ОГЭ 2018. Математика. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий.
М.: 2018. - 128 с.
Авторы пособия - ведущие специалисты, принимающие
непосредственное участие в разработке методических материалов для подготовки к
выполнению контрольных измерительных материалов ОГЭ. Пособие содержит 14
вариантов типовых контрольных измерительных материалов Основного
государственного экзамена 2018 года. Назначение пособия - отработка практических
навыков учащихся по подготовке к экзамену по математике (в новой форме) в 9
классе. В сборнике даны ответы ко всем заданиям вариантов. Пособие адресовано
учителям и методистам, использующим типовые тестовые задания для подготовки
учащихся к Основному государственному экзамену 2018 года, оно также может быть
использовано учащимися для самоподготовки и самоконтроля.
Формат: pdf
Размер: 2,5 Мб
Смотреть, скачать: drive.google
СОДЕРЖАНИЕ
Инструкция по выполнению
работы б
Бланк ответов №1 6
Бланк ответов № 2 7
ВАРИАНТ 1 8
Часть 1 8
Часть 2 14
ВАРИАНТ 2 16
Часть 1 16
Часть 2 22
ВАРИАНТ 3 24
Часть 1 24
Часть 2 30
ВАРИАНТ 4 32
Часть 1 32
Часть 2 38
ВАРИАНТ 5 40
Часть 1 40
Часть 2 46
ВАРИАНТ 6 48
Часть 1 48
Часть 2 54
ВАРИАНТ 7 56
Часть 1 56
Часть 2 62
ВАРИАНТ 8 64
Часть 1 64
Часть 2 70
ВАРИАНТ 9 72
Часть 1 72
Часть 2 78
ВАРИАНТ 10 80
Часть 1 80
Часть 2 86
ВАРИАНТ 11 88
Часть 1 88
Часть 2 94
ВАРИАНТ 12 96
Часть 1 96
Часть 2 102
ВАРИАНТ 13 104
Часть 1 104
Часть 2 110
ВАРИАНТЫ 111
Часть 1 111
Часть 2 117
РАЗБОР ВАРИАНТА 9 119
ОТВЕТЫ 123
СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО МАТЕМАТИКЕ 125
Работа состоит из двух модулей: «Алгебра» и «Геометрия». Всего в работе 26
заданий. Модуль «Алгебра» содержит 17 заданий: в части 1 - четырнадцать заданий;
в части 2 - три задания. Модуль «Геометрия» содержит девять заданий: в части 1 -
шесть заданий; в части 2 - три задания.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут
(235 минут).
Ответы к заданиям 2, 3, 14 запишите в бланк ответов № 1 в виде одной цифры,
которая соответствует номеру правильного ответа.
Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность
цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в бланк
ответов № 1. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите её в
десятичную.
Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов № 2. Задания
можно выполнять в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания
переписывать не надо, необходимо только указать его номер.
Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания
которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям.
Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и
переходите к следующему. Если у Вас останется время, Вы сможете вернуться к
пропущенным заданиям.
Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в черновике. Записи
в черновике не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит рисунок,
то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам
построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку
полученного ответа.
При написании данной работы «ОГЭ по математике 2018. Вариант 1» было использовано пособие «ОГЭ 2018. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018″.
Часть 1
Модуль «Алгебра»
Показать решение
Чтобы сложить две дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае — это число 100 :
Ответ:
- В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты.
| Команда | I эстафета, баллы | II эстафета, баллы | III эстафета, баллы | IV эстафета, баллы |
| «Удар» | 3 | 3 | 2 | 4 |
| «Рывок» | 1 | 4 | 4 | 2 |
| «Взлёт» | 4 | 2 | 1 | 3 |
| «Спурт» | 2 | 1 | 3 | 1 |
При подведении итогов баллы каждой команды по всем эстафетам суммируются. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов. Какая команда заняла третье место?
- «Удар»
- «Рывок»
- «Взлёт»
- «Спурт»
Показать решение
В первую очередь суммируем баллы, набранные каждой командой
«Удар» = 3 + 3 + 2 + 4 = 12
«Рывок» = 1 + 4 + 4 + 2 = 11
«Взлёт
» = 4 + 2 + 1 + 3 = 10
«Спурт» = 2 + 1 + 3 + 1 = 7
Судя по результату: первое место у команды «Удар», второе — у команды «Рывок», а третье — у команды «Взлёт».
Ответ:
Третье место заняла команда «Влёт», номер 3.
- На координатной прямой точки A, B, C и D соответсвуют числам: -0,74; -0,047; 0,07; -0,407 .
Какой точке соответствует число -0,047 ?
Показать решение
На координатной прямой положительные числа находятся справа от начала координат, а отрицательные — слева. Значит единственное положительное число 0,07 соответсвует точке D. Самое большое отрицательное число — это -0,74, а значит оно соответсвует точке А. Учитывая, что оставшееся число -0,047 больше числа -0,407, то и принадлежат они точкам C и D соотвественно. Отобразим это на чертеже:
Ответ:
Число -0,047 соответсвует точке С, номер 3.
- Найдите значение выражения
Показать решение
В данном примере необходимо проявить смекалку. Если корень из 64 равен 8, поскольку 8 2 = 64, то корень из 6,4 найти простым путём достаточно сложно. Однако, после нахождения корня из числа 6,4 его нужно тут же возвести в квадрат. Таким образом, два действия: нахождение квадратного корня и возведение в квадрат аннулируют друг друга. Поэтому получаем:
Ответ:
- На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной — давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 140 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.
Показать решение
Найдем на графике линию соответствующую 140 мм ртутного столба. Далее определим место её пересечения с кривой зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На графике прекрасно видно это место пересечения. Проведем от точки пересечения вниз прямую до шкалы высот. Искомая величина 11 километров.
Ответ:
Атмосферное давление равно 140 миллиметрам ртутного столба на высоте 11 километров.
- Решите уравнение x 2 + 6 = 5х
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ напишите меньший из корней.
Показать решение
x 2 + 6 = 5х
Перед нами обычное квадратное уравнение:
x 2 + 6 — 5х = 0
Для его решения необходимо найти дискриминант:
Ответ:
Наименьший корень данного уравнения: 2
- Поступивший в продажу в феврале мобильный телефон стоил 2800 рублей. В сентябре он стал стоить 2520 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с февраля по сентябрь?
Показать решение
Итак, 2800 рублей — 100%
2800 — 2520 = 280 (р) — сумма на которую подешевел телефон
280 / 2800 * 100 = 10 (%)
Ответ:
Цена на мобильный телефон в период с февраля по сентябрь снизилась на 10%
- На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км 2) стран мира.
Какие из следующих утверждений неверны ?
1) Канада — крупнейшая по площади территории страна мира.
2) Площадь территории Индии составляет 3,3 млн км 2 .
3) Площадь территории Китая больше площади территории Австралии.
4) Площадь территории Канады больше площади территории США на 1,5 млн км 2 .
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Показать решение
Исходя из графика, Канада уступает по площади России, а значит первое утверждение неверное .
Над гистограммой Индии указана площадь 3,3 млн км 2 , что соответсвует второму утверждению.
Площадь территории Китая согласно графика равна 9,6 млн км 2 , а площадь Австралии — 7,7 млн км 2 , что соответсвует утверждению в третьем пункте.
Площадь территории Канады равна 10,0 млн км 2 , а площадь США — 9,5 млн км 2 , т.е. почти равны. А значить утверждение 4 неверное .
Ответ:
- В каждом двадцать пятом пакете сока согласно условиям акции под крышкой есть приз. Призы распределены случайно. Вера покупает пакет сока. Найдите вероятность того, что Вера не найдет приз в своём пакете.
Показать решение
Решение данной задачи основано на классической формуле определения вероятности:
где, m — число благоприятных исходов события, а n — общее количество исходов
Получаем
Таким образом, вероятность того, что Вера не найдёт приз составит 24/25 или
Ответ:
Вероятность того, что Вера не найдёт приз составит 0,96
- Установите соответствие между функциями и их графиками.
В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.
Показать решение
- Изображённая на рисунке 1 гипербола расположена во второй и четвёртой четвертях, следовательно, данному графику может соответсвовать функция А. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(12/-6) = 2; б) при х = -2, y = -(12/-2) = 6; в) при х = 2, y = -(12/2) = -6; г) при х = 6, y = -(12/6) = -2. Что и требовалось доказать.
- Изображённая на рисунке 2 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может соответсвовать функция Б. Выполнение проверки проведите самостоятельно, по аналогии с первым примером.
- Изображённая на рисунке 3 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может соответсвовать функция В. Выполним проверку: a) при х = -6, y = (12/-6) = -2; б) при х = -2, y = (12/-2) = -6; в) при х = 2, y = (12/2) = 6; г) при х = 6, y = (12/6) = 2. Что и требовалось доказать.
Ответ:
А — 1 ; Б — 2 ; В — 3
- Арифметическая прогрессия (a n) задана условиями:
a 1 = -9, a n+1 = a n + 4.
Найдите сумму первых шести её членов.
Показать решение
a 1 = -9, a n+1 = a n + 4.
a n + 1 =a n + 4 ⇒ d = 4
a n = a 1 + d(n-1)
a 6 = a 1 + d(n-1) = –9 + 4(6 – 1) = –9 + 20 = 11
S 6 = (a 1 + a 6)∙6 / 2
S 6 = (a 1 + a 6)∙3
S 6 = (–9 + 11)∙3 = 6
Ответ:
- Найдите значение выражения
Показать решение
Раскрываем скобки. Не забываем, что первая скобка — это квадрат суммы.
Ответ:
- Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле
где d 1 и d 2 — длины диагоналей четырёхугольника, a — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 2 , если
Показать решение
Помните правило, если у нас трёх-этажная дробь, то нижнее значение переносится наверх
Ответ:
- Укажите решение неравенства
|
|
|
|
|
Показать решение
Для решения данного неравенства необходимо сделать следующее:
а) перенесём член 3х в левую часть неравенства, а 6 — в правую часть, не забыв поменять знаки на противоположные. Получим:
б) Умножим обе части неравенства на отрицательное число -1 и заменим знак неравенства на противоположный.
в) найдём значение х
г) множеством решений данного неравенства будет числовой промежуток от 1,3 до +∞, что соответсвует ответу 3)
Ответ:
3
Модуль «Геометрия»
- Пожарную лестницу длиной 17 м приставили к окну шестого этажа дома. Нижний конец лестницы стоит от стены на 8 м. На какой высоте расположено окно? ответ дайте в метрах.
Показать решение
На рисунке мы видим обычный прямоугольный треугольник состоящий из гипотенузы (лестница) и двух катетов (стена дома и земля. Для нахождения длины катета воспользуемся теоремой Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c 2 = a 2 + b 2
Итак, окно расположено на высоте 15 метров
Ответ:
- В треугольнике ∆ABC известно, что AB = 8, BC = 10, AC = 14. Найдите cos∠ABC
Показать решение
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a
2
=
b
2
+
c
2
– 2
bc
cosα
АС² = АВ² + ВС² — 2·АВ·ВС·cos∠ABC
14² = 8² + 10² — 2·8·10·cos∠ABC
196 = 64 + 100 — 160·cos∠ABC
160·cos∠ABC = 164 — 196
160·cos∠ABC = — 32
cos∠ABC = — 32 / 160 = -0,2
Ответ:
cos∠ABC = -0,2
- На окружности с центром в точке О отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 15 о. Длина меньшей дуги AB равна 48. Найдите длину большей дуги AB .
Показать решение
Известно, что круг составляет 360 о. Исходя из этого, 15 о составляет:
360 о / 15 о = 24 — кол-во сегментов в круге по 15 о
Итак, 15 о составляют 1/24 часть всей окружности, значит оставшаяся часть круга:
т.е. оставшиеся 345 о (360 о — 15 о = 345 о) составляют 23-ю часть всей окружности
Если длина меньшей дуги AB равна 48, то длина большей дуги AB составит:
Ответ:
- В трапеции ABCD известно, что AB = CD , ∠BDA = 35 о и ∠BDC = 58 о. Найдите угол ∠ABD . Ответ дайте в градусах.
Показать решение
По условию задачи перед нами равнобедренная трапеция. Углы в основании равнобедренной трапеции (верхнем и нижним) равны.
∠ADC = 35 + 58 = 93°
∠DAB = ∠ADC = 93°
Теперь рассмотрим треугольник ∆ABD в целом. Нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 °. Отсюда:
∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 35 – 93 = 52 °.
Ответ:
- На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Показать решение
Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h):
a — длина основания треугольника
h — высота треугольника.
Из рисунка мы видим, что основание треугольника равно 6 (клеткам), а высота — 3 (клеткам). Исходя из чего получаем:
Ответ:
- Какое из следующих утверждений верно?
- Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
- Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
- Сумма углов любого треугольника равна 360 о.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Показать решение
Данное задание не является задачей. Вопросы, перечисленные здесь необходимо знать наизусть и уметь на них отвечать.
- Это утверждение абсолютно верно .
- Неверно , поскольку согласно свойствам равнобедренного треугольника у него может быть только одна медиана — это биссектриса, проведенная к основанию. Она же является и высотой треугольника.
- Неверно , поскольку сумма углов любого треугольника равна 180 о.
Ответ:
Часть 2
Модуль «Алгебра»
- Решите уравнение
Показать решение
Перенесем выражение √6-x с правой стороны в левую
Сократим оба выражения √6-x
Перенесём 28 в левую часть уравнения
Перед нами обычное квадратное уравнение.
Область допустимых значений в данном случае составляет: 6 — х ≥ 0 ⇒ x ≤ 6
Для решения уравнения, необходимо найти дискриминант:
D = 9 + 112 = 121 = 11 2
х 1 = (3 + 11)/2 = 14/2 = 7 — не является решением
х 2 = (3 — 11)/2 = -8/2 = -4
Ответ:
- Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него.
Показать решение
х — это собственная скорость теплохода, тогда
х + 4 — скорость теплохода по течению
х — 4 — скорость теплохода против течения
27 — 9 = 18 (ч) — время движения теплохода из пункта отправления в пункт назначения и обратно без учета стоянки
210 * 2 = 420 (км) — общее расстояние, пройденное теплоходом
Исходя из выше сказанного получим уравнение:
приводим к общему знаменателю и решаем:
Для дальнейшего решения уравнения, необходимо найти дискриминант:
y = x 2 + 4x +4 (график, изображенный красной линией)
y = -45/x (график, изображенный синий линией)
Рассмотрим обе функции:
- y=x 2 +4x+4 на промежутке [–5;+∞) – это квадратичная функция, графиком является парабола, а=1 > 0 – ветви направлены вверх. Если мы её сократим по формуле квадрата суммы двух чисел, то получим: у=(х+2) 2 – сдвиг графика влево на 2 единицы, что и видно из графика.
- у=–45/х – это обратная пропорциональность, график гипербола, ветви расположены во 2 и 4 четвертях.
На графике хорошо видно, что прямая у=m имеет с графиком одну общую точку при m=0 и m > 9 и две общие точки при m=9, т.е. ответ: m=0 и m≥9, проверяем:
Одна общая точка в вершине параболы y = x 2 + 4x +4
x 0 = -b/2a = -4/2 = -2
y 0 = -2 2 + 4(-2) + 4 = 4 — 8 +4 = 0 ⇒ с = 0
Две общие точки при х = – 5 ; у = 9 ⇒ с = 9
Ответ:
- Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD , если AB = 24 , а расстояние от центра окружности до хорд AB и CD равны соответсвенно 16 и 12.
Показать решение
Треугольники ∆АОВ и ∆СОD являются равнобедренными.
AK = BK = AB / 2 = 24 / 2 = 12
Отрезки ОК и ОМ являются высотами и медианами.
По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, имеем
OB 2 = OK 2 + BK 2
OB 2 = 16 2 + 12 2 = 256 + 144 = 400
Учитывая, что OB — это радиус, имеем:
OB = OA = OC = OD = 20
Из треугольника ∆СОМ по теореме Пифагора получаем:
CM 2 = OC 2 – OM 2
CM 2 = 20 2 – 12 2 = 400 – 144 = 256
CD = CM * 2 = 16 * 2 = 32
Длина хорды CD равна 32.
Ответ:
- В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников ∆AOB и ∆COD равны
Показать решение
Пусть AD — нижнее основание трапеции, а BC — верхнее, тогда AD>BC.
Найдем площади треугольников ∆ABD и ∆DCA:
S ∆ABD = 1/2 AD ∙ h1
S ∆DCA = 1/2 AD ∙ h2
Учитывая, что величина основания AD и высота обоих треугольников одинаковые, заключаем, что площади этих треугольников равны:
S ∆ABD = S ∆DCA
Каждый из треугольников ∆ABD и ∆DCA состоят из двух других треугольников:
S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆ABD (сумма площадей внутренних треугольников S ∆ABO и S ∆AOD равна площади треугольника S ∆ABD)
S ∆DCO + S ∆AOD = S ∆DCA (сумма площадей внутренних треугольников S ∆DCO и S ∆AOD равна площади треугольника S ∆DCA)
Если площади треугольников S ∆ABD и S ∆DCA равны, то и сумма площадей их внутренних треугольников также равны. Отсюда получаем,:
S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆DCO + S ∆AOD
в данном равенстве с обеих сторон фигурирует один и тот же треугольник — S ∆AOD, что позволяет нам сократить его. Получаем следующее равенство:
S ∆ABO = S ∆DCO
Что и требовалось доказать.
Ответ:
S ∆ABO = S ∆DCO
- На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD = 9 , MD = 6 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .
Показать решение
Для начала начертим треугольник и полуокружность, как сказано в условии задачи (рис.1).
Отметим точку пересечения окружности со стороной АС буквой F (рис.2)
BF — является высотой треугольника ∆ABC, так как для окружности ∠BFC — это вписанный угол, который опирается на дугу в 180° (BC — диаметр), следовательно:
∠BFC=180°/2=90°
Согласно теореме «о двух секущих», имеем: AF * AC = AM * AK
Теперь рассмотрим хорду MK.
Отрезок BC — это перпендикуляр к отрезку MK, проходящий через центр окружности, следовательно BC — это серединный перпендикуляр.
Это значит, BC делит хорду MK пополам, т.е. MD = KD = 6 (см. условие задачи)
Рассмотрим треугольники ∆AHF и ∆ACD.
Угол ∠DAC для обоих треугольников является общим.
А углы ∠AFH и ∠ADC равны, кроме того — это прямые углы.
Следовательно, согласно первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Отсюда, по определению подобия, мы можем записать: AC / AH = AD / AF => AC * AF = AD * AH
Ранее мы рассматривали равенство (по теореме двух секущих) AF * AC = AM * AK, из которой получаем
AM * AK = AD * AH
AH = (AM * AK) / AD
Из рисунка находим:
AM = AD — MD = 9 — 6 = 3
AK = AD + KD = 9 + 6 =15
AH = 3 * 15 / 9 = 45 / 9 = 5
Ответ: AH = 5
Настоящее пособие предназначено для подготовки к Основному государственному экзамену (ОГЭ) по математике. Пособие содержит методические рекомендации с разбором типовых примеров к каждому заданию ОГЭ, подготовительные и зачётные тренинги к каждому заданию ОГЭ, тренировочные работы в формате ОГЭ, соответствующие текущим спецификации и демоверсии экзаменационной работы.
Такая структура пособия представляется универсальной, она позволяет познакомиться со всем спектром заданий открытого банка ОГЭ по математике и методами их решения, обеспечить качественную и полноценную подготовку к экзамену на любом уровне.
Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС).
ББК 22.1я72
Приказом №729 Министерства образования и науки Российской Федерации Московский центр непрерывного математического образования включён в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, допущенных к использованию в образовательном процессе.
Задание 6 ОГЭ по математике представляет собой задачу на числовые последовательности, прежде всго на арифметическую или геометрическую прогрессию, но не только.
Напомним, что числовой последовательностью называется набор чисел, для которых указан порядок их следования, т. е. каждому из чисел набора приписан определённый порядковый номер, причём любые два числа из набора (даже если они равны) имеют разные номера. Иными словами, последовательность- не что иное, как функция, определённая на множестве натуральных чисел. График такой функции представляет собой множество точек с натуральными абсциссами, ординаты которых находятся по определённому правилу. Это правило, как и в случае любой другой функции, может быть дано в виде описания, таблицы, формулы либо даже сразу в виде самого графика. Обычно последовательность обозначается так: (а n) или так: {а n}. Скобки указывают именно на обозначение последовательности, а их отсутствие, т. е. запись a n означает, что речь идёт об п-м члене последовательности.
Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называемым разностью прогрессии. Разность арифметической прогрессии может быть любым числом: положительным, отрицательным, нулём. Таким образом, для того чтобы однозначно определить арифметическую прогрессию, достаточно знать какой-то её член и разность, т.е. арифметическая прогрессия задаётся двумя элементами.
Предисловие
ОГЭ-2018 по математике и как к нему готовиться (методические рекомендации с разбором задач)
Подготовка к части 1 ОГЭ по математике
Подготовка к части 20ГЭ по математике
Диагностические работы
Ответы
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Подготовка к ОГЭ по математике, Ященко И.В., Шестаков С.А., 2018 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
