Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости?
Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах , кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости . Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:

Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

Обозначения : плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве . Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.

Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа :

  • Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам?
  • Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

и мы не будем томиться долгими ожиданиями:

Общее уравнение плоскости

Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты одновременно не равны нулю.

Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.

А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.

В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:

Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.

Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:

Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.

Аналогично:
– уравнение координатной плоскости ;
– уравнение координатной плоскости .

Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку .

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .

Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости ?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси

Аналогично:
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
– уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .

Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .

Завершаем обзор: уравнение плоскости проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению.

И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.

Линейные неравенства в пространстве

Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости , поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.

Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства
задают полупространства . Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.

Пример 5

Найти единичный нормальный вектор плоскости .

Решение : Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы коллинеарны:

Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора .

Перепишем вектор нормали в виде и найдём его длину:

Согласно вышесказанному:

Ответ :

Проверка: , что и требовалось проверить.

Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока , наверное, заметили, что координаты единичного вектора – это в точности направляющие косинусы вектора :

Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор , и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов ), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.

Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой:

Вектор нормали к поверхности в точке совпадает с нормалью к касательной плоскости в этой точке.

Вектор нормали к поверхности в данной точке - это единичный вектор , приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Если на поверхности можно задать непрерывное поле нормальных векторов, то говорят, что это поле задает ориентацию поверхности (то есть выделяет одну из сторон). Если этого сделать нельзя, поверхность называется неориентируемой .

Аналогично определяется вектор нормали к кривой в данной точке. Очевидно, что к кривой к данной точке можно приложить бесконечно много не параллельных векторов нормали (аналогично тому, как к поверхности можно приложить бесконечно много не параллельных касательных векторов). Среди них выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали, и вектор бинормали .

См. также

Литература

  • Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :
  • Битва при Треббии (1799)
  • Граммонит

Смотреть что такое "Нормаль" в других словарях:

    НОРМАЛЬ - (фр.). Перпендикуляр к касательной, проведенной к кривой, в данной точке, нормаль которой отыскивается. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. НОРМАЛЬ перпендикулярная линия к касательной, проведенной к… … Словарь иностранных слов русского языка

    нормаль - и, ж. normale f. <лат. normalis. 1. мат. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания. БАС 1. Нормальная линия, или нормаль. В аналитической геометрии так называется прямая линия, перпендикулярная к… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

    нормаль - перпендикуляр. Ant. параллель Словарь русских синонимов. нормаль сущ., кол во синонимов: 3 бинормаль (1) … Словарь синонимов

    НОРМАЛЬ - (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в данной ее точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке …

    НОРМАЛЬ - устаревшее название стандарта … Большой Энциклопедический словарь

    НОРМАЛЬ - НОРМАЛЬ, нормали, жен. 1. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания (мат.). 2. Деталь установленного заводом образца (тех.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

    нормаль - нормальный вертикальный стандартный реальный — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы нормальныйвертикальныйстандартныйреальный EN normal … Справочник технического переводчика

    нормаль - и; ж. [от лат. normalis прямолинейный] 1. Матем. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящей через точку касания. 2. Техн. Деталь установленного образца. * * * нормаль I (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в… … Энциклопедический словарь

    НОРМАЛЬ - (франц. normal нормаль, норма, от лат. normalis прямой) 1) Н. в стандарт и з а ц и и устаревшее назв. стандарта. 2) Н. в математике Н. к кривой (поверхности) в данной точке наз. прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную к касат.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

    нормаль - normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal vok. Normale, f rus. нормаль, f pranc. normale, f … Fizikos terminų žodynas

Книги

  • Геометрия алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах: С приложениями в численных методах и вычислительной геометрии , Кутищев Г.П.. В этой книге, на теоретическом уровне несколько выше школьного, очень подробно рассмотрены алгебраические уравнения, допускающие решение в элементарных операциях, или решение в радикалах. Эти…

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики - и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат - точку (0; 0; 0) - то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) - вот и все!

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов - есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек - начала и конца вектора - можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец - в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC - все та же точка A, зато конец - точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую...

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми - это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведены прямые AC и BD 1 . Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA 1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD 1 . На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D 1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, проведены прямые AB 1 и AC 1 . Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA 1 , ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB 1 . Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B 1 = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC 1 . Все то же самое - единственное отличие в том, что у точки C 1 иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB 1 = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы - это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости - это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль - это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение - правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом - хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором - той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно - и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение A 1 BC 1 . Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A 1 , B и C 1 , то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.


A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение AA 1 C 1 C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A 1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A 1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 - без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами - точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка - обозначим ее точкой H - можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка - это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K - середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K - середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L - это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Если Ваш репетитор по математике имеет высокую квалификацию, то он должен это знать. В противном случае я бы советовал для «С» части сменить репетитора. Моя подготовка к ЕГЭ по математике С1-С6 обычно включает разбор основных алгоритмов и формул, описанных ниже.

Угол между прямыми а и b

Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 180 град).

Какой алгоритм использует репетитор по математике для поиска угла?

1) Выбираем любые вектора и , имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
2) Определяем координаты векторов и по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
3) Подставляем найденный координаты в формулу:
. Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Нормаль к плоскости

Нормалью к плоскости называется любой вектор, перпендикулярный к этой плоскости.
Как найти нормаль? Для поиска координат нормали достаточно узнать координаты любых трех точек M, N и K, лежащих в данной плоскости. По этим координатам находим координаты векторов и и требуем выполнения условий и . Приравнивая скалярные произведение векторов к нулю, составляем систему уравнений с тремя переменными, из которой можно найти координаты нормали.

Замечание репетитора по математике : Совсем не обязательно решать систему полностью, ибо достаточно подобрать хотя бы одну нормаль. Для этого можно подставить вместо какой-нибудь из ее неизвестных координат любое число (например единицу) и решить систему двух уравнений с оставшимися двумя неизвестными. Если она решений не имеет, то это значит, что в семействе нормалей нет той, у которой по выбранной переменной стоит единица. Тогда подставьте единицу вместо другой переменной (другой координаты) и решите новую систему. Если опять промахнетесь, то Ваша нормаль будет иметь единицу по последней координате, а сама она окажется параллельной какой-нибудь координатной плоскости (в таком случае ее легко найти и без системы).

Допустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора и нормали
Угол между прямой и плоскость вычисляется по следующей формуле:

Пусть и — две любые нормали к данным плоскостям. Тогда косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:

Уравнение плоскости в пространстве

Точки, удовлетворяющие равенству образуют плоскость с нормалью . Коэффициент отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью . Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль (как это описано выше), а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение и найти коэффициент .

В самом общем случае нормаль к поверхности представляет ее локальную кривизну, и, следовательно, направление зеркального отражения (рис. 3.5). Применительно к нашим знаниям можно сказать, что нормалью называется вектор, определяющий ориентацию грани (рис. 3.6).

Рис. 3.5 Рис. 3.6

Во многих алгоритмах удаления невидимых линий и поверхностей используются только ребра и вершины, поэтому, для того чтобы объединить их с моделью освещения, необходимо знать приближенное значение нормали на ребрах и в вершинах. Пусть заданы уравнения плоскостей полигональных граней, тогда нормаль к их общей вершине равна среднему значению нормалей ко всем многоугольникам, сходящимся к этой вершине. Например, на рис. 3.7 направление приближенной нормали в точке V 1 есть:

n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 + b 1 + b 4 )j + (c 0 + c 1 + c 4 )k , (3.15)

где a 0 , a 1 , a 4 , b 0 , b 1 , b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - коэффициенты уравнений плоскостей трех многоугольниковP 0 , P 1 , P 4 , окружающихV 1 . Отметим, что если требуется найти только направление нормали, то делить результат на количество граней необязательно.

Если же уравнения плоскостей не заданы, то нормаль к вершине можно определить, усредняя векторные произведения всех ребер, пересекающихся в вершине. Еще раз, рассматривая вершину V 1 на рис. 3.7, найдем направление приближенной нормали:

n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 + V 1 V 4 V 1 V 5 (3.16)

Рис. 3.7 - Аппроксимация нормали к полигональной поверхности

Следует обратить внимание на то, что необходимы только внешние нормали. Кроме того, если полученный вектор не нормируется, то его величина зависит от количества и площади конкретных многоугольников, а также от количества и длины конкретных ребер. Сильнее проявляется влияние многоугольников с большей площадью и более длинными ребрами.

Когда нормаль к поверхности используется для определения ин­тенсивности и для изображения объекта или сцены выполняется перспективное преобразование, то нормаль следует вычислять до перспективного деления. В противном случае направление нор­мали будет искажено, а это приведет к тому, что интенсивность, задаваемая моделью освещения, будет определена неправильно.

Если известно аналитическое описание плоскости (поверхности), то нормаль вычисляется непосредственно. Зная уравнение плоскости каждой грани многогранника, можно найти направление внешней нормали.

Если уравнение плоскости имеет вид:

то вектор нормали к этой плоскости записывается следующим образом:

, (3.18)

где
- единичные векторы осейx,y,z соответственно.

Величина d вычисляется с помощью произвольной точки, принадлежащей плоскости, например, для точки (
)

Пример. Рассмотрим 4-х сторонний плоский многоугольник, описываемый 4-мя вершинами V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) и V4(1,1,1) (см. рис. 3.7).

Уравнение плоскости имеет вид:

x + y + z - 1 = 0.

Получим нормаль к этой плоскости, используя векторное произведение пары векторов, являющихся смежными ребрами к одной из вершин, например, V1:

Во многих алгоритмах удаления невидимых линий и поверхностей используются только ребра или вершины, поэтому, для того, чтобы объединить их с моделью освещения, необходимо знать приближенное значение нормали на ребрах и в вершинах.

Пусть заданы уравнения плоскостей граней многогранника, тогда нормаль к их общей вершине равна среднему значению нормалей ко всем граням, сходящимся в этой вершине.