Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика . К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.

В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.

Навигация по странице.

Возрастание и убывание функции на интервале.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X , если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

• если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
• если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

На первом шаге нужно найти область определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x=0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

Функция возрастает при , убывает на интервале (0;2] .

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Другими словами:

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

• Находим область определения функции.
• Находим производную функции на области определения.
• Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
• Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
• Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .

Находим производную:

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5 , знаменатель обращается в ноль при x=2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .

Графическая иллюстрация.

Ответ:

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .

Пример.

Найдите точки экстремума и экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:

Найдем производную функции:

В точке x=0 производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:

В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0 (смотрите раздел исследование функции на непрерывность):

Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:

Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6 .

То есть,

Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются , точками максимума являются .

Вычисляем соответствующие минимумы функции

Вычисляем соответствующие максимумы функции

Графическая иллюстрация.

Ответ:

.

Второй признак экстремума функции.

Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Говорят, что $(x_0,y_0)$ - точка (локального) максимума, если для всех точек $(x,y)$ некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$ выполнено неравенство $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)> f(x_0,y_0)$, то точку $(x_0,y_0)$ называют точкой (локального) минимума.

Точки максимума и минимума часто называют общим термином - точки экстремума.

Если $(x_0,y_0)$ - точка максимума, то значение функции $f(x_0,y_0)$ в этой точке называют максимумом функции $z=f(x,y)$. Соответственно, значение функции в точке минимума именуют минимумом функции $z=f(x,y)$. Минимумы и максимумы функции объединяют общим термином - экстремумы функции.

Алгоритм исследования функции $z=f(x,y)$ на экстремум

1. Найти частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$. Составить и решить систему уравнений $ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial z}{\partial y}=0. \end{aligned} \right.$. Точки, координаты которых удовлетворяют указанной системе, называют стационарными.
2. Найти $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$, $\frac{\partial^2z}{\partial y^2}$ и вычислить значение $\Delta=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2$ в каждой стационарной точке. После этого использовать следующую схему:
   1. Если $\Delta > 0$ и $\frac{\partial^2z}{\partial x^2} > 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} > 0$), то в исследуемая точка есть точкой минимума.
   2. Если $\Delta > 0$ и $\frac{\partial^2z}{\partial x^2} < 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Если $\Delta < 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Если $\Delta = 0$, то ничего определённого про наличие экстремума сказать нельзя; требуется дополнительное исследование.

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Если $\Delta > 0$, то $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2 > 0$. А отсюда следует, что $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2} > \left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2 ≥ 0$. Т.е. $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2} > 0$. Если произведение неких величин больше нуля, то эти величины одного знака. Т.е., например, если $\frac{\partial^2z}{\partial x^2} > 0$, то и $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} > 0$. Короче говоря, если $\Delta > 0$ то знаки $\frac{\partial^2z}{\partial x^2}$ и $\frac{\partial^2z}{\partial y^2}$ совпадают.

Пример №1

Исследовать на экстремум функцию $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$.

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=8x-6y-34; \frac{\partial z}{\partial y}=-6x+10y+42. $$

$$ \left \{ \begin{aligned} & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end{aligned} \right. $$

Сократим каждое уравнение этой системы на $2$ и перенесём числа в правые части уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end{aligned} \right. $$

Мы получили систему линейных алгебраических уравнений . Мне в этой ситуации кажется наиболее удобным применение метода Крамера для решения полученной системы.

$$ \begin{aligned} & \Delta=\left| \begin{array} {cc} 4 & -3\\ -3 & 5 \end{array}\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\\ & \Delta_x=\left| \begin{array} {cc} 17 & -3\\ -21 & 5 \end{array}\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\\ & \Delta_y=\left| \begin{array} {cc} 4 & 17\\ -3 & -21 \end{array}\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33.\end{aligned} \\ x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}=\frac{22}{11}=2; \; y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}=\frac{-33}{11}=-3. $$

Значения $x=2$, $y=-3$ - это координаты стационарной точки $(2;-3)$.

$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=8; \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=10; \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=-6. $$

Вычислим значение $\Delta$:

$$ \Delta=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Так как $\Delta > 0$ и $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0$, то согласно точка $(2;-3)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $(2;-3)$:

$$ z_{min}=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\cdot (-3)+7=-90. $$

Ответ : $(2;-3)$ - точка минимума; $z_{min}=-90$.

Пример №2

Исследовать на экстремум функцию $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$.

Будем следовать указанному выше . Для начала найдём частные производные первого порядка:

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=3x^2+3y^2-15; \frac{\partial z}{\partial y}=6xy-12. $$

Составим систему уравнений $ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial z}{\partial y}=0. \end{aligned} \right.$:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end{aligned} \right. $$

Сократим первое уравнение на 3, а второе - на 6.

$$ \left \{ \begin{aligned} & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end{aligned} \right. $$

Если $x=0$, то второе уравнение приведёт нас к противоречию: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Отсюда вывод: $x\neq 0$. Тогда из второго уравнения имеем: $xy=2$, $y=\frac{2}{x}$. Подставляя $y=\frac{2}{x}$ в первое уравнение, будем иметь:

$$ x^2+\left(\frac{2}{x} \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac{4}{x^2}-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Получили биквадратное уравнение. Делаем замену $t=x^2$ (при этом имеем в виду, что $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2}=\frac{5-3}{2}=1;\\ & t_2=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2}=\frac{5+3}{2}=4.\end{aligned} $$

Если $t=1$, то $x^2=1$. Отсюда имеем два значения $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Если $t=4$, то $x^2=4$, т.е. $x_3=2$, $x_4=-2$. Вспоминая, что $y=\frac{2}{x}$, получим:

\begin{aligned} & y_1=\frac{2}{x_1}=\frac{2}{1}=2;\\ & y_2=\frac{2}{x_2}=\frac{2}{-1}=-2;\\ & y_3=\frac{2}{x_3}=\frac{2}{2}=1;\\ & y_4=\frac{2}{x_4}=\frac{2}{-2}=-1. \end{aligned}

Итак, у нас есть четыре стационарные точки: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. На этом первый шаг алгоритма закончен.

Теперь приступим ко алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=6x; \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=6x; \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=6y. $$

Найдём $\Delta$:

$$ \Delta=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Теперь будем вычислять значение $\Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(1;2)$. В этой точке имеем: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Так как $\Delta(M_1) < 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Исследуем точку $M_2(-1;-2)$. В этой точке имеем: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Так как $\Delta(M_2) < 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Исследуем точку $M_3(2;1)$. В этой точке получим:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_3}=6\cdot 2=12. $$

Так как $\Delta(M_3) > 0$ и $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_3} > 0$, то согласно $M_3(2;1)$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:

$$ z_{min}=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Осталось исследовать точку $M_4(-2;-1)$. В этой точке получим:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_4}=6\cdot (-2)=-12. $$

Так как $\Delta(M_4) > 0$ и $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_4} < 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_{max}=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Исследование на экстремум завершено. Осталось лишь записать ответ.

Ответ :

• $(2;1)$ - точка минимума, $z_{min}=-27$;
• $(-2;-1)$ - точка максимума, $z_{max}=29$.

Примечание

Вычислять значение $\Delta$ в общем случае нет необходимости, потому что нас интересует лишь знак, а не конкретное значение данного параметра. Например, для рассмотренного выше примера №2 в точке $M_3(2;1)$ имеем $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Здесь очевидно, что $\Delta > 0$ (так как оба сомножителя $36$ и $(2^2-1^2)$ положительны) и можно не находить конкретное значение $\Delta$. Правда, для типовых расчётов это замечание бесполезно, - там требуют довести вычисления до числа:)

Пример №3

Исследовать на экстремум функцию $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$.

Будем следовать . Для начала найдём частные производные первого порядка:

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=4x^3-4x+4y; \frac{\partial z}{\partial y}=4y^3+4x-4y. $$

Составим систему уравнений $ \left \{ \begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x}=0;\\ & \frac{\partial z}{\partial y}=0. \end{aligned} \right.$:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end{aligned} \right. $$

Сократим оба уравнения на $4$:

$$ \left \{ \begin{aligned} & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end{aligned} \right. $$

Добавим к второму уравнению первое и выразим $y$ через $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Подставляя $y=-x$ в первое уравнение системы, будем иметь:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Из полученного уравнения имеем: $x=0$ или $x^2-2=0$. Из уравнения $x^2-2=0$ следует, что $x=-\sqrt{2}$ или $x=\sqrt{2}$. Итак, найдены три значения $x$, а именно: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt{2}$, $x_3=\sqrt{2}$. Так как $y=-x$, то $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt{2}$, $y_3=-x_3=-\sqrt{2}$.

Первый шаг решения окончен. Мы получили три стационарные точки: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt{2},\sqrt{2})$, $M_3(\sqrt{2},-\sqrt{2})$.

Теперь приступим ко алгоритма. Найдём частные производные второго порядка:

$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=12x^2-4; \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=12y^2-4; \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=4. $$

Найдём $\Delta$:

$$ \Delta=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}\cdot \frac{\partial^2z}{\partial y^2}-\left(\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y} \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2-1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Теперь будем вычислять значение $\Delta$ в каждой из найденных ранее стационарных точек. Начнём с точки $M_1(0;0)$. В этой точке имеем: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Так как $\Delta(M_1) = 0$, то согласно требуется дополнительное исследование, ибо ничего определённого про наличие экстремума в рассматриваемой точке сказать нельзя. Оставим покамест эту точку в покое и перейдём в иным точкам.

Исследуем точку $M_2(-\sqrt{2},\sqrt{2})$. В этой точке получим:

\begin{aligned} & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt{2})^2-1)(3\cdot (\sqrt{2})^2-1)-1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_2}=12\cdot (-\sqrt{2})^2-4=24-4=20. \end{aligned}

Так как $\Delta(M_2) > 0$ и $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_2} > 0$, то согласно $M_2(-\sqrt{2},\sqrt{2})$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_2$:

$$ z_{min}=z(-\sqrt{2},\sqrt{2})=(-\sqrt{2})^4+(\sqrt{2})^4-2(-\sqrt{2})^2+4\cdot (-\sqrt{2})\sqrt{2}-2(\sqrt{2})^2+3=-5. $$

Аналогично предыдущему пункту исследуем точку $M_3(\sqrt{2},-\sqrt{2})$. В этой точке получим:

\begin{aligned} & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt{2})^2-1)(3\cdot (-\sqrt{2})^2-1)-1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_3}=12\cdot (\sqrt{2})^2-4=24-4=20. \end{aligned}

Так как $\Delta(M_3) > 0$ и $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{M_3} > 0$, то согласно $M_3(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ есть точкой минимума функции $z$. Минимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_3$:

$$ z_{min}=z(\sqrt{2},-\sqrt{2})=(\sqrt{2})^4+(-\sqrt{2})^4-2(\sqrt{2})^2+4\cdot \sqrt{2}(-\sqrt{2})-2(-\sqrt{2})^2+3=-5. $$

Настал черёд вернуться к точке $M_1(0;0)$, в которой $\Delta(M_1) = 0$. Согласно требуется дополнительное исследование. Под этой уклончивой фразой подразумевается "делайте, что хотите" :). Общего способа разрешения таких ситуаций нет, - и это понятно. Если бы такой способ был, то он давно бы вошёл во все учебники. А покамест приходится искать особый подход к каждой точке, в которой $\Delta = 0$. Ну что же, поисследуем поведение функции в окрестности точки $M_1(0;0)$. Сразу отметим, что $z(M_1)=z(0;0)=3$. Предположим, что $M_1(0;0)$ - точка минимума. Тогда для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) > z(M_1) $, т.е. $z(M) > 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) < 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Рассмотрим точки, у которых $y=0$, т.е. точки вида $(x,0)$. В этих точках функция $z$ будет принимать такие значения:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x^2-2)+3. $$

В всех достаточно малых окрестностях $M_1(0;0)$ имеем $x^2-2 < 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Но, может быть, точка $M_1(0;0)$ - точка максимума? Если это так, то для любой точки $M$ из некоторой окрестности точки $M_1(0;0)$ получим $z(M) < z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) > 3$? Тогда в точке $M_1$ точно не будет максимума.

Рассмотрим точки, у которых $y=x$, т.е. точки вида $(x,x)$. В этих точках функция $z$ будет принимать такие значения:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Так как в любой окрестности точки $M_1(0;0)$ имеем $2x^4 > 0$, то $2x^4+3 > 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z > 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой максимума.

Точка $M_1(0;0)$ не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. Вывод: $M_1$ вообще не является точкой экстремума.

Ответ : $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$, $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ - точки минимума функции $z$. В обеих точках $z_{min}=-5$.

Урок на тему: "Нахождение точек экстремумов функций. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Что будем изучать:
1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.

4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.

Введение в экстремумы функций

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого - опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:

Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:

Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 - это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 - это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Точки минимума и максимума

Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

Ребята, а что такое окрестность?

Определение: Окрестность точки - множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению - это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

Y min - точка минимума,
y max - точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Экстремумы функции

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:

• Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
• Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x 0, а при x> x0 выполняется f’(x) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

• Найти производную y’.
• Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
• Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
• По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

Примеры нахождения точки экстремумов

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x - x 3

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 12 - 3x 2 ,
б) y"= 0, при x= ±2,

Точка x= -2 - точка минимума функции, точка x= 2 - точка максимума функции.
Ответ: x= -2 - точка минимума функции, x= 2 - точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а) б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя, Область определения функции: , в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю: в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= 3 - точка минимума функции.
Ответ: x= 3 - точка минимума функции.

3) Найти точки экстремума функции y= x - 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y"= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -5π/6 - точка максимума функции.
Точка x= -π/6 - точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 - точка максимума функции, x= -π/6 - точка минимума функции.

4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:
а)
б) найдем значения в которой производная равна нулю: y"= 0 при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 - точка минимума функции.
В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 - точки минимума функции.

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5x 3 - 15x - 5.
б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) - x при π ≤ x ≤ 3π.
г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна - то минимум.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка - это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак - «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак - «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка - в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее - при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

В чем состоят особенности схемы построения деятельности бизнес-инкубатора
Бизнес-инкубаторы рассматриваются, прежде всего, как часть инфраструктуры поддержки малого предпринимательства, но одновременно они являются инструментом экономической, социальной, структурной и инновационной политики. Технологические инкубаторы - это один из инструментов политики для формирования адаптивной, динамичной, конкурентоспособной национальной инновационной

Дракула (англ. Dracula) — персонаж литературных произведений и кинофильмов, вампир.Был придуман ирландским писателем Брэмом Стокером для романа «Дракула» (1897). По распространённому мнению, прототипом для этого персонажа послужила реальная историческая личность — Влад III Цепеш (Драку

Где найти информацию о телефоне Sony Ericsson K790
Информацию о телефоне Sony Ericsson K790 можно найти на следующих сайтах:www.mobiset.ru - информация о телефоне Sony Ericsson K790 на mobiset.ru ;www.mobidrive.ru - информация о телефоне Sony Ericsson K790 на mobid

Кто входит в состав группы "Мельница"
www.melnitsa.net — официальный сайт группы Мельница «Мельница» — российская фолк-рок группа из Москвы. Основана 15 октября 1999 года.Группа «Мельница» играет акустическую и электроакустическую музыку. Инструменты: виолончель, флей

Что такое лютня
Лютня — струнный щипковый музыкальный инструмент. В своей классической форме она имеет изящный корпус в форме половинки груши, шейку с ладами, колковую коробку, отогнутую назад под углом к шейке, звуковое отверстие в виде розетки и 11 струн (пять пар и одинарная дискантовая струна). Слово «лютня» употребляется также в самом общем смысле

Что такое томат (помидор)
Томат (помидор) — растение рода паслён, семейства Паслёновые, одно или многолетняя трава. Возделывается как овощная культура. Плоды томата известны под названием помидоры. Вид плода — ягода. ИсторияРодина — Южная Америка, где до сих пор встречаются дикие и полукультурные формы томата. В середине XVI века томат попал в Испанию, По

Где найти образец склонения субстантивированных существительных
Склонение имён существительных Склонение — это изменение имён существительных (и других именных частей речи) по падежам и числам. В русском языке два числа: единственное (окно, парта) и множественное (окна, парты); шесть падежей (по школьной программе). Падеж Вопросы падежей Именительный кто? что? Родительный кого? чего? Датель

Какие актрисы исполнили главные роли в сериале "Краткий курс счастливой жизни" на Первом канале
В российском телевизионном сериале «Краткий курс счастливой жизни», снятом в 2011 году режиссером Валерией Гай Германикой для Первого канала, главные роли исполнили 4 актрисы: Алиса Хазанова исполнила роль Любы; Светлана Ходченкова исполнила роль Саши; Анна Слю исполнила роль Ани; Ксения Громова исполнила роль Кати. Во второстепе

Чему равен синус 90 градусов
Синус — одна из тригонометрических функций, обозначется sin. В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению катета, лежащего напротив этого угла (противолежащего катета), к гипотенузе.Значения синусов для часто встречающихся углов (π — число пи, √ — корень квадра

Где в интернете есть платные аудиокурсы английского языка
Платные аудиокурсы английского языка можно найти под приведенными ниже ссылками: shop.iddk.ru — аудиокурсы английского языка на диске; london.ru — аудиокурсы на дисках, а так же книги; volxv.ru — аудио-видео курсы английского языка; ozon.ru — аудиокурсы на дисках

Информационно-рекрутинговые порталы Superjob.ru - рекрутинговый портал Superjob.ru работает на российском рынке онлайн-рекрутмента с 2000 года и является лидером среди ресурсов, предлагающих поиск работы и персонала. Ежедневно в базу данных сайта добавляется более 80 000 резюме специалистов и более 10 000 вакансий.

>> Экстремумы

Экстремум функции

Определение экстремума

Функция y = f (x ) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > f (x 2)).

Если дифференцируемая функция y = f (x ) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f " (x ) > 0

(f " (x ) < 0).

Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f (x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f (x ) ≤ f (x о ) (f (x ) ≥ f (x о )).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f (x ), то либо f " (x о ) = 0, либо f (x о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f " (x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f (x ) имеет
f " (x ) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f " (x о ) = 0, >0 ( <0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f (x ). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие .

На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример 3.22.

Решение. Так как f " (

Задачи на нахождения экстремума функции

Пример 3.23. a

Решение. x и y y
0 ≤ x ≤
> 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции кв . ед ).

Пример 3.24. p ≈

Решение. p p
S "
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f (x ) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение. Так как f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy . Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a . Поэтому y = a - 2x и S = x (a - 2x), где
0 ≤ x ≤ a /2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2 × a/4 =a/2. Поскольку x = a /4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x a /4 S " > 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв . ед ). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2 p R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2 p (R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S " (R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.