однополосный гиперболоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0;
Пересек. координатные осиплоскостями x=0,y=0,z=0 по гиперболам y 2 /b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 и эллипсоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1 соответственно. В сечениях однополосного гиперболоида плоскостями z=h всегда получаются эллипсы x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 + h 2 /c 2 с полуосями и 
.
Каноническое уравнение:
a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz .
Горловой эллипс:
Асимптотический конус: 
Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
Прямолинейные образующие
Через произвольную точку 
проходят две прямолинейные образующие с направляющими векторами и где:
В частности, если точку выбирать на горловом эллипсе 
то уравнениями прямолинейных образующих будут:
Двуполостный гиперболоид, его каноническое уравнение.
двуполостный гиперболоид x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; x=h получается эллипс x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = -1 + h 2 /c 2 с полуосями b*Корень(h 2 /a 2 -1) и с*Корень(h 2 /a 2 -1). При h=a получим в сечении точки (±а,0,0) – вершины двуполостного. В сечениях координ пл. z=0 и y=0 получим гиперболы x 2 /a 2 – y 2 /b 2 =1 и x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 соответсвенно.
Каноническое уравнение:
a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz .
Асимптотический конус: 
Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо .
Эллиптический параболоид, его каноническое уравнение.
эллиптический параболоид x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;
Каноническое уравнение:
p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz .
Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка, либо . 
Гиперболический параболоид, его каноническое уравнение. Семейства прямолинейных образующих гиперболического параболоида.
гиперболический параболоид x 2 /a 2 - y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;
Каноническое уравнение:
Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).
Прямолинейные образующие
Через каждую точку проходят две прямолинейные образующие:
 |
Поверхности вращения.
Поверхностью вращения называется поверхность, образованная вращением какой-либо плоской линии вокруг прямой, лежащей в плоскости этой линии.
Для вывода уравнения поверхности вращения необходимо выбрать систему координат. Чтобы уравнение поверхности вращения выглядело проще, ось вращения принимают за одну из координатных осей.
Пусть в координатной плоскости Oyz задана кривая L уравнением F(Y, Z)=0 (рис. 24). Вращаем кривую L вокруг оси Oy. Получим некоторую поверхность. Пусть M(x, y, z) - произвольная точка получившейся поверхности. Тогда
, но т.к. если взять точку M 1 с отрицательной аппликатой, то
Следовательно, имеем Y = y, и координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют уравнению
Уравнение (62) и есть искомое уравнение поверхности вращения.
Т. о., чтобы получить уравнение поверхности, образованной вращением линии L, лежащей в плоскости Oyz, вокруг оси Oy, нужно в уравнении этой линии заменить z на
Аналогичные правила будут иметь место и по отношению к уравнениям поверхностей, полученных вращением плоских линий вокруг других координатных осей.
Цилиндры.
цилиндры второго порядка: эллиптический цилиндр x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; гиперболический цилиндр x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; параболический цилиндр y 2 =2px; пара пересекающихся плоскостей a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 пара параллельных или совпадающих плоскостей x-a=0 a>=0; прямая x 2 +y 2 =0
Конусы.
конус второго порядка x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 a>0,b>0,c>0; Пересекая пл. z=h -> x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1. В сечении плоскостями x=0 y=0 имеем пары пересек прямых y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0; x 2 /a 2 - z 2 /c 2 =0 соотв.
Линейные пространства
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12
Однополостным гиперболоидом
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1.
В уравнениях (4.48), (4.49) a,b,c - положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем a\geqslant b .
Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) однополостного гиперболоида (4.48) и две точки (0,0,\pm c) двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям Ox,\,Oy , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат Oz , - продольной осью гиперболоидов. Числа a,\,b,\,c , равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.
Плоские сечения однополостного гиперболоида
Подставляя z=0 в уравнение (4.48), получаем уравнение \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью Oxy . Это уравнение в плоскости Oxy определяет эллипс, который называется горловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например, при x=0 получаем главную гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{z^2}=1 , а при y=0 - главную гиперболу \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
Рассмотрим теперь сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy . Подставляя z=h , где h - произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2}.
При любом значении параметра h уравнение определяет эллипс с полуосями a"=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}, b"=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}, . Следовательно, сечение однополостного гиперболоида плоскостью z=h представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины - на главных гиперболах. Среди всех эллипсов, получающихся в сечениях плоскостями z=h при различных значениях параметра h , горловой эллипс (при h=0 ) является эллипсом с наименьшими полуосями.
Таким образом, однополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.42,а)
Плоские сечения двуполостного гиперболоида
Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями Oyz и Oxz представляют собой гиперболы (главные гиперболы).
Рассмотрим теперь сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy . Подставляя z=h , где h - произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.49), получаем
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2}-1.
При |h|
Таким образом, двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,а).
Гиперболоиды вращения
Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны (a=b) , называется гиперболоидом вращения . Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями z=h (для двуполостного гиперболоида при |h|>c ) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси Oz гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 (рис.4.42,б) или сопряженную гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 (рис.4.43,б) соответственно. Заметим, что уравнение последней можно записать в форме -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 .
Гиперболоид, у которого поперечные оси различны (a\ne b) , называется трехосным (или общим).
Замечания 4.9
1. Плоскости х x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,в). Две грани (z=\pm c) параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах.
2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя x=\pm a в уравнение (4.48), получаем уравнение \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).
3. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,в). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендикулярной).
4. Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси - осями симметрии гиперболоида, координатные плоскости - плоскостями симметрии гиперболоида.
В самом деле, если точка M(x,y,z) принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами (\pm x,\pm y,\pm z) при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно.
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
- (греч., от hyperbole гипербола, и eidos сходство). Несомкнутая кривая поверхность 2 го порядка, происходящая от вращения гиперболы. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГИПЕРБОЛОИД греч., от hyperbole,… … Словарь иностранных слов русского языка
гиперболоид - а, м. hyperboloïde m. мат. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы вокруг одной из ее осей. БАС 2. Гиперболоид инженера Гарина. Лекс. Ян. 1803: гиперболоида; САН 1847: гиперболои/д: БАС 1954: гиперболо/идный … Исторический словарь галлицизмов русского языка
ГИПЕРБОЛОИД, гиперболоида, муж. (мат.). Поверхность, образуемая вращением гиперболы (в 1 знач.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова
Сущ., кол во синонимов: 2 коноид (4) поверхность (32) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
Гиперболоид - Однополостный гиперболоид. ГИПЕРБОЛОИД (от гипербола и греческого eidos вид), поверхность, которая получается при вращении гиперболы вокруг одной из осей симметрии. В одном случае образуется двуполостный гиперболоид, в другом однополостный… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
гиперболоид - hiperboloidas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. hyperboloid vok. Hyperboloid, m rus. гиперболоид, m pranc. hyperboloïde, m … Fizikos terminų žodynas
- (мат.) Под этим названием известны два вида поверхностей второго порядка. 1) Однополый Г. Эта поверхность, отнесенная к осям симметрии, имеет уравнение x2/a2 + y2/b2 z2/c2 = 1. Однополый Г. есть поверхность линейчатая и на ней лежат две системы… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
М. Незамкнутая поверхность, образуемая вращением гиперболы [гипербола II] вокруг одной из её осей (в геометрии). Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоида, гиперболоидов, гиперболоиду, гиперболоидам, гиперболоид, гиперболоиды, гиперболоидом, гиперболоидами, гиперболоиде, гиперболоидах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») … Формы слов
Незамкнутая центральная поверхность второго порядка. Существуют два вида Г.: однополостный Г. идвуполостный Г. В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение однополостного Г. имеет вид: а двуполостного вид: Числа а, b и с(и отрезки такой… … Математическая энциклопедия
Книги
- , Алексей Толстой. В книгу вошли научно-фантастические романы А. Н. Толстого, созданные в 20-е годы прошлого века…
- Гиперболоид инженера Гарина. Аэлита , Алексей Толстой. Роман "Гиперболоид инженера Гарина" и повесть "Аэлита" положили начало советской научно-фантастической литературе. Они отличаются тем, что темы фантастические даются в сочетании с…
Образуется вращением гиперболы вокруг её оси.
Различают однополостный и двуполостный гиперболоиды вращения.
Однополостный (рис. 2-89) образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси (рис-2.90). Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии вокруг скрещивающейся с ней оси (рис. 2-91).
Определитель однополостного гиперболоида S (l , i ^ П 1)
Определитель однополостного гиперболоида (образующая - прямая линия). Образующая и ось скрещивающееся прямые. Эту поверхность относят и к линейчатым поверхностям
S (l, i ^ П 1 , l ° i) (рис. 2-91).
Двуполостный гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее действительной оси.
Один из способов (рис. 2-92) построения однополостного гиперболоида: т.к. горизонтальные проекции всех образующих должны касаться проекции горловой окружности, то каждое последующее положение прямолинейной образующей можно создавать проведением касательных к проекции окружности горла.
Выдающийся русский инженер В.Г. Шухов (1921г) предложил использовать однополостный гиперболоид для строительства прочных и технологичных конструкций (радиомачт, водонапорных башен, маяков).
Алгоритм построения, если поверхность задана параллелями и расстоянием (l ) от экватора до горла (рис. 2-92):
1. Разбить горловую (А,В,С ...) и нижнюю (1,2,3 ,..) параллели на 12 равных частей;
2. Из точки 4 1 провести образующие так, чтобы они были касательными к горловой параллели (т.е. через В 1 и Е 1 ), на горизонтальной проекции верхней параллели получим точку Р 1 , которая определит положение верхней параллели на фронтальной проекции. Эти образующие и на П 2 пройдут через те же точки (4 2 , В 2 , Е 2 ).
3. Для остальных точек построение повторить.
Только три поверхности вращения второго порядка имеют в качестве образующей прямую линию. В зависимости от расположения этой прямой относительно оси, можно получить три вида линейчатых поверхностей вращения второго порядка:
1. цилиндр, если образующая параллельна оси вращения x 2 + y 2 = R 2 ;
2. конус, если образующая пересекает ось вращения k 2 (x 2 + y 2) – z 2 = 0;
3. однополостный гиперболоид вращения, если ось и образующая скрещиваются
(x 2 + y 2) / a 2 – z 2 / d 2 = 0
Однополостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением
называется однополостным гиперболоидом. Эта поверхность имеет три плоскости симметрии - координатные плоскости, так как текущие координаты у и z входят в уравнение (55) в четных степенях.
Пересекая однополостный гиперболоид плоскостью получим лежащую в плоскости гиперболу ABCD (рис. 97)
Аналогично, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получится гипербола EFGH
лежащая в плоскости
При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью получится эллипс BFCG, уравнения которого имеют вид:
Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h.
При получится эллипс, лежащий в плоскости и имеющий наименьшие полуоси а и b. При получим однополостный гиперболоид вращения
При пересечении его плоскостями будут получаться окружности
В пп. 2 и 3 рассматривались цилиндрические и конические поверхности, каждая из которых составлена из прямых. Оказывается, однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, определяемую уравнениями
в которых а, b и с - полуоси однополостного гиперболоида, a k - произвольно выбранное число
Перемножая почленно эти уравнения, получим уравнение
т. е. уравнение однополостного гиперболоида.
Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида является следствием системы уравнений (59). Поэтому координаты любой точки , удовлетворяющие системе уравнений (59), удовлетворяют также и уравнению (55) однополостного гиперболоида. Иными словами, все точки прямой (59) принадлежат гиперболоиду (55). Меняя значения k, мы получим целое семейство прямых, лежащих на поверхности (55). Аналогично можно показать, что однополостному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства
где - произвольный параметр.
Можно также показать, что через каждую точку однополостного гиперболоида проходит по одной прямой из каждого из указанных семейств. Таким образом, однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 98). Эти прямые называются прямолинейными образующими однополостного гиперболоида.
Возможность составления поверхности однополостного гиперболоида из прямых линий используется в строительной технике.
Так, например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым В. Г. в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид. Поверхность, определяемая уравнением
называется двуполостным гиперболоидом.
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для двуполостного гиперболоида.
Пересекая эту поверхность координатными плоскостями получим соответственно гиперболы
