Решётка Браве

Решётка Браве́ - понятие для характеристики кристаллической решётки относительно сдвигов. Названа в честь французского физика Огюста Браве . Решеткой или системой трансляций Браве называется набор элементарных трансляций или трансляционная группа , которыми может быть получена вся бесконечная кристаллическая решётка. Все кристаллические структуры описываются 14 решётками Браве, число которых ограничивается симметрией .

Типы решёток Браве

Разделяют двухмерные и трехмерные решётки Браве.

  • Пять двухмерных решёток Браве
Решетка Элементарная ячейка Точечная группа симметрии
Косоугольная Параллелограмм; 2
Квадратная Квадрат;
Гексагональная -ный ромб;
Примитивная прямоугольная Прямоугольник;
Центрированная прямоугольная Прямоугольник;

Обозначение указывает на наличие двух плоскостей зеркального отражения

Кристаллографическая система Число ячеек в системе Символ ячейки Характеристики элементарной ячейки
Триклинная 1 P
Моноклинная 2 P , C
Ромбическая 4 P , C , I , F
Тетрагональная 2 P , I
Кубическая 3 P , I , F
Тригональная 1 R
Гексагональная 1 P

Решетка Браве и структура кристалла

Решетка Браве является математической моделью, отражающей трансляционную симметрию кристалла. В общем случае, решётка Браве не совпадает с реальным кристаллом, а узлы не соответствуют атомам. Поэтому следует отличать кристаллическую решётку и решётку Браве.

Неоднозначность выбора трансляционных векторов. Площадь элементарных ячеек одинакова

Построение решётки Браве

Понятие решётки Браве связано с основными трансляционными векторами . Основным трансляционным вектором называется минимальный в данном направлении вектор перехода из данной точки в ближайшую эквивалентную. В трехмерном случае таких некомпланарных векторов будет три (обозначим , , ).

Задав нулевую точку, строим совокупность точек по правилу: , где − произвольные целые числа. Получившаяся решётка - решётка Браве.

Элементарная ячейка

Элементарная ячейка решётки Браве - параллелепипед , построенный на основных векторах трансляции. Выбор этих векторов неоднозначен (см. рис.), но объём элементарной ячейки не зависит от выбора трансляционных векторов. Это связано с инвариантностью получающегося детерминанта относительно сложения и вычитания строк.

На элементарную ячейку решётки Браве приходится один узел.

Элементарную ячейку можно задать и другими способами. Например, в форме ячейки Вигнера-Зейтца наглядно видно, что на ячейки приходится один узел.

По симметрии элементарной ячейки выделяют сингонии в кристаллографии и физике твердого тела.


Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Решётка Браве" в других словарях:

    Решётка Браве понятие для характеристики кристаллической решётки относительно сдвигов. Названа в честь французского физика Браве. Решеткой Браве называется бесконечная система точек, которая образуется трансляционным повторением одной точки.… … Википедия

    По В. И. Далю всякая несплошная вещь, со сквозниной, с промежками, пролётами; ряд установленных жердочек, шестиков, или переложенных, переплетённых вдоль и поперек, либо иным образом; строительство и охранные технологии:… … Википедия

    Решётка по В. И. Далю всякая несплошная вещь, со сквозниной, с промежками, пролётами; ряд установленных жердочек, шестиков, или переложенных, переплетённых вдоль и поперек, либо иным образом; В математике Решётка в теории множеств частично… … Википедия

    Вид пространственных решёток (См. Пространственная решётка) кристаллов, установленный впервые французским учёным О. Браве в 1848. Браве высказал гипотезу о том, что пространственные решётки кристаллов построены из закономерно… …

    У этого термина существуют и другие значения, см. Решётка. Кристаллическая решётка вспомогательный геометрический образ, вводимый для анализа строения кристалла. Решётка имеет сходство с канвой или сеткой, что даёт основание называть точки… … Википедия

    Присущее веществу в кристаллическом состоянии правильное расположение атомов (ионов, молекул), характеризующееся периодической повторяемостью в трёх измерениях. Ввиду такой периодичности для описания К. р. достаточно знать размещение… … Большая советская энциклопедия

    Трёхмерная периодическая система точек (узлов), расположенных на вершинах одинаковых параллелепипедов, которые вплотную примыкают друг к другу целыми гранями и заполняют пространство без промежутков. Узлы и параллелепипеды периодически… … Большая советская энциклопедия

    Присущее крист. состоянию в ва регулярное расположение ч ц (атомов, ионов, молекул), характеризующееся периодич. повторяемостью в трёх измерениях. Плоские грани кристалла, образовавшегося в равновесных условиях, соответствуют ат. плоскостям,… … Физическая энциклопедия

    Бесконечная совокупность точек (узлов), расположенных по вершинам равных параллелепипедов, сложенных равными гранями и заполняющих пространство без промежутков; простейшая схема строения кристалла. Параллелепипеды П. р. преобразуются друг в друга … Физическая энциклопедия

    Огюст Браве (1850) Огюст Браве (фр. Auguste Bravais; 23 августа 1811(18110823), Анноне … Википедия

Кубическая система (3). Кубическая система содержит те решетки Бравэ, точечная группа которых совпадает с группой симметрии куба (рис.8). Три решетки Бравэ с неэквивалентными пространственными группами обладают кубической точечной группой: простая кубическая, объемно-центрированная кубическая и гранецентрированная кубическая.

Рассмотрим объемно-центрированную кубическую (о. ц. к) решетку, которая получается, если к простой кубической решетке (ее узлы обозначены как А ) добавить по точке В в центр каждого куба (рис.9).

Если исходная простая кубическая решетка порождается основными векторами

где , , – три ортогональных единичных вектора, направленных вдоль осей x, y, z соответственно, то в качестве тройки основных векторов для о.ц.к. решетки можно выбрать векторы (рис. 10)

, ,

Существует и более симметричный набор (рис. 11):

, , .


Примитивная ячейка, построенная на этих векторах, представлена на рис. 12. Ее объем в два раза меньше объема условной ячейки. Более наглядный вид той же ячейки представлен на рис. 13, здесь понятно, что она представляет собой ромбоэдр (параллелепипед с одинаковыми ребрами, равными половине объемной диагонали условной ячейки о.ц.к.).

Примитивную ячейку о.ц.к. можно выбрать в виде ячейки Вигнера - Зейтца. На рис. 14 окружающий ее куб представляет собой условную о. ц. к. ячейку, в центре и в вершинах которой расположены точки решетки. Шестиугольные грани рассекают пополам отрезки прямых, соединяющие центральную точку с вершинами куба (эти отрезки изображены сплошными линиями). Квадратные грани рассекают пополам отрезки прямых, соединяющие центральную точку с центральными точками каждой из шести соседних кубических ячеек (на фигуре эти линии не показаны).


Рассмотрим гранецентрированную кубическую (г. ц. к.) решетку Браве. Чтобы построить г. ц. к. решетку Браве, нужно добавить к простой кубической решетке на рис.8 по одной дополнительной точке в центре каждой грани.

Она состоит из четырех взаимопроникающих простых кубических решеток, расположенных таким образом, как показано на рис. 15.

Симметричный набор основных векторов (рис. 16) для г.ц.к. решетки имеет вид:

, , .

Построенная на этих векторах примитивная элементарная ячейка – ромбоэдр с шестью гранями в форме ромбов, все ребра которого равны половине диагонали грани условной ячейки г.ц.к. ( /2а) (углы между и , и , и равны 60 о). Она обладает более низкой симметрией, чем условная ячейка г.ц.к. на рис.8 и ее объем в 4 раза меньше объема условной ячейки.

Ячейка Вигнера - Зейтца для г.ц.к. решетки представлена на рис. 18. Окружающий ее куб не является условной кубической ячейкой, показанной на рис. 8, точки решетки расположены в центре этого куба и в центре каждого из 12 его ребер. Каждая из 12 (конгруэнтных) граней перпендикулярна прямой, соединяющей центральную точку с центром ребра.



Г. ц. к. и о. ц, к. решетки Бравэ особенно важны потому, что именно такими кристаллическими решетками (с одним атомом или ионом в каждом узле решетки)тобладает большинство твердых тел. Кристаллов с простой кубической решеткой, однако, чрезвычайно мало - из элементов при нормальных условиях ею обладает только α-фаза полония.

Тетрагональная система (2). Чтобы понизить симметрию куба, можно взять его за противоположные грани и вытянуть в прямую призму с квадратным основанием, но с высотой, не равной сторонам квадрата (рис.8). Группа симметрии такого объекта есть тетрагональная группа. Растягивая подобным образом простую кубическую решетку, можно получить простую тетрагональную решетку Бравэ. Последняя определяется как решетка Бравэ, порождаемая тройкой взаимно перпендикулярных основных векторов, из которых лишь два имеют равную длину. Третью ось называют с-осью. Растягивая аналогичным образом объемноцентрированную и гранецентрированную кубические решетки, удается получить лишь одну решетку тетрагональной системы - центрированную тетрагональную.

Ромбическая система (4). Переходя к менее симметричным деформациям куба, мы можем понизить тетрагональную симметрию, преобразовав в прямоугольники квадратные грани. В результате получается объект с тремя взаимно перпендикулярными ребрами неравной длины (рис.8), группу симметрии которого называют ромбической.

Ромбическая система представлена четырьмя решетками Бравэ: простой, базоцентрированной, объемноцентрированной и гранецентрированной.

Моноклинная система (2). Ромбическую симметрию можно понизить, превратив прямоугольные грани, перпендикулярные с-оси на рис.8, в произвольные параллелограммы. Получающийся объект (рис.8), имеет моноклинную группу симметрии. Моноклинная система состоит из простой и объемноцентрированной решеток Бравэ.

Триклинная система (1). Если наклонить с-ось в простой моноклинной системе так, чтобы она более не была перпендикулярна двум другим осям, получим в объект (рис.8), который не должен удовлетворять никаким ограничениям, кроме требования параллельности противоположных граней. Искажая таким путем любую из моноклинных решеток Бравэ, можно построить триклинную решетку Бравэ. Эта решетка Бравэ порождается тройкой основных векторов, не связанных какими-либо соотношениями, следовательно, она представляет собой решетку Бравэ с минимальной симметрией. Все же триклинная группа не является группой объекта без всякой симметрии, поскольку решетка Бравэ всегда инвариантна относительно инверсии с центром в любой точке решетки. Это, однако, единственная симметрия, требуемая общим определением решетки Бравэ, а следовательно, единственная операция, входящая в триклинную точечную группу.

Тригональная система (1). Тригональная точечная группа описывает симметрию объекта, который получается, если растянуть куб вдоль объемной диагонали (рис.8). В результате такого искажения любой из трех кубических решеток Бравэ возникает ромбоэдрическая (или тригональная) решетка Бравэ. Она порождается тремя основными векторами равной длины, образующими равные углы друг с другом.

Наконец, последняя из систем не имеет отношения к кубу.

Гексагональная система (1). Гексагональная точечная группа получается, если потянуть за диагонально отстоящие друг от друга ребра простой решетки тетрагональной системы, при этом квадрат в основании тетрагональной решетки (рис.8) растянется в ромб с острым углом 60 0 . Решетка - примитивная. Для того чтобы подчеркнуть принадлежность данной элементарной ячейки к гексагональной системе, часто добавляют к ней еще две ячейки, повернутые относительно друг друга на 120°, получая, таким образом, утроенную «ячейку» в форме гексагональной призмы (рис. 19).

Расположить одинаковые твердые шары в пространстве так, чтобы объем, остающийся между ними, был минимален, можно двумя способами.

Первый слой уложим так, чтобы каждый шар соприкасался с шестью другими. Шары второго слоя помещаются над междоузлиями нижнего слоя через одно междоузлие (рис. 20). Если шары третьего слоя поместить прямо над шарами первого слоя, т. е. в узлах типа а, а шары в четвертом - прямо над шарами второго слоя и т. д., то мы получим гексагональную структуру с плотной упаковкой (г. п. у.).

Если же, однако, шары третьего слоя находятся прямо над теми междоузлиями первого слоя, которые не были накрыты сверху шарами второго слоя, т. е. вузлах типа б , шары четвертого слоя помещены прямо над шарами первого и шары пятого слоя - над шарами второго и т.д., то мы получаем г. ц. к. структуру (с направленной вертикально пространственной диагональю куба), ее также называют кубической структурой с плотной упаковкой (рис. 21).

Часть общего объема, запятая твердыми шарами, составляет 0,74 как для кубической, так и для гексагональной структур с плотной упаковкой.

  • Акции акционерного общества: классификация, назначение и роль.
  • Анатомически узкий таз. Этиология. Классификация по форме и степени сужения. Диагностика. Методы родоразрешения.
  • Ангины: 1) определение, этиология и патогенез 2) классификация 3) патологическая анатомия и дифференциальная диагностика различных форм 4) местные осложнения 5) общие осложнения
  • Аппендицит: 1) этиология и патогенез 2) классификация 3) патоморфология различных форм острого аппендицита 4) патоморфология хронического аппендицита 5) осложнения

    • Упорядоченное расположение молекул в объеме кристалла можно получить, если рассматривать следующую сумму из трех векторов

    исходящих из точки, где расположена некоторая молекула (атом)
    кристалла, и расположенных под углами α, β, γ друг к другу, как показано на рис. 87.

    Величины n 1 , n 2 , n 3 в векторной сумме (6.4.1) – целые числа, включая нуль. Если в конце вектора помещать молекулу при всевозможных значениях n 1 , n 2 , n 3 , то таким образом мы получим так называемую кристаллическую решетку. Элементарная ячейка этой кристаллической решетки представляется параллелепипедом, построенным на трех векторах (на рис. 87 она выделена). Весь кристалл можно представить как смещение элементарных ячеек вдоль трех направлений . Модули этих векторов называют постоянными кристаллической решетки.

    Многие реальные кристаллы представляются совокупностью нескольких кристаллических решеток, сдвинутых относительно друг друга (их называют подрешетками). Если в таких кристаллах выделить элементарную ячейку одной из подрешеток, то молекулы могут оказаться не только в вершинах ячейки, но и в центре ее граней и в центре ее диагональных плоскостей. В первом случае ячейки называются гранецентрированными или базоцентрированными, во втором – объемоцентрированными.

    Как доказал А. Браве, существует всего четырнадцать трехмерных пространственных решеток (решеток Браве), подразделяющихся на семь систем (сингоний), в соответствии с семью различными типами элементарных ячеек (табл. 6.4.1).

    Наиболее симметричной решеткой Браве является кубическая: симметрия куба сохраняется, если кроме частиц в вершинах кубов частицы будут находиться в их центрах или в центрах всех их граней (табл. 6.4.1).

    Таблица 6.4.1

    Кристаллические системы и решетки Браве

    Кристалли- ческая система (сингония) Ячейка, ее ребра и углы Решетки Браве
    Простые (примитивные) Сложные
    объемноцен-трированные гранецент-рированные базоцентри- рованные
    Кубическая куб a = b = c α = β = γ = = 90˚ ─
    Тетраго- нальная Квадратная призма a = b ≠ c α = β = γ = = 90˚ ─ ─
    Гексаго-нальная Прямая при зма.В основан.правильный ромб a = b ≠ c α = β = 90˚ γ=120˚ ─ ─ ─
    Тригональная (ромбоэд- рическая) Ромбоэдр a = b = c α = β= γ ≠ 90˚ ─ ─ ─
    Ромбиче-ская Прямуголь ный парал- лелепипед a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90˚
    Монклин- ная Прямая при зма. В основании правильный ромб a = b ≠ c α = g = 90˚≠ ≠ β ─ ─
    Триклин-ная Косоуголь- ный парал- лелепипед a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ─ ─ ─

    В тетрагональной системе простейшая решетка имеет вид правильной призмы с квадратом в основании. Вторая тетрагональная ячейка объемноцентрированная с дополнительным атомом в ее центре.



    В гексагональной системе в качестве элементарной ячейки выбрана прямая призма, в основании которой лежит ромб с острым углом в 60°. Для того чтобы подчеркнуть пространственную симметрию гексагональных кристаллов, часто к элементарной ячейке добавляют еще две таких же ячейки, повернутые относительно друг друга на 120°, получая в результате правильную шестигранную призму (рис. 88). Из этих шестигранных призм строится гексагональный кристалл.



    В тригональной (ромбоэдрической) системе параллелепипед Браве имеет форму ромбоэдра. Последний можно получить, равномерно растягивая куб в направлении его пространственной диагонали. Грани ромбоэдра – одинаковые ромбы.

    Элементарная решетка Браве в ромбической системе это прямоугольный параллелепипед. Имеется четыре типа ромбических решеток Браве: одна простая и три сложные; объемноцентрированная с дополнительным атомом в ее центре, гранецентрированная с четырьмя дополнительными атомами, расположенными в центре каждой из ее граней, и базоцентрированная с двумя дополнительными атомами в основаниях параллелепипеда.

    В моноклинной системе элементарная ячейка это прямой параллелепипед, в основании которого расположен параллелограмм. В такой системе два типа решеток Браве: простая и объемноцентрированная.

    Наконец, в триклинной системе параллелепипед Браве представляет собой косоугольный параллелепипед.

    Среди кристаллических металлов в природе наибольшее распространение имеют гексогональная и кубическая структуры (табл. 6.4.2). При кристаллизации любых химических элементов природа отдает предпочтение объемноцентрированным и гранецентрированным структурам. Можно показать, что в этих структурах достигается минимум потенциальной энергии взаимодействия атомов, что обеспечивает их высокую устойчивость.

    Таблица 6.4.2

    Кристаллическая структура металлов

    Li Be
    Na Mg
    K Ca 1;2 Sc 1;2 Ti 2;3 V Cr Mn Fe 1;3 Co 1;2 Ni 1;2 Cu Zn
    Rb Sr Y Zr 2;3 Nb Mo 2;3 Tc Ru 1;2 Rh Rd Ag Cd
    Cs Ba La 1;2 Hf 2;3 Ta W Re Os 1;2 Ir Pt Au Hg

    Обозначения: 1 – кубическая плотнейшая упаковка; 2 – гексаго-нальная плотнейшая упаковка; 3 – объемоцентрированная кубическая решетка.

    Почти для всех металлов характерна максимально плотная упаковка частиц. Поясним два вида плотнейшей упаковки сферических частиц – кубическую и гексагональную.

    Пусть на плоскости уложен один слой шаров. Тогда наиболее плотным будет их расположение, показанное на рис. 89.

    В этом случае каждый шар соприкасается с шестью другими. Для того чтобы расположить шары с двух сторон этого слоя с максимально плотной упаковкой, очевидно, шары верхнего и нижнего слоев следует располагать так, чтобы они попадали в лунки (углубления между шарами) среднего слоя. На рис. 89 изображены два слоя. Шары нижнего слоя показаны пунктиром, лунки, в которые они попадают, сделаны темными. Легко видеть, что в нижнем слое шаров половина лунок остается незанятыми шарами первого слоя (эти лунки заштрихованы). При уложении третьего слоя (сверху) возможны два варианта плотной упаковки: можно поместить шары или в темные лунки, или в заштрихованные; в первом случае мы получим гексагональную упаковку (рис. 90), во втором – кубическую гранецентрированную (рис. 91).

    Р и с. 90 Р и с. 91 Р и с. 92

    Примером кубической гранецентрированной плотнейшей упаковки ионов Na + и Cl − является хлорид натрия (соль), структура которого представлена на рис. 83. Интересен пример гексагональной решетки, имеющей слоистый характер. Это широко распространенная модификация углерода – графит (рис. 92).

    Решетка состоит из плоских параллельных слоев, в которых атомы образуют правильные шестиугольники. Расстояние между слоями в несколько раз больше, чем расстояние между атомами внутри слоя, что объясняет легкость, с которой отделяются слои графита друг от друга.

    ?75. Кристаллографические системы координат. Обозначение атомных плоскостей и направлений в кристаллах.

    ?76. Дефекты в кристаллах. Точечные дефекты. Дислокации.

    Дефектами кристалла называют всякое нарушение трансляционной симметрии кристалла - идеальной периодичности кристаллической решётки. Различают несколько видов дефектов по размерности . А именно, бывают нульмерные (точечные), одномерные (линейные), двумерные (плоские) и трёхмерные (объемные) дефекты.

    БРАВЕ РЕШЁТКИ - классификация решёток параллельных переносов, учитывающая как их точечную, так и параллельно-переносную . Всего существует 14 типов Б. р., названных по имени О. Браве (A. Bravais), строго обосновавшего эту классификацию. Решёткой наз. совокупность точек пространства (узлов) с целочисленными координатами относительно фиксированной системы координат, построенной на трёх базисных векторах а, b, с - осн. репере решётки. Решётка однозначно определяется осн. репером, однако осн. репер в данной решётке может быть выбран бесконечным числом способов и его связь с точечной группой симметрии решётки - её голоэдрией - не всегда явно видна. Поэтому для представления решёток используют репер Браве - систему координат, построенную на векторах решётки, совпадающих с наиб. симметричными в данной голоэдрии направлениями. Выбор таких векторов может быть неоднозначным и существуют дополнит. правила: сначала выбираются векторы, совпадающие с осями симметрии, затем - самые короткие векторы, не образующие острых углов между собой. Параметры реперов Браве (длины а, 6, с, его векторов и углы между векторами b и с, а и с, а и b соответственно) в каждой из 7 сингоний (совокупностей решёток с одинаковой голоэдрией) имеют ограничения, указанные в табл., в к-рой также приведены обозначения всех Б. р., распределённые по соответств. сингониям.

    Сингония

    Параметры репера Браве

    Обозначения Браве решёток

    международные

    физические

    Триклинная




    Моноклинная



    Ромбическая



    Ромбоэдрическая




    Тетрагональная




    Гексагональная




    Кубическая




    Параллелепипед, построенный на репере Браве, наз. параллелепипедом Браве. Если узлы решётки находятся только в вершинах параллелепипеда Браве, то он и соответствующая ему решётка наз. примитивными (Р -решётки). В нек-рых решётках в параллелепипед Браве попадают дополнит. узлы. Такие параллелепипеды (и решётки) возможны 4 сортов: 1) базоцентрированные С или бокоцентрированные В (А) - дополнит. узлы в центрах граней, построенных на векторах а и b , а и с, b и с соответственно и на параллельных им гранях; 2) дважды центрированные гексагональные (ромбоэдрические) R - дополнит. узлы на главной диагонали параллелепипеда Браве в точках с координатами 2 / 3 , 1 / 3 , 1 / 3 и 1 / 3 , 2 / 3 , 2 / 3 ; 3) гранецентрированные F - дополнит. узлы в центрах всех граней параллелепипеда Браве; 4) объёмноцентрированные I - дополнит. узел в центре параллелепипеда Браве.

    Две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их параллелепипеды Браве одинаковы и имеют одинаковую центрировку. На рис. представлены все типы Б. р., причём в одной строке расположены решётки с одинаковыми параллелепипедами Браве, а в одном столбце - решётки с одинаковым типом центри-ровок. Около каждого параллелепипеда Браве указан символ соответствующей группы Браве - полной совокупности преобразований симметрии соответствующей решётки. Имеется 14 абстрактно-неизоморфных таких групп (14 из 73 симморфных фёдоровских групп). Группы Браве - основа теоретико-группового определения типов Б. р.: две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их полные группы преобразований симметрии изоморфны. В скобках на рис. приведены стандартные символы соответствующих типов Б. р. В двумерном случае (в случае плоскости) имеется 5 типов Б. р.: р2, р2тт, с2тт, p4mm, р6тm .

    Название Б. р. данного типа складывается из названия голоэдрии и способа центрировки (напр., кубическая объёмноцентрированная решётка). Во всех решётках, исключая триклинные и моноклинные, выше приведённые правила ограничения параметров репера Браве обеспечивают его однозначность. Реперы Браве для ромбоэдрической и гексагональной голоэдрий совпадают, но для ромбоэдрической голоэдрии возможно собственно ромбоэдрич. описание: a=b=с, Во всякой моноклинной центрированной решётке параллелепипед Браве может быть выбран как объёмно-центрированным, так и базо- или бокоцентрированным. Если все преобразования симметрии голоэдрии записать в виде матриц в осн. репере решётки, то получим конечную группу целочисленных унимодулярных матриц - арифметич. голоэдрию. Две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их арифметич. голоэдрии целочисленно эквивалентны.

    Решетки Браве

    В кристаллическом веществе частицы, его слагающие (атомы, ионы, молекулы) расположены в пространстве закономерно, периодически повторяясь. Частицы располагаются по узлам кристаллической решетки. Элементы решетки – ряды, плоские сетки и узлы.

    В 1848г. кристаллограф Огюст Браве доказал, что из любой кристаллической решетки можно выделить так называемую элементарную ячейку (параллелепипед повторяемости; решетка Браве).

    Всю кристаллическую решетку можно получить путем трансляции (переноса) параллелепипеда повторяемости в пространстве.

    Принципы выбора элементарной ячейки :

    1) Симметрия ячейки должна отвечать максимально возможному числу элементов симметрии ячейки этого вещества.

    2) Элементарная ячейка должна содержать максимальное число прямых углов, или равных углов и равных ребер.

    3) Объем ячейки должен быть минимальным.

    Форма ячейки изменяется в зависимости от соотношения параметров. Кроме того, вид ячейки изменяется в зависимости от расположения атомов в этих элементарных ячейках.

    Различают следующие виды решеток Браве:


    Таблица 7.1 – Зависимость формы ячеек от сингоний

    Сингония и примеры Принцип изменения Тип решетки Браве
    Р С F J
    Триклинная K 2 Gr 2 O 7 Форма ячейки - косоугольный параллелепипед (или комбинация трех пинакоидов). a≠b≠c Ðα≠Ðβ≠Ðg
    Моноклинная S b Сочетание трех пинакоидов a≠b≠c Ðα=Ðβ=90 о ≠ Ðg
    Ромбическая S a Сочетание трех пинакоидов в виде «кирпичика» a≠b≠c Ðα=Ðβ=Ðg=90 o
    Тригональная (ромбоэдри-ческая) As, Bi Форма элементарной ячейки – ромбоэдр. Координатные ребра ромбоэдра образуют одинаковые косые углы с главной осью симметрии L 3 a=b=c Ðα=Ðβ=Ðg≠90 о
    Тетрагональная Sn b , TiO 2 Форма ячейки – сочетание тетрагональной призмы и пинакоида a=b≠c Ðα=Ðβ=Ðg=90 o
    Гексагональная Zn, Cd В качестве примитивной ячейки принимается ромбическая призма, длинное ребро которой параллельно оси L 6 , а угол в основании составляет 120 о** a=b≠c Ðα=Ðβ=90 о, Ðg=120 o
    Кубическая Cu, Fe, NaCl Форма ячейки – куб a=b=c Ðα=Ðβ=Ðg=90 o

    ** В связи с тем, что такая элементарная ячейка не соответствует симметрии кристалла, гексагональную решетку можно описать в виде трех ромбических призмочек, соединенных в гексагональную призму. И такая ячейка превращается в базоцентрированную.


    Итак, все возможные варианты простых решеток, состоящих из атомов одного типа, можно описать одной из 14-ти решеток Браве. В случае сложных структур описывают решетки по разным типам атомов, а сложную решетку представляют в виде 2-х или 3-х взаимопроникающих простых решеток.

    Например, решетку галита (NaCl) описывают как две гранецентрированные кубические решетки, одна из которых по ионам Na + , другая – по ионам Cl - , встроенные друг в друга и сдвинутые на ½ пространственной диагонали куба.

    Более детальная классификация структур производится по 230 группам симметрии Федорова. В этих группах кроме уже известных элементов симметрии (осей, плоскостей, центров) добавляются элементы симметрии самой решетки (это – плоскости скользящего отражения, винтовые оси симметрии, трансляция).