Обменная энергия это добавка к энергии системы взаимодействующих частиц в квантовой механике, обусловленная перекрытием волновых функций при ненулевом значении полного спина системы частиц. Обменная энергия не имеет никаких аналогов в классической механике. В случае непосредственного перекрытия двух волновых функций говорят о прямом обмене (Гейзенберга), а в случае присутствия частицы-посредника, через которую происходит взаимодействие, говорят о непрямом обмене. Посредниками при непрямом обмене могут выступать диамагнитные ионы (наподобие кислорода O 2?) или электроны проводимости. Первый случай теоретически был рассмотрен Крамерсом (1934) и Андерсоном (1950-е), а второй был предсказан Рудерманом и Киттелем (1954). В реальных кристаллах, в той или иной мере присутствуют все типы обмена.
Суперобменное взаимодействие
Большинство ферро- и ферримагнитных диэлектриков состоит из магнитных 3d-ионов, разделённых такими немагнитными ионами, как O 2? , Br ? , Cl ? и др. Образуется ситуация, когда расстояния для непосредственного взаимодействия 3d-орбиталей слишком велико и обменное взаимодействие осуществляется перекрытием волновых функций 3d-орбиталей магнитных ионов и p-орбиталей немагнитных ионов. Орбитали оказываются гибридизированными, а их электроны становятся общими для нескольких ионов. Такое взаимодействие называется суперобменным. Его знак (то есть, является ли диэлектрик ферро- или антиферромагнетиком) определяется типом d-орбиталей, количеством электронов на них и углом, под которым видна пара магнитных ионов из узла, где находится немагнитный ион.
Двойной обмен
управляя легированием можно добиться перехода оксида в проводящее состояние. В манганитах лантана вида La 1?x Ca x MnO 3 при определённых значениях параметра x про часть ионов марганца может иметь валентность 3+, а другая - 4+. Обменное взаимодействие между ними, совершаемое через ионы O 2- , называют двойным обменом. Эти соединения так же будут ферро- или антиферромагнетиками в зависимости от значения x. Ферромагнитное упорядочивание будет в том случае, если суммарные спины 3-х и 4-валентных ионов сонаправлены, при этом 4-й электрон может быть делокализован. Иначе он локализирован на ионе с меньшей валентностью. Для La 1?x Sr x MnO 3 переход из антиферромагнитной в ферромагнитную фазы происходит при (бомльшим значениям x соответствует ферромагнетик).
Антисимметричное обменное взаимодействие
Антисимметричное обменное взаимодействие (взаимодействие Дзялошинского - Мория) между двумя ячейками с векторами спина и описывается выражением
Энергия взаимодействия ненулевая только если ячейки не магнитно эквивалентны. Взаимодействие Дзялошинского - Мория проявляется в некоторых антиферромагнетиках. Результатом является появление слабой спонтанной намагниченности. Этот эффект называют слабым ферромагнетизмом, так как результирующая намагниченность составляет десятые доли процентов от намагниченности в типичных ферромагнетиках. Слабый ферромагнетизм проявляется в гематите, карбонатах кобальта, мангана и некоторых других металлов.
В отличие от диа- и парамагнетиков, магнитные свойства которых определяются состоянием отдельных атомов, характерной особенностью ферромагнетиков является наличие в них областей спонтанного намагничивания - доменов. Их возникновение обусловлено так называемым обменным взаимодействием электронов в атомах, которое имеет квантовую природу. В результате этого взаимодействия спиновые моменты электронов могут выстраиваться параллельно друг другу и данный элемент объема вещества приобретает отличный от нуля магнитный момент.
Термин «обменное взаимодействие» связан с моделью, предложенной Гейзенбергом, согласно которой два электрона атомов, расположенных рядом друг с другом в кристаллической решетке, нельзя считать принадлежащими каждому атому по отдельности. Подобно электронам в молекуле водорода, электроны соседних атомов ферромагнетика обобществляются и принадлежат всей группе атомов в делом, а их взаимодействие необходимо рассчитывать с учетом конфигурации всей электронной оболочки, а также таких факторов, как, например, обычное кулоновское взаимодействие между электронами.
Обменная энергия обусловливает большой набор различных явлений. Ей принадлежит главная роль в образовании ковалентной химической связи в молекулах и кристаллах, например в кристаллах Ое и Эь В зависимости от знака обменной энергии в природе существуют ферромагнетики - магнитные вещества с одинаково ориентированными спинами и антиферромагнетики, у которых спины соседних электронов антипараллельны. Эта энергия имеет важное значение во внутриядерных взаимодействиях ит. д.
Согласно расчетам энергия системы из двух взаимодействующих электронов атомов ферромагнетика может быть представлена в виде
где Е 0 - энергия двух невзаимодействующих атомов; К - энергия кулоновского взаимодействия зарядов, входящих в состав атомов; 5 0 - так называемый интеграл неортого- нальности (0 (К |{У обм |). Эта энергия связана с электрическим взаимодействием тех электронов соседних атомов, волновые функции которых перекрываются:
где 5! и 5 2 - результирующие спины невзаимодействующих атомов, J - некоторый коэффициент пропорциональности, называемый обменным интегралом.
Наибольшую сложность для расчетов составляет вычисление величины обменного интеграла с/, физический смысл которого заключается в описании вероятности обмена электронами между соседними атомами. Сам обменный интеграл может быть как положительным, так и отрицательным. Знак интеграла зависит от того, какая ориентация спинов у элементов, участвующих в образовании обменной связи, будет энергетически выгодной.
Применим в качестве примера выражение (5.53) для случая молекулы водорода. Напомним, что электрон имеет спин 5 = -^. Суммарный спин двух электронов может
равняться нулю или единице (5 = 0,1). Состояние с суммарным спином нуль (5 = 0) называется синглетным. В этом состоянии спины двух электронов ориентированы в противоположные стороны. Состояние с суммарным спином единица (5 = 1) называется триплетным, и в нем спины двух электронов ориентированы одинаково.
Суммарный спин двух валентных электронов жестко связан с пространственным распределением электронов. Действительно (согласно принципу Паули) в одной точке пространства не могут находиться одновременно два электрона в одинаковом спиновом состоянии. Это означает, что в синглетном состоянии два валентных электрона могут находиться одновременно в пространстве между двумя атомами, а в триплетном состоянии это запрещено принципом Паули. Если обменный интеграл отрицателен (и/
для энергии триплетного состояния
имеем:
а в синглетном состоянии |
:
Разность энергий синглетного и триплетного состояний, равная
есть фактическая энергия, связанная с переворотом спина и равная обменному интегралу. В соответствии с рассмотренным ранее результатом синглетное состояние молекулы водорода действительно обладает более низкой энергией.
Итак, если обменный интеграл положителен, то низшую энергию имеет симметричное состояние (простейшим примером является ферромагнитное состояние), а если отрицателен, то низшую энергию имеет асимметричное состояние (этот случай соответствует антиферромагнитному состоянию с антипараллельными спинами).
Из первоначальной теории Гейзенберга следуют два важнейших вывода:
- 1) если обменный интеграл положителен, то может возникнуть состояние самопроизвольной намагниченности - ферромагнетизм;
- 2) величина энергии обменного взаимодействия достаточна для возникновения ферромагнетиков с температурой Кюри порядка 103 К.
Теория подтвердила ряд опытных данных. Энергия взаимодействия электронов между собой (перекрытие электронных оболочек) как энергия взаимодействия одноименных зарядов положительна, а энергия взаимодействия ядер и электронов - отрицательна. Поэтому благоприятствовать положительному значению J будет увеличение отношения расстояния между ионами в кристалле а к радиусу электронной оболочки г,„ хотя при этом абсолютное значение J должно уменьшаться. Или атомы ферромагнетика должны находиться достаточно далеко друг от друга, что подкрепляется на опыте.
Все ферромагнитные элементы принадлежат к числу переходных элементов, а ферромагнитные сплавы и соединения обязательно содержат переходные элементы. Именно у переходных элементов имеется незаполненная электронная с(-оболочка, т. е. электронная оболочка с большим орбитальным числом I и не равным нулю суммарным спиновым моментом.
На рис. 5.6 показана зависимость обменного интеграла J от величины отношения постоянной решетки а к диаметру незаполненной оболочки 2г п, которая качественно
Зависимость обменного интеграла от отношения постоянной решетки к диаметру электронной «орбиты» в й-состоянии
правильно отражает зависимость обменного интеграла от расстояния. Ферромагнитные элементы Ее, Со, N1 имеют наибольшее значение обменного интеграла, у гадолиния и некоторых других редкоземельных элементов значение
очень велико, поэтому обменный интеграл у них хотя 2 г п
и положителен, но мал, и точки Кюри низкие. На основании такой схемы удается объяснить не только ферромагнетизм Ее, Со, N1, но и антиферромагнетизм так называемых гейслеровых сплавов, зависимость температуры Кюри от давления и т. д.
Так, например, марганец имеет слишком малое расстояние между атомами, но на границе с переменной знака интеграла обмена, соответствующей -^- = 1,5, неболь-
шое увеличение постоянной решетки марганца должно превратить его из антиферромагнетика в ферромагнетик. Действительно, добавление к марганцу небольшого количества азота, увеличивающего постоянную решетки, приводит к появлению ферромагнетизма.
В случае нескольких взаимодействующих спинов полную обменную энергию можно записать в виде
Модель ферромагнетика, которая исходит из выражения, для этого вида энергии называется моделью Гейзенберга.
Найдем приближенно связь между обменным интегралом J и постоянной молекулярного поля а. Предположим, что рассматриваемый атом имеет п ближайших соседей, и обменное взаимодействие каждого из них с центральным атомом характеризуется величиной J. Для более далеких соседей будем считать J равным нулю. Обменное взаимодействие очень быстро убывает с увеличением расстояния между атомами. Найдем энергию С/ пер, требуемую для переворота данного спина в присутствии всех других спинов. Эта энергия вдвое больше обменной энергии системы с какой- то определенной ориентацией спина, так как = -Н-ц (формулы (5.54) и (5.55)). Поэтому ее можно записать (пренебрегая компонентами спина 5, перпендикулярными к направлению средней намагниченности) в следующем виде:
Эту же энергию переворота спина можем записать в виде где V - объем, приходящийся на один атом. Средний магнитный момент электрона, обусловленный его спином, есть
р = ?Др в, а намагниченность насыщения Следовательно, для постоянной молекулярного поля получим следующее выражение:
Так как объем, занимаемый одним атомом, равен , где N - концентрация атомов (число атомов в единице объема), то с учетом формулы (5.47) получаем:
Это выражение устанавливает связь между обменным интегралом J и температурой Кюри 0. Полученная формула носит оценочный характер, так как не учитывает ряд факторов.
Существует несколько типов обменных взаимодействий. Обменное взаимодействие электронов соседних ионов получило название прямого обмена. Это взаимодействие с перекрытием зарядового распределения различных магнитных ионов с недостроенными (1- или /-оболочками. Однако модель прямого обменного взаимодействия редко оправдывается на опыте, так как в ней использованы очень жесткие предположения. Кроме того, во многих сплавах и химических соединениях «магнитные ионы» отделены друг от друга немагнитным ионом (т. е. ионом,
Схематическое изображение типов обменных взаимодействий: а - прямой обмен; б - сверхобмен; в - косвенный обмен.
у которого все электронные оболочки заполнены полностью), в этом случае обменное взаимодействие может осуществляться через электроны общего для них немагнитного иона. Такой вид обменного взаимодействия получил название косвенного или сверхобменного взаимодействия (рис. 5.7).
Кроме прямого обмена и сверхобмена к ферромагнетизму может привести косвенный обмен локализованных электронов через электроны проводимости. Косвенный обмен наиболее характерен для редкоземельных металлов и сплавов.
Итак, условиями, благоприятными для возникновения ферромагнетизма, являются:
- 1) наличие локализованных магнитных моментов, например в атомах с недостроенными или /-оболочками;
- 2) обменный интеграл должен быть положительным;
- 3) плотность состояний в й- или /-зонах должна быть велика, для того чтобы возрастание кинетической энергии, связанной с заполнением электронами более высоких свободных уровней (принцип Паули), не превысило уменьшения энергии за счет обменного взаимодействия.
Тот факт, что в уравнении Шредингера не учитывается наличие у частиц спина, отнюдь не обесценивает это уравнение и все получающиеся с его помощью результаты.
Дело в том, что электрическое взаимодействие частиц не зависит от их спинов. Математически это означает, что гамильтониан системы электрически взаимодействующих частиц (в отсутствие магнитного поля) не содержит операторов спина и потому при применении его к волновой функции никак не воздействует на спиновые переменные. Поэтому уравнению Шредингера удовлетворяет в действительности каждая из компонент волновой функции; другими словами, волновая функция системы частиц может быть написана в виде произведения
где функция зависит только от координат частиц, а функция - только от их спинов; о первой будем говорить как о координатной или орбитальной, а о второй - как о спиновой волновой функции. Уравнение Шредингера определяет по существу только координатную функцию оставляя функцию произвольной. Во всех случаях, когда сам спин частиц нас не интересует, можно, следовательно, применять уравнение Шредингера, рассматривая в качестве волновой функции одну только координатную функцию, что и делалось в предыдущих главах.
Однако оказывается, что, несмотря на указанную независимость электрического взаимодействия частиц от их спина, существует своеобразная зависимость энергии системы от ее полного спина, проистекающая в конечном итоге из принципа неразличимости одинаковых частиц.
Рассмотрим систему, состоящую всего из двух одинаковых частиц. В результате решения уравнения Шредингера мы найдем ряд уровней энергии, каждому из которых соответствует определенная симметричная или антисимметричная координатная волновая функция Действительно, в силу одинаковости частиц гамильтониан (а с ним и уравнение Шредингера) системы инвариантен по отношению к их перестановке. Если уровни энергии не вырождены, то при перестановке координат функция может измениться только на постоянный множитель; производя же перестановку еще раз, убедимся, что этот множитель может быть равен только ±1.
Предположим сначала, что частицы имеют спин нуль. Спиновый множитель для таких частиц вообще отсутствует, и волновая функция сводится к одной лишь координатной функции которая должна быть симметричной (поскольку частицы со спином нуль подчиняются статистике Бозе).
Таким образом, не все из уровней энергии, получающихся при формальном решении уравнения Шредингера, могут в действительности осуществляться; те из них, которым соответствуют антисимметричные функции , для рассматриваемой системы невозможны.
Перестановка двух одинаковых частиц эквивалентна операции инверсии системы координат (начало которой выбрано посредине прямой, соединяющей обе частицы). С другой стороны, в результате инверсии волновая функция должна умножиться на , где l - орбитальный момент относительного движения обеих частиц (см. § 30). Сопоставляя эти соображения со сказанным выше, мы приходим к выводу, что система из двух одинаковых частиц со спином нуль может обладать только четным орбитальным моментом.
Далее, пусть система состоит из двух частиц со спином 1/2 (скажем, электронов). Тогда полная волновая функция системы (т. е. произведение функции ) и спиновой функции должна быть непременно антисимметричной по отношению к перестановке обеих частиц. Поэтому при симметричной координатной функции спиновая функция должна быть антисимметричной, и наоборот. Будем писать спиновую функцию в спинорном виде, т. е. в виде спинора второго ранга каждый из индексов которого соответствует спину одного из электронов. Симметричной по спинам обеих частиц функции соответствует симметричный спинор а антисимметричной - антисимметричный спинор Но мы знаем, что симметричный спинор второго ранга описывает систему с равным единице полным спином, а антисимметричный спинор сводится к скаляру, что соответствует равному нулю спину.
Таким образом, мы приходим к следующему результату. Те уровни энергии, которым соответствуют симметричные решения уравнения Шредингера, могут фактически осуществляться при равном нулю полном спине системы, т. е. когда спины обоих электронов «антипараллельны», давая в сумме нуль. Значения же энергии, связанные с антисимметричными функциями требуют равного единице полного спина, т. е. спины обоих электронов должны быть «параллельными».
Другими словами, возможные значения энергии системы электронов оказываются зависящими от ее полного спина. На этом основании можно говорить о некотором своеобразном взаимодействии частиц, приводящем к этой зависимости. Это взаимодействие называют обменным. Оно представляет собой чисто квантовый эффект, полностью исчезающий (как и самый спин) при предельном переходе к классической механике.
Для разобранного нами случая системы двух электронов характерно следующее обстоятельство. Каждому уровню энергии соответствует одно определенное значение полного спина: 0 или 1.
Такое однозначное соответствие значений спина уровням энергии сохраняется, как мы увидим ниже (§ 63), и в системах из произвольного числа электронов. Оно, однако, не имеет места для систем, состоящих из частиц со спином, превышающим 1/2.
Рассмотрим систему из двух частиц с произвольным спином s. Ее спиновая волновая функция есть спинор ранга 4s:
половина индексов которого соответствует спину одной, а другая половина - спину другой частицы. По индексам каждой из этих групп индексов спинор симметричен. Перестановке обеих частиц соответствует перестановка всех индексов первой группы о индексами второй группы. Для того чтобы получить спиновую функцию состояния системы с полным спином S, надо упростить этот спинор по парам индексов (каждая пара содержит один индекс из к, и один из ) и симметризовать по остальным; в результате получится симметричный спинор ранга
Но, как мы знаем, упрощение спинора по паре индексов означает составление комбинации, антисимметричной по этим индексам. Поэтому при перестановке частиц спиновая волновая функция умножится на .
С другой стороны, полная волновая функция системы двух частиц при их перестановке должна умножаться на (т. е. на при целом s и на -1 при полуцелом). Отсюда следует, что симметрия координатной волновой функции по отношению к перестановке частиц определяется множителем зависящим только от 5.
Таким образом, мы приходим к результату, что координатная волновая функция системы двух одинаковых частиц симметрична при четном и антисимметрична при нечетном полном спине.
Вспоминая сказанное выше о связи между перестановкой частиц и инверсией системы координат, заключаем также, что при четном (нечетном) спине S система может обладать только четным (нечетным) орбитальным моментом.
Мы видим, что и здесь обнаруживается некоторая зависимость между возможными значениями энергии системы и полным спином, но эта зависимость не вполне однозначна. Уровни энергии, которым соответствуют симметричные (антисимметричные) координатные волновые функции, могут осуществляться при всех четных (нечетных) значениях
Подсчитаем, сколько имеется всего различных состояний системы двух частиц с четными и нечетными значениями S. Величина S пробегает 2s + 1 значений: . Для каждого данного имеется 2s + 1 состояний, отличающихся значением -компоненты спина (всего различных состояний).
Пусть s - целое. Тогда среди значений есть четных и s нечетных. Полное число состояний с четными равно сумме
остальные ) состояний обладают нечетными S. Подобным же образом найдем, что при полуцелом s имеется ) состояний с четными и () с нечетными значениями
Задачи
1. Определить обменное расщепление уровней энергии системы двух электронов; взаимодействие электронов рассматривается как возмущение.
Решение. Пусть частицы находятся (без учета их взаимодействия) в состояниях с орбитальными волновыми функциями . Состояниям системы с полным спином отвечают соответственно симметризованное и антисимметризоваиное произведения:
Средние значения оператора взаимодействия частиц в этих состояниях равны , где
(интеграл J называют обменным). Опуская не имеющую обменного характера аддитивную постоянную А, находим, таким образом, смещения уровней: (индекс указывает значение S). Эти величины можно представить как собственные значения спинового обменного оператора
(собственные значения произведения - см. задачу 2 § 55).
Если электроны относятся, например, к различным атомам, то обменный интеграл экспоненциально убывает при увеличении расстояния R между атомами. Из структуры подынтегрального выражения ясно, что этот интеграл определяется «перекрытием? волновых функций состояний учитывая асимптотический закон убывания волновых функций состояний дискретного спектра найдем, что
При отсутствии магнитного и спин-орбитального взаимодействия спин влияет на энергию двухчастичного состояния благодаря обменному взаимодействию, действующему на фоне любого взаимодействия между частицами. Название взаимодействия связано с тем, что в двухчастичном состоянии электроны взаимно перепутаны и самопроизвольно периодически обмениваются местами.
Для двух электронов, находящихся вне неоднородного магнитного поля, спиновая и координатная составляющие волновой функции независимые и входят в волновую функцию сомножителями
Функция
фермионов 1,2
антисимметричная при перестановке
частиц. Следовательно, если
координатная функция
симметричная
при
перестановке частиц, то спиновая функция
антисимметричная,
и наоборот
.
Ранее
показано, что спиновая
функция двухчастичного состояния с
полным спином
антисимметричная
при перестановке частиц, при
– симметричная
.
Переход между
и
происходит при повороте спина у одной
частицы, и это вызывает изменение
четности координатной функции. Такое
влияние электронов друг на друга при
любом расстоянии между ними объясняется
их перепутанностью и обменным
взаимодействием, действующим между
перепутанными состояниями
.
Четность
координатной функции
двух электронов
.
В сферической системе координат с
началом в центре масс угловое состояние
описывается сферической функцией
,
где
– орбитальное число системы;
– орбитальное число электрона
.
При взаимной перестановке частиц углы
изменяются
,
.
Сферическая функция согласно (4.27) получает множитель
Следовательно, четность координатной функции двух частиц
(7.40)
совпадает
с четностью орбитального числа
.
Четность спиновой функции определяется полным спином S .
,
,
состояние называется синглетным , от лат. singularis – «одиночный». Как показано ранее спиновая функция (П.11.16)
нечетная при перестановке частиц, тогда координатная функция четная и согласно (7.40)
–четное.
,
состояние называется триплетным от лат. triplex – «тройной». Спиновые функции (П.11.14), (П.11.15) и (П.11.17):
,
,
четные при перестановке частиц. Координатные функции нечетные, и
–нечетное.
Существует корреляция между четностью орбитального числа двух электронов и их суммарным спином . Корреляция объясняется наличием перепутанности и обменным взаимодействием.
Координатная часть волновой функции системы двух электронов, записанная в виде
является
четной или
нечетной в зависимости от спина системы
S
.
Знак «плюс»
соответствует
,
знак «минус» соответствует
.
Состояние
является перепутанным по положениям
частиц.
Обменное
взаимодействие
.
Пусть между электронами существует
немагнитное взаимодействие
,
не зависящее от спина. Тип симметрии
координатной части волновой функции
влияет на энергию состояния, и она
зависит от спина системы. Это влияние
спина на энергию состояния является
следствием обменного взаимодействия.
Рассмотрим взаимодействие в рамках
первого порядка теории возмущений.
Энергия системы в состоянии (8.41)
согласно первому порядку теории возмущений (6.10) равна
,
.
Подстановка
дает
,
Учтена
симметрия интегралов при замене
.
Поправка к энергии α возникает за счет
взаимодействия между электроном 1,
находящимся в определенной точке
,
или
,
и электроном 2, находящимся в другой
точке
,
или
.
Поправка β вызвана обменным взаимодействием,
когда каждый электрон присутствует
одновременно в двух точках.
В результате для состояний с координатными функциями и полным спином получаем
,
,
(8.42)
;
–невозмущенная
энергия состояния;
α
– энерг
ия
взаимодействия частиц
,
одна из которых распределена в пространстве
c
плотностью вероятности
,
а другая –c
плотностью вероятности
.
Обменная энергия
снимает вырождение состояний по спину.
При
основному состоянию с минимальной
энергией соответствует
,
спин системы
,
спины электронов параллельные.
Явление
наблюдается в ферромагнетизме
,
где электростатическое взаимодействие
между электронами в 3d
-оболочках
атомов, находящихся на расстоянии около
10 нм, создает спонтанную намагниченность.
Энергия обменного взаимодействия
порядка (0,1–1) эВ/электрон. Координатная
функция
удовлетворяет
.
Следовательно, вероятность обнаружения частиц уменьшается при их сближении, т. е. обменное взаимодействие отталкивает частицы с параллельными спинами .
При
основному состоянию с минимальной
энергией соответствует
,спин системы
,
координатная функция
удовлетворяет
.
Обменное взаимодействие притягивает частицы с антипараллельными спинами . Явление возникает в ковалентных связях, например, в молекуле водорода с энергией связи 4,5 эВ, где спины двух электронов антипараллельные.
Временнáя зависимость . Координатные функции состояний с определенным полным спином имеет вид
описывает
электрон 1 в точке r
1
и электрон 2 в точке r
2 ;
описывает электрон 1 в точкеr
2
и электрон 2 в точке r
1 .
Для суперпозиции состояний (8.44) с неопределенным полным спином
.
В
начальный момент
,
и электрон 1 находится в точкеr
1 ,
электрон 2 – в точке r
2 .
При
,
где
,
(8.45)
получаем
.
В
состоянии
электрон 1 находится в точкеr
2 ,
электрон 2 – в точке r
1 .
За время
электроны
обмениваются своими положениями
благодаря обменному взаимодействию
.
Чем больше обменная энергия β, тем
быстрее происходит обмен. Это согласуется
с соотношением неопределенностей между
энергией и временем.
ГРАФЕН
Носители тока в микро- и наноэлектронике являются нерелятивистскими частицами и описываются уравнением Шрёдингера. Эта традиционная картина нарушается для графена. Вблизи уровня Ферми графена энергия зависит от модуля импульса по закону
.
(8.46)
Следовательно,
зона проводимости и валентная зона
имеют коническую форму, а не параболическую
как у металла,
и эти зоны смыкаются в одной точке, как
обнаружил Уоллес в 1947 г. Следовательно,
запрещенная зона отсутствует. Эффективная
масса носителя тока с учетом (8.46)
и он является релятивистским. Роль скорости света выполняет скорость Ферми
,
где С – скорость света в вакууме. Квазичастица со спином 1/2 и нулевой массой описывается уравнением Дирака Вейля . Уникальные особенности графена открывают новые возможности в наноэлектронике.
