По дисциплине: Статистика

Вариант № 2

Средние величины, применяемые в статистике

Введение………………………………………………………………………….3

Теоретическое задание

Средняя величина в статистике, ее сущность и условия применения.

1.1. Сущность средней величины и условия применения………….4

1.2. Виды средних величин……………………………………………8

Практическое задание

Задача 1,2,3………………………………………………………………………14

Заключение……………………………………………………………………….21

Список используемой литературы……………………………………………...23

Введение

Данная контрольная работа состоит из двух частей – теоретической и практической. В теоретической части будет подробно рассмотрена такая важная статистическая категория как средняя величина с целью выявления её сущности и условий применения, а также выделения видов средних и способов их расчёта.

Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся) признакам статистика использует средние величины.

Сущность средней величины

Средняя величина - это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом.

Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная тенденция развития, необходимость, закономерность. Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц.

В современных условиях развития рыночных отношений в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей социально-экономических явлений. Однако в экономическом анализе нельзя ограничиваться лишь средними показателями, так как за общими благоприятными средними могут скрываться и крупные серьезные недостатки в деятельности отдельных хозяйствующих субъектов, и ростки нового, прогрессивного. Например, распределение населения по доходу позволяет выявлять формирование новых социальных групп. Поэтому наряду со средними статистическими данными необходимо учитывать особенности отдельных единиц совокупности.

Средняя величина являются равнодействующей всех факторов, оказывающих влияние на изучаемое явление. То есть, при расчете средних величин взаимопогашаются влияние случайных (пертурбационных, индивидуальных) факторов и, таким образом, возможно определение закономерности, присущей исследуемому явлению. Адольф Кетле подчеркивал, что значение метода средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, и существование средних величин является категорией объективной действительности.

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает как общими для всей совокупности, так и особенными, индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными явлениями называют вариацией. Другое свойство массовых явлений - присущая им близость характеристик отдельных явлений. Итак, взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств. Эта тенденция существует объективно. Именно в её объективности заключается причина широчайшего применения средних величин на практике и в теории.

Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчёте на единицу качественно однородной совокупности.

В экономической практике используется широкий круг показателей, вычисленный в виде средних величин.

С помощью метода средних величин статистика решает много задач.

Главное значение средних состоит в их обобщающей функции, то есть замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности.

Однако неправильно сводить роль средних величин только к характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чаще современная статистика использует средние величины, обобщающие явно однородные явления.

Средняя величина национального дохода на душу населения, средняя урожайность зерновых культур по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания – это характеристики государства как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.

Системные средние могут характеризовать как пространственные или объектные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.д.), так и динамические системы, протяжённые во времени (год, десятилетие, сезон и т.д.).

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в целом определяется ее финансовым положением. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Вычисление среднего - один из распространённых приёмов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости.

Средняя – это сводная характеристика закономерностей процесса в тех условиях, в которых он протекает.

Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку, но для характеристики любой совокупности, описания её типических черт и качественных особенностей нужна система средних показателей. Поэтому в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, как правило, исчисляется система средних показателей. Так, например, показатель средней заработной платы оцениваются совместно с показателями средней выработки, фондовооружённости и энерговооружённости труда, степенью механизации и автоматизации работ и др.

Средняя должна вычисляться с учётом экономического содержания исследуемого показателя. Поэтому для конкретного показателя, используемого в социально экономическом анализе, можно исчислить только одно истинное значение средней на базе научного способа расчёта.

Средняя величина это один из важнейших обобщающих статистических показателей, характеризующий совокупность однотипных явлений по какому-либо количественно варьирующему признаку. Средние в статистике это обобщающие показатели, числа, выражающие типичные характерные размеры общественных явлений по одному количественно варьирующему признаку.

Виды средних величин

Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.

Средняя арифметическая

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объём признака в совокупности остаётся неизменным. Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина – среднее слагаемое. При её вычислении общий объём признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (х) и количество единиц совокупности с определённым значением признака (f).

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая

Простая используется, если каждое значение признака х встречается один раз, т.е. для каждого х значение признака f=1, или если исходные данные не упорядочены и неизвестно, сколько единиц имеют определённые значения признака.

Формула средней арифметической простой имеет вид.

,

В математике и статистике среднее арифметическое (либо легко среднее ) комплекта чисел - это сумма всех чисел в этом комплекте, поделённая на их число. Среднее арифметическое является особенно всеобщим и самым распространённым представлением средней величины.

Вам понадобится

  • Знания по математике.

Инструкция

1. Пускай дан комплект из четырех чисел. Нужно обнаружить среднее значение этого комплекта. Для этого вначале обнаружим сумму всех этих чисел. Возможен эти числа 1, 3, 8, 7. Их сумма равна S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Комплект чисел должен состоять из чисел одного знака, в отвратном случае толк в вычислении среднего значения теряется.

2. Среднее значение комплекта чисел равно сумме чисел S, деленной на число этих чисел. То есть получается, что среднее значение равно: 19/4 = 4.75.

3. Для комплекта числе также дозволено обнаружить не только среднее арифметическое, но и среднее геометрическое. Средним геометрическим нескольких правильных вещественных чисел именуется такое число, которым дозволено заменить всякое из этих чисел так, дабы их произведение не изменилось. Среднее геометрическое G ищется по формуле: корень N-ой степени из произведения комплекта чисел, где N – число числе в комплекте. Разглядим тот же комплект чисел: 1, 3, 8, 7. Обнаружим их среднее геометрическое. Для этого посчитаем произведение: 1*3*8*7 = 168. Сейчас из числа 168 нужно извлечь корень 4-ой степени: G = (168)^1/4 = 3.61. Таким образом среднее геометрическое комплекта чисел равно 3.61.

Среднее геометрическое в совокупности применяется реже, чем арифметическое среднее, впрочем оно может быть пригодно при вычислении среднего значения показателей, изменяющихся с течением времени (заработная плата отдельного работника, динамика показателей успеваемости и т.п.).

Вам понадобится

  • Инженерный калькулятор

Инструкция

1. Для того дабы обнаружить среднее геометрическое ряда чисел, для начала надобно перемножить все эти числа. Скажем, вам дан комплект из пяти показателей: 12, 3, 6, 9 и 4. Перемножим все эти числа: 12х3х6х9х4=7776.

2. Сейчас из полученного числа надобно извлечь корень степени, равной числу элементов ряда. В нашем случае из числа 7776 необходимо будет извлечь корень пятой степени при помощи инженерного калькулятора. Полученное позже этой операции число – в данном случае число 6 – будет являться средним геометрическим для начальной группы чисел.

3. Если у вас под рукой нет инженерного калькулятора, то вычислить среднее геометрическое ряда чисел дозволено с поддержкой функции СРГЕОМ в программе Excel либо при помощи одного из онлайн-калькуляторов, намеренно предуготовленных для вычисления средних геометрических значений.

Обратите внимание!
Если понадобится обнаружить среднее геометрическое каждого для 2-х чисел, то инженерный калькулятор вам не потребуется: извлечь корень 2-й степени (квадратный корень) из всякого числа дозволено при помощи самого обыкновенного калькулятора.

Полезный совет
В различие от среднего арифметического, на геометрическое среднее не так мощно влияют огромные отклонения и колебания между отдельными значениями в исследуемом комплекте показателей.

Среднее значение – это одна из колляций комплекта чисел. Представляет собой число, которое не может выходить за пределы диапазона, определяемого наибольшим и наименьшим значениями в этом комплекте чисел. Среднее арифметическое значение – особенно зачастую применяемая разновидность средних.

Инструкция

1. Сложите все числа множества и поделите их на число слагаемых, дабы получить среднее арифметическое значение. В зависимости от определенных условий вычисления изредка бывает проще разделять всякое из чисел на число значений множества и суммировать итог.

2. Используйте, скажем, входящий в состава ОС Windows калькулятор, если вычислить среднее арифметическое значение в уме не представляется допустимым. Открыть его дозволено с поддержкой диалога запуска программ. Для этого нажмите «жгучие клавиши» WIN + R либо щелкните кнопку «Пуск» и выберите в основном меню команду «Исполнить». После этого напечатайте в поле ввода calc и нажмите на клавиатуре Enter либо щелкните кнопку «OK». Это же дозволено сделать через основное меню – раскройте его, перейдите в раздел «Все программы» и в сегменты «Типовые» и выберите строку «Калькулятор».

3. Введите ступенчато все числа множества, нажимая на клавиатуре позже всего из них (помимо последнего) клавишу «Плюс» либо щелкая соответствующую кнопку в интерфейсе калькулятора. Вводить числа тоже дозволено как с клавиатуры, так и щелкая соответствующие кнопки интерфейса.

4. Нажмите клавишу с косой чертой (слэш) либо щелкните данный значок в интерфейсе калькулятора позже ввода последнего значения множества и напечатайте число чисел в последовательности. После этого нажмите знак равенства, и калькулятор рассчитает и покажет среднее арифметическое значение.

5. Дозволено для этой же цели применять табличный редактор Microsoft Excel. В этом случае запустите редактор и введите в соседние ячейки все значения последовательности чисел. Если позже ввода всего числа вы будете нажимать Enter либо клавишу со стрелкой вниз либо вправо, то редактор сам будет перемещать фокус ввода в соседнюю ячейку.

6. Выделите все введенные значения и в левом нижнем углу окна редактора (в строке состояния) увидите среднеарифметическое значение для выделенных ячеек.

7. Щелкните следующую за последним введенным числом ячейку, если вам не довольно только увидеть среднее арифметическое значение. Раскройте выпадающий список с изображением греческой буквы сигма (Σ) в группе команд «Редактирование» на вкладке «Основная». Выберите в нем строку «Среднее » и редактор вставит необходимую формулу для вычисления среднеарифметического значения в выделенную ячейку. Нажмите клавишу Enter, и значение будет рассчитано.

Среднее арифметическое – одна из мер центральной склонности, обширно применяемая в математике и статистических расчетах. Обнаружить среднее арифметическое число для нескольких значений дюже легко, но у всякой задачи есть свои нюансы, знать которые для выполнения правильных расчетов примитивно нужно.

Что такое среднее арифметическое число

Среднее арифметическое число определяет усредненное значение для каждого начального массива чисел. Другими словами, из некоторого множества чисел выбирается всеобщее для всех элементов значение, математическое сопоставление которого со всеми элементами носит приближенно равный нрав. Среднее арифметическое число применяется, предпочтительно, при составлении финансовых и статистических отчетов либо для расчетов количественных итогов проведенных сходственных навыков.

Как обнаружить среднее арифметическое число

Поиск среднего арифметического числа для массива чисел следует начинать с определения алгебраической суммы этих значений. К примеру, если в массиве присутствуют числа 23, 43, 10, 74 и 34, то их алгебраическая сумма будет равна 184. При записи среднее арифметическое обозначается буквой? (мю) либо x (икс с чертой). Дальше алгебраическую сумму следует поделить на число чисел в массиве. В рассматриваемом примере чисел было пять, следственно среднее арифметическое будет равно 184/5 и составит 36,8.

Особенности работы с негативными числами

Если в массиве присутствуют негативные числа, то нахождение среднего арифметического значения происходит по аналогичному алгорифму. Разница имеется только при рассчетах в среде программирования, либо же если в задаче есть добавочные данные. В этих случаях нахождение среднего арифметического чисел с различными знаками сводится к трем действиям:1. Нахождение всеобщего среднего арифметического числа стандартным способом;2. Нахождение среднего арифметического негативным чисел.3. Вычисление среднего арифметического позитивных чисел.Результаты всякого из действий записываются через запятую.

Натуральные и десятичные дроби

Если массив чисел представлен десятичными дробями, решение происходит по способу вычисления среднего арифметического целых чисел, но сокращение итога производится по требованиям задачи к точности результата.При работе с естественными дробями их следует привести к всеобщему знаменателю, тот, что умножается на число чисел в массиве. В числителе результата будет сумма приведенных числителей начальных дробных элементов.

Среднее геометрическое чисел зависит не только от безусловной величины самих чисел, но и от их числа. Невозможно путать среднее геометрическое и среднее арифметическое чисел, от того что они находятся по различным методологиям. При этом среднее геометрическое неизменно поменьше либо равно среднему арифметическому.

Вам понадобится

  • Инженерный калькулятор.

Инструкция

1. Рассматривайте, что в всеобщем случае среднее геометрическое чисел находится путем перемножения этих чисел и извлечения из них корня степени, которая соответствует числу чисел. Скажем, если надобно обнаружить среднее геометрическое пяти чисел, то из произведения необходимо будет извлекать корень пятой степени.

2. Для нахождения среднего геометрического 2-х чисел используйте основное правило. Обнаружьте их произведение, позже чего извлеките из него квадратный корень, от того что числа два, что соответствует степени корня. Скажем, для того дабы обнаружить среднее геометрическое чисел 16 и 4, обнаружьте их произведение 16 4=64. Из получившегося числа извлеките квадратный корень?64=8. Это и будет желанная величина. Обратите внимание на то, что среднее арифметическое этих 2-х чисел огромнее и равно 10. Если корень не извлекается нацело, произведите округление итога до надобного порядка.

3. Дабы обнаружить среднее геометрическое больше чем 2-х чисел, тоже используйте основное правило. Для этого обнаружьте произведение всех чисел, для которых надобно обнаружить среднее геометрическое. Из полученного произведения извлеките корень степени, равной числу чисел. Скажем, дабы обнаружить среднее геометрическое чисел 2, 4 и 64, обнаружьте их произведение. 2 4 64=512. От того что необходимо обнаружить итог среднего геометрического 3 чисел, что из произведения извлеките корень третей степени. Сделать это устно затруднительно, следственно воспользуйтесь инженерным калькулятором. Для этого в нем есть кнопка “x^y”. Наберите число 512, нажмите кнопку “x^y”, позже чего наберите число 3 и нажмите кнопку “1/х”, дабы обнаружить значение 1/3, нажмите кнопку “=”. Получим итог возведения 512 в степень 1/3, что соответствует корню третьей степени. Получите 512^1/3=8. Это и есть среднее геометрическое чисел 2,4 и 64.

4. С поддержкой инженерного калькулятора дозволено обнаружить среднее геометрическое иным методом. Обнаружьте на клавиатуре кнопку log. Позже этого возьмите логарифм для всего из чисел, обнаружьте их сумму и поделите ее на число чисел. Из полученного числа возьмите антилогарифм. Это и будет среднее геометрическое чисел. Скажем, для того дабы обнаружить среднее геометрическое тех же чисел 2, 4 и 64, сделайте на калькуляторе комплект операций. Наберите число 2, позже чего нажмите кнопку log, нажмите кнопку “+”, наберите число 4 и вновь нажмите log и “+”, наберите 64, нажмите log и “=”. Итогом будет число, равное сумме десятичных логарифмов чисел 2, 4 и 64. Полученное число поделите на 3, от того что это число чисел, по которым ищется среднее геометрическое. Из итога возьмите антилогарифм, переключив кнопку регистра, и используйте ту же клавишу log. В итоге получится число 8, это и есть желанное среднее геометрическое.

Обратите внимание!
Среднее значение не может быть огромнее самого большого числа в комплекте и поменьше самого маленького.

Полезный совет
В математической статистике среднее значение величины именуется математическим ожиданием.

Самым распространенным видом средней является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая

Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего — это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Найти среднюю заработную плату
Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Средняя арифметическая взвешенная

Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.

Представим это в виде следующей формулы:

Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

Ответ: 3,35 тыс.руб.

Средняя арифметическая для интервального ряда

При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.

Пример 3 . Определить средний возраст студентов вечернего отделения.

Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному.

При расчете средних в качестве весов могут использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):

Средняя арифметическая обладает целым рядом свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и упрощают расчет:

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т.е.

2.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:

3.Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю:

4.Сумма квадратов отклонений вариантов от средней меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой произвольной величины , т.е.

Метод средних величин

3.1 Сущность и значение средних величин в статистике. Виды средних величин

Средней величиной в статистике называется обобщенная характеристика качественно однородных явлений и процессов по какому-либо варьирующему признаку, которая показывает уровень признака, отнесенный к единице совокупности. Средняя величина абстрактна, т.к. характеризует значение признака у некоторой обезличенной единицы совокупности. Сущность средней величины состоит в том, что через единичное и случайное выявляется общее и необходимое, т. е. тенденция и закономерность в развитии массовых явлений. Признаки, которые обобщают в средних величинах, присущи всем единицам совокупности . Благодаря этому средняя величина имеет большое значение для выявления закономерностей, присущих массовым явлениям и не заметных в отдельных единицах совокупности

Общие принципы применения средних величин :

    необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя величина;

    при определении средней величины нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь исследуемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные;

    средние величины должны рассчитываться по качественно однородным совокупностям, которые получают методом группировок, предполагающим расчёт системы обобщающих показателей;

    общие средние должны подкрепляться групповыми средними.

В зависимости от характера первичных данных, области применения и способа расчета в статистике различают следующие основные виды средних :

1) степенные средние (средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, средняя квадратическая и кубическая);

2) структурные (непараметрические) средние (мода и медиана).

В статистике правильную характеристику изучаемой совокупности по варьирующему признаку в каждом отдельном случае дает только вполне определенный вид средней. Вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности, а также исходя из принципа осмысленности результатов при суммировании или при взвешивании. Эти и другие принципы в статистике выражаютсятеорией средних .

Например, средняя арифметическая и средняя гармоническая используются для характеристики среднего значения варьирующего признака у изучаемой совокупности. Средняя геометрическая применяется только при исчислении средних темпов динамики, а средняя квадратическая только при исчислении показателей вариации.

Формулы расчёта средних величин представлены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Формулы расчёта средних величин

Виды средних величин

Формулы расчёта

простая

взвешенная

1. Средняя арифметическая

2. Средняя гармоническая

3. Средняя геометрическая

4. Средняя квадратическая

Обозначения: - величины, для которых исчисляется средняя; - средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений; - частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

Очевидно, что различные средние выводятся из общей формулы степенной средней (3.1) :

, (3.1)

при k = + 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = +2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называются величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность; в связи с этим каждый вариант приходится умножать на эту численность. «Весами» при этом выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней .

В итоге правильный выбор средней величины предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности;

б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.

3.2 Средняя арифметическая и её свойства и техника исчисления. Средняя гармоническая

Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней величины; она исчисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Важнейшие свойства средней арифметической :

1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант (отдельных значений) на частоты.

2. Если от каждой варианты отнять (прибавить) какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число.

3. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое-то произвольное число, то новая средняя увеличится (уменьшится) во столько же раз

4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится.

5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю.

Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частностями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Этот способ расчета средней арифметической называется способом расчета от условного нуля .

Средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000).

Средняя квадратическая применяется для измерения вариации признака в совокупности (расчета среднего квадратического отклонения).

В статистике действует правило мажорантности средних:

Х гарм. < Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Структурные средние величины (мода и медиана)

Для определения структуры совокупности используют особые средние показатели, к которым относятся медиана и мода или так называемые структурные средние. Если средняя арифметическая рассчитывается на основе использования всех вариантов значений признака, то медиана и мода характеризуют величину того варианта, который занимает определенное среднее положение в ранжированном вариационном ряду

Мода - наиболее типичное, чаще всего встречаемое значение признака. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой. Для определения моды интервального ряда сначала определяют модальный интервал (интервал, имеющий наибольшую частоту). Затем в пределах этого интервала находят то значение признака, которое может являться модой.

Чтобы найти конкретное значение моды интервального ряда, необходимо использовать формулу (3.2)

(3.2)

где Х Мо - нижняя граница модального интервала; i Мо - величина модального интервала; f Мо - частота модального интервала; f Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному; f Мо+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Мода имеет широкое распространение в маркетинговой деятельности при изучении покупательского спроса, особенно при определении пользующихся наибольшим спросом размеров одежды и обуви, при регулировании ценовой политики.

Медиана - значение варьирующего признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности. Дляранжированного ряда с нечетным числом индивидуальных величин (например, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) медианой будет величина, которая расположена в центре ряда, т.е. четвёртая величина - 6. Дляранжированного ряда с четным числом индивидуальных величин (например, 1, 5, 7, 10, 11, 14) медианой будет средняя арифметическая величина, которая рассчитывается из двух смежных величин. Для нашего случая медиана равна (7+10)/2= 8,5.

Т. о., для нахождения медианы сначала необходимо определить ее порядковый номер (ее положение в ранжированном ряду) по формулам (3.3):

(если частот нет)

N Me =
(если частоты есть) (3.3)

где n - число единиц в совокупности.

Численное значение медианы интервального ряда определяют по накопленным частотам в дискретном вариационном ряду. Для этого сначала следует указать интервал нахождения медианы в интервальном ряду распределения. Медианным называют первый интервал, где сумма накопленных частот превышает половину наблюдений от общего числа всех наблюдений.

Численное значение медианы обычно определяют по формуле (3.4)

(3.4)

где x Ме - нижняя граница медианного интервала; iМе - величина интервала; SМе -1 - накопленная частота интервала, которая предшествует медианному; fМе - частота медианного интервала.

Внутри найденного интервала расчет медианы производится также по формуле Ме = xl е, где второй множитель в правой части равенства показывает расположение медианы внутри медианного интервала, а х - длина этого интервала. Медиана делит вариационный ряд пополам по частотам. Определяют ещеквартили , которые делят вариационный ряд на 4 равновеликие по вероятности части, идецили , делящие ряд на 10 равновеликих частей.


Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя величина это:

1) наиболее типичное для совокупности значение признака;

2) объем признака совокупности, распределенный поровну между единицами совокупности.

Признак, для которого рассчитывается средняя величина, в статистике называется «осредняемый».

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т.е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Важно отметить, что в процессе осреднения совокупное значение уровней признака или конечное его значение (в случае расчета средних уровней в ряду динамики) должно оставаться неизменным. Другими словами, при расчете средней величины объем исследуемого признака не должен быть искажен, и выражения, составляемые при расчетах средней, обязательно должны иметь смысл.

Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Остановимся на некоторых общих принципах применения средних величин.

1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.

2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.

3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.

4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

5.2. Виды средних и способы их вычисления

Рассмотрим теперь виды средних величин, особенности их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

,

где X i – варианта (значение) осредняемого признака;

n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид

,

где X i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

f i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Виды степенных средних

Вид степенной
средней

Показатель
степени (m)

Формула расчета

Простая

Взвешенная

Гармоническая

Геометрическая

Арифметическая

Квадратическая

Кубическая

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. Покажем это правило на примере средней геометрической.

Формула средней геометрической

используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q 0) и последующим наращиванием по годам:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Приняв q n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

Отсюда



Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

,

где X Me – нижняя граница медианного интервала;

h Me – его величина;

(Sum m)/2 – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);

S Me-1 – сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

m Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (также в абсолютном либо относительном выражении).

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

,

где Х Mo – нижнее значение модального интервала;

m Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);

m Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;

m Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;

h – величина интервала изменения признака в группах.

ЗАДАЧА 1

Имеются следующие данные по группе промышленных предприятий за отчетный год

№

предприятия

Объем продукции, млн. руб.

Среднесписочное число работников, чел.

Прибыль, тыс. руб.

197,7

10,0

13,5

22,8

1500

136,2

465,5

18,4

1412

97,6

296,2

12,6

1200

44,4

584,1

22,0

1485

146,0

480,0

119,0

1420

110,4

57805

21,6

1390

138,7

204,7

30,6

466,8

19,4

1375

111,8

292,2

113,6

1200

49,6

423,1

17,6

1365

105,8

192,6

30,7

360,5

14,0

1290

64,8

280,3

10,2

33,3

Требуется выполнить группировку предприятий по обмену продукции, приняв следующие интервалы:

    до 200 млн. руб.

    от 200 до 400 млн. руб.

  1. от 400 до 600 млн. руб.

    По каждой группе и по всем вместе определить число предприятий, объем продукции, среднесписочное число работников, среднюю выработку продукции на одного работника. Результаты группировки представить в виде статистической таблицы. Сформулировать вывод.

    РЕШЕНИЕ

    Произведем группировку предприятий по обмену продукции, расчет числа предприятий, объема продукции, среднесписочного числа работников по формуле простой средней. Результаты группировки и расчетов сводим в таблицу.

    Группы по объему продукции

    №

    предприятия

    Объем продукции, млн. руб.

    Среднегодовая стоимость основных средств, млн. руб.

    Среднеспи

    сочное число работников, чел.

    Прибыль, тыс. руб.

    Средняя выработка продукции на одного работника

    1 группа

    до 200 млн. руб.

    1,8,12

    197,7

    204,7

    192,6

    10,0

    9,4

    8,8

    900

    817

    13,5

    30,6

    30,7

    28,2

    2567

    74,8

    0,23

    Средний уровень

    198,3

    24,9

    2 группа

    от 200 до 400 млн. руб.

    4,10,13,14

    196,2

    292,2

    360,5

    280,3

    12,6

    113,6

    14,0

    10,2

    1200

    1200

    1290

    44,4

    49,6

    64,8

    33,3

    1129,2

    150,4

    4590

    192,1

    0,25

    Средний уровень

    282,3

    37,6

    1530

    64,0

    3 группа

    от 400 до

    600 млн.

    2,3,5,6,7,9,11

    592

    465,5

    584,1

    480,0

    578,5

    466,8

    423,1

    22,8

    18,4

    22,0

    119,0

    21,6

    19,4

    17,6

    1500

    1412

    1485

    1420

    1390

    1375

    1365

    136,2

    97,6

    146,0

    110,4

    138,7

    111,8

    105,8

    3590

    240,8

    9974

    846,5

    0,36

    Средний уровень

    512,9

    34,4

    1421

    120,9

    Всего по совокупности

    5314,2

    419,4

    17131

    1113,4

    0,31

    В среднем по совокупности

    379,6

    59,9

    1223,6

    79,5

    Вывод. Таким образом, в рассматриваемой совокупности наибольшее число предприятий по объему продукции попало в третью группу – семь, или половина предприятий. Величина среднегодовой стоимости основных средств также в данной группе, как и большая величина среднесписочного числа работников – 9974 человек, наименее прибыльны предприятия первой группы.

    ЗАДАЧА 2

    Имеются следующие данные по предприятиям фирмы

    Номер предприятия, входящего в фирму

    I квартал

    II квартал

    Выпуск продукции, тыс. руб.

    Отработано рабочими человеко-дней

    Средняя выработка на одного рабочего в день, руб.

    59390,13