Отделение корней
Пусть дано уравнение f(x)=0, (1)
где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a≤x≤b.
Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения (1) или нулем функции f(x).
Число ξ называется корнем k-ой кратности, если при x= ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно
f(ξ) = f’(ξ) = … = f k -1 (ξ) = 0
Однократный корень называется простым.

Приближенное нахождение корней уравнения (1) обычно складывается из двух этапов:
1. Отделение корней, то есть установление интервалов [α i ,β i ], в которых содержится один корень уравнения (1).
2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.

Для отделения корней полезна след. теорема:
Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка , то есть f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0, то есть найдется хотя бы одно число , такое, что f(ξ)=0.
Корень заведомо единственный, если f ‘(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала .
Доказательство: Пусть для определенности f(a)<0, f(b)>0. Тогда на интервале найдется, по крайней мере, одна точка ξ в интервале (ξ 1 , ξ 2) (a< ξ 1 < ξ< ξ 2 f(ξ 1)<0, f(ξ 2)>0. (2)
В силу непрерывности функции для каждого сколь угодно малого δ>0 всегда найдется число ε>0 такое, что при | ξ 1 - ξ 2 |<ε выполняется |f 1 – f 2 |<δ, где f i =f(ξ i); i=1,2. Из условия (3.2) и условия |f 1 – f 2 |<δ следует, что |f 1 |<δ и |f 2 |<δ. Поскольку f 1 <0, а f 2 >0 и f(x) непрерывна, то следовательно существует предел или f(ξ)=0 и таким образом, первая часть теоремы доказана.
Далее, если f ‘(x) сохраняет знак на то она будет монотонна, то есть для любых x 1 0) либо f(x 1) > f(x 2) (если f ‘(x)<0). В силу условия f(a)f(b)<0, монотонности и непрерывности корень будет единственный. Доказательство закончено.
Рассмотрим графический или табличный способ отделения корней. В заданном интервале задается сетка a=x 1 , то точность нахождения корня будет равна половине интервала . Нужно еще убедится, является ли найденный корень единственным. Для этого достаточно провести процесс половинного деления, деля интервал на две, четыре и т.д. равных частей и определить знаки функции f(x) в точках деления. При делении мы повышаем точность определения корня.

Пример №1 . Определить корни уравнения f(x) = x 3 – 6x +2 = 0
Решение: Составляем приблизительную схему.


x
-∞
-3
-1
0
1
3
∞

f(x)
-
-
+
+
-
+
+
Следовательно, уравнение (3.3) имеет три действительных корня лежащих в интервалах (-3,-1), (0,1) и (1,3).
Для графического решения уравнения (3.3) удобно заменить (3.3) эквивалентным уравнением
f 1 (x) = f 2 (x) или x 3 = 6x-2, то есть
f(x 1) = x 3 ,
f 2 (x) = 6x-2.
То значение x=ξ, при которых f 1 (ξ) = f 2 (ξ) и будет являться корнем уравнения (3.3).

Пример №2 . x*lg(x)=1.
Решение: ,
ξ ≈ 2.5.

Итак, мы выделили интервалы, в которых содержится единственный корень. Рассмотрим теперь методы уточнения корней.
Прежде чем перейти к методам уточнения корней, дадим определение сходимости последовательности чисел (или сходимости итерационного процесса).
Определение 1. Если выполняется неравенство
, (4)
то говорят, что последовательность {x k } линейно сходится к пределу ξ. Здесь α - коэффициент сходимости. Если α → 0, то имеем суперлинейную сходимость.

Определение 2. Если существует такое r>1 (r=2,3,…), что , (5)
то последовательность {x k } имеет сходимость порядка r . Здесь c = const .
Максимум в (4) и (5) берется по всем последовательностям {x k }.

Пример №3 . Отделить корни уравнения f(x), используя графико-аналитический метод. Найти корни уравнения с заданной точностью методами бисекций, Ньютона или простых итераций. Выполнить проверку правильности найденных решений, вычислив невязки.

Тип урока: Изучение и закрепление новых знаний.

Вид занятия: практическая работа с использованием компьютера.

Продолжительность занятия: два урока.

Цель: Научиться решать уравнения с заданной точностью на заданном отрезке.

  • развитие исследовательской, познавательной деятельности учащихся;
  • развитие умений использовать различные программные средства при решении одной задачи;
  • развитие коммуникативных способностей учащихся.

Методы обучения: наглядный, исследовательский, практический.

Оборудование:

  • компьютер;
  • локальная сеть;
  • проектор.

Программное обеспечение:

  1. Операционная система Windows;
  2. Microsoft Excel из пакета Microsoft Office;
  3. Microsoft Visual Basic 6.0.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Создание проблемной ситуации.
  3. Использование графического метода для приближенного решения уравнений в электронных таблицах.
  4. Изучение метода половинного деления при решении уравнений.
  5. Моделирование листа электронных таблиц для приближенного решения уравнения методом половинного деления.
  6. Моделирование проекта “Приближенное решение уравнения” на объектно-ориентированном языке Visual Basic 6.0.
  7. Компьютерный эксперимент.
  8. Анализ полученных результатов.
  9. Подведение итогов урока.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие учителя.

2. Создание проблемной ситуации.

– Сегодня нам предстоит решить задачу нахождения приближенного корня уравнения cos(x)=x , используя различные программные средства. Запишите тему урока: “Приближенное решение уравнений разными инструментальными средствами.”

– Пока вы не знаете никаких математических приемов решения этого уравнения, но знаете программу, в которой можно приближенно решить его графическим способом. Какая это программа? (Microsoft Excel.)

3. Использование графического метода для приближенного решения уравнений в электронных таблицах.

– В чем смысл метода? (Нужно построить график функции y = cos(x)–x на некотором отрезке, абсцисса точки пересечения графика с осью OX является корнем уравнения cos(x)=x .)

– Что нужно определить для построения графика? (Отрезок, на котором существует корень.)

– Сделайте это математическим методом. (Множеством значений левой части уравнения, функции y = cos(x) , является отрезок [-1; 1]. Поэтому уравнение может иметь корень только на этом отрезке.)

– Итак, найдите приближенный корень уравнения cos(x)=x на отрезке [-1; 1] с шагом, например, 0,1 в программе Microsoft Excel.

Рисунок 1

– Приближенный корень уравнения х=0,75. Однако это приближение не обладает высокой точностью. Для нахождения приближенного корня уравнения с указанной заранее точностью используются математические методы, в частности, метод половинного деления.

4. Изучение метода половинного деления при решении уравнений.

Рассмотрим непрерывную функцию f(х), такую, что корень данного уравнения является точкой пересечения графика этой функции с осью ОХ.

Идея метода половинного деления состоит в сведении первоначального отрезка [а; b], на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности h.

Процесс сводится к последовательному делению отрезка пополам точкой с=(а+b)/2 и отбрасыванию половины отрезка ( или ), на которой корня нет. Выбирается тот отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, т.е. произведение этих значений отрицательно. Функция на этом отрезке пересекает ось абсцисс. Концам этого отрезка вновь присваивают обозначения a, b.

Это деление продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности, т.е. пока не выполнится неравенство (b-a)/2

(Вывести полученное изображение графика через проектор на экран, обсудить, какие отрезки нужно выбирать при заданной точности 0,5. Вывод: Приближенный корень уравнения х=0,75 найден с точностью 0,5.)

– Теперь найдем корень уравнения cos(x)=x с точностью 0,001. Решим поставленную задачу с использованием Microsoft Excel.

5. Моделирование листа электронных таблиц для приближенного решения уравнения методом половинного деления.

(Построение макета листа ведется совместно с учениками)

Исходные значения границ отрезка a и b запишем в ячейки А4 и В4, в ячейке С4 получим середину заданного отрезка, в ячейках D4 и Е4 – значения функции f(х) на концах отрезка , в ячейке F4 будем определять длину отрезка [а; b], необходимую точность укажем в ячейке H4. В ячейку G4 запишем формулу нахождения корня по правилу: если длина текущего отрезка соответствует требуемой точности, то в качестве корня уравнения примем значение середины этого отрезка. Мы уже знаем, что корень в нашем случае не найдется за один шаг, поэтому чтобы при копировании формулы из ячейки G4 адрес ячейки Н4 не менялся используем абсолютную адресацию.

В пятой строке запишем значения, полученные после первого шага деления исходного отрезка пополам. В ячейки А5 и В5 нужно вписать формулы определения границ нового отрезка. В ячейки С4, D4, E4, F4, G4 формулы копируются из ячеек С5, D5, E5, F5, G5 соответственно.

Таким образом, в режиме формул лист электронной таблицы примет следующий вид:

6. Моделирование проекта “Приближенное решение уравнения” на объектно-ориентированном языке Visual Basic 6.0.

(Построение макета формы и написание программного кода ведется учащимися самостоятельно: индивидуально или в группах)

Рисунок 3

Программный код для кнопки Корень уравнения cos(x)=x :

Private Sub Command1_Click()

While (b - a) / 2 >= e

If fa * fc < 0 Then b = c Else a = c

Text4 = (a + b) / 2

7. Компьютерный эксперимент.

(Учащиеся выполняют проект в электронных таблицах, выписывают результат в тетрадь. Затем выполняют проект на языке Visual Basic, выписывают результат в тетрадь.)

Проект в электронных таблицах – Приложение 1.

8. Анализ полученных результатов.

(Учащиеся делают вывод, что результаты решения уравнения cos(x)=x, полученные с использованием разных инструментальных средств, одинаковые.)

9. Подведение итогов урока.

Тема: Приближенное графическое решение уравнений.

Цель: способствовать развитию навыка решать уравнения графическим способом с помощью электронных таблиц.

Ход урока:


  1. Организационный момент (2 мин)

  2. Актуализация знаний (8 мин)

2) Дайте определение электронной таблицы.


  1. Адрес ячейки.



  4. Ввод формул




  8. Логические функции

  1. Изучение нового материала (10 мин)
Найдем в электронных таблицах корень уравнения x 3 – sin x = 0 графическим способом. Ведем значения аргумента – 1,4 до 1,4 с шагом 0, 2

  1. Практическая работа № 51 (20 мин)
2) С помощью электронной таблицы решить графическим способом уравнение sin(x)=1/x на отрезке с точностью 0,1

  1. Домашнее задание (2 мин)
Подготовить уравнения для решения графическим способом

  1. Итоги урока (3 мин)

Тема :

Оборудование: компьютерный класс, проектор
Ход урока:

1) Применение электронных таблиц


  1. Адрес ячейки.

  2. Основные типы данных электронных таблиц.

  3. Текст в электронных таблицах.

  4. Ввод формул

  5. Относительные, абсолютные и смешанные ссылки.

  6. Какие категории встроенных функций вам известны?

  7. Приведите примеры математических функций.

  8. Логические функции

3. Изучение нового материала (10 мин)

Найдем в электронных таблицах корень уравнения x 3 – cos x = 0, используя метод подбора параметра. Ведем значения аргумента – 1,4 до 1,4 с шагом 0, 2
4. Практическая работа № 51 (20 мин)



2) С помощью электронной таблицы решить уравнение cos(x)=1/(x+1) на отрезке с точностью 1 графическим способом и используя метод подбора параметра.
5. Домашнее задание (2 мин)

Подготовить уравнения для решения графическим способом и методом подбора параметра.


  1. Итоги урока (3 мин)

Тема : Приближенное решение уравнений методом подбора параметра.

Цель: способствовать развитию навыка решать уравнения, используя метод подбора параметра.

Оборудование: компьютерный класс, проектор
Ход урока:

1. Организационный момент (2 мин)

2. Актуализация знаний (8 мин)

1) Применение электронных таблиц

2) Дайте определение электронной таблицы.


  1. Адрес ячейки.

  2. Основные типы данных электронных таблиц.

  3. Текст в электронных таблицах.

  4. Ввод формул

  5. Относительные, абсолютные и смешанные ссылки.

  6. Какие категории встроенных функций вам известны?

  7. Приведите примеры математических функций.

  8. Логические функции

3. Практическая работа № 51 (30 мин)

1) Найти в электронных таблицах корень уравнения x 2 = cos x , используя метод подбора параметра. Ведем значения аргумента – 3 до 3 с шагом 0, 2


  1. Решить уравнение sinx - 2x = 0, используя метод подбора параметра. Значения аргумента – -3 до 3 с шагом 0,5
3) С помощью электронной таблицы решить уравнение sin(x)=1/
на отрезке с точностью 1 графическим способом и используя метод подбора параметра.
5. Домашнее задание (2 мин)

МБОУ ООШ №6

Урок информатики

Тема Excel »

класс: IX (общеобразовательный)

учитель: Е.Н.Кулик

Тема урока: «Приближенное решение уравнений с помощью табличного процессора Excel »

Тип урока : урок - закрепление изученного

Вид урока: урок – практикум

Технология : проблемно – исследовательская

Оборудование : компьютерный класс оснащенный современной техникой и программным обеспечением

Цели урока:

    Формирование умений и навыков, носящих в современных условиях общенаучный и общеинтеллектуальный характер.

    Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.

    Научить школьников применять современное программное обеспечение в решении нестандартных задач.

Задачи урока:

    Воспитательная - развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.

    Учебная - изучить и закрепить основные навыки работы с электронными таблицами.

    Развивающая - развитие логического мышления, расширение кругозора.

План урока.

    Фронтальный опрос для проверки уровня подготовки учащихся к усвоению нового материала.

    Объяснение нового материала и самостоятельная работа учащихся на компьютерах.

    Выполнение индивидуальных дифференцированных заданий (работа в группах).

    Распечатка отчетов по практикуму и выставление оценок.

    Домашнее задание.

    Рефлексия.

ХОД УРОКА

I . Краткий инструктаж по технике безопасности в компьютерном классе.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы проводим практическое занятие по электронным таблицам в компьютерном классе. Для обеспечения безопасной работы необходимо выполнять следующие правила:

Нельзя самостоятельно, без разрешения учителя, включать и выключать компьютер;

Нельзя касаться тыльной стороны компьютера и проводов;

Нельзя нажимать клавиши ручкой или карандашом;

Нельзя ходить по классу, вставать со своего места;

В случае неисправности компьютера или при обнаружении запаха гари - подозвать учителя.

      Фронтальный опрос.

На прошлом теоретическом занятии мы уже говорили о дополнительных возможностях программы Excel.

    Вспомним для чего нужна эта программа? (С помощью ее богатой библиотеки диаграмм можно составить диаграммы и графики разных видов: круговые, столбчатые диаграммы, графики; можно снабжать заголовками и пояснениями, можно задавать цвет и вид штриховки в диаграммах; печатать на бумаге, изменяя размеры и расположение на листе и вставлять диаграммы в нужное место листа)

    Как вы понимаете термин «деловая графика»? (Под этим термином обычно понимают графики и диаграммы, наглядно представляющие динамику развития того или иного производства, отрасли и любые другие числовые данные)

    При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Excel? (Диаграммы и графики можно построить с помощью кнопки вызова Мастера диаграмм)

    Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле? (Чтобы задать автоматическое вычисление в таблице значений по определенной формуле надо ввести знак «=», затем активизировать нужную ячейку и вводить соответствующие знаки арифметических операций)

    Можно ли контролировать ввод формулы? (Контролировать ввод формулы можно используя окно ввода формулы)

    Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее? (Чтобы занести формулу в несколько ячеек нужно установить курсор на нижнем правом маркере ячейки и протянуть его до последней ячейки в нужном диапазоне)

    Что можно сказать о виде курсора, установленном на правом нижнем маркере ячейки?

III . Изложение нового материала и самостоятельная работа учащихся на компьютерах.

Тема урока«Приближенное решение уравнений с помощью табличного процессора Excel »

    Из курса математики давайте вспомним, что значит решить уравнение? (Решить уравнение значит найти его корни или доказать, что корней нет)

    Какие способы решения уравнений вам известны? (Существуют два способа решения уравнений: аналитический и графический)

    Остановимся на графическом методе нахождения корней. Исходя из этого метода, скажите, пожалуйста, чем являются корни уравнения? (корнями уравнения являются значения точек пересечения графика функции с осью абсцисс).

    Если мы решаем систему уравнений, то что будет ее решением? (Решением системы уравнений будут координаты точек пересечения графиков функций).

    На прошлом занятии мы узнали, что с помощью программы Excel можно строить практически любые графики.

Воспользуемся этими знаниями для нахождения корней системы уравнений графическим методом.

    Что нужно сделать, чтобы решить эту систему уравнений? (Преобразовать данную систему в приведенную)

Получаем: х 2 =2х+9

Для оценки решений воспользуемся диаграммой на которой отобразим графики обеих функций в одой системе координат.

Сначала постоим таблицу.

Первая строка - строка заголовков

При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента х. Ребята, предложите начальное значение х (___).

    А почему мы можем взять начальное значение равное ____? (Потому что область определения обеих функций - все действительные числа).

Для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу:

А2+1, где +1 - это шаг изменения аргумента и скопировать ее до ячейки А23.

При заполнении столбца В в ячейку В2 заносим формулу А2*А2, которую тоже копируем до ячейки В23.

При заполнении столбца С в ячейку С2 заносим формулу 2*А2+9 и также копируется до С23.

Выделите полученную таблицу.

На панели Стандартная щелкните на кнопке «Мастер диаграмм», откроется окно «Мастер диаграмм», щелкните на типе «Точечная», затем выберите вид «Точечная диаграмма со значениями соединенными сглаженными линиями» и построим диаграмму оценки решений.

    Что мы видим на диаграмме? (На диаграмме видно, что оба графика имеют две точки пересечения)

    Что можно сказать об этих точках пересечения?(Координаты точек пересечения и есть решения системы)

По графику приближенно можно определить координаты

Давайте еще раз вспомним, как графически найти решение уравнения?

(Это можно сделать, построив график функции y = x ^3-2 x ^2+4 x -12 и определив координату х точек пересечения с осью ОХ.

Или представить данное уравнение в виде x ^3=2 x ^2-4 x +12 и построив два графика y = x ^3 y =2 x ^2-4 x +12 и определить абсциссы точек пересечения графиков функций и значения абсцисс будут корнями уравнения)

Мы уже рассмотрели построение двух графиков. Давайте найдем решение этого уравнения, определив координату х точек его пересечения с осью ОХ.

Начинаем с заполнения таблицы.

В строку заголовков заносим текст:

Х y=x^3-2x^2+4x-12

Я предлагаю начальное значение аргумента взять равное 0, его заносим в ячейку А2.

В ячейку А3 заносим формулу =А2+0,15 и копируем до ячейки А20.

В ячейку В2 заносим формулу =А2^3-2*А2^2+4*А2-12 и также копируем до В20.

Как определяем решение уравнения? (определяем координату х точек пресечения графика с осью ОХ)

Сколько таких точек? (одна)

Чему равна ее абсцисса (х=2,4)

        Выполнение индивидуальных дифференцированных заданий (работа в группах)

Таким образом мы видим, что используя программу Excel, можно графически решить практически любое уравнение, что мы сейчас и сделаем.

Каждая группа получит индивидуальное задание. После выполнения задания группа должна распечатать таблицы и графики своего задания.

В каждой группе есть консультанты, и я при выставлении оценок буду учитывать его мнение. На работу вам отводится 10минут.

2x+y=-3 2y=34-x^2 x^2+y^2=25

2x^2=-22+5x+y y=x^2+11 3y=4x

решений нет (-2;15), (2;15) (3;4), (-3;-4)

(выступление консультантов)

V . Домашнее задание: Проанализировать и проверить задания, оформить отчеты в тетради.

VI .Рефлексия.

Сегодня на уроке мы рассмотрели …

С помощью программы Excel можно строить …

До этого урока я не знал …

Я на уроке злился на себя, потому что …

Я могу похвалить сегодня …. ,за то, что…

Сегодня на уроке я научился…

Мне на протяжении всего урока было …