Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точкеотносительно плоскости.

План решения.

1. Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку . Так прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е.

.

Поэтому уравнение прямой будет

.

2. Находим точку пересечения прямойи плоскости(см. задачу 13).

3. Точка является серединой отрезка, где точкаявляется точкой симметричной точке, поэтому

Задача 14 . Найти точку , симметричную точкеотносительно плоскости.

Уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно заданной плоскости будет:

.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда – точка пересечения прямой и плоскости.является серединой отрезка, поэтому

Т.е. .

    Однородные координаты плоскости. Аффинные преобразования на плоскости.

Пусть М х и у


М (х , у Мэ (х , у , 1) в пространстве (рис. 8).

Мэ (х , у

Мэ (х , у ху.

(hx, hy, h), h  0,

Замечание

h (например, h

В самом деле, считая h

Замечание


Пример 1.

b ) на угол (рис. 9).

1-й шаг.

2-й шаг. Поворот на угол 

матрица соответствующего преобразования.

3-й шаг. Перенос на вектор А(а,b)

матрица соответствующего преобразования.

Пример 3

вдоль оси абсцисс и

1-й шаг.

матрица соответствующего преобразования.

2-й шаг.

3-й шаг.

получим окончательно

Замечание

[R],[D],[M],[T],

Пусть М - произвольная точка плоскости с координатами х и у , вычисленными относительно заданной прямолинейной координатной системы. Однородными координатами этой точки называется любая тройка одновременно неравных нулю чисел х 1 , х 2 , х 3 , связанных с заданными числами х и у следующими соотношениями:


При решении задач компьютерной графики однородные координаты обычно вводятся так: произвольной точке М (х , у ) плоскости ставится в соответствие точка Мэ (х , у , 1) в пространстве (рис. 8).

Заметим, что произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат, точку 0(0, 0, 0), с точкой Мэ (х , у , 1), может быть задана тройкой чисел вида (hx, hy, h).

Вектор с координатами hx, hy, является направляющим вектором прямой, соединяющей точки 0 (0, 0, 0) и Мэ (х , у , 1). Эта прямая пересекает плоскость z = 1 в точке (х, у, 1), которая однозначно определяет точку (х, у) координатной плоскости ху.

Тем самым между произвольной точкой с координатами (х, у) и множеством троек чисел вида

(hx, hy, h), h  0,

устанавливается (взаимно однозначное) соответствие, позволяющее считать числа hx, hy, h новыми координатами этой точки.

Замечание

Широко используемые в проективной геометрии однородные координаты позволяют эффективно описывать так называемые несобственные элементы (по существу те, которыми проективная плоскость отличается от привычной нам евклидовой плоскости). Более подробно о новых возможностях, предоставляемых введенными однородными координатами, говорится в четвертом разделе этой главы.

В проективной геометрии для однородных координат, принято следующее обозначение:

х: у: 1 , или, более обще, x 1: х 2: х 3

(напомним, что здесь непременно требуется, чтобы числа х 1 , х 2 , х 3 одновременно, в нуль не обращались).

Применение однородных координат оказывается удобным уже при решении простейших задач.

Рассмотрим, например, вопросы, связанные с изменением масштаба. Если устройство отображения работает только с целыми числами (или если необходимо работать только с целыми числами), то для произвольного значения h (например, h = 1) точку с однородными координатами

представить нельзя. Однако при разумном выборе h можно добиться того, чтобы координаты этой точки были целыми числами. В частности, при h = 10 для рассматриваемого примера имеем

Рассмотрим другой случай. Чтобы результаты преобразования не приводили к арифметическому переполнению, для точки с координатами (80000 40000 1000) можно взять, например, h=0,001. В результате получим (80 40 1).

Приведенные примеры показывают полезность использования однородных координат при проведении расчетов. Однако основной целью введения однородных координат в компьютерной графике является их несомненное удобство в применении к геометрическим преобразованиям.

При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости.

В самом деле, считая h = 1, сравним две записи: помеченную символом * и нижеследующую, матричную:

Нетрудно заметить, что после перемножения выражений, стоящих в правой части последнего соотношения, мы получим обе формулы (*) и верное числовое равенство 1=1.

Замечание

Иногда в литературе используется другая запись – запись по столбцам:

Такая запись эквивалентна приведенной выше записи по строкам (и получается из нее транспонированием).

Элементы произвольной матрицы аффинного преобразования не несут в себе явно выраженного геометрического смысла. Поэтому чтобы реализовать то или иное отображение, то есть найти элементы соответствующей матрицы по заданному геометрическому описанию, необходимы специальные приемы. Обычно построение этой матрицы в соответствии со сложностью рассматриваемой задачи и с описанными выше частными случаями разбивают на несколько этапов.

На каждом этапе ищется матрица, соответствующая тому или иному из выделенных выше случаев А, Б, В или Г, обладающих хорошо выраженными геометрическими свойствами.

Выпишем соответствующие матрицы третьего порядка.

А. Матрица вращения, (rotation)

Б. Матрица растяжения (сжатия) (dilatation)


В. Матрица отражения (reflection)

Г. Матрица переноса (translation)

Рассмотрим примеры аффинных преобразований плоскости.

Пример 1.

Построить матрицу поворота вокруг точки А (а, b ) на угол (рис. 9).

1-й шаг. Перенос на вектор – А (-а, -b) для совмещения центра поворота с началом координат;

матрица соответствующего преобразования.

2-й шаг. Поворот на угол 

матрица соответствующего преобразования.

3-й шаг. Перенос на вектор А(а,b) для возвращения центра поворота в прежнее положение;

матрица соответствующего преобразования.

Перемножим матрицы в том же порядке, как они выписаны:

В результате получим, что искомое преобразование (в матричной записи) будет выглядеть следующим образом:

Элементы полученной матрицы (особенно в последней строке) не так легко запомнить. В то же время каждая из трех перемножаемых матриц по геометрическому описанию соответствующего отображения легко строится.

Пример 3

Построить матрицу растяжения с коэффициентами растяжения вдоль оси абсцисс и вдоль оси ординат и с центром в точке А(а, b).

1-й шаг. Перенос на вектор -А(-а, -b) для совмещения центра растяжения с началом координат;

матрица соответствующего преобразования.

2-й шаг. Растяжение вдоль координатных осей с коэффициентами  и  соответственно; матрица преобразования имеет вид

3-й шаг. Перенос на вектор А(а, b) для возвращения центра растяжения в прежнее положение; матрица соответствующего преобразования –

Перемножив.матрицы в том же порядке

получим окончательно

Замечание

Рассуждая подобным образом, то есть разбивая предложенное преобразование на этапы, поддерживаемые матрицами [R],[D],[M],[T], можно построить матрицу любого аффинного преобразования по его геометрическому описанию.

Сдвиг реализуется сложением, а масштабирование и поворот - умножением.

Преобразование масштабирования (дилатация) относительно начала координат имеет вид:

или в матричной форме:

где D x, D y – коэффициенты масштабирования по осям, а

- матрица масштабирования.

При D > 1-происходит расширение, при 0<=D<1- сжатие

Преобразование поворота относительно начала координат имеет вид:

или в матричной форме:

где φ – угол поворота, а

- матрица поворота.

Замечание: Столбцы и строки матрицы поворота представляют собой взаимно ортогональные единичные векторы. В самом деле квадраты длин векторов-строк равны единице:

cosφ·cosφ+sinφ·sinφ = 1 и (-sinφ) ·(-sinφ)+cosφ·cosφ = 1,

а скалярное произведение векторов-строк есть

cosφ·(-sinφ) + sinφ·cosφ= 0.

Так как скалярное произведение векторов A ·B = |A | ·|B | ·cosψ, где |A | - длина вектора A , |B | - длина вектора B , а ψ – наименьший положительный угол между ними, то из равенства 0 скалярного произведения двух векторов-строк длины 1 следует, что угол между ними равен 90 ° .

Прямую в пространстве всегда можно определить как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Если уравнение одной плоскости , уравнение второй плоскости, тогда уравнение прямой задаётся виде

здесь неколлинеарен
. Эти уравнения называютсяобщими уравнениями прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой

Любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Если известна точка
прямой и её направляющий вектор
, то канонические уравнения прямой имеют вид:

. (9)

Параметрические уравнения прямой

Пусть заданы канонические уравнения прямой

.

Отсюда, получаем параметрические уравнения прямой:

(10)

Эти уравнения удобны при нахождении точки пересечения прямой и плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через две точки
и
имеет вид:

.

Угол между прямыми

Угол между прямыми

и

равен углу между их направляющими векторами. Следовательно, его можно вычислить по формуле (4):

Условие параллельности прямых:

.

Условие перпендикулярности плоскостей:

Расстояние точки от прямой

Пусть дана точка
и прямая

.

Из канонических уравнений прямой известны точка
, принадлежащая прямой,и её направляющий вектор
. Тогда расстояние точки
от прямой равно высоте параллелограмма, построенного на векторахи
. Следовательно,

.

Условие пересечения прямых

Две непараллельные прямые

,

пересекаются тогда и только тогда, когда

.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть заданы прямая
и плоскость. Уголмежду ними можно найти по формуле

.

Задача 73. Написать канонические уравнения прямой

(11)

Решение . Для того чтобы записать канонические уравнения прямой (9), необходимо знать любую точку, принадлежащую прямой, и направляющий вектор прямой.

Найдём вектор , параллельный данной прямой. Так как он должен быть перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей, т. е.

,
, то

.

Из общих уравнений прямой имеем, что
,
. Тогда

.

Так как точка
любая точка прямой, то её координаты должны удовлетворять уравнениям прямой и одну из них можно задать, например,
, две другие координаты найдём из системы (11):

Отсюда,
.

Таким образом, канонические уравнения искомой прямой имеют вид:

или
.

Задача 74.

и
.

Решение. Из канонических уравнений первой прямой известны координаты точки
, принадлежащей прямой, и координаты направляющего вектора
. Из канонических уравнений второй прямой также известны координаты точки
и координаты направляющего вектора
.

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию точки
от второй прямой. Это расстояние вычисляется по формуле

.

Найдём координаты вектора
.

Вычислим векторное произведение
:

.

Задача 75. Найти точку симметричную точке
относительно прямой

.

Решение . Запишем уравнение плоскости перпендикулярной к данной прямой и проходящей через точку . В качестве её вектора нормалиможно взять направляющий вектор прямой. Тогда
. Следовательно,

Найдём точку
точку пересечения данной прямой и плоскости П. Для этого запишем параметрические уравнения прямой, используя уравнения (10), получим

Следовательно,
.

Пусть
точка симметричная точке
относительно данной прямой. Тогда точка
середина отрезка
. Для нахождения координат точкииспользуем формулы координат середины отрезка:

,
,
.

Итак,
.

Задача 76. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
и

а) через точку
;

б) перпендикулярно плоскости .

Решение. Запишем общие уравнения данной прямой. Для этого рассмотрим два равенства:

Это означает, что искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей с образующими и её уравнение может быть записано в виде (8):

а) Найдём
ииз условия, что плоскость проходит через точку
, следовательно, её координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим координаты точки
в уравнение пучка плоскостей:

Найденное значение
подставим в уравнение (12). получим уравнение искомой плоскости:

б) Найдём
ииз условия, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости. Вектор нормали данной плоскости
, вектор нормали искомой плоскости(см. уравнение пучка плоскостей (12).

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,

Подставим найденное значение
в уравнение пучка плоскостей (12). Получим уравнение искомой плоскости:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 77. Привести к каноническому виду уравнения прямых:

1)
2)

Задача 78. Написать параметрические уравнения прямой
, если:

1)
,
; 2)
,
.

Задача 79 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно прямой

Задача 80. Написать уравнения прямой, проходящей точку
перпендикулярно плоскости.

Задача 81. Найти угол между прямыми:

1)
и
;

2)
и

Задача 82. Доказать параллельность прямых:

и
.

Задача 83. Доказать перпендикулярность прямых:

и

Задача 84. Вычислить расстояние точки
от прямой:

1)
; 2)
.

Задача 85. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:

и
.

Задача 86 . В уравнениях прямой
определить параметртак, чтобы эта прямая пересекалась с прямой и найти точку их пересечения.

Задача 87 . Показать, что прямая
параллельна плоскости
, а прямая
лежит в этой плоскости.

Задача 88 . Найти точку симметричную точкеотносительно плоскости
, если:

1)
, ;

2)
, ;.

Задача 89. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
на прямую
.

Задача 90 . Найти точку симметричную точке
относительно прямой
.

Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой . Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:

1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .

2) Находим точку пересечения прямых: .

Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.

3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .

Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.

Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.

Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?

Пример 9

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми

Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.

Угол между двумя прямыми

Что ни угол, то косяк:


В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол .

Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4-х углов.

Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .

Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).

Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:

Пример 10

Найти угол между прямыми

Решение и Способ первый

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:

Если прямые не перпендикулярны , то ориентированный угол между ними можно вычислить с помощью формулы:

Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение направляющих векторов прямых:

Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.

Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:

1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:

2) Угол между прямыми найдём по формуле:

С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций ):

Ответ :

В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.

Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:

Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.

Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения , а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой .

Утаивать не буду, сам подбираю прямые в том порядке, чтобы угол получился положительным. Так красивее, но не более того.

Для проверки решения можно взять транспортир и измерить угол.

Способ второй

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом и не перпендикулярны , то ориентированный угол между ними можно найти с помощью формулы:

Условие перпендикулярности прямых выражается равенством , откуда, кстати, следует очень полезная взаимосвязь угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: , которая используется в некоторых задачах.

Алгоритм решения похож на предыдущий пункт. Но сначала перепишем наши прямые в нужном виде:

Таким образом, угловые коэффициенты:

1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны:
, значит, прямые не перпендикулярны.

2) Используем формулу:

Ответ :

Второй способ уместно использовать тогда, когда уравнения прямых изначально заданы с угловым коэффициентом. Следует отметить, что если хотя бы одна прямая параллельна оси ординат, то формула не применима вообще, поскольку для таких прямых угловой коэффициент не определён (см. статью Уравнение прямой на плоскости ).

Есть и третий способ решения. Идея состоит в том, чтобы вычислить угол между направляющими векторами прямых с помощью формулы, рассмотренной на урокеСкалярное произведение векторов :

Здесь уже речь идёт не об ориентированном угле, а «просто об угле», то есть результат заведомо будет положительным. Загвоздка состоит в том, что может получиться тупой угол (не тот, который нужен). В этом случае придётся делать оговорку, что угол между прямыми – это меньший угол, и из «пи» радиан (180-ти градусов) вычитать получившийся арккосинус.

Желающие могут прорешать задачу третьим способом. Но я рекомендую всё-таки придерживаться первого подхода с ориентированным углом, по той причине, что он широко распространён.

Пример 11

Найти угол между прямыми .

Это пример для самостоятельного решения. Попробуйте решить его двумя способами.

Как-то заглохла по ходу дела сказка…. Потому что нет никакого Кащея Бессмертного. Есть я, причём, не особо запаренный. Если честно, думал, статья значительно длиннее выйдет. Но все равно возьму недавно приобретенную шапочку с очками и пойду купаться в сентябрьской озёрной воде. Отлично снимает усталость и негативную энергетику.

До скорых встреч!

И помните, Бабу-Ягу никто не отменял =)

Решения и ответы:

Пример 3: Решение : Найдём направляющий вектор прямой :

Уравнение искомой прямой составим по точке и направляющему вектору . Так как одна из координат направляющего вектора нулевая, уравнение перепишем в виде:

Ответ :

Пример 5: Решение :
1) Уравнение прямой составим по двум точкам :

2) Уравнение прямой составим по двум точкам :

3) Соответствующие коэффициенты при переменных не пропорциональны: , значит, прямые пересекаются.
4) Найдём точку :


Примечание : здесь первое уравнение системы умножено на 5, затем из 1-го уравнения почленно вычтено 2-ое.
Ответ :