Неравенство коши и его обобщения. Использование векторного неравенства коши-буняковского при решении задач по алгебре

Теорема 3.1. Для любых векторов х, у евклидова пространства справедливо неравенство Коши - Буняковского

(3.1)

При обе части неравенства (3.1) равны нулю согласно свойству 3.3, значит, неравенство выполняется. Отбрасывая этот очевидный случай, будем считать, что. Для любого действительного числа , в силу аксиомы г), выполняется неравенство

Преобразуем левую часть неравенства, используя аксиомы и свойства скалярного умножения:

Мы получили квадратный трехчлен относительно параметра (коэффициентприсогласно аксиоме г) ненулевой, так как,неотрицательный при всех действительных значениях параметра. Следовательно, его дискриминант равен нулю или отрицательный, т.е.

Что и требовалось доказать.

Доказательство неравенства Коши - Буняковского выглядит достаточно просто. Тем не менее это неравенство очень полезное. Применяя его в конкретных евклидовых пространствах, мы получаем некоторые хорошо известные в анализе и алгебре неравенства.

Пример 3.5. В случае линейного арифметического пространства неравенство Коши - Буняковского трансформируется в неравенство Коши:

В евклидовом пространстве , скалярное произведение в котором выражается определенным интегралом (см. пример 3.4), неравенство Коши - Буняковского превращается в неравенство Буняковского (называемое также неравенством Шварца):

3.3. Нормированные пространства

В линейном пространстве обобщением понятия длины свободного вектора является норма. Длину вектора в линейном пространстве или можно рассматривать как функцию, определенную на множестве (соответственно ), которая каждому вектору ставит в соответствие число - его длину. Норму вектора в линейном простран­стве иногда называют длиной, имея в виду связь с аналогичным термином векторной алгебры.

Определение 3.2. Функцию, заданную на линейном пространстве , которая каждому вектору ставит в соответствие действительное число , называютнормой, если она удовлетворяет следующим аксиомам нормы:

а) , причем равенствовозможно только при;

в) (неравенство треугольника).

Определение 3.3. Линейное пространство, в котором задана норма, называют нормированным пространством.

Евклидовы пространства и нормированные пространства представляют собой примеры линейных пространств с дополнительными структурами: скалярным умножением и нормой соответственно. Эти два понятия совершенно различны, однако, как утверждает следующая теорема, исходя из скалярного умножения в евклидовом пространстве можно задать норму и тем самым превратить евклидово пространство в нормированное.

Теорема 3.2. Всякое скалярное умножение в евклидовом пространстве определяет норму согласно формуле

(3.3)

Отметим, что, согласно аксиоме г) скалярного умножения, и, следовательно, функция, заданная соотношением (3.3), определена для всех векторовх евклидова пространства. Проверим выполнение аксиом нормы. Аксиома а) нормы немед­ленно следует из аксиомы г) скалярного умножения (определение 3.1). Аксиома б) нормы вытекает из аксиомы в) скалярного умножения и свойства 3.1:

Остается проверить аксиому в) нормы, для чего мы воспользуемся неравенством Коши - Бун я ковского (3.1),

,

которое можно записать в виде

или, с учетом (3.3),

.

Используя это неравенство, получаем

Что и требовалось доказать.

Введение нормы по формуле (3.3) опирается только на общие свойства скалярного умножения, вытекающие из его аксиом, и не связано со спецификой конкретного линейного пространства. Поэтому такую норму в евклидовом пространстве называют евклидовой или сферической нормой. Когда говорят, не уточняя, о норме в евклидовом пространстве, обычно имеют в виду именно эту норму.

Вовсе не обязательно, чтобы в евклидовом пространстве норма вводилась через скалярное произведение. Рассмотрим следующие примеры, показывающие другие часто используемые нормы, не связанные с каким-либо скалярным произведением.

Пример 3.6. В линейном арифметическом пространстве нормой является функция вида

(в правой части обозначает модуль действительного числа).

Легко убедиться, что аксиома а) нормы выполнена, так как величина

, причем она равна нулю тогда и только тогда, когда все компоненты арифметического вектора равны нулю.

Так же просто убедиться в верности аксиомы б) нормы. Для проверки неравенства треугольника (аксиома в) нормы) выберем произвольные два вектора и из . Тогда

Приведенную норму называют -нормой или октаэдрической нормой.

Замечательное неравенство Коши.

Это знаменитое неравенство принадлежит французскому математику О.Коши, которое было опубликовано в 1821 году. В то время его доказательство занимало несколько страниц сложных выкладок и было основано на методе математической индукции. С тех пор появилось несколько десятков различных доказательств этого неравенства.

Теорема. Для неотрицательных чисел
справедливо неравенство Коши

Равенство достигается тогда и только тогда, когда
.

Доказательство. Пусть числа - положительны и
. Это число называется средним геометрическим положительных чисел , при
(если n=1, то
).

Возведём обе части равенства в n – ную степень. Получим

Умножим числитель и знаменатель этого равенства на

, n = 2, 3, 4, 5,…

Применим неравенство Бернулли (
), заменив в нём q на
. Получим

Таким образом

Если n = 2, то
;

Если n = 3, то
;

Если n = 4, то
;

……………………………..

Сложим эти неравенства почленно, получим:

Перенесём влево, разделим неравенство на n .

, где

Таким образом
.

Равенство достигается, когда все а равны.

Это неравенство справедливо и для неотрицательных чисел.

Существуют и другие варианты записи неравенства Коши:

Возведём обе части неравенства Коши в n - ную степень

Получим:

Рассмотрим задачи на применение неравенства Коши.

Задача № 1. Произведение положительных чисел
. Доказать, что

Решение. Применим неравенство Коши:

;

Задача №2. Решить уравнение:

Решение. При х = 2 правая часть уравнения равна 2, а при
будет меньше 2, поскольку каждое слагаемое меньше 1. Итак, правая часть не превосходит 2. Левую часть представим в виде

(х>1)

Применим неравенство Коши для слагаемых
и
.

(х > 1)

Таким образом правая часть уравнения не превосходит 2, а левая часть не меньше 2. Равенство достигается если обе части равны двум, то есть

Значит при х = 2.

Ответ: х = 2

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

С помощью неравенства Коши можно находить наибольшее и наименьшее значения функции без использования производной. Для этого потребуются утверждения, вытекающие непосредственно из неравенства Коши:

Задача № 1. Найти наименьшее значение функции
,
.

Решение. Представим функцию
в виде суммы слагаемых

.

Найдем произведение этих слагаемых

.

Это означает, что своё наименьшее значение сумма слагаемых принимает при
, то есть при
.

.

Ответ: у = 4 – наименьшее значение функции, которое достигается при х = 1 .

Задача № 2. Найти наибольшее значение функции
на отрезке
.

Решение. Возведём функцию в квадрат, получим:

, разделим обе части на 4:

.

Представим произведение в виде произведения

.

Найдём сумму этих множителей

,

то есть сумма принимает постоянные значения. Следовательно, функция
, а значит и функция достигает наибольшего значения при
.

Найдём значения функции в этих точках

Следовательно, наибольшее значение функции равно
при
.

Задача № 3. При каких значениях х функция достигает наибольшего значения?

Решение. Запишем функцию
в виде

Найдем сумму этих 5 сомножителей

Применим неравенство Коши для n = 5

Следовательно, функция достигает наибольшего значения равного
, если

Ответ: при
функция достигает наибольшее значение.

Задача № 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
.

Решение. Найдём область определения функции
.

1)
- наименьшее значение, так как
.

2) Применим неравенство Коши для n = 2 для слагаемых
и
.

, то есть функция имеет наибольшее значение , оно достигается, если

Действительно,
.

Ответ:

.

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

Метод анализа .

Это метод, основанный на анализе исследуемого неравенства, причём таком анализе, с помощью которого «обратимыми» рассуждениями строят цепочку переходов от доказываемого неравенства (через ряд промежуточных) к некоторому очевидному (благодаря ранее полученным результатам) неравенству.

Рассмотрим решение задачи методом анализа.

Задача № 1. Доказать, что для любых действительных чисел a , b , c , d таких, что
и
, выполнимо неравенство
.

Решение. Рассмотрим цепочку переходов от одного неравенства к другому, ему равносильному, учитывая, что и по условию.

Возведём обе части в квадрат, так как они неотрицательны:

Подставим значения c ² и d ² из условия .

Получили очевидное неравенство.

Метод синтеза.

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза.

Задача № 2. Докажите, что для любых неотрицательных a , b , c справедливо неравенство

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

;
;

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Метод от противного.

Суть метода состоит в том, что предполагается выполнение всех условий задачи, а вот само неравенство не выполнено. После чего проводится цепочка равносильных преобразований и выявляется гипотеза, устанавливающая противоречия о выполнении данного неравенства.

Рассмотрим задачу № 1, решённую методом анализа. Решим её методом от противного. . Свойства числовых неравенств . Неравенства одинакового смысла. Неравенства противоположного смысла. Среднее арифметическое. Среднее геометрическое Неравенство Коши ... положительного числа. Стандартный вид положительного ...

Белавина Ксения

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии. Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства. Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

Скачать:

Предварительный просмотр:

НЕРАВЕНСТВО КОШИ

Введение

"Основные результаты математики

Чаще выражаются неравенствами,

А не равенствами".

Э.Беккенбах, Р.Беллман.

1. Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии. Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства. Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

С помощью классических неравенств во многих случаях можно осуществить исследования на максимум и минимум целого ряда функций без обращения к нахождению и исследованию их производных (тем более, что производная исследуемой функции может отсутствовать).

Задачи, относящиеся к наибольшим и наименьшим значениям или задачи на максимум и минимум более привлекательны, чем другие математические задачи и это имеет простые причины. У каждого из нас есть свои личные задачи. Эти задачи очень часто являются своего рода задачами на максимум или минимум. Мы хотим получить определенный предмет за наиболее низкую возможную цену, или наибольший возможный эффект при определенном усилии, или максимальную работу, произведенную за данное время, и конечно, хотим как можно меньше рисковать. Математические задачи на максимум привлекательны потому, что они идеализируют наши повседневные задачи.

То, что подобные задачи на оптимизацию встречались еще в глубокой древности, донесли до нас мифы Древней Греции и Рима. Вот один из таких мифов, наполовину древнегреческий, наполовину древнеримский. Дочь царя Тира, Дидона, жена жреца храма Геракла Акербаса вынуждена была бежать из Финикии, в Северную Африку. Причина бегства - ее брат, Пигмалион, позаривщийся на богатства ее мужа и убивший его. Многочисленные сокровища мужа и (видимо поэтому) многочисленные спутники Дидоны нуждались в пристанище. Чтобы обрести его беглянка купила у берберийского царя Ярба землю, причем по условию она в обмен на немалые сокровища могла взять ровно столько земли, сколько покроет одна бычья шкура. Чтобы выполнить это условие и получить достаточно большую территорию, Дидона разрезала шкуру на тонкие ремни,сделала из них длинную веревку и "окружила" ею изрядный кусок земли, естественно, круглой формы, на котором основала Карфаген.

Задача, которую решила Дидона, может быть сформулирована так: найти замкнутую кривую заданной длины, ограничивающую часть плоскости с максимальной площадью. Задачи типа задачи Дидоны называются в математике изопериметрическими задачами (от греческого слова isos - равный и perimetrio - измеряю вокруг).

2. Неравенство Коши, его частные случаи.

Одно из самых известных замечательных неравенств - это соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких действительных неотрицательных чисел, опубликованное в 1821 году французским математиком Агюстеном Луи Коши и ставшее столь популярным, что для него к настоящему времени найдены десятки доказательств и сотни применений.

2.1. "Школьный" вариант неравенства Коши.

Докажите, что для любых неотрицательных a и b справедливо неравенство

(a + b) / 2 ≥ √ ab,

a=b.

Решение. Составим и преобразуем разность между левой и правой частями доказываемого равенства, а затем сравним эту разность с 0 :

a+b/2-√ab=(a-2√ab + b)/2=1/2(√a-√b)²≥0,

что и доказывает исследуемое неравенство, а также дает условие реализации этого соотношения в варианте равенства, а именно, когда a=b.

2.2. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c, d справедливо неравенство (неравенство Коши для четырех переменных):

(a+b+c+d)/4≥ 4 √abcd¸

при чем это соотношение реализуется в варианте равенства только если a=b=c=d.

Решение. (a+b+c+d)/4=((a+b)/2+(c+d)/2)/2≥(√ab+√cd)/2≥√√ab·√cd= 4 √abcd¸

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия: (a +b)/2=√ab; (c+d)/2=√cd ; √ab=√cd ¸ т.е. когда a=b=c=d. Доказательство завершено.

2.3.Теорема. Неравенство Коши для произвольного числа параметров.

Для любых действительных неотрицательных чисел x 1, х 2, …, х n справедливо следующее неравенство (x 1 + х 2 + … + х n )/n ≥ n √ x 1 · х 2 · … · х n

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x 1= х 2= …= х n

Левая часть написанного выше неравенства называется средним арифметическим величин x 1, х 2, …, х n , а правая часть средним геометрическим. Иногда теорему называют "теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом ", или короче "теоремой о средних".

Другие варианты записи неравенства Коши:

а) ((x+ , х 2 + … + х n )/n) n ≥ x 1 · х 2 · … · х n

б) (x 1 + х 2 + … + х n ) n ≥ n n · x 1 · х 2 · … · х n

2.4. Неравенство Коши - Буняковского.

Теорема 1. Для любых действительных чисел a 1, a 2 ¸ …, а n, b 1, b 2 ¸ …, b n (n - любое натуральное число, больше 1) справедливо следующее неравенство

(a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n )²≤(a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n ²)(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²) или a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n ≤√ a 1 ²+ a 2 ²+…+ a 2 n · √ b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ² , именуемое неравенством Коши - Буняковского, причем данное соотношение реализуется в варианте равенства тогда и только тогда, когда выполняются условия b 1 /а 1 = b 2 /а 2 =…= b n /а n .

Доказательство.

1. Пусть а 1 =а 2 =…= а n =0 и утверждения теоремы 1 очевидно справедливы.

2. Пусть теперь хотя бы одно из чисел а 1, а 2, … а n отлично от нуля. Введем тогда следующие обозначения: А= a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n ²>0, С=b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ², В= a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n , позволяющие записать изучаемое неравенство в следующем виде В 2 ≥ АС. Очевидно, что ему будет равносильно неравенство (2В) 2 – 4АС ≤ 0, что подсказывает ввести в рассмотрение следующую вспомогательную функцию f(x)=Ax 2 + 2Bx+C, xє R. Легко видеть, что f(x)=Ax 2 + 2Bx+C= (a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n )х 2 +2(a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n )х+(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²)=(a 1 х+b 1 ) 2 +… +(а n х+b n ) 2 , т.е. при любом х значение этой квадратичной функции (с положительным коэффициентом при х 2 ) неотрицательно, а это означает, что дискриминант рассматриваемого трехчлена меньше или равен нулю, т.е. D=4В 2 -4АС≤0, а значит , В 2 ≤А·С, иначе говоря, для любых действительных чисел а 1, а 2, … а n , b 1 , b 2 , …,b n справедливо неравенство Коши-Буняковского: (a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n ) 2 ≤(a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n )(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²) , причем равенство в полученном соотношении достигается тогда и только тогда, когда D=0 , т.е. когда график функции f(x) касается оси ОХ , а значит, уравнение Ax 2 + 2Bx+C=0 имеет ровно один корень, т.е. когда следующая система уравнений совместна:

a 1 х+b 1 =0,

а n х+b n =0 ,

т.е. когда b 1 / a 1 = b 2 / a 2 =…= b n / а n . Теорема доказана.

3 . Свойство монотонности среднего степенного .

С α (а) =(( a 1 α + a 2 α +…+ a n α )/п) 1/α – среднее степенное порядка α положительных чисел а 1, а 2, … а n. Для действительных α и β, таких, что α ≤ β имеет место неравенство (свойство монотонности) С α (а) ≤ С β (а).

Теорема 1. Если сумма двух положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.

Доказательство. Пусть х и у х+у=с , где с - постоянная величина.

Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим: (х+у)/2≥√ху или с /2≥√ху или, наконец,

ху≤c²/4.

Отсюда видно, что наибольшее значение произведения ху равно c²/4 и получается оно при х=у .

Теорема 2. Если сумма n положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда все эти переменные принимают одинаковые значения.

Доказательство. Пусть x 1 , х 2 ,…,х n - положительные переменные величины и пусть x 1 + х 2 + … + х n =с, где с постоянна. По теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:

(x 1 + х 2 + … + х n )/ n ≥ n √ x 1 , х 2 ,…,х n .

Отсюда x 1 х 2 …х n ≤(с/п) п , здесь знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x 1 = х 2 = … = х n . Следовательно, наибольшее значение произведения x 1 х 2 …х n равно (с/п) п и получается оно при x 1 = х 2 = … = х n . Теорема доказана.

Теорема 3. Если произведение переменных x 1 , х 2 ,…,х n постоянно, то их сумма x 1 + х 2 + … + х n принимает наименьшее значение при x 1 = х 2 = … = х n .

5. Решение задач.

5.1. Задачи на наименьшее и наибольшее значение функции.

Задача 1 . Найти наибольшее значение функции f(x)=х 4 (32- х 4 ).

Решение. Заметим, что при х‹ 4 √32 множители х 4 и 32-х 4 положительны, а их сумма является величиной постоянной. По теореме 1 наибольшее значение данной функции получим при условии, что

х 4 = 32- х 4 ,

2х 4 = 32,

Х 4 =16,

х=2.

При х=2 f(x)=2 4 (32- 2 4 )= 16·16=256.

Ответ: 256.

Задача 2. Найти наибольшее значение функции f(x) =√х-2 + +√16-х.

Если f(x)≥ 0 и не удается найти наибольшее и наименьшее значение f(x), то в некоторых случаях задачу можно решить путем отыскания наибольшего или наименьшего значения функции [ f(x) ] 2 т.е. квадрата данной функции.

Решение. х-2 ≥ 0, х ≥ 2,

16-х≥0; х ≤ 16; 2 ≤ х≤ 16.

Функция f(x) определена для значений х, удовлетворяющих неравенству

2 ≤ х≤ 16.

При х=2 и х=16 функция обращается в нуль, а при всех значениях х, заключенных между 2 и 16, она положительна.

Найдем наибольшее значение квадрата данной функции, т.е. функции 14+2√ (х-2)(16-х).

Множители (х-2) и (16-х) положительны и в сумме дают 14, т.е. постоянную величину. Следовательно, наименьшее значение получится при условии х-2=16-х,

2х=18,

Х=9.

Наибольшее значение квадрата данной функции равно

14+2√ (9-2)(16-9)=14+2√49=28, а наибольшее значение самой данной функции будет равно √28.

Ответ: √28.

Задача 3. На гиперболе у=2/х найдите точки, ближайшие к началу координат.

Решение. ООФ: х≠0. Функция у=2/х – нечетная, искомых точек будет две.

Пусть кротчайшее (наименьшее) расстояние от О(0;0) до точек гиперболы М(х;у) и М 1 (х 1 ;у 1 ) будет равно d .

Тогда d=√х 2 +у 2 , где у=2/х ,

D=√х 2 +4/х 2 .

Х 2 +4/х 2 ≥2 √х 2 ∙4/х 2 ,

Х 2 +4/х 2 ≥4,

√х 2 +4/х 2 ≥2,

D≥2.

Очевидно, что d наим. =2, если х 2 =4/х 2 , х 4 =4, х 1 =√2,

Х 2 =-√2.

Имеем: х=√2, и х=-√2,

У=√2. у=-√2.

Ответ: М 1 (√2;√2 ), М 2 (-√2 ; -√2 ).

5.2. Задачи на экстремумы.

Задача 4. Найдите экстремумы функции у=х 4 -4х 3 +4х 2 .

Решение. О.О.Ф.: х - любое действительное число.

у=х 2 (х 2 -4х+4)=х 2 (х-2) 2 =х·х(2-х)(2-х)

у=0, если х=0; 2.

При 0 ≤ х ≤ 2, 2 – х ≥ 0 , поэтому можно записать

(х+х+2-х+2-х)/4 ≥ 4 √ х 2 (2-х) 2 ,

4 √ х 2 (2-х) 2 ≤ 1,

Х 2 (2-х) 2 ≤ 1,

У ≤ 1.

Находим у max = 1 при х = 2-х, х = 1.

У min = 0 при х = 0; 2.

Задача 5. Найдите экстремальное значение функции у = х 2 - х 3 .

Решение . D(y) = R (ООФ: х -любое действительное число).

У = х 2 -х 3 = х 2 (1-х) = 1/2х 2 (2-2х).

Используем неравенство Коши:

х+х+2-2х/3≥ 3 √х∙х(2-2х),

откуда 3 √х 2 (2-2х)≤2/3

Х 2 (2-2х)≤8/27,

2х 2 (1-х)≤8/27,

2у≤8/27,

у≤4/27 .

Отсюда можно сделать вывод: у max = 4/27 при х = 2-2х, т.е. при х = 2/3.

Ответ:y max = 4/27.

5.3. Использование свойство монотонности среднего степенного.

Задача 6 . Найти наибольшее и наименьшее значение функции

У = (1+х) n +(1-х) n на [-1;1].

Решение. Воспользовавшись свойством монотонности среднего степенного, получим:

(((1+х) n +(1-х) n )/2) 1/ n ≥((1+х)+(1-х))/2=1.

Значит у min = 2.

При х = 0.

Для нахождения наибольшего значения функции воспользуемся очевидными неравенствами:

((1+х)/2) n ≤(1+х) и ((1-х)/2) n ≤(1-х) (так как по условию 0≤(1+х) и 0≤(1-х)≤1 ). Сложив эти неравенства, получим:

Y max = 2 n .

Задача 7. Точка М лежит внутри треугольника, АВС - расстояние от М до стороны треугольника, НКР – соответствующие высоты. Найдите наименьшее значение выражения:

(А/Н) α +(В/К) α +(С/Р) α при α≥1.

Решение. Имеем 2S =aA+bB+cC=aH=bК=сР , где S – площадь треугольника. Разделим обе части равенства aA+bB+cC=aH на аН :

А/Н+ (b/a)(В/Н)+(с/а)(С/Н)=1, так как (b/a)=(Н/К) и (с/а)=(Н/К), то А/Н+В/К+С/Р=1.

В сумме свойства монотонности среднего степенного, получаем:

(А/Н) α +(В/К) α +(С/Р) α ≥3(⅓) α =1/3 α -1 при α≥1.

Значит, наименьшее значение данного выражения равно 1/3 α -1.

5.4. Применение неравенства Коши – Буняковского.

Задача 8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции u = х 1 у 1 +х 2 у 2 +…+х n у n , если известно, что х 1 2 +х 2 2 +…+х n 2 ≤а 2 , у 1 2 +у 2 2 +…+у n 2 ≤b 2 , где а,b – положительные числа.

Решение. В силу неравенства Коши – Буняковского

(х 1 у 1 +х 2 у 2 +…+х n у n ) 2 ≤(х 1 2 +х 2 2 +…+х n 2 )∙(у 1 2 +у 2 2 +…+у n 2 ) или u 2 ≤a 2 b 2 , откуда - ab≤u≤ab . Значит, u min =-ab, u max =ab.

5.5 Геометрические задачи на максимумы и минимумы.

Задача 9. Дана плоскость поверхности ящика; найдите максимум его объема.

Решение. Ящик – прямоугольный параллелепипед. Пусть а,b,c – длины трех ребер ящика, выходящие из одной и той же вершины, S – площадь поверхности, V – объем.

Очевидно, S=2(аb+ac+bc), V=abc. Заметим, что аb+ac+bc = S/2, аb∙ac∙bc = V 2 .

По теореме о средних V 2 =(abc)‹((аb+ac+bc)/3) 3 =(S/6) 3 , если не выполняется равенство аb=ac=bc, или a=b=c.

Иначе говоря, V‹(S/6) 3/2 , если ящик не являлся кубом, когда осуществляется равенство. Результат можно выразить в двух различных (хотя по существу эквивалентных) формах:

1) из всех ящиков с данной площадью поверхности куб имеет наибольший объем;

2) всех ящиков с данным объемом куб имеет наименьшую площадь поверхности.

Задача 10 . Найдите среди всех треугольников с заданным периметром тот, чья площадь наибольшая.

Решение . Если обозначим стороны произвольного треугольника символами x, y и z , то по условию 0‹х‹у+z, 0‹у‹х+z, 0‹z‹х+у и х+у+z=2р , где фиксированное число р›0 . Требуется определить наибольшее значение выражения S=√р(р-а)(р-b)(р-с)=√р∙√(р-а)(р-b)(р-с) . Неравенство Коши немедленно дает 3 √(р-а)(р-b)(р-с)≤((р-а)+(р-b)+(р-с))/3=р/3, т.е . S≤√р∙√(р/3) 3 =р 2 /3√3 , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда р-а=р-b=р-с , т.е. для равностороннего треугольника.

Задача 11 . Из гранита нужно вырубить постамент в форме прямоугольного параллелепипеда, высота которого должна быть равна диагонали основания, а площадь основания должна быть равна 4м 2 . При каких длинах сторон основания площадь поверхности постамента будет наименьшей?

Решение. Обозначим символами х и у длины (в метрах) сторон прямоугольника, лежащего в основании постамента. Тогда высота постамента h=√х 2 +у 2 , а площадь поверхности S=2(х+у)√ х 2 +у 2 +8, причем ху=4 и х,у - положительные числа. Так как х∙у=4, х›0, у›0 , то неравенство Коши дает, что х+у≥2√ху=4 , а х 2 +у 2 ≥2ху=8 , т.е. √х 2 +у 2 ≥√ 8. Следовательно, S≥8+16√2 (м 2 ), причем равенство, очевидно, достигается при х=у=2.

6. Заключение. Я показала не традиционный способ решения целого ряда задач на нахождение экстремумов функции с помощью замечательного неравенства Коши. Такой способ является удобным и во многих случаях более простым и быстрым решением задач на максимум и минимум без обращения к нахождению к производной данной функции.

1. Введение.

2 . Неравенство Коши, его частные случаи .

3.Свойство монотонности среднего степенного.

4. Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении.

5. Решение задач.

6. Заключение.

7. Список литературы.

7. Список литературы .

1. В. К. Смышляев. Практикум по решению задач школьной математики. Просвещение, 1978.

2. Д. Пойа. Математика и правдоподобные размышления. Наука, 1975.

3. С. И. Туманов. Поиски решения задачи. Просвещение, 1967.

4. А. В. Ефремов, М. А. Ефремов, С. А. Загидуллина. Особые применения решения экстремальных задач. Магариф, 2003.

5. С. А. Гомонов. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. Дрофа, 2005.

а) Двумерный вариант: Перейдем к новой теме. Как в музыкальном произведении, эта тема будет переплетаться с главной темой, в результате чего в дальнейшем возникнут еще более замечательные выводы.

В первую очередь отметим, что неравенство

на котором основывались все выводы в предыдущих параграфах этой главы (см. § 2 п. б)), является простым

следствием тождества

имеющего место не только для неотрицательных чисел но и для любых действительных чисел Теперь рассмотрим произведение

Произведя умножение, получим многочлен

совпадающий с тем, который получается после раскрытия скобок в выражении

Отсюда получаем

Так как квадрат неотрицателен, то из (4.37) следует неравенство

для любых действительных чисел Это весьма симпатичное неравенство имеет большое значение для многих вопросов анализа и математической физики. Оно называется неравенством Коши или, более точно, двумерным вариантом неравенства Коши.

Из соотношения (4.37) вытекает, что равенство в (4.38) достигается тогда и только тогда, когда

В этом случае говорят, что две пары чисел и пропорциональны. При с условие (4.39)

можно записать следующим образом:

б) Геометрическая интерпретация. Впервые встретясь с тождеством (4.37), читатель вполне естественно и законно заинтересуется, каким же все-таки образом можно было натолкнуться на этот результат. Тождество выражений (4.35) и (4.36) покажется ему ничем не мотивированным, случайным, некоторым "математическим трюком", свидетельствующим лишь об известной "ловкости рук" автора приведенного доказательства.

Нерушимым принципом математики является то, что в ней нет случайных фактов и положений. Каждый результат, какое бы место он ни занимал, находит свое истолкование, благодаря которому этот результат становится прозрачным, само собой разумеющимся. Это истолкование может не сразу броситься в глаза, и оно может быть найдено не сразу. Часто подлинный смысл математической теоремы проясняется только тогда, когда мы посмотрим на нее, так сказать, "сверху", т. е. с точки зрения более общей теории. Однако истолкование, поясняющее смысл теоремы, имеется всегда - и это исключительно важно. Если бы дело обстояло не так, то математика выродилась бы в набор несвязанных формальных трюков и схоластических выкрутасов.

Часто наиболее простое истолкование алгебраического результата имеет геометрический характер. Формулы, которые кажутся совершенно непонятными и сложными, становятся очевидными, когда раскрывается их геометрическое содержание.

Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 21. Очевидно, что длины отрезков и определяются равенствами

Обозначим угол между сторонами и через 0. На основании теоремы косинусов имеем

Подставляя значения и и упрощая полученное выражение, получаем

Поскольку значение косинуса всегда заключено между мы имеем

Возводя в квадрат равенство (4.40) и учитывая (4.41), получаем

и, наконец,

А это ведь опять двумерный вариант неравенства Коши (4.38) - неравенства, ранее казавшегося таким непонятным и странным.

Рис. 21. Геометрическая интерпретация неравенства Коши.

Кроме того, мы видим, что равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда т. е. тогда и только тогда, когда или другими словами, в том и лишь том случае, когда точки лежат на одной прямой. При этом должно иметь место равенство подъемов прямых и иначе говоря, если с то должно быть

в) Трехмерный вариант неравенства Коши. Вышеприведенная интерпретация неравенства Коши для двумерного случая хороша еще и тем, что позволяет нам при помощи геометрической интуиции легко сообразить, какой вид будут иметь аналогичные результаты, относящиеся к более сложному случаю любого числа измерений.

Перейдем к случаю обыкновенного или трехмерного пространства (пространства трех измерений). Пусть две точки, несовпадающие с началом координат . Тогда косинус угла 9 между прямыми и будет определяться равенством

которое, в силу того что приводит к трехмерному варианту знаменитого неравенства Коши

Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда три точки лежат на одной прямой, что выражается соотношениями

имеющими смысл при условии, что все числа стоящие в знаменателях, отличны от нуля.

г) Тождество Коши - Лагранжа и -мерный вариант неравенства Коши. Чисто

алгебраическое доказательство трехмерного варианта неравенства Коши (4,42) можно вывести из следующего тождества:

Очевидно, что последнее выражение в (4.43) неотрицательно, так как оно состоит из суммы трех неотрицательных членов. Поэтому

Таким образом, еще одним путем доказано неравенство Коши для трехмерного случая. Из тождества (4.43) видно также, когда неравенство Коши обращается в равенство: последнее выражение в (4.43) равно нулю, лишь если каждое из трех его слагаемых равно нулю, т. е. если все числа пропорциональны.

Если вы впоследствии будете изучать аналитическую геометрию в пространстве, то вы узнаете, что тождество (4.43) - это не что иное, как соотношение

Калинин Сергей Иванович,доктор педагогических наук, заведующий кафедрой математического анализа и методики обучения математике ФГБОУ ВПО Вятскийгосударственныйгуманитарныйуниверситет»,г. Киров[email protected]

Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач

Аннотация. В статье рассматривается новое доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметикогеометрических средних положительных чисел, использующее метод прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения простого и обобщенного неравенств Коши при решении задач повышенного уровня сложности школьного курса математики.Ключевые слова: средние арифметическое и геометрическое, неравенство Коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики.

Напомним читателю упоминаемое в заголовке неравенство для средних арифметического и геометрического положительных чисел. Это есть неравенство

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда. Данное неравенство было открыто великим французским математиком Огюстеном Луи Коши в 1821г. и потому по праву носит его имя. В образовательной математике неравенство Коши хорошо известно, оно регулярно обсуждается на страницах научнометодических и научнопопулярныхизданий, с его помощью эффективно решаются многие задачи на доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, геометрических соотношений, на решение уравнений и их систем, на нахождение наибольшего и наименьшего значений переменных величин, атакже геометрических экстремумов.Наряду с неравенством 1 в тематике средних величин часто рассматривается и так называемое обобщенное, или весовоенеравенство Коши

где, –взвешенные среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел

соответственно, а

–числа, называемые весами. В 2 равенство снова достигается только при условии.Ясно, что неравенство 1 получается из 2 при совпадении всех весов.В учебном пособии по спецкурсу 1] мы рассмотрели не один десяток доказательств неравенств 1–2, использующих принципиально различные подходы. В частности, в § 2 главы 3 цитируемого пособия приводится индуктивное доказательство неравенства 1, приписываемое самому Коши. Подчеркнем, что доказательство Коши основывается на методе прямой и обратной индукции подругому, индукции вверх и вниз 2, с. 13–14], или ветвящейся» индукции 3, глава 9 И. С. Рубанова, с. 105]. Его суть состоит в том, что после установления базы индукции для переходом от к неравенство 1 доказывается для всехn, являющихся степенями двойки что соответствует прямой индукции. Затем показывается, что справедливость неравенства 1 для nчисел, влечет его выполнение и для n–1 чисел обратная индукция. В настоящей заметке мы описанную технику Коши при установлении 1 хотим реализовать иначе. Выполним это, нацеливаясь одновременно на обоснование неравенства 2, обобщающего 1.Сначала установим базу индукции, т. е. покажем, что справедливо неравенство

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда.Для доказательства 3 применим неравенство Иенсена 4, с. 58]

для вогнутой выпуклой вверх функции, полагая

Будем иметь:,

равенство в последнем соотношении достигается только при условии логарифмическая функция не есть линейная функция. Отсюда следует неравенство 3 вместе с обоснованием условий достижения в нем равенства. База индукции установлена.Предположим теперь, что неравенство 2 справедливо для, т. е.

при этом равенство в 4 достигается тогда и только тогда, когда. Покажем, что неравенство 2 будет иметь место и для, при этом равенство в нем будет достигаться только, если. Имеем:

в цепочке преобразований сначала мы дважды применили оценку снизу на основании индуктивного предположения, а затем еще одну аналогичную оценку –на основании базы индукции. Нетрудно видеть, что равенство в соотношении будет достигаться толькотогда, когда, и, т.е. при условии. Нужное показано.С учетом базы реализованная прямая индукция позволяет заключить, что неравенство 2 справедливо для всех n, являющихся степенями двойки. Реализуем обратную индукцию.Предположим, что неравенство 2 справедливо для некоторого. Покажем, что оно будет выполняться и при. Действительно, в неравенстве положим. Будем иметь:

Отсюда следует, что

Легко видеть, что равенство в последнем неравенстве будет иметь место только при совпадении всех чисел. Неравенство 2 полностью обосновано.Замечание. Предлагаем читателю реализовать подход Коши к доказательству неравенства 1 в отношении обобщенного неравенства 2.Рассмотрим несколько применений неравенств 1–(2).Задача 15]. Докажите неравенство, . Решение. Данное неравенство можно доказать как с помощью простого неравенства Коши1, так и обобщенного 2, потому рассмотрим два способа решения задачи.Iспособ.

В цепочке соотношений трижды применялось неравенство Коши 1 для двух положительных чисел. IIспособ.. Здесь применяется неравенство Коши 2 к величинам с весами 1, 3, 4. Второе решение задачи –экономичнее.Задача 26]. Докажите неравенство (N) .Решение. По обобщенному неравенству Коши можно записать:

В произведенной оценке знак неравенства строгий, так как числа являются различными. Отсюда следует доказываемое неравенство.Задача 37]. Докажите, что.Решение. В силу неравенства Коши 1, имеем оценку:

Задача 4.Для треугольника со сторонами докажите неравенство

где p–полупериметр треугольника.

Решение. Используя неравенство Коши для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического величин cвесами 1, 2, 3, 1, 2, 3, имеем оценку:

В котором знак неравенства –строгий, ибо не выполняется условие. Задача 58]. Докажите, что среди всех треугольников данной площади наименьший периметр имеет правильный треугольник. Решение. Пусть –стороны треугольника, p–его полупериметр. По формуле Герона площадь Sтреугольника выразится так: . Оценим Sсверху, применив неравенство Коши для чисел:

Таким образом, откуда. В последнем неравенстве равенство возможно лишь при условии, т. е. при. Это говорит о том, что наименьший периметр будет у правильного треугольника. Задача 6. Решите уравнение.Решение. Область определения неизвестного данного уравнения есть промежуток. На этом промежутке правую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 1: .

Заметим, равенство в произведенной оценке достигается только, если, или. Легко видеть, что, причем равенство в этом соотношении достигается только при. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.Замечание. В приведенном решении оценку можно получить посредством применения обобщенного неравенства Коши:

Задача 7.Решите систему уравнений Решение. По простому неравенству Коши из первого уравнения системы имеем оценку, следовательно, первое уравнение эквивалентно условию, или. Отсюда, в силу второго уравнения системы, получаем уравнение относительно: . Оно имеет два решения, значит, соответствующие значения для будут, . Проверкой убеждаемся, что данная система имеет единственное решение.Задача 8. Решите уравнение.Решение. Рассматриваемое уравнение задано на множестве. Перепишем его в виде.

Левую часть последнего уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 2 для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического степеней и с весами и: =1.

Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению

Так как, то все сводится к решению уравнения.

Из последнего находим, что. Найденные значения лежат в области допустимых значений уравнения, значит, это искомые корни. Рассмотрим уравнение, навеянное задачей 8.Задача 9 .Решите уравнение.Решение. Данное уравнение схоже с предыдущим. Очевидно, оно также определено на множестве. Запишем его в равносильной форме

Левую часть последнего уравнения оценим снизу, применяя неравенство 2. Для этого положим, . Имеем:

В произведенной оценке равенство достигается лишь при условии

которое в силу равенства эквивалентно условию. Отсюда находим искомые корни.Ссылки на источники1.Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: учебноепособие по спецкурсу. –Киров: Издво ВГГУ, 2002. –368 с.2.Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. –М.: Мир, 1965. –276 с.3.Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. –Киров: Издво АСА», 1994. –272с.4.Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. –1990. –№ 4. –С.57–62.5.Галицкий М.Задачи по алгебре для 8–9 классов // Математика: Еженедельное приложение к газете Первое сентября». –1998. –№ 6. –С. 7–10. 6.Вересова Е. Е. и др.Практикум по решению математических задач. –М.: Просвещение,1979. 7.Квант. –1985. –№ 11. –С. 25.8.Курляндчик Л. Д.Приближение к экстремуму //Квант. –1981. –№ 1.–С. 21–25.

9.Калинин С.И.Два родственных» уравнения // Математика в школе. –2002. –№ 6. –С. 70–71.

Kalinin Sergey, Doctor of Education, Chief of mathematical analysis and methods of teaching mathematics chair in Vyatka State University of Humanities, [email protected]

Inequality Cauchy: a new inductive proof and some applications to solving problemsAbstract. The article is devoted to a new proof of the generalized Cauchy inequality for arithmetical and geometrical mean of positive numbers, using the method of forward and backward induction. We give examples of simple and generalized Cauchy inequalities to solve problems of high levels of school mathematics.Keywords: arithmetic and geometric averages, the Cauchy inequality, the problem of high levels of schoolmathematics.