Система оценивания на ЕГЭ по математике профильного уровня существенно сложнее. Во-первых, экзаменационные задания имеют разную "цену". Задания из первой части (с кратким ответом) наиболее "дешевы"; самыми "дорогими" являются последние две задачи (уравнение или неравенство с параметром и задача по теории чисел).

В 2016 году идеальное решение всех девятнадцати заданий может принести 32 первичных балла . Максимальное количество баллов уменьшилось по сравнению с 2015 годом на два, поскольку в первой части теперь предлагается не 14, а 12 заданий.

Первичные баллы переводятся в тестовые баллы . Шкала перевода незначительно изменяется от года к году. Ниже приведена таблица, которая использовалась на ЕГЭ по математике в 2015 году. Обратите внимание: соответствующая функция сильно отличается от линейной: быстрый рост в области низких оценок сменяется более плавным в середине шкалы.

ЕГЭ по математике (профильный уровень). Шкала перевода первичных баллов в тестовые баллы

Первичный балл Тестовый балл
0 0
1 5
2 9
3 14
4 18
5 23
6 27
7 33
8 39
9 45
10 50
11 55
12 59
13 64
14 68
15 70
16 72
17 74
18 76
19 78
20 80
21 82
22 84
23 86
24 88
25 90
26 92
27 94
28 96
29 97
30 98
31 99
32 100
33 100
34 100

Для поступления в ВУЗ необходимо набрать минимум 27 баллов (т. е., решить 6 простейших заданий из первой части). Естественно, поступление в серьезные учебные заведения требует существенно более высоких результатов.

Хотелось бы еще раз подчеркнуть: приведенная таблица - лишь ориентир! При выставлении тестового балла учитывается не только количество первичных баллов, но и относительная сложность решенных задач, а также количество школьников, справившихся с тем или иным заданием. Таким образом, окончательная "формула" перевода баллов будет известна лишь после сдачи ЕГЭ - 2016 по математике всеми выпускниками.

Найдите все значения параметра а, при которых система имеет ровно два решения.

Первое уравнение системы перепишем иначе, выделив квадраты двучленов:

Первое слагаемое есть расстояние между точками (x; y) до точки А(-1; 2).
Второе слагаемое есть расстояние между точками (x; y) до точки В(2; 6).
Сумма расстояний от точки (x; y) до двух других должна быть равна 5.

Расстояние между точками А и В легко вычислить, оно равно 5.

Точке (x; y) ничего не остаётся, как лежать на отрезке АВ. Это значит, что
первое уравнение системы задаёт отрезок АВ (отрезок - график уравнения).

Второе уравнение задаёт параболу. Она должна пересекать отрезок в двух точках.
При маленьких а пересечений нет. Первое пересечение возникнет в тот момент,
когда парабола пройдёт через точку А(-1; 2). Найдите это значение а (а = 1).

Если а капельку увеличить, пересечение останется единственным... до тех пор,
пока парабола не пройдёт через точку В(2; 6). Найдите это значение а (а = 2).

Сейчас и с этого момента пересечений ровно два. Но до тех пор, пока...
парабола не коснётся отрезка. Напишем сначала уравнение АВ.

Прямая y = kx + b проходит через А(-1; 2) и В(2; 6). Выполняется система:

Найдя из этой системы значения k и b, напишем уравнение прямой АВ:

Теперь потребуем, чтобы квадратное уравнение имело один корень:

Единственный корень при этом находится в пределах отрезка АВ.

При найденном значении параметра решение у начальной системы одно.
При а, больших найденного, пересечений у параболы с отрезком нет.