МЕТОД ИНВАРИАНТА ПРИ РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Остонов К.

(Самаркандский государственный университет)

При решении некоторых математических задач применяется совокупность преобразований искомого объекта и требуется, используя данные преобразования, получить из одного состояния объекта другое. С помощью перебора вариантов в многих случаях можно убедиться в правомерности ответа “нельзя”, но доказательство правильности полученного результата будет сложным. Таким математическим методом решения таких задач считается метод инвариант. Прежде всего определим что такое инвариант?

Определение 1. Инвариантом называется нечто, не меняющееся в преобразованиях.

К примеру, инвариантом могут быть число, набор чисел, четность какого – либо числа и другое.

Свойство 1 . Если значение инварианта в двух состояниях объекта различно, то одно из них нельзя получить из другого.

Во многих математических задачах инвариантом считаются четность (нечетность) чисел и остаток от деления.

Здесь прежде всего основывается на определения четного и нечетного числа, абстрактного понятия четности, чисел имеющие “разную четность”, а также на свойство о том, что при прибавлении единицы четность чисел изменяется. Использование принципа четности и нечетности требует применение следующих утверждений:

Утверждение 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Утверждение 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

Решение. Предлагается выполнить данную операцию учащимся (результат каждого хода записывается на доске), отмечается закономерность: после каждого хода характер четности меняется: после первого ученика число становится четным, после второго нечетным; после третьего - четным; после четвертого – нечетным. Тогда после шестнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.

Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

Решение. После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки – либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки – либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.

Задача 3. В таблице, где имеются 15 чисел (-1), можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из (+ 1)?

Решение. Ответ: нельзя. Так как число чисел в таблице нечетно, а после каждой операции число чисел (+ 1) в таблице четно. На языке инвариантов это означает: инвариантом таблицы относительно введенной операции является произведение всех чисел в таблице. В начальный момент это произведение равно (- 1), а нам нужно получить таблицу, инвариант которой равен (+ 1).

Задача 4. Имеется набор чисел Данный набор чисел меняется на тройку чисел:
,
,
. Дан набор чисел 2016, 2018, 2019. Можно ли из него получить набор из чисел 2017, 2018, 2019?

Решение. Ответ: нельзя. Так как
и
+
+
равны, а сумма 2016+ 2018+ 2019 и сумма 2017+ 2018+ 2019 различны.

Задача 5. Из цифр 2, 3, 4,… 9 составили два натуральных числа. Каждая цифра использовалась один раз. Могло ли одно из этих чисел оказаться вдвое больше другого?

Решение. Ответ: нет. Пусть и
– полученные числа, S(a ) и S(b ) – суммы их цифр. По признаку делимости числа N и S(N) имеют одинаковые остатки при делении на 3. Поскольку число a + b = 3a делится на 3, то сумма S = S(a ) + S(b ) должна делиться на 3, что неверно, так как S = 2 + 3 + 4 + … + 9 = 44.

Задача 6. Числа 0,1,2,3, …, 9 записаны по кругу. За один ход разрешается прибавить к двум соседним числам одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить десять нулей?

Решение. Нельзя. При прибавлении одинаковых целых чисел к любым двум из имеющихся не меняет четность общей суммы всех чисел. Первоначально эта сумма равно 1 + 2 + 3 + … 9 = 45, следовательно, после каждого хода общая сумма полученных чисел должна быть нечетна, а нуль – четное число.

Задача 7. В десяти сосудах содержится 1, 2, 3,…, 10 литров воды. Разрешается перелить из сосуда А в сосуд В столько воды, сколько имеется в В. Можно ли добиться, чтобы после нескольких переливаний в 5 сосудах оказалось 3 литра, а в остальных 6, 7, 8, 9, 10?

Решение. Нельзя. Предложенная операция обладает полуинвариантом: при любом переливании число нечетных сосудов (содержащих нечетное число литров воды) не увеличивается. Количество таких сосудов уменьшается при переливании из нечетного сосуда в нечетный, а в остальных случаях не изменяется. Следовательно, переход 1, 2, … 10 - 3, 3, 3, 3, 3, 6,…,10 невозможен, поскольку увеличивает число нечетных сосудов.

Решения задач головоломок с использованием четности и нечетности чисел отличаются логической безупречностью и абсолютной обоснован-ностью выводов, которые требует знание на простейших свойств арифме-тических операций сложения и вычитания

Здесь действует следующие основные правила четности:

    Сумма четных слагаемых - четна.

    Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.

    Если сумма двух чисел - четное число, то и их разность тоже четное число.

    Если сумма двух чисел - нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.

    Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.

    Если один из множителей - четное число, то и произведение четно.

    Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.

Задача 8 . Четно или нечетно число 1+2+3+4+…+2000? Ответ: четно.

Задача 9. Верно ли равенство 1х2+2х3+3х4+…+99х100 = 20002007? Ответ: нет, сумма четных слагаемых всегда четна.

Задача 10 . .Определить на четность числа 3(х+1); х+х; х+х+2005, если х нечетное. Ответ: первое - четное, второе - четное, третье - нечетное.

Задача 11 . Можно ли квадрат размером 25х25 разрезать на прямоугольники 1х2? Ответ: нет, число 625 не делится на2.

Задача 12 . Можно ли соединить 13 городов дорогами, так чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог? Ответ: нет, каждую дорогу считаем дважды, поэтому общее количество дорог должно быть четным. В нашем случае их 13х5 =65.

Задача 13 . Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место? Ответ: нет, чтобы вернуться на старое место общее количество сантиметров должно быть четно, а сумма 1+2+3+…+25 нечетна.

Задача 14 . Можно ли организовать шахматный турнир между 15 шахматистами так, чтобы каждый сыграл по 15 партий? Ответ: нет, 15х15 нечетно.

Задача 15 . Может ли произведение суммы трех последовательных натуральных чисел на сумму трех следующих за ними натуральных чисел быть равным 33333? Ответ: нет, произведение должно быть четно, т.к. один из множителей четное число.

В заключении можно сказать, что применение идеи четности и нечетности позволяет учащимся опровержения тех фактов о которых спрашивается, и понять сходную логику с методом доказательства от противного. При самом распространенном ответе «не может» требуется объяснить почему именно этого не может быть. Если он говорит: «Может», то достаточно привести пример такого расклада, распределения или комбинации. Помимо прямых задач на четность и нечетность может включать в себя разбор близких по замыслу задач (на две противоположности), решаемых при помощи анализа отнесения объекта (или варианта) в ту или иную группу.

Литература

    Альхова З. Н., Макеева А. В. Внеклассная работа по математике. – Саратов: «Лицей», 2001.

    Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. - М.: Просвещение, 2003.

    Козлова Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Издание 2-е, испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2004.

4. Медников Л.Е.Четность.-М.:МЦНМО,2009.

5. Бабич О.А. Сценарий внеурочного занятия по математике(в рамках предметной лаборатории).7 класс.«Инвариант»,г.Холмск, 2015.

6. www.strategy48.ru/sites/default/files/fomina1.pdf

Аннотация

В этой статье рассматривается один из методов решения математических задач – метод инварианта, основанной на идеи четности и нечетности, а также специфика их при решении занимательных задач школьного курса математики.

Ключевые слова : инвариант, задача, идея, четность, число, правила, закномерность.

При синтезе дискретного фильтра по аналоговому прототипу необходимо преобразовать функцию передачи аналогового фильтра H(s) в функцию передачи дискретного фильтра H(z). Получающийся дискретный фильтр не может быть полностью идентичен аналоговому по своим характеристикам - хотя бы потому, что частотные характеристики дискретного фильтра являются периодическими. Можно говорить только об определенном соответствии характеристик аналогового и дискретного фильтров. Поскольку теория аппроксимации идеальных АЧХ аналоговыми средствами хорошо развита, методы синтеза дискретных фильтров по аналоговым прототипам получили широкое распространение.

В данном разделе мы рассмотрим два метода синтеза рекурсивных дискретных фильтров по аналоговым прототипам:

Метод инвариантных импульсных характеристик.

В основе этого - простейшего метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа.

Метод инвариантного преобразования ИХ предполагает расчет дискретного фильтра, ИХ которого представляет собой дискретизированную ИХ фильтра-прототипа. Дискретизация временной функции, как известно, приводит к тому, что спектр функции делается периодическим с периодом, равным частоте дискретизации. Поэтому при переходе от непрерывной ИХ к дискретной ИХ частотная характеристика фильтра начинает периодически повторяться со сдвигом, равным частоте дискретизации f 2 . Если частота f 2 установлена достаточно высокой в сравнении с характерными частотами ЧХ фильтра-прототипа, то тогда дискретный фильтр по своим свойствам будет соответствовать непрерывному фильтру-прототипу.

Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при t < 0, получим следующее выражение импульсной характеристики ЦФ:



{h k }=(h(0), h(Δ), h(2Δ)) (*)

Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным. Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ.

Частотная характеристика получаемого фильтра связана с частотной характеристикой аналогового прототипа точно так же, как спектр дискретизированного сигнала связан со спектром сигнала аналогового - периодическим повторением. Поэтому для получения хороших результатов при таком методе синтеза коэффициент передачи аналогового прототипа должен быть пренебрежимо малым на частотах, превышающих частоту Найквиста. Отсюда следует также, что этот метод подходит для создания ФНЧ и полосовых фильтров, но непригоден для синтеза ФВЧ и режекторных фильтров.

В качестве примера синтезируем методом инвариантной импульсной характеристики ФНЧ Чебышева 2-го порядка с частотой среза 10 кГц, причем специально выберем недостаточно высокую частоту дискретизации (48 кГц), чтобы хорошо видеть эффекты, связанные с наложением сдвинутых копий спектра (рис. 6.2):

Рис. 6.2. АЧХ аналогового прототипа (пунктир) и дискретного фильтра (сплошная линия), синтезированного методом инвариантной импульсной характеристики

На рисунке хорошо видно, что из-за недостаточно высокой частоты дискретизации коэффициент передачи аналогового фильтра на частоте Найквиста недостаточно мал, что обусловливает заметные искажения формы АЧХ синтезированного дискретного фильтра. Повышение частоты дискретизации позволяет сделать эти искажения пренебрежимо малыми.

Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации Δ . При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции H(z) замену переменной по формуле z=exp(jωΔ), и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.

Пример

Рассмотреть синтез трансверсального цифрового фильтра, подобного динамической системе 1-го порядка (например, интегрирующей RC-цепи) с импульсной характеристикой вида

(несущественный для задачи синтеза амплитудный множитель в импульсной характеристике положен равным единице).

Пусть импульсная характеристика апроксимируется последовательностью из трех равноотстоящих отсчетов:

Трансверсальный ЦФ с такой импульсной характеристикой описывается разностным уравнением

Применив z-преобразование к последовательности , находим системную функцию ЦФ

откуда частотный коэффициент передачи

Пример

Рассмотреть случай, когда импульсная характеристика аналоговой цепи аппроксимируется бесконечной дискретной последовательностью

()

Выполнив z-преобразование импульсной характеристики (), получим системную функцию

()

Данной системной функции отвечает рекурсивный ЦФ 1-го порядка, содержащий, помимо сумматора, один масштабный блок и один элемент задержки.

Частотный коэффициент передачи фильтра

Метод инвариантных частотных характеристик (билинейного преобразования).

Принципиально невозможно создать ЦФ, частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис.).

Рис. . Амплитудно-частотные характеристики фильтров:

а - аналогового; 6 - цифрового

Говоря о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот ω а , относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот ω ц цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству

-π/Δ<ω ц < π/Δ

при сохранении общего вида АЧХ.

Пусть K а (p) - передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты р . Если воспользоваться связью между переменными z и р:

z = exp(pΔ) ,

то можно записать

p = (1/ Δ) ln z (чч)

Однако с помощью этого закона связи нельзя получить физически реализуемую системную функцию ЦФ, поскольку подстановка (чч) в выражение Ks(p) приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного двух многочленов. Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от z, которая обладала бы основным свойством преобразования (чч), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости z, в точки мнимой оси на плоскости р.

Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида

устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в z-плоскости со всей мнимой осью в р-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем. Пусть в (15.97) выполнена замена переменной

z = exp(j ω ц Δ), .

откуда вытекает соотношение между частотными переменными соа и соц аналоговой и цифровой систем:

(15.98)

Если частота дискретизации достаточно велика (ω ц Δ <<1), то, как легко видеть из формулы (15.98), . Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают. В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (15.98).

Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том, что в функции Кл(р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (15.97). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации.

Пример

Синтезировать цифровой фильтр с частотной характеристикой, подобной характеристике аналогового ФНЧ. Частота среза для ЦФ ω сц = 1500 с -1 . Частота дискретизации ω д = 10000 с -1 .

Прежде всего определяем шаг дискретизации

Для получения дискретного фильтра с заданными частотами среза необходимо скорректировать частоты среза аналогового прототипа, чтобы компенсировать искажения частотной оси. Так, для синтеза дискретного ФНЧ с частотой среза се>од аналоговый фильтр-прототип должен иметь частоту среза Юо а, связанную с со 0 д следующим образом:

По формуле (15.98) находим частоту среза аналогового фильтра, подобного синтезируемому ЦФ:

Передаточная функция аналогового ФНЧ

К а (р)

Выполнив в замену переменной вида (15.97), находим системную функцию ЦФ:

Рис. 60. Амплитудно-частотные характеристики фильтра-прототипа (1} и синтезированных БИХ-фильтров (2-5)

Сравнивая кривые 1 и 2, видим, что наложение спектров, характерное для дискретного фильтра(инвар мет), приводит к ухудшению вида АЧХ фильтра в сравнении с фильтром-прототипом. Однако это ухудшение будет тем меньше, чем больше отношение частоты дискретизации f 2 =1/T 2 к частоте среза фильтра f c . В данном случае f 2 /fс=10 . Если, например, выбрать f 2 /f c =20 , то тогда получим для дискретного фильтра АЧХ, представленную кривой 3 на рис. 60. Эта кривая заметно ближе к кривой 1 (АЧХ фильтра-прототипа), чем кривая 2.

Из сравнения АЧХ дискретного БИХ-фильтра, рассчитанного методом инвариантного преобразования ИХ (кривые 2 и 3 на рис. 60), и БИХ-фильтра, найденного методом билинейного преобразования (кривая 4), видно, что второй метод дает меньшие значения АЧХ в полосе заграждения. Это объясняется отсутствием здесь эффекта наложения спектров, характерного для метода инвариантного преобразования ИХ.

Вместе с тем сравнение кривых 1 и 4 на рис. 60 дает основание сделать вывод, что метод билинейного преобразования приводит к некоторому изменению масштаба по оси частот: у дискретного фильтра спад АЧХ наступает раньше, чем у непрерывного фильтра-прототипа. Соотношение между частотой f непрерывного фильтра и частотой f n дискретного фильтра можно найти из равенства (330)

Итак, метод инвариантного преобразования импульсной характеристики сохраняет масштаб графика АЧХ по горизонтальной оси (оси частот), но дает искажения по вертикальной оси вследствие эффекта наложения. Что же касается метода билинейного преобразования, то здесь картина обратная: по вертикальной оси график не искажается, но происходит деформация графика на горизонтальной оси. Зная характер этой деформации, можно заранее внести соответствующие изменения в ЧХ фильтра-прототипа для того, чтобы получить желаемый результат.

Метод инварианта цикла является частным случаем метода итераций.

Задается некоторое множество величин М, Р М – подмножество результатов. Надо найти точку х  Р. Для этого выделим множества I M и Q M причем такие, что   I  Q  P. Таким образом, наша задача сводится к нахождению точки, которая будет принадлежать пересечению этих множеств. Причем использовать будем только такие преобразования, которые не выходят из I, то есть в нашем случае принадлежность точки множеству I является инвариантом (величиной неизменной).

Пусть x0  I – начальная точка.

Т:I\QI – преобразование инвариантно относительно принадлежности точки множеству I.

Иллюстрация к вышесказанному:

Под действием преобразования Т точка х0 переходит в некоторую точку х1, принадлежащую множеству I. Точка х1, в свою очередь, переходит в точку х2, также принадлежащую I. Этот процесс продолжается пока некоторая точка хN не перейдет в точку принадлежащую некоторому множеству Q, которое выбрано так чтобы его пересечение с I содержалось в P. Полученная точка с одной стороны принадлежит Q, а с другой принадлежит I, в силу инвариантности преобразования Т относительно I.

Схема программы:

while not q(x) do

{x  IQ  P}

Напишем программу иллюстрирующую вышеописанный метод, которая будет обеспечивать возведенее числа в целую положительную степень.

Type _Real = single;

function power (x: _Real; n: _Unsign ): Real;

{х - основание, n – показатель. Подпрограмма обеспечивает возведение в степень }

while n > 0 do {z*x n - инвариант}

if odd(n) then {проверка нечетности}

dec(n); {n:=n-1}

n:= n chr 1; {n:= n div 2}

Докажем, что данная программа завершится за конечное число шагов. Подпрограмма завершает свою работу когда z = x n , т.е. пердназначена для возведения х в n – ую степень. Число повторений равно количество “0” + 2*количество “1” –1 в двоичной записи числа n <= 2*количество значащих цифр – 1 в двоичной записи = 2*]log 2 n[ - 1. При этом данная программа будет очень эффективна.

Метод инвариантной функции.

Метод инвариантной функции является частным случаем метода инварианта цикла.

В данном случае х = х0 и необходимо вычислить f(x0). При этом

I = {множество x | f(x) = f(x0)}

P = {множество x | f(x) вычисляется легко}.

Построим преобразование Т – инвариантное относительно I, а в качестве условия окончания примем само значение P (Q = P).

Схема программы:

x:= x0; {x  I}

while not p(x) do

begin {x  I\P}

x:= T(x); {x  I}

end; {x  P  I}

Для доказательства правильности достаточно доказать, что цикл выполнится за конечное число шагов.

Напишем программу иллюстрирующую данный метод.

Пусть x = (a, b), а f(x) = Н.О.Д.(a, b). Необходимо вычислить Н.О.Д.(a, b).

В данной программе будет использоваться тот факт, что делитель двух чисел

будет являться делителем их разности.

a:= a0; b:= b0; {>=0}

while (a>0) and (b>0) do

if a>b then a:= a - b

else b:= b – a;

result:= a+b; { условием выхода из цикла является равенство 0 либо a, либо b, поэтому сумма этих чисел будет нам давать то из чисел которое не равно 0 }

Процедура перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам называется методом инвариантности импульсной характеристики.

Рис. 12.9. Процедура расчета по методу инвариантности импульсной характеристики. (см. скан)

Эта процедура устанавливает, что импульсная характеристика результирующего цифрового фильтра представляет собой выборки импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра и определяется следующим образом:

где Т - интервал дискретизации. Процедура проектирования по этому методу показана на рис. 12.9.

Для иллюстрации метода инвариантности импульсной характеристики

разложим передаточную функцию исходного аналогового фильтра на простые дроби

где полагаем, что а все полюсы различны. Кроме того, для каждого представляет собой полюс аналогового фильтра, а - вычет функции в полюсе Импульсную характеристику аналогового фильтра можно получить, осуществив обратное преобразование Лапласа уравнения (12.29), которое дает

где представляет собой единичную ступенчатую последовательность. Подставив выражение (12.30) в формулу (12.28), получаем импульсную характеристику соответствующего цифрового фильтра

где единичная ступенчатая последовательность. Передаточная функция результирующего цифрового фильтра определяется путем нахождения -преобразования импульсной характеристики, заданной выражением (12.31), следующим образом:

Сравнивая выражения (12.29) и (12.32), получаем соотношение перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам для метода инвариантности импульсной характеристики, которое имеет вид

Полюс цифрового фильтра, соответствующий полюсу аналогового фильтра

Пример 12.2. Исходный аналоговый фильтр обладает следующей передаточной функцией:

Решение. Запишем функцию в виде простых дробей

Из уравнений (12.33) следует, что имеет вид

где Т - интервал дискретизации. Упрощая выражение (12.36 а), получаем

Пример 12.3. Нормированный фильтр Чебышева нижних частот второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 3 дБ имеет передаточную функцию вида

Найти - передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра с помощью метода инвариантности импульсной характеристики.

Решение. Записывая функцию в виде сомножителей, получаем

Применение уравнений (12.33) к полученному соотношению дает

Для с из уравнения (12.39) следует, что

Рис. 12.10. Амплитудно-частотные характеристики фильтра Чебышева второго порядка с неравномерностью 3 дБ. аналоговый фильтр, - цифровой фильтр, цифровой фильтр

Амплитудно-частотные характеристики функций, заданных выражениями (12 40) и (12.41), приведены на рис. 12 10

Напомним, что периодическая функция переменной 0 с периодом - непериодическая Основное различие в свойствах аналоговых и цифровых фильтров состоит в том, что амплитудно-частотные характеристики результирующего цифрового фильтра будут отклоняться от характеристик исходного аналогового фильтра в тех участках, где характеристическая кривая достигает точек или - интервал дискретизации. Если интервал дискретизации достаточно мал, то отклонение начнется в точке, близкой к . В противном случае отклонение начнется значительно раньше. Подходящий случай показан на рис. 12.10. Следует отметить, что частоты среза цифровых фильтров расположены в точках

где использована информация о частоте среза аналогового фильтра Эти частоты среза повторяются согласно следующему соотношению:

Поскольку импульсная характеристика цифрового фильтра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характеристики, является фактически дискретизированным аналогом импульсной характеристики аналогового фильтра частотная характеристика цифрового фильтра представляет собой наложенный вариант частотной характеристики аналогового фильтра, как установлено в соотношении (11.115), и для удобства приводится здесь еще раз:

Если скорость дискретизации достаточно высока, то эффект наложения минимален. На рис. 12.10 для с показано, что эффект наложения, который проявляется в виде отклонения частотных характеристик аналоговых и цифровых фильтров, при трудно различим. Однако при недостаточно высокой скорости дискретизации, например для случая (рис. 12.10), начинает оказывать влияние эффект наложения, так как видно, что заметно отличается от Подставляя в уравнения (12.43), получаем

Следует отметить, что уравнения (12.44) устанавливают соотношение между передаточными функциями цифрового и соответствующего аналогового фильтра для случая инвариантности их импульсных характеристик.

Для исследования характеристик при методе инвариантности импульсной характеристики на соответствие двум необходимым

условиям процедуры перехода (12.10) рассмотрим соотношение

и, следовательно,

Из рис. 12.11 следует, что горизонтальная полоса с шириной в s-плоскости отображается во всю -плоскость, т. е. левая и правая половины этой полосы отображаются соответственно в части -плоскости внутри и вне единичной окружности, а мнимая ось - в единичную окружность. Из рис. 12.11 можно установить, что источник эффекта наложения вызывается тем, что переход (12.45) не однозначен. Например, точки отображаются в одну точку Фактически соотношения (12.45) устанавливают, что аналоговая передаточная функция в каждой полосе шириной накладывается на всю -плоскость для формирования цифровой передаточной функции. Таким образом, метод инвариантности импульсной характеристики не является простым линейным или подобным отображением из s-плоскости в -плоскость. Из-за эффекта наложения метод инвариантности импульсной характеристики применим только для фильтров с существенно ограниченной аналоговой частотной характеристикой, которая удовлетворяет условию

т. е. в случаях фильтров нижних частот и полосовых.

Как было показано, процедура перехода на основе метода инвариантности импульсной характеристики задается уравнениями (12.33), которые устанавливают, что расположение полюсов аналогового фильтра отображается в следующее размещение:

Таким образом, соотношения (12.45) устанавливают связь между размещениями полюсов аналогового и цифрового фильтров. Однако абсолютно неверно утверждение, что соотношения

(кликните для просмотра скана)

Рис. 12.12. Диаграммы полюсов и нулей фильтра Лернера второго порядка: а - вариант аналогового фильтра, б - вариант цифрового фильтра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характеристики.

(12.45) определяют связь между расположениями нулей цифрового и аналогового фильтров при инвариантности импульсных характеристик. Подходящим примером является следящий.

Пример 12.4. Задана передаточная функция аналогового фильтра

где Найти расположение нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного на основе инвариантности импульсной характеристики. Решение. Разложение функции на простые дроби дает

Передаточная функция соответствующего цифрового фильтра задается согласно (12.33) в виде

Из уравнения (12.50) местоположение конечного нуля цифрового фильтра определяется как

где - расположение нуля аналогового фильтра. Однако полюсы цифрового фильтра расположены следующим образом:

где расположение полюсов аналогового фильтра. Диаграмма размещения полюсов и нулей аналогового и соответствующего ему цифрового фильтров приведена на рис. 12.12.

Как было установлено, уравнения (12.33) применимы как к вещественным, так и к комплексным полюсам Однако для комплексного полюса более удобно рассматривать вместе пару полюсов где черта над переменной используется Для обозначения комплексно-сопряженной величины. Применяя соответственно уравнения (12.33), получим пары преобразований для следующих двух случаев второго порядка:

1. Если передаточная функция аналогового фильтра задана в виде

где полюсы расположены в точках

то передаточная функция соответствующего цифрового фильтра имеет вид

2. Если функция задана в виде

то из процедуры перехода (12.33) следует, что

Пример 12.5. Аналоговый фильтр Баттерворта нижних частот третьего порядка характеризуется следующей передаточной функцией:

Найти передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра Баттерворта третьего порядка с помощью метода инвариантности импульсной характеристики,

Решение. Функцию можно записать в виде

Из уравнений (12.33), (12.53)-(12.56) требуемый цифровой фильтр имеет следующую передаточную функцию:

Пример 12.6. Предположим, что цифр свой фильтр нижних частот должен удовлетворять следующим условиям:

а) Частота среза по уровню 3 дБ составляет рад.

б) Неравномерность амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания не более 0,1 дБ для рад.

в) Затухание в полосе задерживания больше 30 дБ для рад.

г) Амплитудно-частотная характеристика имеет монотонно спадающий вид для

д) Интервал дискретизации

Найти передаточную функцию требуемого цифрового фильтра.

Решение. На первом этапе необходимо перевести эти цифровые критерии в аналоговые. Это можно осуществить, учитывая, что, если Т удовлетворяет критерию Найквиста, уравнения (12 43) приближенно приводятся к виду

и, следовательно,

Согласно соотношению (12.606), искомый аналоговый фильтр должен удовлетворять следующим требованиям:

а) Частота среза по уровню 3 дБ составляет