Open Library - открытая библиотека учебной информации. Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, т.е. для "xÎ существует интеграл

Для того чтобы не смешивать обозначения предела и переменной интегрирования, обозначим переменную интегрирования через t. Тогда интеграл (4) запишется в виде Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х и обозначается Ф(х):

. (5)

Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Рассмотрим некоторые свойства функции Ф(х).

Т.3.1.(непрерывность функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) будет так же непрерывна на отрезке .

Т.3.2.(дифференцирование функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) дифференцируема в любой внутренней точке х этого отрезка, причем справедливо равенство

Следствие

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная на данном отрезке, причем функция Ф(x) - интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для функции f(x).

Так как всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от Ф(x) только на постоянное слагаемое, то можно установить связь между неопределенным и определенным интегралами:

где С – произвольная постоянная.

Вопрос 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенных интегралов методом, основанным на определении интеграла как предела интегральных сумм, как правило, связано с большими трудностями. Существует более удобный метод вычисления определенных интегралов, который основан на установленной связи между неопределенным и определенным интегралами.

Т.4.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) - любая первообразная для функции f(x) на , то справедлива формула

. (6)

Формула (6) называется формулой Ньютона – Лейбница .

Если ввести обозначение то формулу Ньютона-Лейбница (6) можно переписать в виде

Формула Ньютона – Лейбница дает удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл необходимо найти любую первообразную функцию F(x) для f(x) и взять разность F(b) ‒ F(a) на концах отрезка .

Пример

Вопрос 5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Метод замены переменной

При вычислении определенных интегралов широко используется метод подстановки или метод замены переменной.

Т.5.1. (замена переменной в определенном интеграле)

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке . Тогда, если:

1) функция x = j(t) и ее производная x′ = j′(t) непрерывны на отрезке ;

2) множеством значений функции x = j(t) является отрезок ;

3) j(a) = a, j(b) = b,

то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле :

Замечание

1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется.

2. Часто вместо подстановки x = j(t) применяют подстановку t = g(x).

3. При использовании формулы необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.

Пример . Вычислить

Интегрирование по частям

Т.5.2. (интегрирование по частям в определенном интеграле)

Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле :

Пример . Вычислить интеграл

Лекция № 15.

Определенный интеграл

Пусть на отрезке
задана функция
. Разобьем отрезок
точкаминаэлементарных отрезков

длины
. В каждом из этих отрезков
возьмем произвольную точкуи составим сумму
, называемуюинтегральной суммой (Римана) для функции
на отрезке
.

Определение 37.1. Пусть предел последовательности интегральных сумм при стремлении
к нулю существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения отрезка
, ни от выбора точек. Этот предел называется определенным интегралом от функции
на отрезке
и обозначается

(1)

При этом число называетсянижним пределом , число – еговерхним пределом; функция
–подынтегральной функцией , выражение
–подынтегральным выражением , а задача о нахождении
–интегрированием функции
на отрезке
.

Все непрерывные на отрезке
функции интегрируемы на этом отрезке. Интегрируемыми будут и ограниченные функции, имеющие на
конечное число точек разрыва.

Свойства определенного интеграла

1. Определённый интеграл – это число! Его значение зависит только от вида функции
и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначать любой буквой:

Интеграл
был введен в предположении, что
. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда
и
.

2.
.3.

Рассмотрим свойства определённого интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределённого.

4. Если
, то
.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
.

Перейдем теперь к свойствам определённого интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределённого интеграла.

6. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых ,,.

7. Если
на отрезке
, то
.

8. Пусть на отрезке
, где
,
. Тогда

9. Теорема о среднем. Если функция
непрерывна на отрезке
, то найдется такое число
, что

10. Если функция
интегрируема на отрезке
, то функция
также интегрируема на отрезке
и имеет место неравенство

Геометрический смысл определенного интеграла

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция
неотрицательна на отрезке
, где
,
численно равен площади под кривой
на
.

Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

,
,
и т.д.

(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса.)

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Ранее, строя новые функции из известных, мы использовали четыре арифметических действия и суперпозицию функций. Сейчас мы рассмотрим принципиально иной способ построения новых функций из известных.

Если
интегрируема на отрезке
, то, очевидно, она интегрируема также на любом отрезке
, вложенном в
.

Положим по определению

где
, а функция
называетсяинтегралом с переменным верхним пределом.

Пусть
на отрезке
. Тогда значение функции
в точкеравно площади
под кривой
на отрезке
.

Это позволяет по новому взглянуть на некоторые известные функцию Например,
, где
, поэтому значение функции
в точкечисленно равно площади
под гиперболойна отрезке
.

Рассмотрим теперь свойства функции
.

Теорема 1. Пусть функция
непрерывна на отрезке
. Тогда в каждой точкеотрезка
производная функции
по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции
, т.е.

. (2)

Доказательство .

Покажем, что функция

(3)

является первообразной функции
.

Согласно определению производной,

Применяя теорему о среднем к промежутку
, представим интеграл в числителе в виде
, где
и
при
.

Следовательно,
.

Теорема 2. Если функция
непрерывна на отрезке
, то функция
также непрерывна на
.

Вычисление определенного интеграла возможно с применением первообразной для функции
по формулеНьютона-Лейбница .

Теорема 3. Если функция
непрерывна на отрезке
и
– первообразная функции
, то

. (4)

Формула (4) называется формулой Ньютона–Лейбница .

Доказательство .

Возвратимся к уравнению (3). Полагая
, находим значение постоянной:

Полагая в этом же уравнении
, получаем:

Нахождение определённых интегралов с использованием формулы (4) осуществляется в два шага: на первом шаге находят первообразную
для подынтегральной функции
; на втором – применяется собственно формула (3) – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. Введем обозначение для приращения первообразной

Все методы, применяемые при вычислении первообразной, переносятся на вычисление определенного интеграла.

Теорема 4. (замена переменной в определённом интеграле). Если выполнены условия:

1) функция
непрерывна на отрезке
;

2) отрезок
является множеством значений функции
, определенной на отрезке
и имеющей на нем непрерывную производную ;

3)
и
, то справедлива формула

Пример 1 . Вычислить
.

Решение. Положим
. Тогда
и
.

Если
, то
, и если
, то
. Следовательно,

Формула замены переменной для определённого интеграла даже удобнее, чем для неопределённого. Нам не нужно возвращаться к исходным переменным, а вместо этого нужно поменять пределы интегрирования.

Рассмотрим, как выполняется интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема 5. Если функции
и
имеют непрерывные производные на отрезке
, то справедлива формула

Пример 2 . Вычислить
.

Решение.

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур. Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением
, где
на отрезке
, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями
;
и отрезком оси абсцисс
, вычисляется по формуле

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную параболой
, прямыми
,
и осью абсцисс.

Решение.

Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную кривой
и осью ординат.

Решение. Здесь изменены роли осей координат, поэтому искомая площадь будет выражаться интегралом

В общем случае, если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми
;
и двумя вертикалями
;
, где
, для вычисления площади фигуры имеем формулу

Пример 5. Вычислить площадь , заключенную между кривыми
и
.

Решение. Найдем точки пересечения кривых:
,

,
. На отрезке

. Значит,

Параметрическое задание верхней границы криволинейной трапеции

При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями

в формуле
надо сделать замену переменной, положив
,
, тогда получим
, гдеa и b - значения параметра , соответствующие значениям
и
, т. е.
;
.

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
и осью
.

Решение. Искомая площадь

Площадь фигуры в полярной системе координат

Пусть в полярной системе координат задана функция
, где– полярный радиус,– полярный угол. Пусть, далее, функция
непрерывна при изменении углав пределах
(
и– в радианах). Фигура, ограниченная линией
, с которой любой луч, исходящий из полюса, пересекается не более чем в одной точке, и двумя лучами
и
, называетсякриволинейным сектором .

Площадь криволинейного сектора , ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением

и двумя полярными радиусами

(

), находится по формуле

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
.

Решение. Найдем область определения угла из условия, что
. Имеем:
, т. е.

Соответственно величина угла меняется в следующих пределах:

в зависимости от значения
. Найдем границы изменения величины угла:

при :	;
при :	;
при :	;
при

где – область определения-го лепестка.

Достаточно вычислить площадь одного лепестка

Следовательно, площадь всех лепестков

Пусть функция f (t ) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число

определив тем самым на промежутке функцию I (x ), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x . Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента x :

I (x ) = I (x + x ) – I (x ) =

Как показано на рисунке 23, величина последнего интеграла в формуле для приращения I (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )x . Отсюда получаем соотношение

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина x .

Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x . Отсюда следует, что функция
является первообразной для функцииf (x ), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

. (9)

Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - некоторое число. При этом правая часть формулы (9) принимает вид

I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (10)

Из формул (9) и (10) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:

которая называется формулой Ньютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f (x ) по промежутку [a ;b ], нужно найти какую-либо первообразную F (x ) функции f (x ) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a . Разность этих значений первообразной принято обозначать символом .

Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1.
.

2.
.

Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f (x ) = xe x . Используя метод интегрирования по частям, получаем:
. В качестве первообразной функцииf (x ) выберем функцию e x (x – 1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:

I = e x (x – 1)= 1.

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле :

Здесь  и  определяются, соответственно, из уравнений  ( ) = a ;  ( ) = b , а функции f ,  ,  должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.

Пример:
.

Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

На сегодняшней лекции мы продолжим изучение определенного интеграла и получим формулу для его вычисления. Как мы увидим позже, определенный интеграл равен приращению первообразной, и представляет собой постоянное число, равное площади криволинейной трапеции. Поэтому все методы вычисления неопределенного интеграла справедливы и для определенного интеграла.

Вопрос 1. Основные свойства определенного интеграла

Интеграл

был введен для случая a < b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

Свойство 1. .

Эта формула получается из (1) при условии, что все Δx i = 0.

Свойство 2. .

Эта формула получается из (1) при условии, что отрезок пробегается в обратном направлении (от b к а), т.е. все Δx i < 0.

Свойство 3. (свойство аддитивности)

Если функция f(x) интегрируема на отрезке и a < c < b, то

. (2)

Равенство (2) справедливо при любом расположении точек а, b и с (считаем, что функция f(x) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Свойство 4.

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

где k = const.

Свойство 5.

Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций, т.е.

Замечание

Свойство 5 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
Свойства 4 и 5 в совокупности представляют собой свойство линейности определенного интеграла.

Вопрос 2. Оценки интеграла. Теорема о среднем

1. Если всюду на отрезке функция f(x) ≥ 0, то .

2. Если всюду на отрезке f(x) ≥ g(x), то .

3. Для функции f(x), определенной на отрезке , имеет место неравенство .

В частности, если всюду на отрезке то и .

4. Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке , то .

Т.2.1. (теорема о среднем )

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка с, такая, что

. (3)

Равенство (3) называется формулой среднего значения , а величина f(c) - называется средним значением функции f(x) на отрезке .

Вопрос 3. Определенный интеграл как функция верхнего предела

. (5)

Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Рассмотрим некоторые свойства функции Ф(х).

Т.3.1.(непрерывность функции Ф(х))

Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) будет так же непрерывна на отрезке .

Т.3.2.(дифференцирование функции Ф(х))

Следствие

Так как всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от Ф(x) только на постоянное слагаемое, то можно установить

Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t , а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x ) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f (t ) интегрируема, то Ф(x ) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом . Если функция f (t ) непрерывна в окрестности точки t = x , то в этой точке функция Ф(x ) дифференцируема, и .
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.
Док-во . Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда , где c - точка, лежащая между x и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c - точка, расположенная между x и ). Так как f (t ) непрерывна в точке t = x , то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f (x ) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой

36. Формула Ньютона-Лейбница.

Если f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ], и F (x ) - некоторая первообразная функции , то .
Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f (x ). Так как F (x ) - тоже первообразная, то Ф(x ) = F (x ) + C . Положим в этом равенстве x = a . Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x , верхний предел x обозначим b . Окончательно, .
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b "), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .

37. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.

Если u (x ) и v (x ) - две функции, заданные на промежутке [a , b ] и имеющие там непрерывные производные, то

Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.

Доказательство очень просто. Именно,

Так как по формуле интегрирования по частям будет

то откуда и следует (24).

Пусть f (z p , q ], а φ (x ) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a , b ], имеющая там непрерывную же производную φ "(x ) и удовлетворяющая неравенству p ≤ φ (x ) ≤ q .

В таком случае

Формула (22) выражает собой правило замены переменной в определенном интеграле. Оно напоминает правило замены переменной в интеграле неопределенном, но отличается от него тем, что здесь отпадает надобность в возвращении к старой переменной, т. к. формула (22) представляет собой равенство двух постоянных чисел. Заметим еще, что эта формула заменяет собой для случая определенных интегралов оба вида правила подстановки в интегралах неопределенных; только, применяя ее на практике, иной раз приходится читать ее слева направо, а иногда - справа налево.

Переходя к доказательству теоремы, обозначим интегралы, входящие в левую и правую части формулы (22), соответственно через I лев и I прав.

Пусть F (z ) - функция первообразная для f (z ). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница/p>

I прав = F [φ (b )] - F [φ (a )]. (23)

Что же касается I лев, то

Но согласно теореме будет

I лев = F [φ (b )] - F [φ (a )].

Отсюда и из (23) следует, что I лев = I прав.

38. Интегралы от чётных, нечётных и периодических функций.

Теореиа 1 . Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] четная функция:

Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

Утверждение доказано.

Теореиа 2 . Пусть f(x) – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция:

Теорема доказывается аналогичным образом:

не зависит от λ. В частности,

Вычислим производную по λ от выражения в правой части этого равенства:

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования

Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода . В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: . В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: .

Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом или с двумя бесконечными пределами: .

Мы рассмотрим самый популярный случай . Техника работы с другими разновидностями – аналогична, и в конце параграфа будет ссылка на такие примеры.

Всегда ли существует несобственный интеграл ? Нет, не всегда.Подынтегральная функция должна быть непрерывной на промежутке

Справка: строго говоря, утверждение неверно: если есть разрывы функции, то в ряде случаев можно разбить полуинтервал на несколько частей и вычислить несколько несобственных интегралов. Для простоты здесь и далее я буду говорить, что несобственного интеграла не существует.

Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:

Здесь всё хорошо, подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале , а, значит, несобственный интеграл существует. Обратите внимание, что криволинейная трапеция у нас – бесконечная (не ограниченная справа) фигура.
Несобственный интеграл численно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:

1) Первое, мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то », иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится.

2) Но. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: . Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.

В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.

А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл (расходится) либо равен конечному отрицательному числу.

Несобственный интеграл может быть отрицательным.

Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Ваша задача найти ЧИСЛО либо доказать, что несобственный интеграл расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.

Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: . На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: .