В обычный день над пустынной равниной или над морем электрический потенциал по мере подъема возрастает с каждым метром примерно на . В воздухе имеется вертикальное электрическое поле величиной . Знак поля отвечает отрицательному заряду земной поверхности. Это означает, что на улице потенциал на уровне вашего носа на выше, чем потенциал на уровне пяток! Можно, конечно, спросить: «Почему бы не поставить пару электродов на воздухе в метре друг от друга и не использовать эти для электрического освещения?» А можно и удивиться: «Если действительно между моим носом и моей пяткой имеется напряжение , то почему же меня не ударяет током, как только я выхожу на улицу?»

Сперва ответим на второй вопрос. Ваше тело - довольно хороший проводник. Когда вы стоите на земле, вы вместе с нею образуете эквипотенциальную поверхность. Обычно эквипотенциальные поверхности параллельны земле (фиг. 9.1, а), но когда на земле оказываетесь вы, то они смещаются, и поле начинает выглядеть примерно так, как показано на фиг. 9.1, б. Так что разность потенциалов между вашей макушкой и пятками почти равна нулю. С земли на вашу голову переходят заряды и изменяют поле вокруг вас. Часть из них разряжается ионами воздуха, но ионный ток очень мал, ведь воздух плохой проводник.

Фигура 9.1. Распределение потенциала: а - над землей; б - около человека, стоящего на ровном месте.

Как же измерить такое поле, раз оно искажается от всего, что в него попадает? Имеется несколько способов. Один способ - расположить изолированный проводник на какой-то высоте над землей и не трогать его до тех пор, пока он не приобретет потенциал воздуха. Если подождать довольно долго, то даже при очень малой проводимости воздуха заряды стекут с проводника (или натекут на него), уравняв его потенциал с потенциалом воздуха на этом уровне. Тогда мы можем опустить его к земле и измерить изменение его потенциала. Другой более быстрый способ - в качестве проводника взять ведерко воды, в котором имеется небольшая течь. Вытекая, вода уносит излишек заряда, и ведерко быстро приобретает потенциал воздуха. (Заряды, как вы знаете, растекаются по поверхности, а капли воды - это уходящие «куски поверхности».) Потенциал ведра можно измерить электрометром.

Имеется еще способ прямого измерения градиента потенциала. Раз существует электрическое поле, то должен быть и поверхностный заряд на земле (). Если мы поместим у поверхности земли плоскую металлическую пластинку и заземлим ее, то на ней появятся отрицательные заряды (фиг. 9.2, а). Если затем прикрыть пластинку другой заземленной проводящей крышкой , то заряды появятся уже на крышке , а на пластинке исчезнут. Если мы измерим заряд, перетекающий с пластинки на землю (скажем, с помощью гальванометра в цепи заземляющего провода) в тот момент, когда закрывают крышкой, то мы найдем плотность поверхностного заряда, бывшего на , а значит, и электрическое поле.

Рассмотрев способы измерения электрического поля в атмосфере, продолжим теперь его описание. Измерения прежде всего показывают, что с увеличением высоты поле продолжает существовать, только становится слабее. На высоте примерно поле уже еле-еле заметно, так что большая часть изменения потенциала (интеграла от ) приходится на малые высоты. Вся разность потенциалов между поверхностью земли и верхом атмосферы равна почти .

Фигура. 9.2. Заземленная металлическая пластинка обладает тем же поверхностным зарядом, что и земля (а); если пластинка прикрыта сверху заземленным проводником, на ней заряда нет (б).

Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению положительного единичного точечного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х 2 -х 1 =dх, равна Exdх . Та же работа равна . Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор Е:

где i, j, к - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента (12.4) и (12.6), следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определится тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля,как и в случае поля тяготения (см. § 25), пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал φ имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно (84.5),

. Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы ^разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше.

Электрическое поле характеризуется тем, что работа перемещения заряда в поле не зависит от пути перехода из начального положения и является функцией только начального и конечного положений. Работа перемещения заряда по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Из этих фактов следует, что электростатическое поле носит потенциальный характер и характеризуется особой величиной –
потенциалом . Величина

Где W р – потенциальная энергия заряда q , называется потенциалом поля в данной точке и используется наряду с напряженностью поля для описания электрических полей.

Как следует из приведенной формулы, потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

В то время, как напряженности поля складываются при наложении полей векторно, потенциалы складываются алгебраически. По этой причине вычисление потенциалов проще, чем вычисление напряженностей поля.

Из (12) вытекает, что заряд q , находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной энергией

Следовательно, работа сил над зарядом q может быть выражено через разность потенциалов

Таким образом, работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках .

Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на бес­конечность, где по условию потенциал равен нулю, то работа сил поля равна

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при уда­лении его из денной точки на бесконечность.

Последнее соотношение модно использовать для установления еди­ниц измерения потенциала. За единицу потенциала следует принять потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из беско­нечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу, равную единице. Так, за СИ - единицу потенциала, называе­мую вольтом (В), принимается потенциал в такой точке, для переме­щения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1Дж: 1Дж= 1Кл*1В.

Отсюда 1В =1Дж/1Кл.

Эквипотенциальные поверхности .

Для наглядного изображения поля можно вместо линий напряженнос­тей воспользоваться поверхностями равного потенциала или эквипо­тенциальными поверхностями.

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью.

Если потенциал задан как функция X, Y, Z , то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

(x,y,z) = const.

Эти поверхности проводятся в пространстве таким образом, чтобы численное значение потенциала на двух соседних поверхностях от­личалось повсюду на одинаковую величину ∆ (например на I В).

В качестве примера рассмотрим эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда . Отсюда следует, что при r = const т.е. поверхности равного потенциала будут концентрическими сферами, описанными вокруг источника поля на возрастающих расстояниях друг от друга, как это показано на рис.4.

Проведем на рис.4 линии напряженности поля. Эти линии выходят из точечного заряда и направ­лены вдоль радиусов, т.е. перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям.

Эта взаимная перпендикулярность линий поля и эквипотенциальных поверхностей остается справедливой и для сколь угодно сложных электро­статических полей.

Градиент потенциала. Связь между напряжен­ностью и потенциалом.

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины , либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что пропорционально силе, действующей на заряд, а - потенциальной энергии заряда, легко сообра­зить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенци­альной энергией и силой. .

Работа сил поля над зарядом q на отрезке пути dl мо­жет быть представлена с одной стороны, как

где - проекция вектора напряженности на направление элемен­тарного перемещения с другой стороны, как убыль потенциальной энергии заряда, т.е. - . Приравнивая эти выражения, получим: , откуда находим, что , где через l обозначено произвольно выбранное направление в пространстве.

Г.М. Казаков

Тепломассообмен

Утверждено редакционно-издательским

советом университета в качестве

учебного пособия

Нижний Новгород - 2016

Казаков Г.М. Тепломассообмен: Учебное пособие. – Н.Новгород: Нижегород. гос. архит.-строит. ун-т, 2016. – 93 с.

ISBN 5-87941-412-4

В пособии дан теоретический подход к решению широкого круга задач тепломассообмена: перенос теплоты через однослойные и многослойные стенки различной геометрической формы, теория подобия процессов и явлений, определение коэффициентов теплоотдачи при конвективном теплообмене. Подробно рассмотрены вопросы тепломассообмена при фазовых превращениях. В пособии показаны особенности лучистого теплообмена между твердыми телами, излучение и поглощение чистых газов и пламени, а также рассмотрены инженерные методы расчета теплообменных аппаратов.

Пособие может быть полезно для преподавателей и студентов теплоэнергетических специальностей.

ISBN 5-87941-412-4

© Казаков Г.М., 2016

© ННГАСУ, 2016

Введение

Теория переноса теплоты и массы вещества является одним из важнейших разделов современной науки. Она имеет большое практическое значение в самых разнообразных областях техники: в станционной и промышленной энергетике, технологических процессах химической и металлургической промышленности, строительной индустрии и коммунальном хозяйстве. Особенно большое значение проблема тепломассообмена имеет для новых областей техники, в частности, для ядерной энергетики и космической техники. Научной основой многих теплоэнергетических, энерготехнологических и химико-технологических процессов является теория тепломассообмена. Она включает в себя комплекс научных знаний из гидродинамики сплошных сред, молекулярной физики, термодинамики, уравнений математической физики, физико-химических поверхностных явлений дисперсных сред. Молекулярно-кинетическая теория явлений тепломассообмена очень сложна и недостаточно разработана. Поэтому современная теория тепломассообмена в основном феноменологическая, базирующаяся на гидродинамике и термодинамике сплошных сред.

Пособие построено на базе теории переноса любых субстанций. Это позволяет студентам четко понять отличие задач не связанного тепломассообмена от более сложных задач связанного тепломассообмена. Так как математическая формулировка не связанных друг с другом процессов переноса теплоты и массы идентична, то это позволяет ограничиться более подробным изложением задач переноса теплоты.

Пособие «Тепломассообмен» предназначено для заочников дистанционной формы обучения, но может быть рекомендовано и для студентов очной формы обучения по теплоэнергетическим специальностям.

Основные положения учения о процессах переноса тепловой энергии и массы в пространстве

Основные понятия и определения

Перенос любой субстанции (энергии, массы, количества движения, электрического заряда) может происходить как микроскопическим (не види-мым хаотическим тепловым движением микрочастиц), так и макроскопическим (видимым, связанным с движением массы вещества) способами. В первом случае, когда среда неподвижна, перенос массы какого-либо компонента смеси называют диффузией, а перенос тепловой энергии – теплопроводностью. Во втором случае при видимом движении самой среды, которое происходит за счет внешних сил, перенос массы и тепловой энергии называют соответственно конвекцией массы и конвекцией тепла. Различают два вида конвекции: свободную (естественную) и вынужденную. В конвекции первого вида движущая сила обусловлена неоднородностью плотности среды, связанная с неоднородностью температуры, в поле массовой силы (гравитационной, центробежной, электромагнитной). Подогретые объемы среды, имея малую плотность, «всплывают» в охлажденных объемах. При вынужденной конвекции перемещение среды в пространстве осуществляют насосами, вентиляторами и т.д. Совместный перенос массы или тепловой энергии микроскопическим и макроскопическими способами называют соответственно конвективным массо-переносом и конвективным теплопереносом. Движущую среду независимо от агрегатного состояния принято называть жидкостью, которая может быть одно- и многокомпонентной. Конвективный перенос тепла на границе движущейся жидкости и твердой неподвижной стенки называют теплоотдачей. Конвек-тивный перенос массы какого-либо компонента текущей жидкости на границе с твердой неподвижной стенкой называют массоотдачей. Перенос тепла от одной движущейся жидкости к другой движущейся жидкости через разделяющую их твердую неподвижную стенку называют теплопередачей. Таким образом, теплопередача включает в себя теплоотдачу на обеих поверхностях стенки и теплопроводность в самой стенке. Аналогично перенос массы какого-либо компонента движущейся смеси к другой движущейся смеси через разделяющую их твердую неподвижную стенку называют массопередачей. Массопередача включает в себя массоотдачу на обеих поверхностях стенки и диффузию какого-либо компонента в самой стенке.

Перенос тепла может происходить в области глубокого вакуума при исчезающе малом молекулярном содержании вещества. Перенос тепла в этом случае производится фотонами, испускаемыми одними телами и поглощаемыми другими, и называется лучистым теплообменом. При этом по закону эквивалентности массы и энергии переносится и масса. Однако в обычных технических случаях этот перенос массы ничтожно мал по сравнению с лучистым переносом массы, например, при солнечном и звездном излучении.

В общем случае тепло- и массообмен может происходить одновременно. В других случаях их можно рассматривать раздельно либо пренебречь одним из них. Теплообмен может происходить одновременно: и теплопроводностью, и путем переноса тепла движущимся веществом, и излучением. Аналогично массообмен может происходить одновременно: и диффузией какого-либо компонента смеси, и путем переноса этого компонента движущимся веществом. Весьма часто удается выделить и изучить какой-либо частный случай переноса тепла или массы.

Если известны, например, скорость w и температура T в любой точке потока жидкости, а плотность r и удельная массовая теплоемкость с р ее постоянны, то элементарное количество массы, протекающее в единицу времени через элемент dF произвольной поверхности, равно

,

где – единичный вектор, нормальный к элементарной поверхности dF.

Интегрируя это выражение по всей поверхности, получим поток массы, переносимый конвекцией

, (кг/с). (1.1)

Плотность потока массы равна

, (кг/м 2 с). (1.2)

Элементарное количество тепла, переносимое в единицу времени через элемент произвольной поверхности dF, составляет

Интегрируя по всей поверхности, получим поток тепла, переносимый конвекцией

, (вт). (1.3)

Плотность потока тепла в этом случае равна

, (вт/м 2). (1.4)

Поле потенциала. Градиент потенциала

Под потенциалом понимают любую величину, неоднородность которой в пространстве приводит к микроскопическому переносу соответствующей субстанции. Весьма часто его выбирают, исходя из соображений удобства. Например, в случае теплопроводности неоднородными в пространстве будут температура, удельная внутренняя энергия и удельная энтальпия. Однако в качестве потенциала выбирают температуру, поскольку она как функция координат не претерпевает разрыва непрерывности на границе, например, разнородных материалов. Тогда как удельные внутренняя энергия и энтальпия на этой границе как функции координат имеют разрыв непрерывности.

Под полем потенциала понимают совокупность значений потенциала во всех точках изучаемой области для любого момента времени. Если в качестве потенциала выбирают температуру, концентрацию компонента смеси, скорость течения жидкости и т.д., то соответственно речь идет о поле температур, поле концентраций, поле скоростей и т.д. Геометрическое место точек одинаковых потенциалов в потенциальном поле образует изопотенциальные поверхности. Например, в температурном поле ими являются изотермические поверхности. Изопотенциальные поверхности не могут пересекаться. В противном случае в точках пересечения имело бы место несколько потенциалов, что физически абсурдно. Различают нестационарные и стационарные поля потенциалов. Если поле зависит от времени, оно нестационарное. Например, нестационарные поля температур и скоростей течения жидкости в декартовой системе координат имеют вид

T = T(x,y,z,t),

как видно, одно из полей скалярное, а другое векторное.

Соответственно стационарные поля можно записать в виде

;

Различают трехмерные, двухмерные и одномерные соответственно нестационарные или стационарные поля потенциалов. Выше представлены соответственно нестационарные и стационарные трехмерные поля температур и скоростей, так как под знаком функции присутствуют три координаты. Например, нестационарные одномерные поля температур и скоростей течения жидкости в декартовой системе координат имеют вид

Соответственно стационарные одномерные поля можно записать в виде

).
Рис. 1.16 :
Работа при перемещении единичного заряда из точки 1 в точку 2 равна E x d x . Та же работа равна ϕ 1 − ϕ 2 = − d ϕ . Приравнивая оба выражения, получим d ϕ = − e x d x . Аналогичное рассуждение применимо для осей Y и Z . В результате находим все три компоненты вектора E → :

Она явно формула показывает несущественность аддитивной постоянной в определении потенциала: константа просто не влияет на результат дифференцирования.

Можно дать инвариантное определение градиента, которое будет верно в произвольной криволинейной системе координат. Градиент функции ϕ (r →) есть вектор, направленный в сторону максимального возрастания функции, а его длина равна производной функции в том же направлении. Чтобы пояснить смысл такого определения, проведем из произвольной точки r → в каком-либо направлении единичный вектор s → . Проекция вектора A → ≡ grad ϕ на это направление есть A s = s → ⋅ A → = s → ⋅ grad ϕ . Но та же величина равна производной A s = ∂ ϕ ∕ ∂ s функции ϕ по направлению s → . В этом легко убедиться, проведя координатную ось в направлении вектора s → и повторив рассуждения начала параграфа. Таким образом,

∂ ϕ ∂ s = s → ⋅ grad ϕ .

Производная функции в каком-либо направлении равна проекции градиента этой функции на то же направление. Ясно, что эта производная максимальна, когда это направление совпадает с направлением градиента.

▸ Задача 8.1

Вычислить ковариантные и контравариантные компоненты толя точечного заряда в произвольной криволинейной системе координат. Выразить физические компоненты толя точечного заряда в произвольной ортогональной системе координат через коэффициенты Ламэ.

Решение: Пусть x j — контравариантные координаты. Ковариантые компоненты E j = − ∂ ϕ ∕ ∂ x j вектора E → в этой системе координат находим по формуле

E j = − ∂ ∂ x j q r = q r 2 ∂ r ∂ x j .

Контравариантные компоненты E j находим по формуле

E j = g j k E k ,

гдепо паре повторяющихся индексов подразумевается суммирование. Напомним, что

G j k = ∂ r → ∂ x j ⋅ ∂ r → ∂ x k

есть метрический тензор, через который выражается элемент длины:

(d r →) 2 = g j k d x j d x k .

Тензор g j k является обратным к нему:

G j k g k l = δ l j .

В ортогональной системе координат элемент длины выражается через коэффициенты Ламэ:

(d r →) 2 = (h 1 d x 1) 2 + (h 2 d x 2) 2 + (h 3 d x 3) 2 ,

а метрический тензор диагонален:

G j k = h 1 2 0 0 0 h 2 2 0 0 0 h 3 2 .

Обратный ему тензор также диагонален:

G j k = (g j k) − 1 = 1 ∕ h 1 2 0 0 0 1 ∕ h 2 2 0 0 0 1 ∕ h 3 2 .

Физические компоненты векторов определены в ортогональной системе координат, как среднее геометрическое произведения ковариантных и контравариантных компонент:

E h 1 = E 1 E 1 = E 1 ∕ h 1 , E h 2 = E 2 E 2 = E 2 ∕ h 2 , E h 3 = E 3 E 3 = E 3 ∕ h 3 . ▸ Задача 8.2

Записать толе точечного заряда в сферической и цилиндрической системах координат.

Решение: В сферической системе координат (r , θ , α) с центром в месте нахождения заряда отлична от нуля только первая ковариантная компонента вектора поля: E 1 = q ∕ r 2 , так как ϕ = q ∕ r не зависит от θ и α . Из всех коэффициентов Ламэ ( h 1 = 1 , h 2 = r , h 3 = r sin θ ) именно h 1 равен 1, поэтому ковариантная, контравариантная и физическая компоненты все равны друг другу: E 1 = E 1 = E r = q ∕ r 2 .

В цилиндрической системе координат (ρ , α , z) также с центром в месте нахождения заряда имеем: h 1 = 1 , h 2 = ρ , h 3 = 1 , r = ρ 2 + z 2 . Дифференцируя ϕ = q ∕ r , вычисляем ковариантные компоненты поля, и затем вновь приходим к выводу, что соответствующие ковариантная, контравариантная и физическая компоненты все равны: E ρ = (q ∕ r 2) (ρ ∕ r) , E α = 0 , E z = (q ∕ r 2) (z ∕ r) .