На сегодняшней лекции мы продолжим изучение определенного интеграла и получим формулу для его вычисления. Как мы увидим позже, определенный интеграл равен приращению первообразной, и представляет собой постоянное число, равное площади криволинейной трапеции. Поэтому все методы вычисления неопределенного интеграла справедливы и для определенного интеграла.
Вопрос 1. Основные свойства определенного интеграла
Интеграл
был введен для случая a < b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.
Свойство 1. .
Эта формула получается из (1) при условии, что все Δx i = 0.
Свойство 2. .
Эта формула получается из (1) при условии, что отрезок пробегается в обратном направлении (от b к а), т.е. все Δx i < 0.
Свойство 3. (свойство аддитивности)
Если функция f(x) интегрируема на отрезке и a < c < b, то
. (2)
Равенство (2) справедливо при любом расположении точек а, b и с (считаем, что функция f(x) интегрируема на большем из получающихся отрезков).
Свойство 4.
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.
,
где k = const.
Свойство 5.
Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций, т.е.
.
Замечание
- Свойство 5 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
- Свойства 4 и 5 в совокупности представляют собой свойство линейности определенного интеграла.
Вопрос 2. Оценки интеграла. Теорема о среднем
1. Если всюду на отрезке функция f(x) ≥ 0, то .
2. Если всюду на отрезке f(x) ≥ g(x), то .
3. Для функции f(x), определенной на отрезке , имеет место неравенство .
В частности, если всюду на отрезке то и .
4. Если m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке , то .
Т.2.1. (теорема о среднем )
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка с, такая, что
. (3)
Равенство (3) называется формулой среднего значения , а величина f(c) - называется средним значением функции f(x) на отрезке .
Вопрос 3. Определенный интеграл как функция верхнего предела
Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на любом меньшем отрезке, т.е. для "xÎ существует интеграл
Для того чтобы не смешивать обозначения предела и переменной интегрирования, обозначим переменную интегрирования через t. Тогда интеграл (4) запишется в виде Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х и обозначается Ф(х):
. (5)
Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.
Рассмотрим некоторые свойства функции Ф(х).
Т.3.1.(непрерывность функции Ф(х))
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) будет так же непрерывна на отрезке .
Т.3.2.(дифференцирование функции Ф(х))
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то функция Ф(x) дифференцируема в любой внутренней точке х этого отрезка, причем справедливо равенство
.
Следствие
Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная на данном отрезке, причем функция Ф(x) - интеграл с переменным верхним пределом – является первообразной для функции f(x).
Так как всякая другая первообразная для функции f(x) отличается от Ф(x) только на постоянное слагаемое, то можно установить
Лекция № 15.
Определенный интеграл
Пусть
на отрезке
задана функция
.
Разобьем отрезок
точкаминаэлементарных отрезков
длины
.
В каждом из этих отрезков
возьмем произвольную точкуи составим сумму
,
называемуюинтегральной
суммой (Римана)
для функции
на отрезке
.
Определение
37.1.
Пусть
предел последовательности интегральных
сумм при стремлении
к нулю существует, конечен и не зависит
ни от способа разбиения отрезка
,
ни от выбора точек.
Этот предел называется
определенным
интегралом
от
функции
на отрезке
и обозначается
(1)
При этом число
называетсянижним
пределом
,
число
– еговерхним
пределом;
функция
–подынтегральной
функцией
,
выражение
–подынтегральным
выражением
,
а задача о нахождении
–интегрированием
функции
на отрезке
.
Все непрерывные
на отрезке
функции
интегрируемы на этом отрезке. Интегрируемыми
будут и ограниченные функции, имеющие
на
конечное
число точек разрыва.
Свойства определенного интеграла
1.
Определённый интеграл – это число! Его
значение зависит только от вида функции
и пределов интегрирования, но не от
переменной интегрирования, которую
можно обозначать любой буквой:
.
Интеграл
был введен в предположении, что
.
Обобщим понятие определенного интеграла
на случай, когда
и
.
2.
.3.
Рассмотрим свойства определённого интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределённого.
4.
Если
,
то
.
5.
Интеграл
от алгебраической суммы двух функций
равен такой же сумме интегралов от этих
функций:
.
Перейдем теперь к свойствам определённого интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределённого интеграла.
6. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых ,,.
.
7.
Если
на отрезке
,
то
.
8.
Пусть
на отрезке
,
где
,
.
Тогда
.
9. Теорема о
среднем.
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то найдется такое число
,
что
.
10.
Если
функция
интегрируема на отрезке
,
то функция
также интегрируема на отрезке
и имеет место неравенство
Геометрический смысл определенного интеграла
Понятие определенного
интеграла введено таким образом, что в
случае, когда функция
неотрицательна на отрезке
,
где
,
численно равен площади
под кривой
на
.
Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
,
,
и т.д.
(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса.)
Определенный интеграл как функция верхнего предела
Ранее, строя новые функции из известных, мы использовали четыре арифметических действия и суперпозицию функций. Сейчас мы рассмотрим принципиально иной способ построения новых функций из известных.
Если
интегрируема на отрезке
,
то, очевидно, она интегрируема также на
любом отрезке
,
вложенном в
.
Положим по определению
,
где
,
а функция
называетсяинтегралом
с переменным верхним пределом.
Пусть
на отрезке
.
Тогда значение функции
в точкеравно площади
под кривой
на отрезке
.
Это позволяет по
новому взглянуть на некоторые известные
функцию Например,
,
где
,
поэтому значение функции
в точкечисленно равно площади
под гиперболойна отрезке
.
Рассмотрим теперь
свойства функции
.
Теорема 1.
Пусть функция
непрерывна на отрезке
.
Тогда в каждой точкеотрезка
производная функции
по переменному верхнему пределу равна
подынтегральной функции
,
т.е.
. (2)
Доказательство .
Покажем, что функция
(3)
является
первообразной функции
.
Согласно определению производной,
.
Применяя теорему
о среднем к промежутку
,
представим интеграл в числителе в виде
,
где
и
при
.
Следовательно,
.
Теорема 2.
Если
функция
непрерывна на отрезке
,
то функция
также непрерывна на
.
Вычисление
определенного интеграла возможно с
применением первообразной для функции
по формулеНьютона-Лейбница
.
Теорема 3.
Если
функция
непрерывна на отрезке
и
– первообразная функции
,
то
. (4)
Формула (4) называется формулой Ньютона–Лейбница .
Доказательство .
Возвратимся к
уравнению (3). Полагая
,
находим значение постоянной:
.
Полагая в этом же
уравнении
,
получаем:
.
Нахождение
определённых интегралов с использованием
формулы (4) осуществляется в два шага:
на первом шаге находят первообразную
для подынтегральной функции
;
на втором – применяется собственно
формула (3) – находится приращение
первообразной, равное искомому интегралу.
Введем обозначение для приращения
первообразной
.
Все методы, применяемые при вычислении первообразной, переносятся на вычисление определенного интеграла.
Теорема 4. (замена переменной в определённом интеграле). Если выполнены условия:
1) функция
непрерывна на отрезке
;
2) отрезок
является множеством значений функции
,
определенной на отрезке
и имеющей на нем непрерывную производную
;
3)
и
,
то справедлива формула
.
Пример 1
.
Вычислить
.
Решение.
Положим
.
Тогда
и
.
Если
,
то
,
и если
,
то
.
Следовательно,
Формула замены переменной для определённого интеграла даже удобнее, чем для неопределённого. Нам не нужно возвращаться к исходным переменным, а вместо этого нужно поменять пределы интегрирования.
Рассмотрим, как выполняется интегрирование по частям в определённом интеграле.
Теорема 5.
Если
функции
и
имеют непрерывные производные на отрезке
,
то справедлива формула
.
Пример 2
.
Вычислить
.
Решение.
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление
площадей плоских фигур.
Если
непрерывная кривая задана в прямоугольных
координатах уравнением
,
где
на отрезке
,
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, двумя
вертикалями
;
и отрезком оси абсцисс
,
вычисляется по формуле
.
Пример 3.
Вычислить площадь, ограниченную параболой
,
прямыми
,
и осью абсцисс.
Решение.
Пример 4.
Вычислить
площадь, ограниченную кривой
и осью ординат.
Решение. Здесь изменены роли осей координат, поэтому искомая площадь будет выражаться интегралом
.
В общем случае,
если площадь
ограничена двумя непрерывными кривыми
;
и двумя вертикалями
;
,
где
,
для вычисления площади фигуры имеем
формулу
Пример 5.
Вычислить площадь
,
заключенную между кривыми
и
.
Решение.
Найдем точки
пересечения кривых:
,
,
.
На отрезке
.
Значит,
.
Параметрическое задание верхней границы криволинейной трапеции
При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями
,
в формуле
надо сделать замену переменной, положив
,
,
тогда получим
,
гдеa
и b
-
значения параметра
,
соответствующие значениям
и
,
т. е.
;
.
Пример 6.
Найти площадь фигуры, ограниченной
одной
аркой циклоиды
и осью
.
Решение. Искомая площадь
Площадь фигуры в полярной системе координат
Пусть
в полярной
системе координат задана функция
,
где–
полярный радиус,– полярный угол. Пусть, далее, функция
непрерывна при изменении углав пределах
(
и– в радианах). Фигура, ограниченная
линией
,
с которой любой луч, исходящий из полюса,
пересекается не более чем в одной точке,
и двумя лучами
и
,
называетсякриволинейным
сектором
.
и двумя полярными радиусами
и
(
), находится по формуле
.
Пример 7.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
кривой
.
Решение.
Найдем область определения угла
из условия, что
.
Имеем:
,
т. е.
Соответственно величина угла меняется в следующих пределах:
в
зависимости от значения
.
Найдем границы изменения величины угла:
при
|
; |
при
|
; |
при
|
; |
при
|
где – область определения-го лепестка.
Достаточно вычислить площадь одного лепестка
Следовательно,
площадь всех лепестков
Пусть функция f (t ) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число ,
определив тем самым на промежутке функцию I (x ), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x . Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точкеx при приращении аргумента Dx :
DI (x ) = I (x + Dx ) – I (x ) =
.
Как показано на Рис. 4, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными, и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )Dx . Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx .
Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):
.
Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x . Отсюда следует, что функция является первообразной для функции f (x ), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде
. (1)
Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:
,
которая называется формулойНьютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f (x ) по промежутку [a ;b ], нужно найти какую-либо первообразную F (x ) функции f (x ) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a . Разность этих значений первообразной принято обозначать символом , т.е. .
Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.
ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=φ(t), где t [α,β].
Тогда справедливо следующее равенство:
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).
Пример 19. Вычислить
Положим t=2-х 2 . Тогда dt=d(2-х 2)=(2-х 2)"dx=-2xdx и xdx=- dt. Если х=0, то t=2-0 2 =2, и если х=1, то t=2-1 2 =1. Следовательно:
Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.
Формула интегрирования по частям следующая .
То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) наd(v(x)) - дифференциал функции v(x) . Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x) . Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности . Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.
Пусть функция f (t ) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число
определив тем самым на промежутке функцию I (x ), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x . Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента x :
I (x ) = I (x + x ) – I (x ) =
Как показано на рисунке 23, величина последнего интеграла в формуле для приращения I (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )x . Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина x .
Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):
.
Производная
определенного интеграла по верхнему
пределу в точке
x
равна
значению подынтегральной функции в
точке
x
.
Отсюда следует, что функция
является первообразной для функцииf
(x
),
причем такой первообразной, которая
принимает в точке x = a
значение, равное нулю. Этот факт дает
возможность представить определенный
интеграл в виде
. (9)
Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - некоторое число. При этом правая часть формулы (9) принимает вид
I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (10)
Из формул (9) и (10) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:
,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f (x ) по промежутку [a ;b ], нужно найти какую-либо первообразную F (x ) функции f (x ) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a . Разность этих значений первообразной принято обозначать символом .
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Примеры.
1.
.
2.
.
Сначала
вычислим неопределенный интеграл от
функции f
(x
) = xe
x
.
Используя метод интегрирования по
частям, получаем:
.
В качестве первообразной функцииf
(x
)
выберем функцию e
x
(x
– 1)
и применим формулу Ньютона-Лейбница:
I = e x (x – 1)= 1.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле :
.
Здесь и определяются, соответственно, из уравнений ( ) = a ; ( ) = b , а функции f , , должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример:
.
Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:
.
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.
Пусть функция f (t ) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число ,
определив тем самым на промежутке функцию I (x ), которая принято называть определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x . Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента Dx :
DI (x ) = I (x + Dx ) – I (x ) =
.
Как показано на Рис. 4, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI (x ) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения бывают и положительными, и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f (x )Dx . Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx .
Из сказанного следует формула для производной функции I (x ):
.
Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x . Отсюда следует, что функция является первообразной для функции f (x ), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде
. (1)
Пусть F (x) тоже является первообразной для функции f (x ), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I (x ) = F (x ) + C , где C - неĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I (x ) – I (a ) = F (x ) + C – (F (a ) +C ) = F (x ) – F (a ). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f (t ) по промежутку [a ;b ]:
,
которая принято называть формулойНьютона-Лейбница . Здесь F (x) - любая первообразная функции f (x ).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f (x ) по промежутку [a ;b ], нужно найти какую-либо первообразную F (x ) функции f (x ) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a . Разность этих значений первообразной принято обозначать символом , ᴛ.ᴇ. .
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Пример 1 . .
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной:
.
Здесь a и b определяются, соответственно, из уравнений j (a ) = a ; j (b ) = b , а функции f , j , j¢ должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример 2. .
Сделаем замену: ln x = t или x = e t , тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e , то t = 1. В результате получим:
.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменных нет крайне важности возвращаться к прежней переменной интегрирования. Достаточно лишь ввести новые пределы интегрирования.