Система оценивания на ЕГЭ по математике профильного уровня существенно сложнее. Во-первых, экзаменационные задания имеют разную "цену". Задания из первой части (с кратким ответом) наиболее "дешевы"; самыми "дорогими" являются последние две задачи (уравнение или неравенство с параметром и задача по теории чисел).
В 2016 году идеальное решение всех девятнадцати заданий может принести 32 первичных балла . Максимальное количество баллов уменьшилось по сравнению с 2015 годом на два, поскольку в первой части теперь предлагается не 14, а 12 заданий.
Первичные баллы переводятся в тестовые баллы . Шкала перевода незначительно изменяется от года к году. Ниже приведена таблица, которая использовалась на ЕГЭ по математике в 2015 году. Обратите внимание: соответствующая функция сильно отличается от линейной: быстрый рост в области низких оценок сменяется более плавным в середине шкалы.
ЕГЭ по математике (профильный уровень). Шкала перевода первичных баллов в тестовые баллы
Первичный балл | Тестовый балл |
0 | 0 |
1 | 5 |
2 | 9 |
3 | 14 |
4 | 18 |
5 | 23 |
6 | 27 |
7 | 33 |
8 | 39 |
9 | 45 |
10 | 50 |
11 | 55 |
12 | 59 |
13 | 64 |
14 | 68 |
15 | 70 |
16 | 72 |
17 | 74 |
18 | 76 |
19 | 78 |
20 | 80 |
21 | 82 |
22 | 84 |
23 | 86 |
24 | 88 |
25 | 90 |
26 | 92 |
27 | 94 |
28 | 96 |
29 | 97 |
30 | 98 |
31 | 99 |
32 | 100 |
33 | 100 |
34 | 100 |
Для поступления в ВУЗ необходимо набрать минимум 27 баллов (т. е., решить 6 простейших заданий из первой части). Естественно, поступление в серьезные учебные заведения требует существенно более высоких результатов.
Хотелось бы еще раз подчеркнуть: приведенная таблица - лишь ориентир! При выставлении тестового балла учитывается не только количество первичных баллов, но и относительная сложность решенных задач, а также количество школьников, справившихся с тем или иным заданием. Таким образом, окончательная "формула" перевода баллов будет известна лишь после сдачи ЕГЭ - 2016 по математике всеми выпускниками.
Найдите все значения параметра а, при которых система имеет ровно два решения.
Первое уравнение системы перепишем иначе, выделив квадраты двучленов:
Первое слагаемое есть расстояние между точками (x; y) до точки А(-1; 2).
Второе слагаемое есть расстояние между точками (x; y) до точки В(2; 6).
Сумма расстояний от точки (x; y) до двух других должна быть равна 5.
Расстояние между точками А и В легко вычислить, оно равно 5.
Точке (x; y) ничего не остаётся, как лежать на отрезке АВ. Это значит, что
первое уравнение системы задаёт отрезок АВ (отрезок - график уравнения).
Второе уравнение задаёт параболу. Она должна пересекать отрезок в двух точках.
При маленьких а пересечений нет. Первое пересечение возникнет в тот момент,
когда парабола пройдёт через точку А(-1; 2). Найдите это значение а (а = 1).
Если а капельку увеличить, пересечение останется единственным... до тех пор,
пока парабола не пройдёт через точку В(2; 6). Найдите это значение а (а = 2).
Сейчас и с этого момента пересечений ровно два. Но до тех пор, пока...
парабола не коснётся отрезка. Напишем сначала уравнение АВ.
Прямая y = kx + b проходит через А(-1; 2) и В(2; 6). Выполняется система:
Найдя из этой системы значения k и b, напишем уравнение прямой АВ:
Теперь потребуем, чтобы квадратное уравнение имело один корень:
Единственный корень при этом находится в пределах отрезка АВ.
При найденном значении параметра решение у начальной системы одно.
При а, больших найденного, пересечений у параболы с отрезком нет.