём из i-го столбца этого определителя:

Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x0 равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

Вторая сторона медали, которую мы сейчас будем обсуждать. это определитель Вронского. Так же, как и для уравнений n-го порядка, он возникает при попытке найти ту линейную комбинацию

которая удовлетворяет заданному начальному условию ж(/,о) = Т что сводится к решению векторного уравнения

На это уравнение можно смотреть двояко: с одной стороны, это задача разложения вектора? по системе векторов х г (Ьф), для разрешимости которой для любого? необходимо, чтобы вектора x l (to) образовывали базис. С другой просто система линейных алгебраических неоднородных уравнений, для разрешимости которой (для любой правой части) необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы не равнялся нулю.

Нетрудно видеть, что матрица, определитель которой нас интересует, это матрица, столбцы которой есть просто решения x l (t).

Определение 18.5 Пусть

набор вектор-функций, являющихся решениями системы (18.5). Тогда определитель

называется определителем Вронского 6 системы решений ж 1 (?),..., x n (t).

Теорема 18.2 Пусть ж 1 (t), ar(f),..., x n (t) некоторый набор решений системы (18.5). Тогда следующие пять утверждений эквивалентны:

“Название „определитель Вронского" (или более коротко „вронскиан") оправ- дывается не только происхождением. Если рассмотреть линейное уравнение n-го порядка

• 1) система вектор-функций x l (t),x 2 (t),..., x n (t) линейно зависим,а на (а,0);
• 2) для любого фиксированного t*?(a,/3) система векторов x l (t*), x 2 (t*),..., x n (t*) линейно зависима;

H) существует, такое t* ? что система векторов ж 1 ^*),

x 2 (t*), x n (t*) линейно зависима;

• 4) W(t) = 0 для всех t ? (а,(3);
• 5) существует такое t* ? (а,0), что W(t*) = О.

Следствие. Эквивалентны и противоположные утверждения:

I) система вектор-функций x l (t ), x 2 (t),..., x n (t ) линейно независима на (а, /3):

• 2) для любого фиксированного t* ? (а, (3) система векторов x l (t*), x 2 (t*),..., x n (t*) линейно независима;
• 3) существует такое t* ? (а,(3 ). что система векторов x l (t*), x 2 (t*), .... x n (t*) линейно независима;
• 4) W(t) ф 0 для всех t ? (a, ft) :

и перейти к эквивалентной системе

то, поскольку мы обозначили мри этом Xi = Х,Х2 = Х,...,Х п = Х^ п 1 ", каждому решению 4>j{t) уравнения будет соответствовать решение

Определитель Вронского, построенный но набору решений векторной системы окажется тогда равным

то есть совпадет в точности с определителем Вронского для системы решений исходного уравнения. Таким образом, определитель Вронского для решений уравнений и определитель Вронского для решений эквивалентной ему системы не просто аналогичны они в точности совпадают друг с другом.

5) существует такое t* € (а,/3), что W(t*) ф 0.

Доказательство теоремы проводится но схеме 1=>2=>3=>1с дополнительными „довесками 11 2 4 и 3 5.

Эквивалентности 2 о 4 и 3 О 5 являются по существу хороню известным утверждением из алгебры о том. что определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее столбцы линейно зависимы.

Импликацию 1 => 2 мы уже обсуждали из линейной зависимости вектор-функций следует линейная зависимость векторов при каждом t. Импликация 2 => 3 тривиальна. Остается доказать самое существенное импликацию 3 => 1.

Итак, пусть для некоторого t* вектора x l (t*),x 2 (t*),... ,x n (t*) линейно зависимы. Найдем такую нетривиальную линейную комбинацию этих векторов, которая дает нулевой вектор

и построим линейную комбинацию наших решений с теми же коэффициентами:

Эта функция будет решением системы (18.4) и будет удовлетворять нулевому начальному условию при t = t*:

Поскольку нулевому начальному условию удовлетворяет также еще одно очевидное решение системы нулевое то. по теореме существования и единственности (здесь мы пользуемся именно единственностью), два указанных решения обязаны совпадать. Но x{t) = 0 означает, что нетривиальная линейная комбинация вектор-функций x l (t) равна нулю:

Линейная зависимость системы вектор-функций x l {t) доказана. Доказательство теоремы завершено.