Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.
Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:
В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), .
В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.
Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:
Рассмотрим задачи:
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:
*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.
Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись :
Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:
Ответ: 28224
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.
Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:
Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:
Таким образом, площадь боковой поверхности равна:
Ответ: 3240
*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.
27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.
Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:
Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.
Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):
*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.
Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):
Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:
Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:
Ответ: 96
27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:
P - периметр основания, l - апофема пирамиды
*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.
Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
- апофема — высота боковой грани правильной пирамиды , которая проведена из ее вершины (кроме того, апофемой является длина перпендикуляра, который опущен из середины правильного многоугольника на 1-ну из его сторон);
- боковые грани (ASB, BSC, CSD, DSA) — треугольники, которые сходятся в вершине;
- боковые ребра ( AS , BS , CS , DS ) — общие стороны боковых граней;
- вершина пирамиды (т. S) — точка, которая соединяет боковые ребра и которая не лежит в плоскости основания;
- высота ( SO ) — отрезок перпендикуляра, который проведен через вершину пирамиды к плоскости ее основания (концами такого отрезка будут вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
- диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, которое проходит через вершину и диагональ основания;
- основание (ABCD) — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Свойства пирамиды.
1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:
- около основания пирамиды легко описать окружность , при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
- боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы ;
- кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.
2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:
- около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
- высоты боковых граней имеют равную длину;
- площадь боковой поверхности равняется ½ произведения периметра основания на высоту боковой грани.
3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу.
4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.
Простейшая пирамида.
По количеству углов основания пирамиды делят на треугольные, четырехугольные и так далее.
Пирамида будет треугольной , четырехугольной , и так далее, когда основанием пирамиды будет треугольник, четырехугольник и так далее. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр . Четырехугольная — пятигранник и так далее.
Начальный уровень
Пирамида. Визуальный гид (2019)
Что такое пирамида?
Как она выглядит?
Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании ») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина »).
У всей этой конструкции ещё есть боковые грани , боковые рёбра и рёбра основания . Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:
Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это - пирамиды.
Вот, например, совсем «косая» пирамида .
И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.
При этом точка, куда oпустилась высота , называется основанием высоты . Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:
И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.
Правильная пирамида.
Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании - правильный » - это понятно. А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр - точка, являющаяся центром и , и .
Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида .
Шестиугольная : в основании - правильный шестиугольник, вершина проецируется в центр основания.
Четырёхугольная : в основании - квадрат, вершина проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.
Треугольная : в основании - правильный треугольник, вершина проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.
Очень важные свойства правильной пирамиды:
В правильной пирамиде
- все боковые рёбра равны.
- все боковые грани - равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.
Объем пирамиды
Главная формула объема пирамиды:
Откуда взялась именно? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть, а у цилиндра - нет.
Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно. Нужно найти и.
Это площадь правильного треугольника.
Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:
У нас « » - это, а « » - это тоже, а.
Теперь найдем.
По теореме Пифагора для
Чему же равно? Это радиус описанной окружности в, потому что пирамида правильная и, значит, - центр.
Так как - точка пересечения и медиан тоже.
(теорема Пифагора для)
Подставим в формулу для.
И подставим все в формулу объема:
Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.), то формула получается такой:
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро равно.
Здесь и искать не нужно; ведь в основании - квадрат, и поэтому.
Найдем. По теореме Пифагора для
Известно ли нам? Ну, почти. Смотри:
(это мы увидели, рассмотрев).
Подставляем в формулу для:
А теперь и и подставляем в формулу объема.
Пусть сторона основания равна, а боковое ребро.
Как найти? Смотри, шестиугольник состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.
Теперь найдем (это).
По теореме Пифагора для
Но чему же равно? Это просто, потому что (и все остальные тоже) правильный.
Подставляем:
\displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}
ПИРАМИДА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Пирамида - это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды ) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (боковые ребра ).
Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Правильная пирамида - пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.
Свойство правильной пирамиды:
- В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
- Все боковые грани - равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.
Объем пирамиды:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.
На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.
Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.
У данного многогранника есть множество различных свойств:
- Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
- Площади боковых граней одинаковы;
- В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
- Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.
Все эти свойства помогают легко находить . Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:
То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.
Пусть дана четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной a
= 6 см. Боковая грань пирамиды равна b
= 8 см. Найдите объем пирамиды.
Чтобы найти объем заданного многогранника, нам потребуется длина его высоты. Поэтому мы найдем ее, применив теорему Пифагора. Для начала рассчитаем длину диагонали. В синем треугольнике она будет гипотенузой. Стоит также помнить, что диагонали квадрата равны между собой и в точке пересечения делятся пополам:
Теперь из красного треугольника найдем необходимую нам высоту h
. Она будет равна:
Подставим необходимые значения и найдем высоту пирамиды:
Теперь, зная высоту, можем подставлять все значения в формулу объема пирамиды и рассчитывать необходимую величину:
Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.
