Дифференциальные уравнения можно линеаризовать следующими методами:

1. нелинейная функция рабочей области раскладывается в ряд Тейлора.

2. Заданные в виде графов нелинейные функции линеаризуются в рабочей плоскости прямыми.

3. Вместо непосредственного определения частных производных, вводятся переменные в исходные нелинейные уравнения.

,

. (33)

4. Данный метод основан на определении коэффициентов по методу наименьших квадратов.

, (34)

где - постоянное времени пневмопривода;

- передаточный коэффициент пневмопривода;

- коэффициент демпфирования пневмопривода.

Внутреннее строение элементов САР наиболее просто определяется с помощью структурных схем графов. В отличие от известных структурных схем в графах, переменные указываются в виде времени, а дуги обозначают или параметры, или передаточные функции типовых звеньев. Между ними существует четное соотношение.

Мм нелинейных элементов

Рассмотренные в первой главе методы линеаризации применимы, когда нелинейность, входящая в объект ЛСА, хотя бы один раз дифференцируема или аппроксимируется касательной с малой погрешностью некоторой окрестности близкой к рабочей точке. Существует целый класс нелинейностей, для которых оба условия не выполняются. Обычно это существенные нелинейности. К ним относятся: ступенчатые, кусочно-линейные и многозначные функции с точками разрыва первого рода, а также степенные и транстендентые функции. Использование УВМ, обеспечивающих выполнение логико-алгебраических операций в системах привело к новым типам линейностей, которые представляют через непрерывные переменные с помощью специальной логики.

Для математического описания таких нелинейностей применяют эквивалентные передаточные функции, зависящие от коэффициентов линеаризации, которые получают путем минимизации среднего квадрата ошибки воспроизведения заданного входного сигнала. Форма входных сигналов, поступающих на вход нелинейностей может быть произвольна. На практике наиболее распространение получили гармонические и случайные виды входных сигналов и их временные комбинации. Соответственно и методы линеаризации называются гармоническими и статическими.

Общий метод описания эквивалентных передаточных функций нэ

Весь класс существенных нелинейностей разделены на две группы. К первой группе относится однозначные нелинейности, у которых связь между входными и выходнымивекторными сигналами зависит только от формы статической характеристики нелинейности
.

.

В этом случае, при определенной форме входных сигналов:

.

С помощью матрицы линеаризации
можно найти приближенное значение выходных сигналов:

.

Из (42) следует, что матрица коэффициентов линеаризации однозначных нелинейностей, является действительными величинами и их эквивалентные передаточные функции:

.

Ко второй группе относят двузначные (многозначные) нелинейности, у которых связь между входными и выходными сигналами зависит не только от формы статической характеристики, но так же определяется предысторией входного сигнала. В этом случае выражение (42) запишется в виде:

.

Для учета влияния предыстории входного периодического сигнала будем учитывать не только сам сигнал , но и скорость его изменения, дифференциал.

При входных сигналах:

приближенное значение входного сигнала будет:

где
и
- коэффициенты гармонической линеаризации двухзначных нелинейностей;

- период колебания по правой гармонике;

- гармоническая функция.

Эквивалентная передаточная функция:

Существуют нелинейности более общего вида:

,

,

где
и
- коэффициенты гармонической линеаризации;

- номер гармоники.

Матрицы коэффициентов линеаризации периодической с периодом . Имея это ввиду, передаточную функцию двух двухзначной нелинейности можно представить по аналогии с передаточной функцией

Пользуясь определим обобщенную формулу для вычисления передаточной функции однозначных и двухзначных нелинейностей.

В случае однозначной нелинейности матрица коэффициентов линеаризации , зависящей от параметров вектора
, выберем, таким образом, чтобы линеаризовать среднее значение квадрата разности между точными приближенным
сигналами на входе:

После преобразований, упрощений, ухищрений и усиления бдительности, получим эквивалентную передаточную функцию в виде системы матриц:
,
.

,

при
,
.

.

Определить коэффициент линеаризации для однозначной нелинейности. Когда на ее вход поступает первая гармоника синусоидального сигнала:

где
.

.

Уравнение (56) представляет собой коэффициент линеаризации по первой гармонике для однозначной нелинейности, она определяет эквивалентную передаточную функцию
.

В дальнейшем сравнение формулы для определения коэффициентов линеаризации простейших нелинейностей при подаче на их вход периодических сигналов: синусоидального, треугольного, покажем целесообразность применения получаемых эквивалентных передаточных функций.

Коэффициент линеаризации определим
,
.

,

.

Пример. Определить коэффициент линеаризации двузначной нелинейности, когда на ее вход поступает первая гармоника синусоидального сигнала и имеет один вход. Из системы матриц (60), получим:

,

.

В данном примере входной сигнал запишем в виде:

,

.

Когда для двузначной нелинейности общая эквивалентная функция:

. .

Обсудим еще раз выбор масштаба для представления этих данных в графическом виде (см. рис.30). Максимальная метка °С, соответствующая оси температур Х, очень неплохо укладывается на 40 клетках, что соответствует очень удобному разделению по 10 клеток на кажые 50°С. А сколько надо дополнительных рисок? В этом случае предлагаю расставить их через 2 клетки, что придаст простоту определения координаты, так как интервал между такими рисками будет соответствовать 10°С, что очень удобно.

А вот на оси Y я расставил риски через 5 клеток на кажые 500 Ом сопротивления, что привело к неполному использованию площади бумаги. Но, посудите сами, если разделить ось по 6 или 7 клеток, было бы неудобно находить координату, а если по 8 клеток, то максимальная риска, соответствующая 2000 Ом, не поместилась бы на оси.

Теперь надо обсудить вид теоретической кривой. Откроем методические указания по выполнению лабораторных работ на странице 28 и найдем фомулу 3, описывающую зависимость сопротивления полупроводника от темепературы ,

где – ширина запрещенной зоны, – постоянная Больцмана, – некоторая константа, имеющая размерность сопротивления, и, наконец, температура , выраженная в Кельвинах. Начнем оформлять новую таблицу. Во-первых, температуру переведем в Кельвины. Во-вторых, поставим себе задачу не только нарисовать новый график , но и найти с помощью графика ширину запрещенной зоны. Для этого прологарифмируем экспоненциальную зависимость и получим

Обозначим , , и . Тогда получим линейную зависимость ,

которую мы и будем изображать на графике. Данные, соответствующие значениям и , запишем в таблицу 9.

Таблица 9. Пересчет данных таблицы 8.

номер точки
T, K
1/T , 10 –3 K –1 3,34 3,19 3,00 2,83 2,68 2,54 2,42 2,31 2,21 2,11
lnR , Ом 7,62 7,51 7,25 7,06 6,99 6,74 6,61 6,56 6,36 6,34

Если по данным таблицы 9 построить график зависимости на рис.31, то все экспериментальные точки займут совсем немного места на листе при большом пустом пространстве. Почему так получилось? Потому что по осям Х и Y метки расставлены начиная от 0, хотя значения, например, начинаются только со значения . Обязательно ли делать начальную метку равную 0? Ответ на этот вопрос зависит от поставленных задач. В примере с маятником Обербека (см. рис.28) было очень важным найти пересечение оси Х теоретической прямой в точке с координатой Y=0, что соответствовало значению . А в этой задаче надо найти только ширину запрещенной зоны, которая связана с постоянной , соответствующая коэффициенту наклона прямой на рис.31, поэтому совсем не обязательно расставлять метки на осях, начиная с 0.


Изучая данные из табл.9 и подбирая удобный масштаб, можно с уверенностью сказать, что ориентацию миллиметровой бумаги нужно изменить, как показано на рис.32. Самостоятельно изучите выбранный масштаб и убедитесь в том, что он очень удобен для работы с графиком. На теоретической прямой (проведенной на глаз наилучшим способом между экспериментальными точками) поставим две точки А и В с координатами и . Коэффициент наклона выразим через координаты этих точек по формуле

И, наконец, вычисляем ширину запрещенной зоны

Методом парных точек рассчитаем этот же коэффициент и его погрешность , для этого рассмотрим пары точек из таблицы 9:

1–4, 2–5, 3–6, 4–7, 5–8, 6–9 и 7–10.

Рассчитаем для этих пар точек коэффициенты наклона прямых, которые проходят через них

Среднее значение

,

Теперь рассчитаем ширину запрещенной зоны и ее погрешность .

Таким образом мы пришли к ответу

эВ


Самостоятельная работа.

Предлагаю вам проделать самостоятельные рассчеты, построения и обработку графиков в следующей виртуальной лабораторной работе под кодовым названием "Определить жесткость пружины". Но поднимем планку Эксперимента на более высокий уровень: надо не просто получить число, но сравнить два метода измерения жесткости пружины – статический и динамический.

Кратко рассмотрим эти методы.

Статический метод.

Если подвесить к закрепленной вертикальной пружине груз массой , то пружина растянется на согласно закону Гука, где – длина растянутой пружины, а – длина нерастянутой пружины (начальная длина).

Примечание: закон Гука говорит о пропорциональности силы упругости пружины абсолютному удлинению , т.е. , где – коэффициент упругости (или жесткость) пружины.

В состоянии равновесия сила тяжести груза уравновесится силой упругости и мы можем написать . Раскроем скобки и увидим зависимость длины пружины от массы груза

Если сделать замену переменных , то получится уравнение прямой . Не надо делать линеаризацию!

Итак, перед вами стоит задача обработать данные из таблицы 10, которые были занесены туда юным Экспериментатором (ему надоело бросать кирпичи с крыши девятиэтажного дома). Для опытов он запасся набором грузов, нашел десяток-другой разных пружин и, подвешивая грузы разных масс, замерял длину растянутой пружины с помощью миллиметровой линейки.

Задание 1.

1. Выберите номер пружины из таблицы 10.

2. Составьте свою таблицу из двух столбцов. В первый столбец занесите силу тяжести , где – масса груза (в кг), м/с 2 . Во второй столбец перенесите значения длин выбранной пружины (в метрах). Предусмотрите ячейки для средних значений и .


Таблица 10.

m, г l , см l , см l , см l , см l , см l , см l , см l , см l , см
11,8 15,4 17,6 19,4 13,2 15,4 19,6 21,4 11,2
12,3 16,5 18,3 21,5 14,3 16,5 21,3 22,4 11,7
13,6 17,6 19,3 21,6 14,8 16,5 22,1 22,6 12,7
14,1 18,2 21,5 22,1 15,6 17,3 21,5 23,7 13,1
16,6 22,3 22,5 24,9 17,6 19,9 23,9 25,5 15,4
21,6 25,6 27,4 29,5 21,4 23,8 27,7 29,9 18,3
22,5 26,4 28,8 31,4 22,6 24,2 28,8 32,1 19,6
23,3 27,9 29,4 31,7 23,8 25,6 29,5 31,7 22,1
26,2 32,1 32,0 34,3 25,5 27,9 31,9 33,6 22,2
27,8 31,4 33,7 35,3 27,6 29,1 33,2 35,3 23,1

Таблица 10 (продолжение)

m, г l , см l , см l , см l , см l , см l , см l , см l , см l , см
15,1 17,1 19,3 11,4 15,3 19,0 10,8 15,2 19,1
15,6 17,7 19,7 11,6 15,6 19,6 11,5 15,3 19,3
16,7 18,5 21,2 12,0 16,1 20,4 12,3 16,3 20,2
17,3 19,3 21,4 12,5 16,5 20,7 12,4 16,7 20,4
19,4 21,1 23,5 14,9 18,9 22,4 14,2 18,0 21,8
22,3 24,6 26,3 17,4 21,4 25,8 16,5 20,7 24,4
23,5 25,6 27,0 18,2 22,3 26,1 17,2 21,6 25,7
24,4 26,1 28,5 19,4 23,3 27,0 18,4 22,0 26,4
26,4 28,5 31,1 20,3 24,5 28,6 19,3 23,5 27,3
27,0 29,0 31,4 21,9 25,8 29,9 20,7 24,7 28,5

3. Возьмите лист миллиметровой бумаги, нанесите на ней оси координат. В соответствии с данными выберите оптимальный масштаб и постройте график зависимости силы тяжести от длины пружины , откладывая значения вдоль оси Х, а величины вдоль оси Y.

4. Составьте 7 пар точек: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Методом парных точек рассчитайте 7 коэффициентов наклона по формуле

И т.д.

5. Найдите среднее значение , что соответствует среднему значению коэффициента упругости пружины .

6. Найдите среднеквадратичное отклонение , доверительный интервал , (т.к. получено 7 значений ). Представьте результат в виде

Дополнительное задание (необязательное)

7. Рассчитайте начальную длину пружины. Для этого получите выражение для коэффициента из уравнения равновесия и подставьте в него средние значения

8. Рассчитайте доверительный интервал для коэффициента

9. Учитывая, что , рассчитайте начальную длину пружины и доверительный интервал для нее

,

Динамический метод

Подвесим груз массы к закрепленной вертикальной пружине жесткости и толкнем его легонько вниз. Начнутся гармонические колебания, период которых равен (см. , стр 76). Выразим массу груза через период колебаний

Метод линеаризации операторов с точки зрения изложенной в предыдущих главах общей теории случайных функций может быть применен в двух различных вариантах. Во-первых, можно непосредственно линеаризовать заданную зависимость между случайными функциями и заменить таким образом нелинейные уравнения, связывающие случайные функции, линейными. Во-вторых, можно применить метод канонических разложений, который приводит к замене операций над случайными функциями операциями над обычными случайными величинами, после чего можно применить обычный в теории вероятностей метод линеаризации функциональных зависимостей между случайными величинами.

Метод непосредственной линеаризации преобразования случайных функций состоит в замене всех заданных уравнений, связывающих случайные функции, приближенными линейными уравнениями, достаточно хорошо отражающими истинную зависимость между случайными функциями в области практически возможных реализаций случайных функций. Так как математические ожидания случайных величин

являются средними значениями, около которых рассеиваются их возможные реализации, то практически удобнее всего производить линеаризацию соотношений между случайными функциями относительно их отклонений от математических ожиданий, т. е. центрированных случайных функций. При этом все функции, входящие в заданные уравнения, следует разложить в ряды Тейлора по центрированным случайным функциям и отбросить члены этих рядов выше первой степени. Степень точности получаемого таким образом приближения может быть оценка по максимальной возможной величине отброшенных членов в области практически возможных реализаций случайных функций. Заменив данные уравнения, связывающие случайные функции, приближенными линейными уравнениями, мы можем применить изложенную в предыдущей главе теорию линейных преобразований случайных функций для приближенного определения математических ожиданий и корреляционных функций случайных функций, полученных в результате рассматриваемого нелинейного преобразования. В следующем параграфе мы дадим более подробное изложение метода непосредственной линеаризации в применении к случайным функциям скалярной независимой переменной, связанным обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Перейдем к применению метода канонических разложений к приближенному исследованию нелинейных преобразований случайных функций. Предположим, что случайная функция получается в результате преобразования случайной функции при помощи некоторого нелинейного оператора А:

Подставляя сюда вместо случайной функции какое-либо ее каноническое разложение, получим:

Это равенство представляет случайную функцию как некоторую, вообще говоря нелинейную, функцию случайных величин в которую аргумент 5 входит как параметр:

Линеаризуя эту функцию обычным в теории вероятностей способом (см. § 31) и принимая во внимтние, что математические ожидания величин равны нулю, будем иметь:

есть значение производной функции по случайной величине при нулевых значениях всех величин что и отмечено нуликом внизу у квадратной скобки. Формула (100.5) дает приближенное каноническое разложение случайной функции с коэффициентами разложения и координатными функциями

Принимая во внимание, что математические ожидания всех величин равны нулю, получим из (100.5) следующую приближенную формулу для математического ожидания случайной функции

Таким образом, для приближенного определения математического ожидания случайной функции следует в соотношении (100.1), связывающем случайные функции и заменить эти случайные функции их математическими ожиданиями Это правило вполне аналогично правилу приближенного определения математического ожидания случайной величины, связанной с другой случайной величиной нелинейной функциональной зависимостью, выведенному в § 31.

Корреляционная функция случайной функции на основании общей формулы (56.2), выразится приближенной формулой

По характеру функционирования САР разделяют на 4 класса: Системы автоматической стабилизации характеризуются тем что в процессе работы системы задающее воздействие остается постоянным. Системы программного регулирования задающее воздействие изменяется по заранее установленному закону как функция времени и координат системы. Следящие системы задающее воздействие является величиной переменной но математическое описание по времени не может быть установлено т. Адаптивные или самонастраивающиеся системы такие системы автоматически...


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Лекция №2. Классификация и Требования, предъявляемые к САР. Линейные и нелинейные САР. Общий метод линеаризации

(Слайд 1)

2.1. Классификация САР

(Слайд 2)

САР классифицируются по различным признакам. По характеру функционирования САР разделяют на 4 класса:

  • Системы автоматической стабилизации (характеризуются тем, что в процессе работы системы задающее воздействие остается постоянным). Пример: стабилизатор скорости вращения двигателя.
  • Системы программного регулирования (задающее воздействие изменяется по заранее установленному закону, как функция времени и координат системы). Пример: автопилот.
  • Следящие системы (задающее воздействие является величиной переменной, но математическое описание по времени не может быть установлено, т.к. источником сигнала является внешнее воздействие, закон перемещения которого заранее не известен). Пример: радиолокационная станция сопровождения самолета.
  • Адаптивные или самонастраивающиеся системы (такие системы автоматически выбирают оптимальный закон регулирования и могут в процессе работы изменять характеристики регулятора). Пример: компьютерная игра с нелинейным сюжетом.

(Слайд 3)

Так же САР разделяют по характеру сигналов в устройстве управления:

  • Непрерывные (входной и выходной сигнал непрерывные функции времени). Пример: компараторы, операционные усилители.
  • Релейные (если в системе имеется хотя бы один элемент с релейной характеристикой). Пример: различные реле, аналоговые ключи и мультиплексоры.
  • Импульсные (характеризуется наличием хотя бы одного импульсного элемента). Пример: тиристоры, цифровые схемы.

Все САР можно разделить по зависимости выходных характеристик от входных на линейные и нелинейные .

2.2. Требования предъявляемые к САР

(Слайд 4)

1. Регулируемая величина должна поддерживаться на заданном уровне независимо от возмущения. Переходный процесс представляется динамической характеристикой, по которой можно судить о качестве работы системы.

2. Должно выполняться условие устойчивости, т.е. система должна обладать запасом устойчивости.

3. Быстродействие – время переходного процесса, характеризующее быстроту реакции системы.

(Слайд 5)

4. Должны выполняться нормы перерегулирования. Для определения величины перерегулирования используются два основных параметра:

  • Коэффициент перерегулирования

где y m – максимальное отклонение выходной величины во время переходного процесса, y ∞ – значение выходной величины в установившемся режиме. Допустимое значение  = 0  25 % .

(Слайд 6)

  • Мера колебательности процесса – число колебаний за время переходного процесса (не более 2-х)

5. Должны выполнение требования статической точности. Если в системе процессы случайные, то для обеспечения точности вводятся вероятностные характеристики.

2. 3 . Линейные и нелинейные САР

Динамические процессы в системах регулирования описываются дифференциальными уравнениями.

(Слайд 7)

В линейных системах процессы описываются при помощи линейных дифференциальных уравнений. В нелинейных системах процессы описываются уравнениями, содержащими какие-либо нелинейности . Расчеты линейных систем хорошо разработаны и более просты для практического применения. Расчеты же нелинейных систем часто связаны с большими трудностями.

Чтобы система регулирования была линейной, необходимо (но недостаточно) иметь статические характеристики всех звеньев в виде прямых линий. В действительности реальные статические характеристики в большинстве случаев не являются прямолинейными. Поэтому, чтобы рассчитать реальную систему как линейную, необходимо все криволинейные статические характеристики звеньев на рабочих участках, которые используются в данном процессе регулирования, заменить прямолинейными отрезками. Это называется линеаризацией . Большинство систем непрерывного регулирования поддаётся такой линеаризации.

(Слайд 8)

Линейные системы разделяются на обыкновенные линейные системы и на особые линейные системы. К первым относятся такие системы, все звенья которых описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

(Слайд 9)

К особым линейным системам относятся:

а) системы с переменными по времени параметрами , которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами;

б) системы с распределёнными параметрами , где приходится иметь дело с уравнениями в частных производных, и системы с временным запаздыванием, описываемые уравнениями с запаздывающим аргументом;

(Слайд 10)

в) импульсные системы , где приходится иметь дело с разностными уравнениями.

(Слайд 11)

Рис. 2.1. Характеристики нелинейных элементов

В нелинейных системах при анализе процесса регулирования приходится учитывать нелинейность статической характеристики хотя бы в одном её звене или какие-то нелинейные дифференциальные зависимости в уравнениях динамики системы. Иногда нелинейные звенья специально вводятся в систему для обеспечения наибольшего быстродействия или других желаемых качеств.

К нелинейным системам относятся прежде всего релейные системы, так как релейная характеристика (рис. 2.1, а и б ) не может быть заменена одной прямой линией. Нелинейным будет звено, в характеристике которого имеется зона нечувствительности (рис. 2.1, в ).

Явления насыщения или механического ограничения хода приводят к характеристике с ограничением линейной зависимости на концах (рис. 2.1, г ). Эта характеристика также должна считаться нелинейной, если рассматриваются такие процессы, когда рабочая точка выходит за пределы линейного участка характеристики.

К нелинейным зависимостям относятся также гистерезисная кривая (рис. 2.1, д ), характеристика зазора в механической передаче (рис. 2.1, е), сухое трение (рис. 2.1, ж ), квадратичное трение (рис. 2.1, и ) и др. В последних двух характеристиках x 1 обозначает скорость перемещения, а x 2 – силу или момент трения.

Нелинейной является вообще любая криволинейная зависимость между выходной и входной величинами звена (рис. 2.1, к ). Это нелинейности простейшего типа. Кроме того, нелинейности могут входить в дифференциальные уравнения в виде произведения переменных величин и их производных, а также в виде более сложных функциональных зависимостей.

Не все нелинейные зависимости поддаются простой линеаризации. Так, например, линеаризация не может быть сделана для характеристик, изображенных на рис. 2.1, а или на рис. 2.1, е. Подобные сложные случаи будут рассмотрены в разд. 9.

2.4. Общий метод линеаризации

(Слайд 12)

В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения его обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X 1 и X 2 , а внешнее возмущение – через F (t ).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

. (2.1)

Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.

(Слайд 13)

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х 1 , которое обозначим Х 10 . В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х 1 будет иметь значения

где обозначает отклонение переменной X 1 от установившегося значения Х 10 .

Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем:

а также

Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.

Установившееся состояние звена определяется значениями Х 10 , Х 20 и F 0 . Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде

. (2.2)

(Слайд 15)

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

(2.3)

где  – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных

; ; ; .

В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.

(Слайд 16)

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в этом уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:

(2.4)

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

(Слайд 17)

Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации. В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид

, (2.5)

где введены следующие обозначения

(Слайд 18)

Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями

И т.д.

Тогда дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде

, (2.6)

Эту запись будем называть стандартной формой записи уравнения динамики звена.

Коэффициенты Т 1 и Т 2 имеют размерность времени – секунды. Это вытекает из того, что все слагаемые в уравнении (2.6) должны иметь одинаковую размерность, а например, размерность (или p x 2 ) отличается от размерности х 2 на секунду в минус первой степени (с -1 ). Поэтому коэффициенты Т 1 и Т 2 называют постоянными времени .

Коэффициент k 1 имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называется коэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, используются также следующие термины: коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.

Коэффициент передачи характеризует статические свойства звена, так как в установившемся состоянии. Следовательно, он определяет крутизну статической характеристики при малых отклонениях. Если изобразить всю реальную статическую характеристику звена, то линеаризация дает или. Коэффициент передачи k 1 будет представлять собой тангенс угла наклона касательной в той точке C (см. рис. 2.3), от которой отсчитываются малые отклонения х 1 и х 2 .

Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ , на котором касательная мало отличается от самой кривой.

(Слайд 19)

Кроме того, отсюда вытекает другой, графический способ линеаризации. Если известна статическая характеристика и точка C , определяющая установившееся состояние, около которого происходит процесс регулирования, то коэффициент передачи в уравнении звена определяется графически из чертежа по зависимости k 1 = tg  c учетом масштабов чертежа и размерности x 2 . Во многих случаях графический метод линеаризации оказывается более удобным и быстрее приводит к цели.

(Слайд 20)

Размерность коэффициента k 2 равна размерности коэффициента передачи k 1 , умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.6) записывают в виде

где – постоянная времени.

Постоянные времени Т 1 , Т 2 и Т 3 определяют динамические свойства звена. Этот вопрос будет рассмотрен подробно ниже.

Коэффициент k 3 представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.

PAGE 1

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
13570. Линейные и нелинейные режимы лазерного нагрева 333.34 KB
Линейные режимы лазерного нагрева Для анализа линейных режимов лазерного нагрева рассмотрим процессы воздействия ЛИ на полупространство экспоненциально спадающим с глубиной тепловым источником. Поэтому идеализация свойств тепловых источников часто допускаемая в расчетных схемах для уменьшения математических трудностей может приводить к заметным отклонениям расчетных данных от экспериментальных. Для непрозрачных материалов в большинстве случаев нагрева ЛИ источники тепла могут считаться поверхностными коэффициент поглощения α 104  105...
16776. Требования, предъявляемые к налоговой политике государства в условиях кризиса 21.72 KB
Требования предъявляемые к налоговой политике государства в условиях кризиса Для развития предпринимательской деятельности в современных экономических условиях необходимо наличие определенных условий в том числе: - наличие эффективной налоговой системы стимулирующей развитие предпринимательства; - наличие определенной совокупности прав и свобод выбор вида хозяйственной деятельности планирование источников финансирования доступ к ресурсам организация и управление компанией и т. Таким образом для поступательного развития...
7113. Метод гармонической линеаризации 536.48 KB
Метод гармонической линеаризации Поскольку этот метод является приближённым то полученные результаты будут близки к истине только при выполнении определённых допущений: Нелинейная система должна содержать только одну нелинейность; Линейная часть системы должна представлять собой фильтр низких частот ослабляющий высшие гармоники возникающие в предельном цикле; Метод применим только к автономным системам. Изучается свободное движение системы то есть движение при ненулевых начальных условиях в отсутствие внешних воздействий....
12947. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ 338.05 KB
Переходя непосредственно к рассмотрению метода гармонической линеаризации будем считать что исследуемая нелинейная система приведена к виду показанному на. Нелинейный элемент может иметь любую характеристику лишь бы она была интегрируемой без разрывов второго рода. Преобразование данной переменной для примера нелинейным элементом с зоной нечувствительности показано на рис.
2637. Аппликационные лекарственные препараты. Общая характеристика. Классификация. Основные требования. Технология нанесения адгезивов на подложку при производстве аппликационных лекарственных препаратов 64.04 KB
Аппликационные лекарственные препараты – пластыри мозольные лейкопластыри перцовые пластыри кожные клеи – жидкие пластыри пленки ТТС и др. Общая характеристика и классификация пластырей Пластыри Emplstr лекарственная форма для наружного применения обладающая способностью прилипать к коже оказывающая действие на кожу подкожные ткани и в ряде случаев общее воздействие на организм. Пластыри одна из старейших лекарственных форм известная с очень древних времен прародители современных препаратов четвертого поколения...
7112. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 940.02 KB
Физические законы движения окружающего нас мира таковы что все объекты управления нелинейны. Другие нелинейности называемые структурными вводятся в систему преднамеренно для получения требуемых характеристик системы. Если нелинейности выражены слабо то поведение нелинейной системы незначительно отличается от поведения линейной системы. Создать точную модель реальной системы невозможно.
21761. Общий пантеон богов древней Мессопотамии. Боги древнего Шумера 24.7 KB
Древняя религия народов Месопотамии, несмотря на собственный консерватизм, постепенно, в ходе общественного развития, претерпевала изменения, отражаюшие в себе и политические, и социально-экономические процессы, происходящие на территории Месопотамии.
11507. формированиЕ финансового результата и общий анализ финансово-хозяйственной деятельности организации 193.55 KB
Для более глубокого ознакомления с деятельностью любого предприятия возникает необходимость в изучении его со всех возможных сторон в формировании наиболее объективного мнения как о положительных так и отрицательных сторонах в работе в выявлении наиболее уязвимых мест и способах их устранения. Для проведения финансового анализа используют специальный инструментарий так называемые финансовые коэффициенты. Используя необходимую информацию объективно и наиболее точно оценить финансовое состояние организации его прибыли и убытки изменения...
13462. Статистический анализ рисковых активов. Нелинейные модели 546.54 KB
Однако реальные данные для многих финансовых временных рядов показывают что линейные модели не всегда адекватно отражают истинную картину поведения цен. Если иметь ввиду разложение Дуба в котором привлекаются условные математические ожидания вполне естественным является предположение о том что условные распределения являются гауссовскими...
4273. Линейные математические модели 3.43 KB
Линейные математические модели. Выше отмечалось, что любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор А, который является алгоритмом или определяется совокупностью уравнений - алгебраических...

25. Методы линеаризации нелинейных САУ.

С т. зрения передачи и преобразования сигнала НЛ отлич. от линейных систем тем, что мгновенный коэфффициент передачи зависит от значения входного сигнала. САУ, содержащие звенья, динамика которых описывается НЛ дифференц. уравнениями относят к НЛ системам .

НС-динамика к-х описывается нелин-ми диф ур-ми, это сис-мы, имеющие нелинейную стст-ю хар-ку.

Систему можно представить в виде соединения из 2-х элементов:

можно свести к:

ЛЧ

ЛЧ описывается обычными диф ур-ми с пост-ми коэфф-ми.

НЭ является безинерционным и его выходная величина и вход. величина связаны связаны между собой НЛ алгебраическим уравнением. Нелинейность обусловлена нелинейностью статической характеристики одного из элементов системы.

Методы линеаризации нелинейных САУ.

метод гармонической линеаризации

статическая линеаризация

совместная стат и гармон линеаризация

вибролинеаризация

Метод гармонической линеаризации.

Сущность метода гарм-ой линеаризации заключается в отыскании периодического решения на входе нелинейного элемента, разложение сигнала на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье и замены вых сигнала его первой гармоникой. Такая замена справедлива если сис или ЛЧ явл-ся фильтром низкой частоты, т.е. подавляет высшие гармоники.

В рез-те линеаризации нелин стат хар-ку заменяют эквивалентным линейным звеном с коэффициентами

И для гистерезисных хар-ик (петлевых) значение k / Г всегда получается отрицательным, т.е. в ур-ие вводят производную с отриц знаком и эта производная дает запаздывание в работе звена. Такую линеар-ю наз-т гармонической т.к. она связана с разложением нелин колебаний на гармонич-ие составляющие.

k / Г и k Г – гарм-ие коэф-ты усиления нелин звена.

Отличия гарм-ой линеар-ии от обычной:

При гарм-ой линеаризации нелин хар-ку заменят прямой, крутизна которой зависит от амплитуды входного сигнала.

Гарм-ая линеаризация позволяет вместо нелин звена получить линейное, к-т усиления которого зависит от а.

Гарм-ая линеар-ия дает возможность опредилить св-ва нелин САУ методами линейной теории автом-х сис-м.

Статическая линеаризация.

Этот метод приближенного исследования точности нелин сис в стационарных случ реж-ах.

В качестве примера возьмем нелин звено со стат хар-ой типа насыщение.

Пусть на входе стационарный случ. Сигнал.

X (t )= m x + x 0 (t )

Y(t)=m y +y 0 (t)

Задача стат лин-ии закл-ся в том чтобы найти линейное звено дающее при том же вх сигнале x (t ) вых сигнал = эквивалентному вых сигналу нелин звена при этом надо чтобы эквив-й сигнал максимально приближался к y (t ).

Точность линеариз зависит от того, какой критерий выбран для сравнения y экв и y .

Сущ 2 критерия сравнения y экв и y :

1. по первому способу линеаризация осущ-ся исходя из след условий

при выполнении первого условия линейное звено будет полностью эквивалентно исх-му нелин звену в отношении пропускания заданной детерменированной составляющей вх сигнала. Второе условие означает эквивалентность в отношении пропускания центрированной случ составляющей вх сигнала. В связи с тем что дисперсия не определяет полностью закона распределения случ величины выбор ур-ия эквивалентного линейного звена только по дисперсии определяет погрешность данной стат линеаризации.

2. основан на линеаризации разности

К-ты стат линеар-ии:

Совместная статическая и гармоническая линеаризация.

Случай когда в сис присутствуют автоколебания и на вх сис подаются случ воздействия:

f(t)=m f +f 0 (t)

x(t)=m x +x 0 (t)+a*sin w a t

Из-за неприменимости принципа суперпозиции необходимо учитывать наличие всех 3-х составляющих для этого надо осущ-ть совместную стат и гарм линеа-ию, в рез-те этого сигнал на выходе:

в случ симметр-ой нелин стат хар-ки пост состав-ую

m y = y 0 = k сг0 m x

эти 4 к-та опред-ся по фор-ам для гарм-ой и стат линеар-ии. Эти к-ты уже будут зависеть от 4-х составляющих (m x , s x , a , w a )

При исследовании сис m x , s x , a , w a - определяются совместным решением ур-ий для колебательной составляющей и для случ состав-ей.

Применяя совместно стат и гармонич линеаризацию можно решать две задачи:

можно исследовать влияние внешних случ воздействий на параметры возможных автоколебаний.

можно исследовать точность сис в случ режимах при наличии сис гармонических колебаний.

Вибролинеаризация.

Испол-ся для исключения эффекта наличия нелин-х хар-к (люфт и зона нечувст-ти).

При виб-ой лин-ии на вх нелин звена на постоянный или медленно изменяющиюся сигнал накладывается высокочастотная состав-ая и в рез-те этого нелин звено пропускает пост сост-ую как пропорциональное звено.

Рассмотрим метод виб-ой лин-ии на примере релейной сис:

зависимость y 0 = f (x 0 ) ,где y 0 зависит от x 0 и от формы нелин-ой стат хар-ки, т.о. при наличии переменного воздействия, этот элемент пропускает пост воздействие x 0 как звено непрерывного действия.

Сам процесс виб-й лин-ии можно трактовать как процесс модуляции, в данном примере реле явл-ся модулятором высокочас-ое воздействие - сигнал несущей частоты, а НЧ вх сигнал x 0 явл-ся модулирующим сигналом. В данном случае осущ-ся ШИМ и ф-ей модулир-го сигнала явл-ся ширина вых имп-са и условие неискаженной передачи НЧ-составляющей явл-ся f ВЧ / f НЧ >=3

Когда реле работает в составе САУ обычно НЧ сигнал x 0 представляет собой сигнал управления и изменения во времени x 0 и есть перех-ой процесс в сис.

ВЧ воздействие осущ виб-ой лин-ей м.б. получено 3-я способами:

С пом внешнего генератора, создающего вынужд-е колебания на вх нелин элемента.

Путем создания автоколебаний в самой САУ.

Путем создания скользящего режима.