Бородич

Ирина Сергеевна

Учебное пособие для учителя по элективному курсу математики для 11 класса (физико – математический профиль)

«Нестандартные методы решения задач по математике»




Введение. В современных условиях содержательной модернизации образования возникает континуум проблем, имеющий социально – личностные характеристики и тормозящие позитивные изменения.

Математическое образование в системе среднего общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловно практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

По данным исследований PIZA в России остается весьма низким уровень математических компетентностей учащихся, хотя мы привыкли гордиться достижениями академической науки.

Важнейшей проблемой сегодняшнего математического образования является дефицит развития формально – операциональных структур интеллекта (логического мышления) и низкая мотивация к теоретической интеллектуальной деятельности у большинства школьников.

С другой стороны, к этому дефициту привели авторитарные методы педагогики, не способствовавшие развитию интеллекта у детей и коллективные методы работы, снижавшие интерес к математической науке.

Поэтому важнейшей стороной сегодняшнего образования становится индивидуализация образовательного процесса при изучении математики и тьюторское сопровождение педагогами развития интеллекта ребенка.

Актуальность. Курс по нестандартным методам решения математических задач актуален, прежде всего, тем, что делает образование более открытым, расширяя интеллектуальные возможности старшеклассников. Во - вторых, данный курс обеспечивает более свободное владение математическим инструментарием в рамках итоговой аттестации. С другой стороны, математика, являясь надпредметной областью знаний, способствует развитию логического мышления, интеллекта в целом и коммуникативных умений, способствующих самореализации личности. Курс актуален и в связи с расширением прикладного применения математических исчислений в других областях знаний.

Курс поможет учащимся оценить свои потребности, возможности и сделать обоснованный выбор дальнейшего жизненного пути.

Начиная работу по математике с младшими подростками, я в 6-7 классах, в рамках разделения предмета на два раздела, провожу тест анализа математических способностей, дифференцируя полученные результаты для формирования пакетов заданий: учащимся с низким уровнем креативности – развивающие пакеты, со средним уровнем креативности – задания повышенной сложности, с высоким уровнем – творческие задания. Оценивая эффект мероприятий, я повторяю это тестирование в 8-9 и 10-11 классах. Результат показал, что такая дифференцировка способствует более интенсивному и гармоничному развитию обучающихся.

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Курс «Нестандартные методы решения задач по математике» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в общий курс математики средней школы, но необходимы при дальнейшем ее изучении, при итоговой аттестации в форме ЕГЭ. Появление задач, решаемых нестандартными методами, на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, способами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащихся и их математической культуры.

Решению задач такого типа в школьной программе не уделяется должного внимания, большинство учащихся (не физико-математических профильных групп) либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы задач по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для учащихся 11 классов физико – математического профиля.

Многообразие нестандартных задач охватывает весь курс школьной математики, поэтому владение приемами их решения можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Изучение нестандартных методов решения математических задач дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Курс позволит школьникам систематизировать, расширить и укрепить знания, подготовиться для дальнейшего изучения математики, научиться решать разнообразные задачи различной сложности.

Учителю курс поможет наиболее качественно подготовить учащихся к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ и экзаменов при поступлении в ВУЗы.

Новизна. Курс является инновационным, так как способствует более глубокому освоению математической науки в старших классах, как в профильных группах, так и на базовом уровне. Новизной является построение курса по методам решения математических задач и способам реализации математических знаний. Курс является своего рода тренажером при подготовке к итоговой аттестации и профессиональном выборе математических специальностей.

Обзор литературы. Данный курс предназначена для учащихся 11 класса физико-математического профиля. Содержание учебного материала соответствует целям и задачам профильного обучения. В начале курса обучения по элективному курсу была проведена диагностика математической креативности. Методологически, опираюсь в теоретической части на работы В. П. Супруна «Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач по математике» и Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: .

Основная цель курса:

Создание условий для развития логического мышления, математической культуры и интуиции учащихся посредством решения задач повышенной сложности нетрадиционными методами;

Задачи курса:

    формировать у учащихся компетентности по решению нестандартных задач;

    изучение курса предполагает формирование у учащихся интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ и к дальнейшему обучению в ВУЗе;

    развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся;

    создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

    развивать умение самостоятельно приобретать и применять знания.

Общими принципами отбора содержания курса являются:

    Системность

    Целостность

    Научность.

    Доступность, согласно психологическим и возрастным особенностям учащихся профильных классов.

Курс содержит материал необходимый для достижения запланированных целей. Данный курс является источником, который расширяет и углубляет обучение, обеспечивает интеграцию необходимой информации для формирования математического мышления, логики и изучения смежных дисциплин.

Место данного курса определяется необходимостью подготовки к профессиональной деятельности, учитывает интересы и профессиональные склонности старшеклассников, что позволяет получить более высокий конечный результат.

Концепция курса.

При изучении курса математики старшей школы на базовом уровне продолжается изучение разделов: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей», вводится линия «Начала математического анализа».

В ходе освоения содержания математического образования учащиеся овладевают разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

    построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин;

    выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; выполнения расчетов практического характера; использования математических формул и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

    самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

    проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, различения доказанных и недоказанных утверждений, аргументированных и эмоционально убедительных суждений;

    самостоятельной и коллективной деятельности, включения своих результатов в результаты работы группы, соотнесение своего мнения с мнением других участников учебного коллектива и мнением авторитетных источников.

В профильном курсе содержание образования развивается в следующих направлениях :

    систематизация сведений о числе; формирование представлений числовых множеств, как способе построения нового математического аппарата необходимого для решения задач окружающего мира и внутренних задач математики; совершенствование техники вычислений;

    развитие и совершенствование техники алгебраических преобразований, решения уравнений, неравенств, систем;

    систематизация и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;

    развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире;

    совершенствование математического развития до уровня, позволяющего свободно применять изученные факты и методы при решении задач из различных разделов курса, а также использовать их в нестандартных ситуациях;

    формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных дисциплин, углубление знаний об особенностях применения математических методов к исследованию процессов и явлений в природе и обществе.

    в ходе изучения математики в профильном курсе старшей школы учащиеся продолжают овладение разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:

    проведения доказательных рассуждений, логического обоснования выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

    решения широкого класса задач из различных разделов курса, поисковой и творческой деятельности при решении задач повышенной сложности и нетиповых задач;

    планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале; использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента; выполнения расчетов практического характера;

    построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни; проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;

    самостоятельной работы с источниками информации, анализа, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.

В российских школах начинается поэтапный переход на федеральные государственные образовательные стандарты второго поколения общего образования (далее – ФГОС), основной миссией которых является повышение качества образования. Особенностью 2011/2012 учебного года является введение ФГОС начального общего образования в начальной школе и последовательная подготовка к введению ФГОС основного общего образования. Поэтому уже сейчас необходимо понять его теоретико-методологическую основу, структуру и содержание.

ФГОС будет обеспечен гарантиями государства относительно того, что образовательные результаты будут достигаться в условиях определенной информационно-образовательной среды, которую составляют: педагогические кадры, материально-техническое, финансово-экономическое, информационное обеспечение.

Хотя содержание математического образования представлено в виде традиционных содержательных разделов: «Арифметика», «Алгебра», «Геометрия», «Математический анализ», «Вероятность и статистика», вместе с тем предполагается знакомство с историей математики и овладение следующими общематематическими понятиями и методами:

    определения и начальные (неопределяемые) понятия, доказательства, аксиомы и теоремы, гипотезы и опровержения, контрпример, типичные ошибки в рассуждениях;

    прямая и обратная теорема, существование и единственность объекта, необходимое и достаточное условие верности утверждения, доказательство от противного, метод математической индукции;

    математическая модель, математика и задачи физики, химии, биологии, экономики, географии, лингвистики, социологии и пр.

Исходя из вышепредставленных позиций, нестандартные методы решения задач по математике являются инструментом формирования, как математического мышления, так и математических компетентностей, т.е. готовности применять нестандартные методы в решении теоретических и прикладных математических исчислений.

При этом математические модели тех или иных процессов природы и технологии требуют математической обработки, не всегда традиционными способами.

Такие подходы к применению и использованию математики способствуют формированию через личностные, действия личностных (самосовершенствование и самоуважение), метапредметных (формирование целей, задач, процессов их решения) и предметных результатов.

Нестандартные подходы к освоению математики, как надпредметной области делает образование открытым, а образовательную среду развивающей.

Темы реферативных, исследовательских и проектных работ :

    История математики

    Математики эпохи возрождения

    Число как основное понятие математики

    Чтение и запись натуральных чисел

    Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность

    Математическая интуиция

    Числа, которые преобразили мир

    Бернулли

    Иррациональные уравнения

    Применение графиков в решении уравнений

Курс предназначен для учащихся 11 физико-математических класса.

Объем часов – 33 часа (по 1 часу в неделю).

Курс разделен на модули, по три часа каждый, объединённых темой решения задач.

Учебно-тематический план

Темы и разделы

Всего часов

В том числе

Формы проведения

Введение

Личностные

Мини - лекция

1. Метод функциональной подстановки

Регулятивные

Семинар, тренинг

2. Метод тригонометрической подстановки

Познавательные, личностные и регулятивные

Семинар, тренинг

3. Методы, основанные на применении численных неравенств

Регулятивные и коммуникативные

Семинар, тренинг

4. Методы, на основе использования монотонности функций

Регулятивные и коммуникативные

Семинар, тренинг

5. Методы решения функциональных уравнений

Семинар, тренинг

6. Методы, основанные на применении векторов

Личностные и регулятивные

Семинар, тренинг

7. Комбинированные методы

Познавательные, личностные и регулятивные, коммуникативные

Технология критического мышления

8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций

Регулятивные и коммуникативные

Семинар, тренинг

9. Методы решения симметрических систем уравнений

Регулятивные

Семинар, тренинг

10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа

Регулятивные

Семинар, тренинг

ИТОГОВОЕ занятие

Коммуникативные

Урок – конференция (защита проектных, исследовательских и реферативных работ)


Введение: 1 час (1 – теоретический)

Значение математики как науки и в жизни человека. Прикладное значение. Красота нестандартных способов решения задач. Распределение тем проектных, исследовательских и реферативных работ.

1.Метод функциональной подстановки: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Метод функциональной подстановки. Новая переменная , её применение. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Уравнения вида х 2 +(ах) 2 2 =с. Возвратные уравнения. Ряд других уравнений, решение которых требует введения новой переменной.

2.Метод тригонометрической подстановки: 3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Метод тригонометрической подстановки. Замена неизвестной переменной х тригонометрической функцией: х= или х= . Иррациональные уравнения. Рациональные уравнения. Показательные уравнения. Системы уравнений.

3.Методы, основанные на применении численных неравенств: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на применении численных неравенств. Неравенство Коши. Неравенство Бернулли. Неравенство Коши-Буняковского.

4.Методы на основе использования монотонности функций: 3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы на основе использования монотонности функций. Уравнение вида f (x )=g (x ). Исследование функций на монотонность.

5.Методы решения функциональных уравнений: 3часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения функциональных уравнений. Уравнения вида f (f (…(f (x ))…))=x . Уравнения вида f (g (x ))=f (h (x )).

6.Методы, основанные на применении векторов: 3 часа (1час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на применении векторов. Вектор в трёхмерном пространстве. Длина вектора. Сумма и разность двух векторов. Коллинеарные векторы. Неравенство треугольника.

7.Комбинированные методы: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Комбинированные методы. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения. Логарифмические уравнения. Уравнения и неравенства, содержащие модуль. Системы уравнений. Доказательства неравенств.

8.Методы, основанные на использовании ограниченности функций: 3 часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы, основанные на использовании ограниченности функций. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. Функции, содержащие модуль, степень, корень с четной степенью.

9.Методы решения симметрических систем уравнений: 3 часа (1 час –семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения симметрических систем уравнений. Системы уравнений с симметрическим вхождением слагаемых или сомножителей.

10.Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа: 3часа (1 час – семинар; 2 часа – тренинг)

Методы решения уравнений, содержащих целые и дробные части числа. Целая часть действительного числа. Дробная часть действительного числа.

11.Итоговое занятие: 2часа (Урок – конференция (защита проектных, исследовательских и реферативных работ))

Реализация формирования универсальных учебных действий в рамках внедрения ФГОС II поколения к профильному уровню старшей школы

ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Оценивать ситуации и поступки (ценностные установки, нравственная ориентация)

Делать выбор в отношении поступков, формируя установки на социально одобряемые и нравственные модели поведения, разрешая моральные противоречия на основе:

Общечеловеческих ценностей и российских ценностей, в том числе человеколюбия, уважения к труду, культуре;

Важности исполнения возрастных социальных ролей («сына», «дочери», роли «хорошего ученика»), важности учёбы и познания нового;

Важности бережного отношения к здоровью человека и к природе;

Важности развития духовного потенциала личности (различения «красивого» и «некрасивого», потребности в «прекрасном» и отрицания «безобразного», тяги к самопознанию и самосоверщенствованию);

Важности образования, здорового образа жизни, красоты природы и творчества.

Прогнозировать оценки одних и тех же ситуаций с позиций разных людей, отличающихся национальностью, мировоззрением, положением в обществе и т.п. (толерантное мышление и поведение)

Учиться замечать и признавать расхождения своих поступков со своими заявленными позициями, взглядами, мнениями.

Объяснять смысл своих оценок, мотивов, целей

(личностная саморефлексия, способность к саморазвитию, мотивация к познанию, учёбе)

ОСМЫСЛЕНИЕ

Объяснять положительные и отрицательные оценки, в том числе неоднозначных поступков, с позиции общечеловеческих и российских гражданских ценностей.

Объяснять отличия в оценках одной и той же ситуации, поступка разными людьми (в т.ч. и самим собой), как представителями разных мировоззрений, разных групп общества.

Собственного социального выбора и выбора моделей поведения.

САМООСОЗНАНИЕ

Объяснять самому себе:

Позитивная «Я – концепция»

- «что во мне хорошо, а что плохо» (личные качества, черты характера), «что я хочу» (цели, мотивы), «что я могу» (результаты).

Самоопределяться в жизненных ценностях (на словах) и поступать в соответствии с ними, отвечая за свои поступки (личностная позиция, российская и гражданская идентичность)

САМООПРЕДЕЛЕНИЕ

Осознавать себя гражданином России и ценной частью многоликого изменяющегося мира, в том числе

Объяснять, что связывает тебя:

    с родными, с семьей

    с твоими близкими, друзьями, одноклассниками

    с земляками, народом

    с твоей Родиной

    со всеми людьми

    с природой

Объяснять, что связывает тебя с историей, культурой, судьбой твоего народа и всей России;

Испытывать чувство гордости за свой народ, свою Родину, сопереживать им в радостях и бедах и проявлять эти чувства в добрых поступках;

Отстаивать (в пределах своих возможностей) гуманные, равноправные, гражданские демократические порядки и препятствовать их нарушению;

Искать свою позицию в многообразии общественных и мировоззренческих позиций, эстетических и культурных предпочтений;

Стремиться к взаимопониманию с представителями иных культур, мировоззрений, народов и стран, на основе взаимного интереса и уважения;

Уважать иное мнение, историю и культуру других народов и стран, не допускать их оскорбления, высмеивания;

Осуществлять добрые дела, полезные другим людям, своей стране, в том числе отказываться ради них от каких-то своих желаний.

Определение своего места в мире природы и мире культуры;

Формировать бесконфликтную модель поведения, способствующую ненасильственному и равноправному преодолению конфликта.

Делать осознанный выбор модели поведения в неоднозначно оцениваемых ситуациях, на основе:

Культуры, народа, мировоззрения, к которому ощущаешь свою причастность,

Базовых российских гражданских ценностей,

Общечеловеческих, гуманистических ценностей, в том числе ценности мирных добрососедских взаимоотношений людей разных культур, позиций, мировоззрений,

Известных и простых общепринятых правил «доброго», «безопасного», «красивого», «правильного» поведения,

Сопереживания в радостях и в бедах «своим»: близким, друзьям, одноклассникам,

Сопереживания чувствам других не похожих на тебя людей, отзывчивости к бедам всех живых существ.

Формировать адекватную самооценку и ответственность за совершаемые поступки и близких людей.

РЕГУЛЯТИВНЫЕ УУД

Определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий по решению проблемы (задачи)

Определять цель учебной деятельности и целеполагание обучения самостоятельно, искать средства её осуществления.

Находить и формулировать основную учебную проблему и идею вначале вместе с учителем, а затем, самостоятельно, выбирать тему проекта с помощью учителя и самостоятельно.

Составлять план выполнения задач, решения проблем творческого и поискового характера, выполнения проекта совместно с учителем.

Освоить основы исследовательской и проектной деятельности через учебную и внеурочную работу.

Осуществить действия по реализации плана

Работая по проекту, планировать его этапы с целью выполнения и, при необходимости, корректировать этапы его реализации.

Научиться работать с информацией, используя её при реализации планов и решении учебных и исследовательских задач (справочная литература, сложные приборы, средства ИКТ).

Соотнести результат своей деятельности с целью и оценить его

В диалоге с учителем учиться вырабатывать критерии оценки и определять степень успешности выполнения своей работы и работы всех, исходя из имеющихся критериев, совершенствовать критерии оценки и пользоваться ими в ходе оценки и самооценки.

В ходе представления проекта учиться давать оценку его результатов.

Понимать причины своего неуспеха и находить способы выхода из этой ситуации.

Извлекать информацию, ориентироваться в своей системе знаний и осознавать необходимость нового знания, делать предварительный отбор источников информации для поиска нового знания, добывать новые знания (информацию) из различных источников и разными способами

Самостоятельно предполагать, какая информация нужна для решения предметной учебной задачи, состоящей из нескольких шагов.

Самостоятельно отбирать для решения предметных учебных задач необходимые словари, энциклопедии, справочники, электронные диски.

ПОЗНАВАТЕЛЬНЫЕ УУД

Сопоставлять и отбирать информацию, полученную из различных источников (словари, энциклопедии, справочники, электронные диски, сеть Интернет).

Формировать собственную позицию в мире информации

Перерабатывать информацию для получения необходимого результата, в том числе и для создания нового продукта

Выполнять универсальные логические действия:

Выполнять анализ (выделение признаков),

Производить синтез (составление целого из частей, в том числе с самостоятельным достраиванием),

Выбирать основания для сравнения, сериации, классификации объектов,

Прогнозировать ожидаемый результат решения учебных задач,

Устанавливать аналогии и причинно-следственные связи,

Выстраивать логическую цепь рассуждений,

Относить объекты к известным понятиям.

Создавать модели с выделением существенных характеристик объекта и представлением их в пространственно-графической или знаково-символической форме, преобразовывать модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Использовать информацию в проектной деятельности под руководством учителя-консультанта.

Преобразовывать информацию из одной формы в другую и выбирать наиболее удобную для себя форму

Представлять информацию в виде таблиц, схем, опорного конспекта, в том числе с применением средств ИКТ.

Составлять простой и сложный план текста.

Уметь передавать содержание в сжатом, выборочном или развёрнутом виде.

КОММУНИКАТИВНЫЕ УУД

Доносить свою позицию до других, владея приёмами монологической и диалогической речи

Осваивать эффективную речевую деятельность средствами родного языка и его эмоциональной составляющей.

Оформлять свои мысли в устной и письменной речи с учетом своих учебных и жизненных речевых ситуаций, в том числе с применением средств ИКТ.

При необходимости отстаивать свою точку зрения, аргументируя ее. Учиться подтверждать аргументы фактами.

Учиться критично относиться к собственному мнению.

Понять другие позиции (взгляды, интересы)

Слушать других, пытаться принимать другую точку зрения, быть готовым изменить свою точку зрения.

Анализировать изучаемый текст, осуществляя при этом:

Сопоставляя её с собственной позицией по данному вопросу (проблеме);

Вычитывать все виды текстовой информации (фактуальную, подтекстовую, концептуальную).

Проводить рефлексию собственного отношения к идеи произведения;

Договариваться с людьми, согласуя с ними свои интересы и взгляды, для того чтобы сделать что-то сообща

Организовывать учебное взаимодействие в группе (распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.).

Принимать чужое мнение в группе.

Предвидеть (прогнозировать) последствия коллективных решений.

Дидактическое обеспечение

Курс носит характер углубления изучения математики в профильных группах и в рамках подготовки к конкурсам и олимпиадам. Курс предполагает дополнительный разбор наиболее сложных методик решения математических задач и уравнений. При этом в основе курса лежат, в основном две формы деятельности: семинары и тренинги. На семинарах, имеющих характер тьюториалов, рассматриваются теоретические аспекты математической науки. Целью изучения является освоение нестандартных методов решения сложных математических задач. При этом, в связи со сложностью и неоднозначностью методов, у обучающихся в тренинговом режиме вырабатывается логическое мышление и математические компетентности.

Занятия выстраиваются с активным участием обучающихся, которые: отслеживают пути решения, формируют критическое мышление и адекватную оценку и самооценку. При этом формируются все универсальные учебные действия и как следствие, ключевые образовательные компетентности:

    аналитико - деятельностная,

    прогностическая,

    информационная,

    коммуникативная

    рефлексивная.

Все занятия строятся по плану, выработанному мною в процессе практики

    при знакомстве с новыми способами решения - работа учителя с демонстрацией примеров;

    при совершенствовании;

    тренинговые занятия;

    индивидуальная работа;

    анализ готовых решений;

    самостоятельная работа с тестами;

На занятиях используются различные формы и методы работы с учащимися:

Семинары, мини – лекции, круглые столы, мастер – классы, тренинги, работа индивидуальная и в малых группах.

Методы преподавания определяются целями курса, направленными на формирование математических способностей учащихся и основных компетентностей в предмете.

В тематическом планировании выделяется практическая часть, которая реализуется на знаниях учащихся, полученных в ходе курса теоретической подготовки.

По окончанию каждого раздела предполагается промежуточный контроль в форме обучающих тестов и других активных методов.

Результативность курса определяется в ходе итогового урока-конференции, выстроенного на защите поисково-исследовательских, проектных и реферативных работ.

Материал курса построен с учётом использования активных методов обучения, а рациональное распределение разделов программы позволит получить качественные знания и достичь запланированных результатов. Курс обеспечивается необходимым для её реализации учебно-методическим комплексом.

В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы.

Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии.

Используемые технологии: технология развития критического мышления, проблемная технология, технологию решения исследовательских задач (ТРИЗ), информационно - коммуникативную технология.

Литература для учителя:

    Азаров А. И. Математика для старшеклассников: Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач /А. И. Азаров, С. А. Барвенов.- Мн.: Аверсэв, 2004.

    Епифанова Т. Н. Отыскание экстремальных значений функций различными

    способами / Т. Н. Епифанова Математика в школе. – №4. – 2000.

    Мухаметзянова Ф.С. методист кафедры физико-математического образования УИПКПРО, Заслуженный учитель РФ Особенности преподавания учебного предмета «Математика» в 2011-2012 учебном году. (24.02.2009).

    Олехник С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник / С. Н. Олехник, М. К. Потапов, П. И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991.

    Потапов, М. К. Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений / М. К. Потапов, А. В. Шевкин / Математика в школе. – №3. – 2005.

    Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения

корреспондент РАО А. М. Кондаков, академик РАО Л. П. Кезина)

    В. П. Супрун. Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности. – Мн.: «Аверсэв», 2002.

Литература для обучающихся:

    Супрун В. П. Нестандартные методы решения задач по математике / Супрун В. П. – Мн.: Полымя, 2000.

    Алгебра и математический анализ. 10 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2006

    Алгебра и математический анализ. 11 класс: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2006

«Решение квадратных неравенств» - Решить неравенство. Что такое нули функции? Решение квадратных неравенств. Как найти нули функции? Цель урока: Что зависит от знака первого коэффициента квадратичной функции? Как знак дискриминанта влияет на решение квадратного неравенства?

«Решение неравенств 2» - Повторение свойств числовых неравенств. Устный счет – зарядка для ума. Воспитание интереса к математике. Этапы графического решения уравнений. Фломастеры, мелки разных цветов, линейки, компьютеры. Решение неравенств первой степени с одной переменной (графический способ решения). Оборудование. Актуализация знаний.

«Нестандартные уроки» - Отказ от шаблона в организации урока, от рутины и формализма в проведении. Влияние нестандартных форм урока на учебный процесс. Максимальное вовлечение учащихся класса в активную деятельность на уроке. План проведения МО: Подготовительный период собственно урок анализ. Использование оценки в качестве формирующего (а не только результативного инструмента).

«Свойства неравенств» - Свойства неравенств. Что называется неравенством? Устная работа. Какие свойства неравенств вам известны? Сложение и умножение числовых неравенств. Докажите неравенство. Решите неравенство. Определение неравенства. Какими свойствами вы пользовались при решении неравенства? Решение неравенств. Неравенства.

«Иррациональные уравнения и неравенства» - Иррациональные неравенства. Иррациональные уравнения и неравенства. 3. Введение вспомогательных переменных. Методы решения. 5. Сужение области поиска корней уравнения за счет нахождения ОДЗ. Иррациональные уравнения Методы решения. 1. Возведение в степень. 6. Графический метод. Иррациональные уравнения и неравенства с параметром.

«Уравнения и неравенства» - Решение системы графическим способом. 2. Найдите сумму чисел, удовлетворяющих неравенству. Найти область определения функции. "Решение уравнений и неравенств". Формулировки заданий. Неравенства в КИМах. Найти произведение х*у, где (х;у) – решение системы. У=х+2. x2 – 2x – 3 =0 Представим в виде x2 –3 = 2x.

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем их решение по формулам. Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?

Этим вопросам посвящена исследовательская работа «Нестандартные способы решения квадратных уравнений».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

Цель исследовательской работы: выявить способы решения квадратных уравнений, узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов.

Задачи исследовательской работы: проанализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений, показать различные способы решения квадратных уравнений; выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений; научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов.

Просмотр содержимого презентации
«Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Богучарская средняя общеобразовательная школа №1»

Научно-исследовательская работа по теме: «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»

Прядкова Екатерина Сергеевна

Руководитель: Алабина Галина Юрьевна


Выявить способы решения квадратных уравнений

Узнать можно ли решить любое квадратное уравнение данными способами и выделить особенности и недостатки этих способов


  • Анализировать источники литературы для выявления способов решения квадратных уравнений
  • Показать различные способы решения квадратных уравнений
  • Выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений
  • Научиться решать квадратные уравнения различными способами


Способы решения квадратных уравнений

Разложение левой части на множители

По формуле

Основные

С использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

Графический способ

По свойствам коэффициентов

Способом «переброски»

Дополнительные

С помощью циркуля и линейки

С помощью номограммы

Геометрический способ




Свойства коэффициентов

Свойства:


Способ «переброски»

Умножив обе части уравнения на а, получим

Пусть

, откуда

Тогда получим уравнение с новой переменной

Его корни у 1 и у 2 . Окончательно


С помощью циркуля и линейки

Радиус окружности больше ординаты центра

, окружность пересекает ось Ох в двух точках, где корни исходного уравнения.

Радиус окружности равен ординате центра

, окружность пересекает ось Ох в одной точке где корень исходного уравнения.

Радиус окружности меньше ординаты центра

, окружность не имеет общих точек с осью Ох. В этом случае исходное уравнение не имеет корней.


С помощью номограммы

х 2 -9х+8=0

Х 1 =8; х 2 =1


Геометрический способ

Рассмотрим, как древние греки решали уравнение

Решение представлено на рисунке, где

или

Выражения

и 16 + 9

геометрически представляют собой один и тот же квадрат со стороной 5.

Поэтому


Обработка данных

Метод выделения

полного квадрата

Разложение левой части

уравнения на множители

Ответ: -4,5; 1.


Обработка данных

С использованием

формул Виета

По формуле

имеет два разных

по знаку корня

больший по модулю

корень отрицательный

Ответ: -4,5; 1.


Обработка данных

По свойству коэффициентов

Способом «переброски»

Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение:

Так как

из которого по формулам Виета

Корнями исходного уравнения будут

Ответ: -4,5; 1.


Обработка данных

Графический метод

С помощью циркуля и линейки

Запишем уравнение в виде

Определим координаты центра окружности по формулам:

Построим в одной системе координат графики функций

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: -4,5; 1.


Обработка данных

Геометрический способ

С помощью номограммы

Представим уравнение в виде:

Представим уравнение в виде:

Площадь полученного квадрата:

Так как

Номограмма дает положительный корень

Таким образом, получили уравнение:

отрицательный корень

Ответ: -4,5; 1.


Положительные стороны и недостатки

Положительные стороны

Разложение левой части уравнения на множители

Недостатки

Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Метод выделения полного квадрата

Нужно правильно расчленить слагаемые для

группировки.

По формуле

За минимальное количество действий можно найти корни уравнений

Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.

Можно применить ко всем квадратным уравнениям.

С использованием формул Виета

Нужно выучить формулы.

Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.

Легко находятся только целые корни.


Название способа решения квадратных уравнений

Положительные стороны

Недостатки

Способом «переброски»

За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.

По свойствам коэффициентов

Графический способ

Легко найти только целые корни.

Не требует особых усилий

Наглядный способ

Подходит только к некоторым уравнениям

С помощью циркуля и линейки

Могут быть неточности при составлении графиков

Наглядный способ

С помощью номограммы

Наглядный способ, прост в применении.

Могут быть неточности

Геометрический способ

Наглядный способ.

Не всегда под рукой имеется номограмма.

Похож на способ выделения полного квадрата


Для того, чтобы хорошо решать любое квадратные уравнения необходимо

знать:

 формулу нахождения дискриминанта;

 формулу нахождения корней квадратного уравнения;

 алгоритмы решения уравнений данного вида.

уметь:

 решать неполные квадратные уравнения;

 решать полные квадратные уравнения;

 решать приведенные квадратные уравнения;

 находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

 делать проверку.


Научный руководитель:

с. Выдрино

Введение ……………………………………………………………………………….3

Основная часть ………………………………………………………………………..4

Умножение уравнения на функцию…………………………………………………...4

Метод неопределённых коэффициентов………………………………………………4

Подбор корня многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту….5

Введение параметра…………………………………………………………………….6

Введение новой неизвестной…………………………………………………………..6

Комбинация различных методов………………………………………………………6

Угадывание корня………………………………………………………………………6

Использование суперпозиции функции……………………………………………….7

Раскрытие знаков модулей……………………………………………………………..8

Уравнение вида f(x) = g(x)…………………………………………………………….8

Уравнение вида f(x) = g(x)……………………………………………………………9

Использование свойств абсолютной величины……………………………………….9

Понижение степени уравнения…………………………………………………………10

Решение некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных………………………………………………………………………10

Использование ограниченности функций………………………………………………12

Заключение……………………………………………………………………………….14

Список использованной литературы …………………………………………………15

Введение

Уравнения – это наиболее объёмная тема всего курса математики.

Есть много уравнений, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся.

В моей работе систематизирован ряд таких приёмов.

Я изучила методы решения уравнений, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций: монотонности, ограниченности, чётности; применении производной и др.

Моя работа может помочь учащимся и особенно тем из них, кто собирается поступать в высшие учебные заведения в области точных наук, разобраться какими легче и быстрее решить те или иные уравнения, потому что всех изученных по школьной программе методов недостаточно для поступления в ВУЗ.

Кроме этого, в моей работе разобрана масса «хитрых» методов и приёмов решения различных равенств.

Что касается теории, то она предоставлена выборочно, исходя из соображений её применения к тем уравнениям, которые я здесь рассмотрела.

Задачи работы:

· Изучить умножение уравнения на функцию.

· Изучить метод неопределённых коэффициентов.

· Изучить подбор многочлена по его свободному члену и старшему коэффициенту.

· Изучить введение параметра.

· Изучить введение новой неизвестной.

· Изучить комбинирование различных методов.

· Изучить угадывание корня.

· Изучить использование суперпозиции функции.

· Изучить раскрытие знаков модулей.

· Изучить уравнения вида f(x)=g(x).

· Изучить уравнения вида f(x)=g(x).

· Изучить использование свойств абсолютной величины.

· Изучить понижение степени уравнения.

· Изучить решения некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных.

· Изучить использование ограниченности функции.

Основная часть

Умножение уравнения на функцию.

Иногда решение алгебраического уравнения существенно облегчается, если умножить обе его части на некоторую функцию – многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней – корней многочлена, на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней, и получить равносильное уравнение, либо умножать на многочлен, имеющий корни, и тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример1. Решить уравнение:

X3 – X6 + X4 – X 2 + 1 =

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х2 + 1, не имеющий корней, получим уравнение:

(Х2 +1) (Х8 – Х 6 + Х4 – Х 2 + 1) = 0 (2)
равносильное уравнению (1). Уравнение (2) можно записать в виде:

Х10 + 1= 0 (3)
Ясно, что уравнение (3) не имеет действительных корней, поэтому уравнение (1) их не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример 2 . Решить уравнение:

6Х3 – Х 2 – 20Х + 12 = 0 (4)

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен Х + ½, получим уравнение:

6Х4 + 2Х3 – 41/2Х2 + 2Х + 6 = 0 (5)
являющееся следствием (4), так как уравнение (5) имеет корень Х = -1/2, не являющийся корнем уравнения (4).

Уравнение (5) есть симметричное уравнение четвертой степени. Поскольку Х=0 не является корнем уравнения (5) то, разделив обе части на 2Х2 и перегруппировав его члены, получим уравнение:

3(Х2 +1/Х2) + (Х +1/Х) – 41/4 = 0 (6)
равносильное уравнению (5). Обозначив Y= Х + 1/Х, перепишем уравнение (6) в виде

3Y2 + Y – 65/4 =0 (7)
уравнение (7) имеет два корня: Y1= -5/2 и Y 2 = 13/6. Поэтому уравнение (6) равносильно совокупности уравнений:

Х + 1/Х = 15/6,

Х + 1/Х = -5/2.

Решив каждое из этих уравнений, найдём четыре корня уравнения (6), а тем самым и уравнения (5)

Так как корень Х4 = -1/2 является посторонним для уравнения (4), то отсюда получаем, что уравнение (4) имеет три корня: Х1, Х2, Х3.

Ответ: Х1 =2/3, Х2 = 3/2, Х3 = -2.

Метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителя – многочленов, на которые разлагается данный многочлен, этот метод опирается на следующие утверждения.

1) два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х;

2) любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

3) Любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух много членов второй степени.

Пример 1 . Разложить на множители многочлен.

Решение. Будем искать многочлены Х - £ и β1Х2+ β2Х+ β3 такие, что справедливо тождественное равенство

Х3-5Х2+7Х-3= (Х - £)(β1Х2+ β2Х+ β3).(1)

Правую часть этого равенства можно записать в виде. β15 Х3+(β2+ £ β1) Х2+(β3 -£ β2)Х+£ β3.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств для нахождения £ ,β1, β2, β3 ;

β2 - £ β1 = -5

Легко видеть, что этим равенством удовлетворяют числа β1=1, β2=-2, β3=1, £=3, а это означает, что многочлен Х3-5Х2+7Х-3 разлагается на множители Х-3 и Х2-2Х+1

Подбор корня многочлен по его старшему и свободному коэффициентам.

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:

1) если многочлен ап+ап-1Х+…+а0Хп, а0≠0, с целыми коэффициентами имеет рациональный корень Х0=р/g (где р/g – несократимая дробь, рЄZgЄN), то р – делитель свободного члена ап, а g – делитель старшего коэффициента d0;

2) если каким – либо образом подобран корень Х= £ многочлена рп(Х) степени n, то многочлен рп(Х) можно представить в виде рп(Х) =(Х - £) рп-1(Х), где рп-1(Х) – многочлен степени n-1.

Многочлен рп-1(Х) можно найти либо делением многочлена рп(Х) на двучлен (Х - £) «столбиком», либо соответствующей группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя Х - £, либо методом неопределенных коэффициентов.

Пример1. Разложить на множители многочлен.

Х4-5Х3+7Х2-5Х+6

Решение . Поскольку коэффициент при Х4 равен 1, то рациональные корни данного многочлена, если они существуют, являются делителями числа 6, т. е.могут быть целыми числами ±1, ±2, ±3, ±6. Обозначим многочлен через р4(Х). Так как р4(1)=4 и р4(-4)=23, то числа 1 и -1не являются корнями многочлена р4(Х),и, значит, данный многочлен делится на двучлен Х-2. Поэтому

Х4 - 5Х3+7Х2-5Х+6 Х - 2

Х4 – 2Х3 Х3 – 3Х2+Х - 3

https://pandia.ru/text/78/002/images/image007_17.gif" width="38">При m2+а=0 Х1= - m, Х2=m

При m2+а>0 Х1=m, Х2= m – √ m2+a

Пример 4: Решить уравнение

Х(Х+1)+(Х+1)(Х+2)+(Х+2)(Х+3)+(Х+3)(Х+4)(Х+6)+(Х+5)(Х+6)+(Х+6)(Х+7)+(Х+7)(Х+8)+(Х+8)(Х+9)+(Х+9)(Х+10)=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+8*9+9*10

Решение: Легко заметить что Х1=0 и Х2= - 10 являются решениями этого уравнения. После раскрытия скобок это уравнение перепишется как квадратное.

А это означает, что оно может иметь не более двух корней. Так как два корня этого уравнения найдены, то тем самым оно решено.

Ответ: Х1=0, Х2= - 10

Использование суперпозиции функции.

Иногда можно найти корень уравнения, если заметить, что функция, находящаяся в одной из частей уравнения, является суперпозицией некоторых более простых функций.

Пример1. Решить уравнение

(X2 + 2X – 5) + 2 (X2 + 2X – 5) – 5 = X. (1)

Решение. Обозначим f(x) = X2 + 2X – 5, уравнение (1) можно переписать в виде f(f(x)) = X. Теперь очевидно, что если Х0 – корень уравнения f(X) = X, то Х0 и корень уравнения f(f(x)) = X. Корни уравнения X2 + 2X – 5 =Х есть Х1=(-1+√ 21)/2 и Х2 = (-1 - √21)/2 отсюда следует, что уравнение (1) имеет эти корни. Переписав уравнение (1) в виде.

X4 + 4X3 – 4X2 – 17X + 10 = 0 (2)

и разделив многочлен (2) на многочлен (X – X1) (X – X2), получим, что уравнение (2) можно записать в виде

(X2 + X – 5) (X2 + 3X – 2) = 0,

отсюда следует корнями уравнения (1) наряду с X1 и X2 являются также корни уравнения

X2 + 3X – 2 = 0,

т. е. числа X3 = (-3 + √17)/2 и X4 = (-3 – √17)/2.

Ответ: X1,2 = (-1 ± √21)/2; X3,4 = (-3 ± √17)/2.

Раскрытие знаков модулей.

Основной метод решения уравнений, содержащих модули, состоит в следующем: надо разбить ОДЗ уравнения на множества, на каждом из которых каждое из выражений, находящихся под знаком модуля, сохраняет знак. На каждом таком множестве уравнение записывается без знака модуля и затем решается на этом множестве. Объединение решений, найденных на всех этих множествах - частях ОДЗ уравнения, составляет множество всех его решений.

Пример1. Решить уравнение

X22x + 1 + 2x – 3 + 2 = X22x – 3 + 4 + 2x –

Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех действительных X. Разобьём ОДЗ на два промежутка:

А) X – 3 ≥ 0

Б) X – 3 < 0

А) Пусть X ≥ 3 тогда X – 3 = X – 3 и уравнение (1) запишется на этом множестве так:

X22x + 1 + 2x – 1 = X22x + 1 + 2x – 1

Это уравнение превращается в верное числовое равенство для любого действительного X, т. е. его решениями являются все действительные X. Из них условию X ≥ 3 удовлетворяют все X из промежутка функция h(Х)= sinпХ неположительная.⇒ на промежутке (1;2] уравнение (1) решений не имеет.

Если же Х>2, то sinпХ≤1, X3 – X=(Х2 – 1)>2*3=6, а это означает, что и на промежутке (2;+~) уравнение (1) также не имеет решений. Итак, Х=0, Х=1 и Х= - 1и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: Х1=0,Х2=1, Х3= -1.

Пример3: Решить уравнение.

2 sinпХ=Х – п/2 – Х+п/2. (2)

Решение: Обозначим =Х – п/2 – Х+п/2 через f(X). Из определения абсолютной величины следует, что f (X)=п при Х≤ - п/2, f(Х)= -2Х при – п/2

Рассмотрим Х из промежутка (- п/2,п/2). На этом промежутке уравнение (2) можно переписать в виде 2 sinпХ= - 2Х, т. е. в виде.

sinХ= - Х/п. (3)

Ясно, что Х=0 есть решение уравнения (3), а значит, и исходного уравнения. Докажем, что других решений уравнение (3) на промежутке (- п/2;п/2) не имеет.

Для Х≠0 уравнение (3) равносильно уравнению.

Для любого значения ХЄ(- п/2;0)U(0;п/2), функция f(X)=sinX/Х принимает только положительные значения, поэтому уравнение (3) не имеет решений на множестве (- п/2;0)U(0;п/2).

Ответ: Х=0; Х=(-1)пп/6+Пn, n= 1,2…;=(-1)m+1п/6+Пm, m=1,2…

Заключение.

В ходе изучения данной темы, я сделала следующий вывод, нестандартные приемы решения уравнений позволяют получить результат более рациональным способом.

При использовании нестандартных методов решение занимает меньше времени, а также оно более интересно.

Список использованной литературы.

, . «Задачи по математике. Уравнения и неравенства».

«Математика на устном экзамене».

, «Задачи на составление уравнений».

, «Уравнения и неравенства».

, «Математика. Методы решения задач».

Соловьёв А. Ф. «Уравнительные вычисления».

1 ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ

2.1 Использование монотонности функции

2.2 Использование ограниченности функции

2.3 Использование периодичности функции

2.4 Использование четности функции

2.5 Использование ОДЗ функции

3 НЕКОТОРЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

3.1 Умножение уравнения на функцию

3.2 Угадывание корня уравнения

3.3 Использование симметричности уравнения

3.4 Исследование уравнения на промежутках действительной оси

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ


ВВЕДЕНИЕ

Не всякое уравнение или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению (неравенству) того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения, речь о которых и пойдет в ходе данной работы. Выше сказанное определяет актуальность курсовой работы. Объект исследования – уравнения и неравенства, не поддающиеся решению с помощью стандартных методов, или отличающиеся громоздкостью стандартного решения.

Целью данной работы является ознакомление с нестандартными методами решения уравнений и неравенств.

Для достижения поставленной цели в данной работе решались следующие задачи:

1.Собрать сведения из истории математики о решении уравнений.

2.Рассмотреть и применить на практике методы решения уравнений и неравенств, основанные на использовании свойств функции.

3.Рассмотреть и применить на практике дополнительные нестандартные методы решения уравнений и неравенств

Практическая значимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных уравнений или неравенств следует идти по «накатанной колее», пытаясь найти решение «в лоб»: достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежать сложных вычислений и преобразований. Курсовая работа состоит из введения, трех глав и списка использованных источников. В первой главе приведены некоторые сведения из истории математики о решении уравнений. Во второй главе рассмотрены методы решения, основанные на использовании свойств функции. Третья глава посвящена рассмотрению дополнительных (искусственных) методов решения.

Уравнения и системы уравнений математики умели решать очень давно. В «Арифметике» греческого математика из Александрии Диофанта (III в.) еще не было систематического изложения алгебры, однако в ней содержался ряд задач, решаемых при помощи составления уравнений. Есть в ней такая задача:

«Найти два числа по их сумме 20 и произведению 96».

Чтобы избежать решения квадратного уравнения общего вида, к которому приводит обозначение одного из чисел буквой и которое тогда еще не умели решать, Диофант обозначал неизвестные числа 10 + х и 10-х (в современной записи) и получал неполное квадратное уравнение 100-х 2 = 96, для которого указывал лишь положительный корень 2.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в трудах индийских математиков уже с V в. н. э.

Квадратные уравнения классифицируются в трактате «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы» Мухаммеда аль-Хорезми (787 - ок. 850). В нем рассмотрены и решены (в геометрической форме) 6 видов квадратных уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. При этом рассматривались только положительные корни уравнений.

В работах европейских математиков XIII - XVI вв. даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов в общее правило произвел немецкий математик Михаэль Штифель (1487 - 1567), который рассматривал уже и отрицательные корни.

В самом известном российском учебнике «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739) имелось немало задач на квадратные уравнения. Вот одна из них:

«Некий генерал хочет с 5000 человек баталию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне. Колико оная баталия будет иметь в лице и в стороне?», т. е. сколько солдат надо поставить по фронту и сколько им в затылок, чтобы число солдат по фронту было в 2 раза больше числа солдат, расположенных им «в затылок»?

В древневавилонских текстах (3000 - 2000 лет до н. э.) встречаются и задачи, решаемые теперь с помощью систем уравнений, содержащих и уравнения второй степени. Приведем одну из них:

«Площади двух своих квадратов я сложил: 25 . Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5».

Соответствующая система в современной записи имеет вид:

В XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540 - 1603), служивший шифровальщиком при дворе французского короля, впервые ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, т. е. коэффициентов уравнений. Ф. Виет для обозначения нерасшифрованных букв в донесениях противника использовал редкие буквы латинского алфавита х, у и z, что и положило начало традиции обозначать неизвестные в уравнениях буквами х, у и z. Особенно ценил Виет открытые им формулы, которые теперь называются формулами Виета. Однако сам Виет признавал только положительные корни.

Лишь в ХVII в. после работ Декарта, Ньютона и других математиков решение квадратных уравнений приняло современный вид.

Вернемся в начало XVI в. Тогда профессор математики болонского университета Сципион дель Ферро (1465-1526) впервые нашел алгебраическое решение уравнения третьей степени вида

где р и q – числа положительные.

Это открытие, по обычаям того времени, профессор держал в строгом секрете. О нем знали лишь два его ученика, в том числе некий Фиоре. Утаивание математических открытий тогда было обычным явлением, так как в Италии практиковались математические диспуты-поединки. На многолюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения на месте или в определенный срок. Чаще всего это были задачи по алгебре, которую называли тогда великим искусством. Побеждал тот, кто решал больше задач. Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место. Вот почему участнику диспута было важно обладать неизвестным другим алгоритмом решения некоторых задач.

После смерти профессора дель Ферро его ученик Фиоре, который сам не был глубоким математиком, вызвал на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Никколо Тарталья (1499-1557). Готовясь к диспуту, Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений в радикалах, так как предполагал, что Фиоре уже обладал этой формулой. Позднее Тарталья писал: «Я приложил все свое рвение, усердие и уменье, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благодаря благословенной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до срока».

Диспут состоялся 20 февраля 1535 г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, а Фиоре не смог решить ни одной из 30 задач, предложенных Тартальей. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, но продолжал держать открытую формулу в секрете.

Другой итальянский математик Джерол. но (1501 - 1576) узнал от Тартальи правило решения кубического уравнения (1) и дал «священную клятву», что никому не раскроет этой тайны. Правда, Тарталья лишь частично раскрыл свою тайну, но Кардано, познакомившись с рукописями покойного профессора дель Ферро, получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал знаменитый свой труд «О великом искусстве, или об алгебраических вещах, в одной книге», где впервые опубликовал формулу для решения уравнения (1), а кубическое уравнение общего вида предлагал свести к уравнению (1).

После выхода в свет этой книги Кардано был обвинен Тартальей в нарушении клятвы, но формула, открытая дель Ферро и Тартальей, и по сей день называется формулой Кардано.

Такова полная драматизма история открытия формулы корней кубического уравнения (1).

В той же книге Кардано привел алгебраическое решение уравнения четвертой степени. Это открытие сделал один из его учеников Лудовико Феррари (1522 - 1565). После этого начались настойчивые поиски формул, которые сводили бы решение уравнений высших степеней к извлечению корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трех столетий, и лишь в начале XIX в. норвежский ученый Нильс Хенрик Абель (1802 -1829) и французский ученый Эварист Галуа (1811 -1832) доказали, что уравнения степеней выше четвертой в общем случае в радикалах не решаются.

Математик и философ Рене Декарт (1596 -1650) впервые сформулировал в своей книге «Геометрия» основную теорему алгебры о числе корней уравнения n-й степени. При этом Декарт допускал существование не только истинных (положительных) и ложных (меньших, чем ничего, т. е. меньших нуля - отрицательных) корней, но и воображаемых, мнимых (у Декарта - imaginaires), т. е. комплексных корней.

Еще в древности математики в процессе решения задач сталкивались с извлечением корня квадратного из отрицательного числа; в этом случае задача считалась неразрешимой. Однако постепенно выяснялось, что решение многих задач, задаваемых в действительных числах, получает простое объяснение при помощи выражений a + bi, где i 2 = -1, которые в конце концов тоже стали называть числами, но уже комплексными. Первое обоснование простейших действий над комплексными числами дал итальянский математик Раффаэле Бомбелли (ок. 1530 -1572) в 1572 г., хотя еще долгое время к комплексным числам относились как к чему-то сверхъестественному.

Академик Петербургской академии наук Леонард Эйлер (1707 -1783) внес существенный вклад в вопросы теории комплексных чисел. После его работ комплексные числа получили окончательное признание как предмет и средство изучения. Само название «комплексное число» было предложено в 1831 г. немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855).

В настоящее время комплексные числа широко употребляются во многих вопросах физики и техники.

Выше речь шла об алгебраических уравнениях, т. е. уравнениях f(x) = O, где f(x) - многочлен относительно х.

Кроме алгебраических уравнений, есть еще и трансцендентные уравнения: показательные, логарифмические, тригонометрические и др. Решение трансцендентных уравнений, а также неравенств существенно опирается на свойства функций, которые изучаются в математике относительно недавно.

Особое место среди алгебраических уравнений занимают так называемые диофантовы уравнения, т. е. уравнения, в которых неизвестных больше одной.

Наиболее известными из них являются линейные диофантовы уравнения. Примеры задач, приводящих к линейным диофантовым уравнениям, находим в сборнике задач монаха Алькуина, приглашенного в 795 г. Карлом Великим преподавать в первую из известных школ в г. Аахен. Вот эта задача:

«100 шеффелей (денежных единиц) разделили между мужчинами, женщинами и детьми (число персон 100) и дали при этом мужчинам по 3 шеффеля, женщинам по 2 и детям по шеффеля. Сколько было мужчин, женщин и детей?»

Обозначив количество мужчин за х, количество женщин за у, мы придем к уравнению

Зх + 2y+ (100-х-y)= 100

Общего решения линейных диофантовых уравнений в те времена еще не знали и довольствовались лишь несколькими решениями, удовлетворяющими условию задачи. У самого Алькуина было приведено лишь одно решение этой задачи: мужчин, женщин и детей было 11, 15 и 74, а задача имеет 784 решения в натуральных числах.

Задачи, приводящие к линейным диофантовым уравнениям, имелись у Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1180 - 1240), в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого.

Известное диофантово уравнение Пифагора (VI в. до н. э.) х 2 + у 2 = z 2 решают в натуральных числах. Его решениями служат тройки чисел (х; у; z):

x = (m 2 -n 2)l, y = 2mnl, z = (m 2 + n 2)l,

где т, п, l - любые натуральные числа (т> п). Эти формулы помогают находить прямоугольные треугольники, длины сторон которых являются натуральными числами.

В 1630 г. французский математик Пьер Ферма (1601 - 1665) сформулировал гипотезу, которую называют великой (или большой) теоремой Ферма: «Уравнение х п + у п = z n для натурального п ≥ 3 не имеет решений в натуральных числах». Ферма не доказал свою теорему в общем случае, но известна его запись на полях «Арифметики» Диофанта: «...невозможно куб записать в виде суммы двух кубов, или четную степень в виде суммы таких же степеней, или вообще любое число, которое является степенью большей, чем вторая, нельзя записать в виде суммы двух таких же степеней. У меня есть поистине удивительное доказательство этого утверждения, но поля эти слишком узки, чтобы его уместить». Позднее в бумагах Ферма было найдено доказательство его теоремы для п= 4. С тех пор более 300 лет математики пытались доказать великую теорему Ферма. В 1770 г. Л.Эйлер доказал теорему Ферма для п = 3, в 1825 г. Адриен Лежандр (1752 1833) и Петер Дирихле (1805 - 1859) - для п = 5. Доказательство великой теоремы Ферма в общем случае не удавалось долгие годы. И только в 1995 г. Эндрю Вайлс доказал эту теорему.


Не всякое уравнение f(x) = g(x) или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций, такие как монотонность, периодичность, ограниченность, четность и др.

Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) < f (x 2).

Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x 1 и x 2 из промежутка D таких, что x 1 < x 2 , выполняется неравенство f (x 1) > f (x 2).

На показанном на рисунке 1 графике

Рисунок 1

Функция y = f (x), , возрастает на каждом из промежутков и убывает на промежутке (x 1 ; x 2). Обратите внимание, что функция возрастает на каждом из промежутков , но не на объединении промежутков

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Заметим, что если f – монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Действительно, если x 1 < x 2 – корни этого уравнения на промежутке D (f(x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит условию монотонности.

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

· Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

· Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

· Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.

· Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция убывает.

· Если функция f возрастает и неотрицательна, то f n где nN, также возрастает.

· Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f также возрастает.

· Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Аналогичные утверждения можно сформулировать и для убывающей функции.

Точка a называется точкой максимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≥ f (x).

Точка a называется точкой минимума функции f, если существует такая ε-окрестность точки a, что для любого x из этой окрестности выполняется неравенство f (a) ≤ f (x).

Точки, в которых достигается максимум или минимум функции, называются точками экстремума.

В точке экстремума происходит смена характера монотонности функции. Так, слева от точки экстремума функция может возрастать, а справа – убывать. Согласно определению, точка экстремума должна быть внутренней точкой области определения.

Если для любого (x ≠ a) выполняется неравенство f (x) ≤ f (a) , то точка a называется точкой наибольшего значения функции на множестве D:

Если для любого (x ≠ b) выполняется неравенство f (x) > f (b) , то точка b называется точкой наименьшего значения функции на множестве D.

Точка наибольшего или наименьшего значения функции на множестве D может быть экстремумом функции, но не обязательно им является.

Точку наибольшего (наименьшего) значения непрерывной на отрезке функции следует искать среди экстремумов этой функции и ее значений на концах отрезка.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть f(х) - непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Т, тогда уравнение f(x) = С, где С - данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке Т.

2. Пусть f(x) и g(х) - непрерывные на промежутке T функции, f(x) строго возрастает, а g(х) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(х) = =g(х) может иметь не более одного решения на промежутке Т. Отметим, что в качестве промежутка T могут быть бесконечный промежуток (-∞;+∞) , промежутки (а;+∞), (-∞; а), [а;+∞), (-∞; b], отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Пример 2.1.1 Решите уравнение

. (1)

Решение. Очевидно, что х ≤ 0 не может являться решением данного уравнения, так как тогда . Для х > 0 функция непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f(x) = х и . Значит, в области х > 0 функция принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х = 1 является решением данного уравнения, следовательно, это его единственное решение.

Ответ: {1}.

Пример 2.1.2Решите неравенство

. (2)

Решение. Каждая из функций у = 2 x , у = 3 x , у = 4 х непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция . Легко видеть, что при х = 0 функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х > 0 имеем , при х < 0 имеем . Следовательно, решениями данного неравенства являются все х < 0.

Ответ: (-∞; 0).

Пример 2.1.3 Решите уравнение

. (3)

Решение. Область допустимых значений уравнения (3) есть промежуток . На ОДЗ функции и непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция . Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Так как, то х = 2 является единственным корнем исходного уравнения.

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Если существует число C такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ≤ C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D (рисунок 2).


Рисунок 2

Если существует число c такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D (рисунок 3).

Рисунок 3

Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), лежит в полосе c ≤ y ≤ C (рисунок 4).

Рисунок 4

Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x 2 . Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.

Пример 2.2.1 Решите уравнение

sin(x 3 + 2х 2 + 1) = х 2 + 2х + 2. (4)

Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x 3 + 2х 2 + 1) ≤ 1, х 2 + 2х + 2 = (x + 1) 2 +1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при .

При , , т.е. при уравнение (4) так же корней не имеет.

Пример 2.2.2 Решите уравнение

. (5)

Решение. Очевидно, что х = 0, х = 1, х = -1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений в силу нечетности функции f(х) = = x 3 - x - sinπx достаточно найти его решения в области х > 0, х ≠ 1, поскольку если x 0 > 0 является его решением, то и (-x 0) также является его решением.

Разобьем множество х > 0, х ≠ 1, на два промежутка: (0; 1) и (1; +∞)

Перепишем начальное уравнение в виде x 3 - x = sinπx. На промежутке (0; 1) функция g(х) = x 3 - x принимает только отрицательные значения, поскольку х 3 < < х, а функция h(x) = sinπx только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку (1; +∞). Для каждого из таких значений х функция g(х) = х 3 - х принимает положительные значения, функция h(x) = sinπxпринимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2] функция h(x) = sinπx неположительна. Следовательно, на промежутке (1; 2] уравнение решений не имеет.

Если же х > 2, то |sinπx| ≤ 1, x 3 - x = x(x 2 - 1) > 2∙3 = 6, а это означает, что и на промежутке (1; +∞) уравнение также не имеет решений.

Итак, x = 0, x = 1 и x = -1 и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: {-1; 0; 1}.


Пример 2.2.3 Решите неравенство

Решение. ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме x = -1. Разобьем ОДЗ неравенства на три множества: -∞ < x < -1, -1 < x ≤ 0, 0 < x < +∞ и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.

Пусть -∞ < x < -1. Для каждого из этих x имеем g(x) = < 0, а f(x) = 2 x > 0. Следовательно, все эти x являются решениями неравенства.

Пусть -1 < x ≤ 0. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , а f(x) = 2 x ≤ 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.

Пусть 0 < x < +∞. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , a . Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства.

Ответ: .

Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

· если , то x + T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));

· для любого выполнено равенство


f (x + T) = f (x).

Поскольку то из приведенного определения следует, что

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.

График периодической функции

График периодической функции обычно строят на промежутке }