В котором все точки отрезка , образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Определения

Примеры

  • Выпуклые подмножества множества \R (множество вещественных чисел) представляют собой интервалы из \R.
  • Примерами выпуклых подмножеств в двумерном евклидовом пространстве (\R^2) являются правильные многоугольники .
  • Примерами выпуклых подмножеств в трёхмерном евклидовом пространстве (\R^3) являются архимедовы тела и правильные многогранники .
  • Тела Кепплера - Пуансо (правильные звездообразные многогранники) являются примерами невыпуклых множеств.

Свойства

  • Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным , гомотопически эквивалентным точке.
  • В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
  • Пусть K - выпуклое множество в линейном пространстве. Тогда для любых элементов u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r принадлежащих K и для всех неотрицательных \lambda_1,\;\lambda_2,\;\ldots,\;\lambda_r , таких что \lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_r=1, вектор w=\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k
принадлежит K.
  • Вектор w называется выпуклой комбинацией элементов u_1,\;u_2,\;\ldots,\;u_r.

Вариации и обобщения

  • Без каких-либо изменений определение работает для аффинных пространств над произвольным расширением поля вещественных чисел.

См. также

Напишите отзыв о статье "Выпуклое множество"

Литература

  • Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. - М .: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 416 с. - ISBN 5-9221-0499-3 . .
  • Тиморин В. А. . - М .: МЦНМО , 2002. - 16 с. - ISBN 5-94057-024-0 . .

Ссылки

Отрывок, характеризующий Выпуклое множество

И Наташа встала на цыпочках и прошлась из комнаты так, как делают танцовщицы, но улыбаясь так, как только улыбаются счастливые 15 летние девочки. Встретившись в гостиной с Соней, Ростов покраснел. Он не знал, как обойтись с ней. Вчера они поцеловались в первую минуту радости свидания, но нынче они чувствовали, что нельзя было этого сделать; он чувствовал, что все, и мать и сестры, смотрели на него вопросительно и от него ожидали, как он поведет себя с нею. Он поцеловал ее руку и назвал ее вы – Соня. Но глаза их, встретившись, сказали друг другу «ты» и нежно поцеловались. Она просила своим взглядом у него прощения за то, что в посольстве Наташи она смела напомнить ему о его обещании и благодарила его за его любовь. Он своим взглядом благодарил ее за предложение свободы и говорил, что так ли, иначе ли, он никогда не перестанет любить ее, потому что нельзя не любить ее.
– Как однако странно, – сказала Вера, выбрав общую минуту молчания, – что Соня с Николенькой теперь встретились на вы и как чужие. – Замечание Веры было справедливо, как и все ее замечания; но как и от большей части ее замечаний всем сделалось неловко, и не только Соня, Николай и Наташа, но и старая графиня, которая боялась этой любви сына к Соне, могущей лишить его блестящей партии, тоже покраснела, как девочка. Денисов, к удивлению Ростова, в новом мундире, напомаженный и надушенный, явился в гостиную таким же щеголем, каким он был в сражениях, и таким любезным с дамами и кавалерами, каким Ростов никак не ожидал его видеть.

Вернувшись в Москву из армии, Николай Ростов был принят домашними как лучший сын, герой и ненаглядный Николушка; родными – как милый, приятный и почтительный молодой человек; знакомыми – как красивый гусарский поручик, ловкий танцор и один из лучших женихов Москвы.
Знакомство у Ростовых была вся Москва; денег в нынешний год у старого графа было достаточно, потому что были перезаложены все имения, и потому Николушка, заведя своего собственного рысака и самые модные рейтузы, особенные, каких ни у кого еще в Москве не было, и сапоги, самые модные, с самыми острыми носками и маленькими серебряными шпорами, проводил время очень весело. Ростов, вернувшись домой, испытал приятное чувство после некоторого промежутка времени примеривания себя к старым условиям жизни. Ему казалось, что он очень возмужал и вырос. Отчаяние за невыдержанный из закона Божьего экзамен, занимание денег у Гаврилы на извозчика, тайные поцелуи с Соней, он про всё это вспоминал, как про ребячество, от которого он неизмеримо был далек теперь. Теперь он – гусарский поручик в серебряном ментике, с солдатским Георгием, готовит своего рысака на бег, вместе с известными охотниками, пожилыми, почтенными. У него знакомая дама на бульваре, к которой он ездит вечером. Он дирижировал мазурку на бале у Архаровых, разговаривал о войне с фельдмаршалом Каменским, бывал в английском клубе, и был на ты с одним сорокалетним полковником, с которым познакомил его Денисов.
Страсть его к государю несколько ослабела в Москве, так как он за это время не видал его. Но он часто рассказывал о государе, о своей любви к нему, давая чувствовать, что он еще не всё рассказывает, что что то еще есть в его чувстве к государю, что не может быть всем понятно; и от всей души разделял общее в то время в Москве чувство обожания к императору Александру Павловичу, которому в Москве в то время было дано наименование ангела во плоти.
В это короткое пребывание Ростова в Москве, до отъезда в армию, он не сблизился, а напротив разошелся с Соней. Она была очень хороша, мила, и, очевидно, страстно влюблена в него; но он был в той поре молодости, когда кажется так много дела, что некогда этим заниматься, и молодой человек боится связываться – дорожит своей свободой, которая ему нужна на многое другое. Когда он думал о Соне в это новое пребывание в Москве, он говорил себе: Э! еще много, много таких будет и есть там, где то, мне еще неизвестных. Еще успею, когда захочу, заняться и любовью, а теперь некогда. Кроме того, ему казалось что то унизительное для своего мужества в женском обществе. Он ездил на балы и в женское общество, притворяясь, что делал это против воли. Бега, английский клуб, кутеж с Денисовым, поездка туда – это было другое дело: это было прилично молодцу гусару.
В начале марта, старый граф Илья Андреич Ростов был озабочен устройством обеда в английском клубе для приема князя Багратиона.
Граф в халате ходил по зале, отдавая приказания клубному эконому и знаменитому Феоктисту, старшему повару английского клуба, о спарже, свежих огурцах, землянике, теленке и рыбе для обеда князя Багратиона. Граф, со дня основания клуба, был его членом и старшиною. Ему было поручено от клуба устройство торжества для Багратиона, потому что редко кто умел так на широкую руку, хлебосольно устроить пир, особенно потому, что редко кто умел и хотел приложить свои деньги, если они понадобятся на устройство пира. Повар и эконом клуба с веселыми лицами слушали приказания графа, потому что они знали, что ни при ком, как при нем, нельзя было лучше поживиться на обеде, который стоил несколько тысяч.

Множество AÌE называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками x 1 и x 2 содержит отрезок, соединяющий их, т.е. множества вида

[x 1 x 2 ]={x ÎE n | x =lx 1 +(1-l)x 2 , 0 £l £1}.

Рассмотренные выше полупространства являются выпуклыми множествами. Проверим, например, выпукло ли полупространство Н + ab {x ÎE n | ³b}. Для этого рассмотрим две произвольные точки x 1 и x 2 этого полупространства. Для этих точек выполнены неравенства

x 1 >³ b, x 2 >³ b.

Сложим эти два неравенства, предварительно умножив первое на произвольное число lÎ, а второе на 1-l. В результате получим неравенство

lx 1 > + (1-l) x 2 > = x 1 + (1-l)x 2 >³ b.

Поскольку l произвольно, весь отрезок, соединяющий выбранные точки, принадлежит данному полупространству. Следовательно, полупространство действительно является выпуклым множеством.

Рис.2.10.выпуклое(а), невыпуклое(б) множества.

Глава 3.Основные сведения о функциях .

3.1 Понятие функций .

Пусть X и Y два множества. Если указано правило, согласно которому каждому элементу множества X поставлен в соответствие определенный элемент множества Y, то говорят, что задана функция f , отображающая X в Y. Этот факт записывают в виде f: X®Y или y=f(x) , где x ÎX, yÎY. Множество X называется областью данных или областью определения функции, а множество Y- множество значений. Функция f(x) представляет собой правило, которое позволяет каждому значению x поставить в соответствие единственное значение y=f(x) . В этом случае x- независимая переменная, y- зависимая переменная. Функции y=f(x)=f(x 1 +x 2 ,..,x n), т.е. функции с областью задания X Ì E n и множеством значений Y Ì E называют числовыми функциями в отличие от векторных функций, для которых YÌ E m , m>1.

Множество вида

{(x,y)ÎE n +1 ½ y=f(x) при некоторых xÎX}

называют графиком функции y=f(x) .

Ряд физических процессов можно описать с помощью непрерывных функций, т.е. функций, которые обладают свойством непрерывности в каждой точке x, принадлежащей областям их определения.

Функцию f называют непрерывной в точке x 0 ÎX, если для любого числа e>0 можно указать такое число d e >0, что для всех xÎX Ç Ède ½x 0 ½ выполняется неравенство ½f(x)-f(x 0)½

В качестве примеров функций, непрерывных на E n , приведем линейную функцию f 1 (x)=+b=c 1 x 1 +c 2 x 2 +..+c n x n +b и квадратичную функцию f 2 (x)=1/2++b,

где Q- числовая симметрическая матрица размера n*m, с- некоторый вектор из E n и b- некоторое число, а Qx означает произведение матрицы на вектор по правилам перемножения матриц, принятых в линейной алгебре.

3.2 Классификация функций.

3.2.1 Разрывные и дискретные функции.

В инженерных приложениях нередки случаи, когда приходится использовать

разрывные функции. Например, затраты на сообщение некоторой системе количества

тепла при различных температурах системы получаем кусочно- непрерывную кривую (рис 3.1). возможны случаи, когда переменная принимает дискретные значения(рис 3.2).

В зависимости от того, является ли исследуемая функция непрерывной или разрывной следует использовать различные методы исследования. Необходимо отметить, что метод эффективный при анализе непрерывных функций, может оказаться неэффективным при исследовании разрывных функций, хотя обратное не исключается.

Функции можно также классифицировать в соответствии с их формой, определяющей топологические свойства функций в рассматриваемом интервале.

3.2.2 Монотонные функции.

Функция f(x) является монотонной (рис 3.3) как при возрастании, так и убывании), если для двух произвольных точек x 1 и x 2 , таких, что x 1 f(x 1)£ f(x 2) (монотонно возрастающая функция)
f(x 1)³ (x 2) (монотонно убывающая функция)

Рис.3.3. К понятию монотонной функции.

На рис 3.4 изображен график функции, которая монотонно убывает при x£0 и монотонно возрастает при x³0. Функция достигает своего минимума в точке x=x * (начале координат0) и монотонна по обе стороны от точки минимума. Такие функции называются унимодальными. Заметим что унимодальная функция вовсе не должна быть гладкой (рис. 3.4, а) и даже непрерывной (рис.3.4,б), она может быть изломанной (недифференцируемой), разрывной (рис 3.4, в), дискретной (рис. 3.4 г) и даже может в некоторых интервалах не быть определенной (рис. 3.4, д.).

Итак функция f(x) называется унимодальной на отрезке , если она непрерывна на и существуют числа a и b a£a£b£b, такие, что:

1) если a

2) если b

3) при xÎ f(x)=f * =min f(x);

Рис.3.4.Унимодальные функции: а) гладкая, б) непрерывная, в) разрывная, г) дискретная, д) произвольная.

возможно вырождение в точку одного или двух из отрезков , , (рис 3.5).

Рис.3.5. Варианты расположения и вырождения в точку отрезков монотонности и постоянства унимодальной функции.

множество функций, унимодальных на отрезке будем обозначать Q. Унимодальность функций является исключительно важным свойством, которое широко используется в оптимизационных исследованиях.

3.2.3 Выпуклые, псевдовыпуклые и квазивыпуклые функции .

Выпуклые функции и их обобщения (псевдовыпуклые и квазивыпуклые функции) играют важную роль в теории оптимизации. С помощью этих функций будут сформулированы достаточные условия оптимальности.

Числовую функцию f, определенную на выпуклом множестве X, XÌE n , называют выпуклой, если для любых двух точек x 1 ,x 2 ÎX и произвольного числа lÎ выполняется неравенство

f(lx 1 +(1-l)x 2) £ lf(x 1)+(1-l)f(x 2). (3.1)

Неравенство противоположного смысла определяет вогнутую функцию, причем часто используются термины «выпуклая вниз (1)» «выпуклая вверх (2)» (рис3.6).

Рис.3.6. 1) Выпуклая (выпуклая вниз) функция, 2) Вогнутая (вогнутая вверх)функция.

Геометрически выпуклость функции f означает, что любая точка произвольной хорды графика f располагается не ниже соответствующей точки самого графика (лежит ниже хорды, соединяющей две точки ее графика),(рис 3.6., кривая 1).

Простейшими примерами выпуклых функций одной переменной служат парабола y=x 2 и экспонента y=e x . Функции y=-x 2 и y=-e x являются вогнутыми.

Если при всех x 1, x 2 ÎX x 1 ¹x 2 и lÎ неравенство (3.1) выполняется как строгое (<), то f называется строго выпуклой на X (рис 3.7,а). Функция называется (строго) выгнутой , если - f (строго) выпукла (рис. 3.7, б).

Рис.3.7. Строго выпуклая (а) и строго вогнутая функции, их производные (пунктир) и функция, имеющая линейный участок

Функция f(x) , определенная на выпуклом множестве Х , называется сильно выпуклой с константой l > 0, если

Дадим геометрическую интерпретацию определения (3.2), рассмотрев функцию

y= f(x) одного переменного. Зафиксировав x 1 и x 2 из области определения функции и обозначив , будем изменять l от 0 до 1. Ясно, что тогда значение x(l) , будет изменяться от x 1 до х 2 , а точка (х , f(x) ) пройдет по графику функции y=f(x) от точки B= (x 2 , f(x 2) ) до точки А = (х 1 , f(x 1)) (рис.3.8).

Рис.3.8. График сильно выпуклой функции.

Уравнения

в плоскости xOy описывают прямую L (секущую), соединяющую точки А и В , а уравнения

задают параболу Р вида , которая проходит через точки А и В . Неравенство (3.2) в этом случае означает, что график функции y = f(x) на плоскости хОу расположен ниже не только секущей, соединяющей точки А и В , но и параболы Р, прогиб которой определяется параметром l и его можно выбрать сколь угодно малым. Другими словами, в области, ограниченной секущей и графиком функции, можно построить параболу, соединяющую точки А и В .

· Теорема3.1 Непрерывно дифференцируемая на выпуклом множестве X функция f выпукла на этом множестве тогда и только тогда, когда для любых x 1 ,x 2 Î X верно неравенство

f(x 2) ³ f(x 1) + <Ñf(x 1 ,x 2 -x 1)>, (3.3)

получаемое из разложения функции f(x) в ряд Тейлора в точке x 1 путем исключения членов второго и более высокого порядка разложения

F(x 1 +h) = f(x 1) + hf ¢(x 1) + h 2 /2*f¢¢(x 1) +..., (3.3)

где h достаточно малое число, |h|

Ñf(x 1) = (¶f/¶x 1 , ¶f/¶x 2 ,.., ¶f/¶x n) т,

т.е. представляет собой вектор частичных производных первого порядка, вычисленных в точке x 1 и называется градиентом функции f в точке x 1 .

· Теорема 3.2 Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на выпуклом множестве X, содержащем хотя бы одну внутреннюю точку, и Ñ 2 f(x)- ее гессиан. Тогда для выпуклости f на множестве X необходимо и достаточно, чтобы матрица Ñ 2 f(x) была неотрицательно определена при всех xÎX, т.е. чтобы неравенство

<Ñ 2 f(x)h, h>³0 (3.4)

выполнялось для всех точек xÎX, hÎE n . Здесь числовая матрица Ñ 2 f(x) называется гессианом (или матрицей Гессе). Если функция f имеет непрерывные частные производные второго порядка (дважды непрерывно дифференцируема) в точке x 1 , то она дважды дифференцируема в x 1 и обладает матрицей Гессе вида

причем эта матрица симметрична, т.е.

Аналогичные утверждения имеют место и для вогнутых функций. При этом в формулах (3.2) и (3.4) знак неравенства ³ следует заменить на £.

Проверка функции на выпуклость .

Функция f выпуклая, если ее матрица Гессе положительно определена (>0) или положительна полуопределена для всех значений x 1 ,x 2 ,..,x n.

Проверка функции на выгнутость.

Функция f выгнутая, если ее матрица Гессе отрицательно полуопределена (£0) для всех значений x 1 ,x 2 ,..,x n .

Строго выпуклая или вогнутая функция имеет единственный экстремум, являющийся соответственно глобальным минимумом или максимумом. Функция, имеющая линейный участок (рис 3.7, в), имеет бесконечное число экстремумов, равных по величине.

Для суждения об одноэкстремальности при наличии ограничений можно воспользоваться понятием выпуклости допустимого множества. Множество является выпуклым, если любой отрезок прямой, соединяющей две точки границ множества, целиком лежит внутри множества.

О выпуклости или вогнутости целевой функции можно судить также по характеру изменения ее частных производных ¶f/¶x. В случае строго выпуклой функции эта производная по мере увеличения аргумента возрастает (рис 3.7 а), а для строго выпуклой падает (рис 3.7 б). При наличии линейного участка целевой функции указанная производная на этом участке постоянна.

Выпуклое множество вида

X={xÎE n } | Ax£b}={xÎE n | £b i , i=1,..,m}

где A- некоторая матрица размера m*n со строками a 1 ,..,a m , b=(b 1 ,..,b m) Î E n (m=1,2,..). Принято называть полиэдральными или просто полиэдрами. Таким образом, полиэдр - это множество решений некоторой системы конечного числа линейных неравенств, или, что то же самое, пересечение конечного числа полупространств (рис 3.9).

Рис.3.9. Полиэдральное множество (полиэдр).

Множество X называется выпуклым, если для любых двух его точек A,B ∈ X все точки отрезка также принадлежат множеству X, то есть если для любых двух его точек A,B ∈ X и для любого значения α in точка M = αA + (1 − α)B также принадлежит множеству X: M ∈ X.

Пусть дано X1, ...Xn - выпуклые множества. Обозначим Y =Xi - пересечение выпуклых множеств. Покажем, что Y - выпуклое множество. Для этого покажем, что длялюбых точек A,B ∈ Y и для любого значения α in точка M = αA + (1 − α)B также принадлежит множеству Y: M ∈ Y . Так как Y - суть пересечение выпуклых множеств X1, ...Xn, то выбранные произвольным образом точки A,B принадлежат каждому из этих множеств Xi, i = 1..n. В силу выпуклости каждого из множеств Xi по определению следует, что для произвольно выбранного значения α ∈ точка M = αA+(1−α)B принадлежит каждому из множеств (все они выпуклы и содержат A,B). Так как все множества Xi содержат точку M, то и

пересечение этих множеств также содержит точку M: M ∈ Y . Из последнего включения в силу произвольности A,B ∈ Y и произвольности параметра α ∈ следует выпуклость множества Y , что и требовалось показать.

95. Является ли множество точек , удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.

Да, очевидно, что это равенство задаёт линейную полуплоскость в R4.

Обоснуем это по оределению:

A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X,

удовлетворяющие вышеуказанному неравенству.

Рассмотрим произвольную точку M = αA + (1 − α)B, где α ∈ – произвольное значение параметра. ТогдаM(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B

m1 = αa1 + (1 − αb1)

m2 = αa2 + (1 − αb2)

m3 = αa3 + (1 − αb3)

m4 = αa4 + (1 − αb4)

выполнимости заданного неравенства:

5 + 2m1 + 3m2 − m3 + 5m4 ≥ 0

5 + 2(αa1 + (1 − αb1)) + 3(αa2 + (1 − αb2)) − (αa3 + (1 − αb3)) + 5(αa4 + (1 − αb4)) ≥ 0

Представим 5 = α5+(1−α)5, раскроем и сгруппируем слагаемые для ai и bi. Получим:

α(5 + 2a1 + 3a2 − a3 + 5a4) + (1 − α)(5 + 2b1 + 3b2 − b3 + 5b4) ≥ 0

Так как точки A,B лежат в множестве X, то их координаты удовлетворяют неравенству,

задающему множество. Значит, оба слагаемых неотрицательны в силу неотрицательности



α и 1 − α. Поэтому последнее неравенство выполнено для любых A,B и любого значения

параметра α ∈ . По определению мы показали, что данное множество X является

выпуклым.

96. Является ли множество точек удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.

Да, очевидно, что это равенство задаёт линейную гиперплоскость в R4.

Обоснуемэто по оределению:

Рассмотрим любые две точки этого пространства

A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X

удовлетворяющие вышеуказанному равенству.

Рассмотрим произвольную точку M = αA + (1 − α)B, где α ∈ – произвольное значение параметра. Тогда M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B

m1 = αa1 + (1 − αb1)

m2 = αa2 + (1 − αb2)

m3 = αa3 + (1 − αb3)

m4 = αa4 + (1 − αb4)

Проверим для точки M(m1,m2,m3,m4) принадлежность к множеству X с помощью

выполнимости заданного равенства:

m1 + 2m2 − 3m3 + 4m4 = 55

(αa1 + (1 − αb1)) + 2(αa2 + (1 − αb2)) − 3(αa3 + (1 − αb3)) + 4(αa4 + (1 − αb4)) = 55

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые для ai и bi. Получим:

α(a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) + (1 − α)(b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55

Так как точки A,B лежат в множестве X, то их координаты удовлетворяют равенству,

задающему множество, то есть (a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) = 55 и (b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55.

Подставив эти равенства в последнее выражение получим:

α55 + (1 − α)55 = 55

Последнее равенство выполнено для любых A,B и любого значения параметра α ∈ . По определению мы показали, что данное множество X является выпуклым.

97. Приведите примеры выпуклого множества: а) имеющего угловую точку; б) не имеющего угловой точки. Может ли не ограниченное выпуклое множество иметь угловую точку? Приведите пример.

а) квадрат имеет 4 угловые точки

б) окружность не имеет угловых точек

в) неограниченное множество может иметь угловые точки: имеет одну угловую точку (0;0)

98. Дайте определение выпуклой оболочки системы точек. Пусть - выпуклая оболочка точек , , , . Принадлежат ли множеству точки: , ? Ответ обоснуйте.

то есть выполнено условие того, что это выпуклая линейная комбинация, а значит X входит в состав выпуклой оболочки. Предположим, что Y входит также в выпуклую комбинацию, тогда все точки отрезка должны входить в линейную комбинацию, но по исходным точкам видно (все они находятся правей прямой x = -1), что вся выпуклая комбинация расположена справа от прямой x =-1, а точка Y - слева, что подтверждает, что ни весь отрезок ни точка Y - не принадлежат выпуклой оболочке.

При исследовании экономических явлений математическими методами весьма значительным оказывается такое свойство многих множеств и функций, как выпуклость. Характер поведения многих экономических объектов связан с тем, что определенные зависимости, описывающие эти объекты, являются выпуклыми.

С выпуклостью функций и множеств часто связано существование или единственность решения экономических задач: на этом же свойстве основаны многие вычислительные алгоритмы.

Справедливость многих утверждений, относящихся к выпуклым множествам и функциям, совершенно ясна, они почти очевидны. В то же время их доказательство зачастую очень сложно. Поэтому здесь будут изложены некоторые основные факты, связанные с выпуклостью, без доказательств, в расчете на их интуитивную убедительность.

Выпуклые множества на плоскости .

Любая геометрическая фигура на плоскости может рассматриваться как множество точек, принадлежащих этой фигуре. Одни множества (например, круг, прямоугольник, полоса между параллельными прямыми) содержат и внутренние, и граничные точки; другие (например, отрезок, окружность) состоят только из граничных точек.

Множество точек на плоскости называется выпуклым, если оно обладает следующим свойством: отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве.

Примерами выпуклых множеств являются: треугольник, отрезок, полуплоскость (часть плоскости, лежащая по одну сторону от какой-либо прямой), вся плоскость.

Множество, состоящее из одной-единственной точки, и пустое множество, не содержащее ни одной точки, по принятому соглашению, также считаются выпуклыми. Во всяком случае, в этих множествах невозможно провести отрезок, соединяющий какие-то точки этих множеств и не принадлежащий этим множествам целиком, - в них вообще невозможно выбрать две точки. Поэтому их включение в число выпуклых множеств не приведет к противоречию с определением, а для математических рассуждений этого достаточно.

Пересечение, т. е. общая часть двух выпуклых множеств, всегда выпукло: взяв любые две точки пересечения (а они - общие, т. е. принадлежат каждому из пересекающихся множеств) и соединив их отрезком, мы легко убеждаемся в том, что все точки отрезка являются общими для обоих множеств, так как каждое из них выпукло. Выпуклым будет и пересечение любого числа выпуклых множеств.

Важным свойством выпуклых множеств является их отделимость: если два выпуклых множества не имеют общих внутренних точек, то плоскость можно разрезать по прямой таким образом, что одно из множеств будет целиком лежать в одной полуплоскости, а другое - в другой (на линии разреза могут располагаться точки обоих множеств). Отделяющая их прямая в одних случаях оказывается единственно возможной, в других - нет.

Граничная точка любого выпуклого множества сама может рассматриваться как выпуклое множество, не имеющее с исходным множеством общих внутренних точек, следовательно, она может быть отделена от него некоторой прямой. Прямая, отделяющая от выпуклого множества его граничную точку, называется опорной прямой этого множества в данной точке. Опорные прямые в одних точках контура могут быть единственными, в других - не единственными.

Введем на плоскости систему декартовых координат х, у. Теперь у нас появилась возможность рассматривать различные фигуры как множества таких точек, координаты которых удовлетворяют тем или иным уравнениям или неравенствам (если координаты точки удовлетворяют какому-либо условию, будем для краткости говорить, что сама точка удовлетворяет этому условию).

Задача линейного программирования - это нахождение минимума линейной функции f: n > 1 , заданной на некотором замкнутом выпуклом множестве, выделенном линейными неравенствами.

Общая задача линейного программирования имеет вид:

Дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными

и линейная функция F = c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n min (max)

Система (1) называется системой ограничений, а функция F - линейной функцией, линейной формой, целевой функцией или функцией цели.

Более кратко общую задачу линейного программирования можно представить в виде:

x={x|Axb, A=, b=( T )}

Задачу линейного программирования записывают и в других формах - канонической и нормальной. Канонической задачей - обозначение Зк, назовем такую:

x={x|Axb, ?0, j=)}

Нормальной задачей - обозначение Зн, назовем такую

x={x|Axb, ?0, j=)}

Выпуклые множества и функции

Определение выпуклого множества: множество - - выпуклое, если вместе с любыми двумя точками множеству принадлежат все точки отрезка, соединяющего в пространстве точку с точкой.

На следующем рисунке изображены два множества на плоскости: одно выпуклое, а другое нет.

Рис. 1

Выпуклыми в пространстве являются, например, такие множества: всё пространство, его положительный октант и неотрицательный октант, любой шар, как открытый, так и замкнутый, любая гиперплоскость (заданная некоторым уравнением вида, а также открытое и замкнутое полупространства, заданные, соответственно, условиями и.

Среди точек выпуклого множества можно выделить внутренние, граничные и угловые точки.

Точка множества называется внутренней , если в некоторой ее окрестности содержатся точки только данного множества.

Точка множества называется граничной , если в любой ее окрестности содержатся как точки, принадлежащие данному множеству, так и точки, не принадлежащие ему.

Особый интерес в задачах линейного программирования представляют угловые точки. Точка множества называется угловой (или крайней), если она не является внутренней ни для какого отрезка, целиком принадлежащего данному множеству.

На рис. приведены примеры различных точек многоугольника: внутренней (точки М), граничной (точка N) и угловых (точки А, В, С, D, Е). Точка А - угловая, так как для любого отрезка, целиком принадлежащего многоугольнику, например, отрезка АР, она не является внутренней; точка А - внутренняя для отрезка KL, но этот отрезок не принадлежит целиком многоугольнику.

Для выпуклого множества угловые точки всегда совпадают с вершинами многоугольника (многогранника), в то же время для невыпуклого множества это не обязательно. Множество точек называется замкнутым, если включает все свои граничные точки. Множество точек называется ограниченным , если существует шар (круг) радиуса конечной длины с центром в любой точке множества, который полностью содержит в себе данное множество; в противном случае множество называется неограниченным. Выпуклое замкнутое множество точек плоскости, имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многоугольником, если оно ограниченное, и выпуклой многоугольной областью, если оно неограниченное.

Функция f: называется выпуклой, если ее надграфик epi f= является выпуклым множеством. На рисунке изображена выпуклая функция, её график выделен синим и надграфик закрашен зеленым.

Функция f: называется замкнутой, если ее надграфик - замкнутое множество.

Геометрический смысл решений неравенств, уравнений и их систем

Рассмотрим решения неравенств.

Утверждение 1. Множество решений неравенства с двумя переменными a11x1+a12x2<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства a11x1+a12x2>=b1.

Для определения искомой полуплоскости (верхней или нижней) рекомендуется задать произвольную контрольную точку, не лежащую на ее границе - построенной прямой. Если неравенство выполняется в контрольной точке, то оно выполняется и во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. И наоборот, в случае невыполнения неравенства в контрольной точке, оно не выполняется во всех точках полуплоскости, содержащей контрольную точку, и выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве контрольной точки удобно взять начало координат О (0; 0), не лежащее на построенной прямой.

Рассмотрим множество решений систем неравенств.

Утверждение 2. Множество решений совместной системы т линейных неравенств с двумя переменными является выпуклым многоугольником (или выпуклой многоугольной областью).

Каждое из неравенств в соответствии с утверждением 1 определяет одну из полуплоскостей, являющуюся выпуклым множеством точек. Множеством решений совместной системы линейных неравенств служат точки, которые принадлежат полуплоскостям решений всех неравенств, т.е. принадлежат их пересечению. Согласно утверждению о пересечении выпуклых множеств это множество является выпуклым и содержит конечное число угловых точек, т.е. является выпуклым многоугольником (выпуклой многоугольной областью).

Координаты угловых точек - вершин многоугольника находят как координаты точек пересечения соответствующих прямых.

При построении областей решений систем неравенств могут встретиться и другие случаи: множество решений - выпуклая многоугольная область (рис. а); одна точка (рис. б); пустое множество, когда система неравенств несовместна (рис. в).

Определение понятия двойственности с помощью преобразования Лежандра

Пусть f:. Функция f*: определенная равенством f*(x*)==(x*), называется сопряженной функцией к f, а функция f**: определенная по правилу f**(x*)==(x*), называется второй сопряженной функцией к f.

Отображение f* (x*) =< x*, x> ? f(x) называется преобразованием Лежандра.

Обычный прием построения двойственной задачи состоит в следующем. Задача минимизации

где X - линейное пространство, включается в класс подобных ей задач, зависящих от параметра:

где Y - некоторое другое линейное пространство, F (x, 0)=f(x) (функцию F называют возмущением f). Обычно F предполагается выпуклой. Двойственной к задаче по отношению к данному возмущению наз. задача

где F* - функция, двойственная (сопряженная) с F в смысле Лежандра - Юнга - Фенхеля. Такая двойственность позволяет связать с каждой выпуклой функцией f: X-> R двойственный объект - сопряженную функцию, заданную на сопряженном пространстве X* и определяемую формулой

Для простейших задач выпуклого программирования типа

где X - линейное пространство, выпуклые функции на X, В-выпуклое множество в X (частными случаями (3) являются задачи линейного программирования), обычно применяются следующие стандартные возмущения, зависящие от параметров y=(у 1 ,…, y m), m, Теоремы двойственности для общих классов задач выпуклого программирования утверждают, что при некоторых допущениях на возмущение F значения задач (2) и (2*) совпадают, и более того, решение одной из задач является множителем Лагранжа для другой.