Численные методы линейной алгебры

3. Метод прогонки

Метод прогонки представляет собой простой и эффективный алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами коэффициентов следующего вида

Системы такого вида часто возникают при решении различных инженерных задач, например, при интерполяции функций сплайнами.

Преобразуем первое уравнение системы (8) к виду x 1 = 1 x 2 + 1 , где

1 = -с 1 / b 1 и 1 = -d 1 / b 1 . Подставим полученное для x 1 выражение во второе уравнение системы (8)

a 2 (1 x 2 + 1) + b 2 x 2 + c 2 x 3 = d 2 .

Представим это уравнение в виде x 2 = 2 x 3 + 2 , где 2 = -с 2 / (b 2 + a 2 1) и 2 = (d 2 - a 2 1) / (b 2 + a 2 1). Полученное для x 2 выражение подставим в третье уравнение системы (8) и т.д.

На i-м шаге (1 < i < n) процесса i-е уравнение системы принимает вид

x i = i x i+1 + i , (9)

где i = -с i / (b i + a i i-1) и i = (d i - a i i-1) / (b i + a i i-1).

На последнем n-м шаге подстановка в последнее уравнение системы (8) выражения x n -1 = n -1 x n + n -1 дает уравнение a n (n -1 x n + n -1) + b n x n = d n , из которого можно определить значение x n = n = (d n - a n n-1) / (b n + a n n-1).

Значения остальных неизвестных x i (i = n-1, n-2, ..., 1) легко вычисляются по формуле (9).

Таким образом, алгоритм прогонки, подобно методу Гаусса, включает два этапа - прямой ход (прямая прогонка) и обратный ход (обратная прогонка).

Прямой ход метода прогонки состоит в вычислении прогоночных коэффициентов

i (i =) и i (i =).

При i = 1 эти коэффициенты вычисляются по формулам:

1 = -с 1 / 1 ; 1 = -d 1 / 1 ; 1 = b 1 .

Для i = используются следующие рекуррентные формулы:

i = -с i / i ; i = (d i - a i i-1) / i ; i = b i + a i i-1 .

Прямая прогонка завершается при i = n:

n = (d n - a n n-1) / n ; n = b n + a n n-1 .

Обратный ход метода прогонки позволяет вычислить значения неизвестных. Сначала полагают x n = n . Затем в обратном порядке по формуле (9) определяют значения неизвестных x n -1 , x n -2 , ..., x 1 .

Свойства метода прогонки. Трудоемкость метода прогонки оценивается примерно как 8n арифметических операций, что существенно меньше метода Гаусса. Существование решения системы (8) и его единственность гарантируются при выполнении достаточных условий, задаваемых следующей теоремой.

Теорема . Пусть коэффициенты системы (8) удовлетворяют следующим неравенствам

b k a k +c k ; b k >a k ; k = , где a 1 = 0; b n = 0. Тогда i 0 и i

1 для всех i =

Заметим, что при всех i 0 вычисления по формулам прямой прогонки могут быть доведены до конца (ни один из знаменателей не обратится в нуль). Одновременно все коэффициенты i , такие, что i 1, обеспечивают устойчивость по входным данным этапа обратной прогонки по формуле (9).

Вычислительная математика

Метод деления отрезка пополам является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения. Пусть из предварительного анализа известно, что корень уравнения (2.1) находится на отрезке , т. е. x*, так, что f(x*) = 0...

Вычислительная математика

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений. Пусть корень x* , так, что f(a)f(b) < 0. Предполагаем, что функция f(x) непрерывна на отрезке и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Положим x0 = b...

Вычислительная математика

В этом и следующем разделе рассмотрим модификации метода Ньютона. Как видно из формулы (2.13), метод Ньютона требует для своей реализации вычисления производной, что ограничивает его применение. Метод секущих лишен этого недостатка...

Метод поиска глобального минимума, называемый методом поиска по координатной сетке, является надежным, но применим только для задач малой размерности (n<4). Неправильный выбор начального шага сетки может привести к тому...

Линейное и нелинейное программирование

Итерация 1. Счет итераций k = 0 Итерация 2. Счет итераций k = 1 Поиск завершен 3.3...

Математическое моделирование и численные методы в решении технических задач

Теоретические сведения. Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0...

Математическое моделирование при активном эксперименте

Правильным симплексом в пространстве Еn называется множество из n+1 равноудаленных друг от друга точек (вершин симплекса). Отрезок, соединяющий две вершины, называется ребром симплекса...

Математическое программирование

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) -- это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Чтобы численно решить уравнение f(x)=0 методом простой итерации...

Метод вращений решения СЛАУ

Метод геометрических преобразований при решении геометрических задач на построение

Рассмотрим ещё одно геометрическое преобразование - инверсию, которая даёт возможность решить ряд сравнительно сложных задач на построение, трудно поддающихся решению с помощью других рассмотренных нами приёмов...

Решение параболических уравнений

Рассмотрим частный случай задачи, поставленной в предыдущем разделе. В области найти решение уравнения с граничными условиями и начальным условием. Рассмотрим устойчивую вычислительную схему...

Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

До сих пор мы занимались решением одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказывается, однако, что весьма общую систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно в некотором смысле свести к одному уравнению...

Системный анализ групп преобразований состояний кубика Рубика

CFOP - это название четырёх стадий сборки(рисунок 3.2): Cross, F2L, OLL, PLL: 1) Cross - сборка креста...

Численные методы линейной алгебры

Численные методы решения трансцендентных уравнений

Пусть уравнение (1) имеет корень на отрезке , причем f (x) и f "(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем интервале . Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной...

Наиболее прост алгоритм вычисления разностного решения у явных схем. Однако явные методы устойчивы лишь при определенных соотношениях между шагами сетки. Выполнение требований устойчивости приводит к необходимости очень мелкой дискретизации временной переменной, что увеличивает время счета.

Неявные схемы, как правило, свободны от этого недостатка и допускают независимый выбор шагов сетки по времени и пространству. Однако на каждом временном (итерационном) слое необходимо решать систему алгебраических уравнений с числом неизвестных, равных количеству узлов на рассматриваемом слое. Если не учитывать особенности этой системы (разреженность матрицы) и решать ее как систему общего вида, то потребуется значительное количество арифметических операций.

Эффективным методом решения систем уравнений, порожденных разностными схемами, является метод прогонки. Рассмотрим его алгоритм на примере разностного решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Для краевой задачи в прямоугольной области

рассмотрим неявную разностную схему

Здесь Ai = Ci = 1, Bi = 1 + /?. 2 /(2ат), Д = li 2 {-u" - г/")/(2ат). В нашем случае A j, Д и С* не зависят от индекса i , однако если шаг сетки будет переменным, то все коэффициенты будут зависеть от номера узла. Важно отметить, что А{, Bj, Ci, g n+l , / n+1 - известные величины. Соотношение (7.2) представляет собой систему линейных уравнений для неизвестных Uq + , Мдг + .

Распшренная матрица этой системы имеет вид

В этой матрице ненулевые элементы расположены по главной диагонали и двум соседним. Матрицу такого вида называют трехдиагональной.

Наличие левого граничного условия (mq +1 = n+1) позволяет искать решение в виде (для простоты обозначений верхний индекс у неизвестной опущен) соотношения

Оно называется прогоночным соотношением , а входящие в него входящие в него коэффициенты A"*_i и Li- - прогоночными коэффициентами. Для i = 1 (7.1) выполняется, если принять

Таким образом устанавливаются начальные значения про гоночных коэффициентов.

Исключим с помощью прогоиочного соотношения (7.3) неизвестную щ -1 из (7.2):

Проведя простейшие ачпгсбраическис преобразования, получим

в форме, совпадающей с прогоночным соотношением. Сравнение (7.5) и (7.3) дает рекуррентные соотношения для прогоночных коэффициентов:

Пользуясь начальными значениями Ко = 0, Lq = , можно последовательно вычислить К, L ], К 2 , ^2, ..., Ln- - компоненты векторов прогоночных коэффициентов. Этот вычислительный процесс называют прямой прогонкой. Нетрудно убедиться, что прямая прогонка с помощью элементарных преобразований переводит трехдиагональную матрицу исходной линейной системы в верхнюю двухдиагональную, причем число арифметических операций (из-за особого вида исходной матрицы) пропорционально числу неизвестных 1 .

Двухдиагональный вид полученной матрицы позволяет легко построить процесс вычисления неизвестных. Прогоночное соотношение для последнего узла wjv-i = Kn-Un + L^~ 1, совместно с правым краевым условием = I, позволяет вычислить идг_ 1, а затем по рекуррентной формуле (7.3) последовательно определить все неизвестные un-2, un-3, ..., щ разностной задачи. Последовательное вычисление неизвестных с помощью прогоночного соотношения (7.3) называют обратной прогонкой. По своей сути, метод прогонки представляет собой вариант гауссового исключения, который учитывает особенности структуры трехдиагональной матрицы и устраняет операции над ее нулевыми элементами.

Нетрудно убедиться, что при решении линейной системы с трехдиагональной матрицей методом прогонки количество арифметических операций пропорционально числу узлов разностной сетки, следовательно, применение метода прогонки позволяет построить экономичную разностую схему.

Другим важным обстоятельством, с доказательством которого можно ознакомиться в специальной литературе, является вычислительная устойчивость метода прогонки . Это означает, что точность полученного решения будет такой же, как и точность проводимых промежуточных вычислений.

Впервые метод прогонки был предложен советскими математиками Гельфондом и Локуциевским в 1950-е годы для численного решения краевых задач. Экономичность и устойчивость метода сделали его в свое время основным элементом решения неявных разностных схем. Применение идей расщепления по пространственным переменным позволило распространить прогоиочные алгоритмы и на класс многомерных задач. В последние годы, благодаря стремительному росту ресурсов вычислительной техники (в основном, это касается оперативной памяти), стали широко применяться и другие алгоритмы решения алгебраических систем большой размерности с разреженной матрицей, которая, в отличие от метода прогонки, не связана таким жестким требованием, как трехдиагональность.

Отклонения от двухдиагональности для последней переменной в случае краевого условия второго или третьего рода легко преодолеваются.
Условис устойчивости выполняется, если матрица обладает свойством диагонального преобладания. Это свойство выполняется для матриц, порожденныхразностными схемами рассматриваемого класса.

Метод прогонки является модификацией метода Гаусса для частного случая разреженных систем – системы уравнений с трехдиагоналъной матрицей. Такие системы получаются при моделировании некоторых инженерных задач, а также при численном решении краевых задач для дифференциальных уравнений.

Запишем систему уравнений в виде

На главной диагонали матрицы этой системы стоят элементы b 1, b 2, …, bn ,над ней – элементы с 1, с2,... , с n -1 под ней – элементы а 2, а 3,... , ап (при этом обычно все коэффициенты bi не равны нулю). Остальные элементы матрицы равны нулю.

Метод прогонки состоит из двух этапов – прямой прогонки (аналога прямого хода метода Гаусса) и обратной прогонки (аналога обратного хода метода Гаусса). Прямая прогонка состоит в вычислении прогоночных коэффициентов Ai ,Bi ,с помощью которых каждое неизвестное xi выражается через zi +1 :

Из первого уравнения системы (2.13) найдем

С другой стороны, по формуле (2.14) Приравнивая коэффициенты в обоих выражениях для х 1, получаем

(2.15)

Подставим во второе уравнение системы (2.13) вместо х 1его выражение через х 2по формуле (2.14):

Выразим отсюда х 2 через х 3:

Аналогично вычисляют прогоночные коэффициенты для любого номера i :

(2.16)

Обратная прогонка состоит в последовательном вычислении неизвестных xi . Сначала нужно найти хп. Для этого воспользуемся выражением (2.14) при i = п –1 и последним уравнением системы (2.13). Запишем их:

Отсюда, исключая х n-1 , находим

Далее, используя формулы (2.14) и вычисленные ранее по формулам (2.15), (2.16) прогоночные коэффициенты, последовательно вычисляем все неизвестные х n - 1, xn -2 ,....,х 1. Алгоритм решения системы линейных уравнений вида (2.13) методом прогонки приведен на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Алгоритм метода прогонки

При анализе алгоритма метода прогонки надо учитывать возможность деления на нуль в формулах (2.15), (2.16). Можно показать, что при выполнении условия преобладания диагональных элементов, т.е. если , причем хотя бы для одного значения i имеет место строгое неравенство, деления на нуль не возникает, и система (2.13) имеет единственное решение.

Приведенное условие преобладания диагональных элементов обеспечивает также устойчивость метода прогонки относительно погрешностей округлений. Последнее обстоятельство позволяет использовать метод прогонки для решения больших систем уравнений. Заметим, что данное условие устойчивости прогонки является достаточным, но не необходимым. В ряде случаев для хорошо обусловленных систем вида (2.13) метод прогонки оказывается устойчивым даже при нарушении условия преобладания диагональных элементов.

Метод обратной прогонки

Численные методы линейной алгебры

3. Метод прогонки