Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы.
Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
которая в векторной форме записывается в виде
Матрица Φ , столбцами которой являются n линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) однородной линейной системы Y" = A(x)Y называется фундаментальной матрицей решений системы:
Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y" = A(x)Y удовлетворяет матричному уравнению Φ" = A(x)Φ.
Напомним, что определитель Вронского линейно независимых на решений Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) отличен от нуля на .
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений n-го порядка:
Линейная система устойчива по Ляпунову при t ≥ t0, если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t ≥ t0.
Линейная система асимптотически устойчива по Ляпунову при t → ∞ , если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t → ∞ .
Решения линейной системы либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы. Справедливы следующие утверждения.
Теорема об устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений. Пусть в неоднородной линейной системе x" = A(t)x + b(t) матрица A(t) и вектор-функция b(t) непрерывны на промежутке }