1. Цель работы: определение момента инерции маятника Максвелла. Определение силы натяжения нитей при движении и в момент "рывка" (нижняя точка траектории).

2. Теоретические основы работы.

Маятник Максвелла представляет собой однородный диск, насаженный на цилиндрический вал (рис. 1); центры масс диска и вала лежат на оси вращения. На вал радиусом r намотаны нити, концы которых закреплены на кронштейне. При разматывании нитей маятник Максвелла совершает плоское движение. Плоским называют такое движение, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Плоское движение маятника можно представить как сумму двух движений - поступательного движения центра масс вдоль оси OY , со скоростью V и вращательного движения с угловой скоростью w относительно оси O ’ Z , проходящей через центр масс маятника.

При движении маятника Максвелла происходит процесс перехода потенциаль­ной энергии в кинетическую и обратно. Разумеется, механическая энергия посте­пенно убывает в результате действия сил трения. Согласно теореме о движении центра масс, центр масс движется как материальная точка, масса которой равна массе системы, а действующая на нее сила - геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему:

å M iZ = ma c

Здесь индекс С означает центр масс системы.

Основное уравнение динамики вращательного движения для маятника максвелла относительно мгновенной оси O " Z , проходящей через центр масс имеет вид

å M iZ = J Z E Z

Здесь J Z - момент инерции маятника относительно оси O " Z .

Е Z - проекция углового ускорения на ось O"Z ; левая часть урав­нения - алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно оси O"Z .

Если нить не проскальзывает, то скорость центра масс маятника и угловая скорость w связаны кинематическим соотношением

V c = w r

а) Определение момента инерции маятника Максвелла.

Используя закон сохранения механической энергии можно экспери­ментально определить момент инерции маятника. Для этого измеряется время t опускания маятника массой m с высоты h .

Примем потенциальную энергию маятника Максвелла W п.н. = 0 в поло­жении, когда маятник находится в нижней точке. Кинетическая энер­гия в этом положении

W к . н . = mV 2 /2 + J w 2 /2 (1)

Здесь V - скорость центра масс маятника; w - угловая скорость;

J - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс: m = m в + m д + m л - масса маятника; m в , m д, m л - массы вала, диска и кольца, входящих в состав маятника. В верхнем положении маятника его потенциальная энергия

W п . в . = mgh ,

а кинетическая энергия равна нулю. Из закона сохранения механи­ческой энергии для маятника Максвелла (диссипативными силами, т.е. силами трения, сопротивления воздуха и т.п. пренебрегаем) следует

mgh = mV 2 /2 + J w 2 /2 (2)

Так как центр масс маятника движется прямолинейно и равноус­коренно, то

h = a t 2 /2; V = a t (3)

Из (3) получим V = 2 h / g (4)

Подставляя соотношение (4) в (2) и используя соотношение между скоростью центра масс и угловой скоростью вращения маятника относительно оси симметрии, получим формулу для расчета эксперимен­тального момента инерции маятника Максвелла

J э = mr 2 (g t 2 /2h – 1) (5)

Здесь r – радиус вала

Полученный результат сравниваем со значением момента инерции, определяемым из теоретических соображений. Теоретический момент инерции маятника Максвелла можно рассчитать по Формуле

J T = J B + J Д + J K (6)

Здесь J B , J Д, J K - моменты инерции составных частей маятника: вала, диска и кольца соответственно. Используя общую формулу для определения момента инерции

J = ∫ r 2 dm (7)

найдем моменты инерции элементов маятника Максвелла.

J Д = m Д R 1 2 /2 (9)

Момент инерции вала J B = m в r 2 /2 (8)

Момент инерции диска

Здесь R 1 - радиус диска, он же внутренний диаметр кольца (рис. 1). Момент инерции кольца

J K = m K *(R 1 2 + R 2 2)/2 (10)

Здесь R 2 - внешний диаметр кольца

б) Определение силы натяжения нитей при движении маятника Максвелла Т Д и в момент "рывка" – Т Р.

Движение маятника Максвелла описывается системой уравнений

-ma = 2T – mg (11); J E = 2Tr (12); h = a t 2 /2 (13)

Из (11) и (12) следует, что при движении маятника Максвелла сила натяжения нити равна

T Д = mg/2(mr 2 /J + 1) (14)

где момент инерции маятника J определяется соотношением (5).

Маятник Максвелла представляет собой тело, способное совершать одновременно поступательное и вращательное движение (рис.1).

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая линия, соединяющая две любые точки тела, …
сохраняет свое неизменное направление в пространстве. При поступательном движении тела прямая, проведенная через две произвольно выбранные точки этого тела, перемещается параллельно самой себе. Основы кинематики поступательного движения изложены в краткой теории к работе М1.

Основным законом динамики поступательного движения является торой закон Ньютона:

.

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центром на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться вне тела или проходить через него. Основы кинематики и динамики вращательного движения в краткой теории к работам М1 и М3.

Рассмотрим более подробно закономерности поступательного и вращательного движения на приме маятника Максвелла, который представляет собой маховик, закрепленный на оси и подвешенный на двух нитях. Если нить намотать на ось маховика, то во время движения вниз она будет разматываться до полной длины. Раскрутившийся маховик продолжает вращательное движение в том же направлении и наматывает нить на ось, вследствие чего он поднимается вверх, замедляя при этом свое вращение. Дойдя до верхней точки, диск будет опять спускаться вниз и т.д. Маховик таким образом совершает колебания вверх и вниз и поэтому его называют маятником.

Движение всякой точки маятника мы можем представить как поступательное движение со скоростью , равной скорости центра инерции, и вращение вокруг оси с угловой скоростью w .

При движении на маятник действуют следующие силы и их моменты:

1) сила тяжести , приложенная к центру массы маятника и перпендикулярная оси вращения; момент силы тяжести равен нулю;

2) две силы натяжения нитей , приложенные к мгновенным точкам соприкосновения нитей и валика; момент силы натяжения:

3) две силы сопротивления совпадают по направлению с и имеют момент . Сила направлена против движения, характеризует трение нити о валик и другие диссипативные силы.

Запишем закон поступательного движения маятника, пренебрегая силами сопротивления:

где mg — сила тяжести маятника, F — сила натяжения нити.

Закон вращательного движения имеет вид:

где R — радиус валика, I — момент инерции маятника, e — угловое ускорение маятника.

Так как маятник Максвелла в процессе движения совершает равноускоренное движение с нулевой начальной скоростью, то изменение его скорости и координаты можно рассчитать по формулам:

Скорость центра инерции маятника (скорость оси маховика) и скорость вращения маятника связаны выражением

где R — радиус оси маятника, — касательная скорость этой оси.

Существует связь и между ускорениями двух видов движения:

Решая совместно уравнения (1-6), можно получить необходимые для работы расчетные формулы:

Отметим, что ускорение и сила натяжения совершенно не зависят от того, куда движется маятник — вверх или вниз. При колебаниях маятника скорость меняет свой знак, а ускорение не меняет, как не меняют знаков и силы.

Для определения моментов инерции используем формулу, выражающую закон сохранения механической энергии: потенциальная энергия маятника, находящегося в состоянии покоя на высоте h , равна кинетической энергии поступательного и вращательного движения маятника, находящегося в нижнем положении:

Учитывая формулу (5), находим:

С учетом (3-7) получим

где R — радиус оси маятника, t — время падения маятника.

Массу маятника надо определять по формуле

где m 1 — масса оси маятника; m 2 — масса диска; m 3 — масса кольца, одетого на диск. Все массы указаны на самих элементах.

Вычисление теоретического момента инерции маятника

Вычисление теоретического момента инерции маятника производится путем определения моментов инерции отдельных его элементов (валик, диск, кольцо).

Все три предмета можно представить в виде правильных фигур. Значит формулы для вычисления их моментов инерции можно найти в справочных материалах.

Валик можно представить как кольцо с тонкими стенками (обруч):

Формула для расчета момента инерции диска:

Формула для расчета момента инерции кольца (с толстыми стенками):

Вычисление энергии диссипации

Записывая формулу (10), мы считали маятник консервативной системой. Однако неизбежно существует сопротивление, что приводит к рассеянию энергии. Благодаря этому, маятник не сможет снова подняться на высоту h . Часть механической энергии переходит в тепловую, т.е. происходит диссипация механической энергии. При малых скоростях диссипативные силы можно считать линейными функциями скоростей. Используя закон сохранения энергии, находим:

где F c — сила сопротивления, h — высота, с которой опускается центр инерции маятника, h 1 — высота последующего подъема центра инерции маятника.

Таким образом

Числовое значение рассеивающейся энергии находим по формуле:

где h n — высота поднятия маятника после n колебаний маятника.

Описание установки

Вертикальная стойка имеет верхний и нижний кронштейны. На верхнем кронштейне имеется электромагнит, фотоэлектрический датчик и винт для закрепления и регулирования длины подвеса маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в выбранном положении.

Маятник – прибор, подвешенный по бирилярному способу, имеет сменные кольца, которые позволяют изменять массу маятника а, следовательно, и его момент инерции. Маятник с надетым на него кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Время движения маятника измеряется при помощи секундомера, пройденный путь — по шкале на стойке прибора, ориентируясь на нижний край кольца.

На передней панели прибора находится:

1) выключатель сети "СЕТЬ". Для включения питания;

2) кнопка "СБРОС". Для обнуления секундомера;

3) управление электромагнитом "ПУСК". Нажатие этой клавиши выключает электромагнит и включает секундомер.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Определение динамических характеристик движения центра инерции маятника:

1) вычертите в тетради таблицу 1, помещенную в конце данных методических указаний;

2) взяв самое легкое кольцо, наденьте его на диск маятника; суммируйте массы кольца, диска и валика, результат запишите в таблицу;

3) нажмите на клавишу "СЕТЬ";

4) намотайте на ось маятника нить так, чтобы витки располагались равномерно, при этом в своем верхнем положении маятник должен удерживаться электромагнитом;

5) нажмите на клавишу "СБРОС" (секундомер должен обнулиться);

6) при нажатии клавиши "ПУСК" маятник начнет движение вниз, а после достижения им нижнего фотоэлектрического датчика секундомер автоматически зафиксирует время опускания маятника с данной высоты;

7) измерение времени движения маятника выполнить 5 раз (показания секундомера записывайте в таблицу); высчитайте среднее значение и также внесите его в таблицу 1;

8) поменяйте кольцо на маятнике и повторите измерения согласно п.4-7;

9) повторите измерения и расчеты п. 4-7 для третьего кольца;

10) по шкале на вертикальной стойке определить путь, пройденный маятником и записать его в единицах системы СИ;

11) по формулам 7,8,9 и 11 рассчитайте ускорения поступательного и вращательного движения маятника, силу натяжения нитей и момент инерции маятника для всех трех колец. Результаты занесите в таблицу 1;

12) рассчитайте по формуле (12) теоретический момент инерции маятника для всех трех колец. Результаты запишите в таблицу и сравните со значениями I , рассчитанными ранее по формуле (11).

13) В заключении к работе сделать выводы о зависимости всех рассчитанных величин от массы маятника. Пояснить эти зависимости.

Таблица 1

, кг	, кг	t, с	t ср, с	a, м/с 2	e, 1/с 2	F, Н	I э, кг×м 2	I теор, кг×м 2

Определение энергии диссипации

1. Вычертите в тетради таблицу 2, помещенную в конце данных методических указаний.

2. Произведите равномерное наматывание нити и закрепите маятник в верхнем положении.

3. Нажмите "ПУСК", приведите маятник в движение и зафиксируйте высоту h , с которой опускается центр инерции маятника и высоту его последующего поднятия h 1 .

4. По формуле (12) вычислите силу сопротивления.

5. Произведите равномерное наматывание нити и закрепите маятник в верхнем положении.

6. Приведите маятник в движение, измерьте высоту в верхнем положении маятника после каждого из 10 колебаний.

7. Вычислите значение энергии диссипации по формуле (13).

8. Постройте график зависимости энергии диссипации от числа колебаний маятника.

9. В заключении к работе пояснить полученную зависимость W d = f(n).

Таблица 2

n, колебаний	h i , м	F c , Н	W d , Дж

Контрольные вопросы

1. Как устроен маятник Максвелл?

2. Записать и прокомментировать уравнения поступательного и вращательного движения маятника.

3. Вывести формулу для расчета ускорения центра инерции маятника, углового ускорения маятника, силы натяжения нити, момента инерции маятника.

4 Записать закон сохранения энергии для маятника Максвелла и дать пояснения.

5. Что называется моментом инерции материальной точки и моментом инерции твердого тела? Единицы измерения этой величины.

6. Вывести формулу для определения силы сопротивления, действующей на маятник Максвелла.

Лабораторная работа № 1*

Маятник Максвелла

Цель работы : Определить момент инерции маятника Максвелл дина­мическим способен и сравнить его с теоретическим значением.

Приборы и материалы: маятник Максвелла, электронный секундомер, сменные кольца.

Лабораторный прибор

Маятник Максвелла представляет собой небольшой диск (маховичок) насажанный туго на ось. Под действием силы тяжести он опускается на двух нитях, предварительно намотанных на ось маховичка (рис. 1). Нить во время движения диска вниз разматывается до полной дли­ны, раскрутившийся маховичок продолжает вращательное дви­жение в том же направлении и наматывает нити на ось, вследствие чего он поднима­ется вверх, замедляя при этом свое вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять будет опускаться вниз и т.д. Маховичок будет колебаться вниз и вверх, поэтому такое устройство и называется маят­ником.

Лабораторная установка

В лабораторной установке маятник Максвелла укреплен на кронштейнах, позволяющих регулировать длину подвески и ее параллельность. К верхнему и нижнему кронштейнам прикреплены фотоэлектрические датчики, связанные функционально с электронным секундомером, измеряющим время движения маятника. На маховичск накладываются сменные кольца, изменяв­шие момент инерции маятника. На верхнем кронштейне находится

электромагнит, фиксирующий начальное положение маховичка с кольцом при отжатой клавише "ПУСК".

Теоретическое описание работы и вывод рабочей формулы

Маятник в процессе колебаний совершает поступательное и вращательное движения, которые описываются соответствующими уравнениями. Для составления уравнений движения рассмотрим силы и моменты сил, действующих на маховичок (рис. I). Пусть
- сила тяжести,- сила натяжения одной нити.
- радиус оси маятника.
10 мм - диаметр оси маятника,
- масса маятника.- момент инерции маховичка. Тогда уравнение поступательного движения, согласно второму закону Ньютона, запишется так:

. (1)

В уравнении (1) стоит удвоенное значение силы , так как на ось маховичка намотаны две нити, в каждой из которых возникает сила натяже­ния .

Под действием сил натяжения диск совершает вращательное движение. Момент этих сил равен:

. (2)

Плечом силы является радиусоси маятника, диаметром нити пренебрегаем.

Тогда уравнение вращательного движения маховичка можно записать так:

, (3)

где - угловое ускорение вращения диска.

Угловое ускорение и ускорение центра масс связаны соот­ношением:

. (4)

Ускорение , центра масс можно найти, зная длину пути и время дви­жения маховичка от верхней до нижней точки (с учетом нулевой начальной скорости):

. (5)

. (6)

Подставив (6) в (4), получим:

. (7)

С учетом (6) и (7) уравнения (1) и (3) примут вид:

. (8)

. (9)

Решая совместно уравнения (8) и (9), получим рабочую формулу для опреде­ления момента инерции маятника Максвелла экспериментальным путем:

. (10)

В формуле (10) масса
является общей массой маятника, включающей в себя массу оси маятника, диска и кольца.-?-?

-?
-?
-?

Порядок выполнения работы

1. Включить установку в сеть.

2. На маховичок наложить произвольно выбранное кольцо, прижимая его до упора.

3. На ось маятника намотать нить подвески, обращая внимание на то. чтобы она наматывалась равномерно, виток к витку.

4. Зафиксировать маятник в верхнем кронштейне отжатием клавиши "ПУСК" секундомера.

5. Нажать клавишу "СБРОС" секундомера.

6. Нажать клавишу "ПУСК", при этом электронный секундомер начнет отсчет времени движения маятника до нижнего кронштейна. Измерения повторить 5 раз и занести в соответствующую колонку табли­цы.

7. По шкале на вертикальной колонке определить длину маятника.

8. Измерения времени (пункт 6) повторить для разных насадных колец и занести в таблицу.

9. Определить общую массу маятника. Значения масс отдельных элементов указаны на них.

10.По формуле (10) вычислить момент инерции - маятника для всех

серий измерений.

11.Вычислить относительную и абсолютную погрешности определения момента

инерции по полученным самостоятельно формулам. Формула дифференциала имеет вид

12.Вычислить теоретические значения моментов инерции маятника но формулам (11) и сравнить с вычисленным по формулам (10):

, (11)

где
- момент инерции оси маятника.

- масса оси маятника, = 10 мм - диаметр оси

- момент инерции диска.

- масса диска,
86 мм - внешний диаметр диска

- момент инерции насадного кольца.

- масса кольца,
105 мм - внешний диаметр кольца.

13.Окончательные результаты определения моментов инерции маятника представить в следующем виде:

,
.

14.По полученным результатам сделать выводы.

Таблица результатов

№,

с

, с

, с

, кг

, кг

, кг

, кг

, кг

, м

, м

, м

, м

Ср. знач.

, с

, кг

, м

, м

Контрольные вопросы

1. Дайте определение момента инерции материальной точки и твердого тела.

2. Как записывается основное уравнение динамики вращательного движения?

3. Какой физический прибор называется маятником Максвелла? Назовите основные его элементы и объясните принцип его работы.

4. Выведите рабочую формулу для определения момента инерции маятника Максвелла.

5. Объясните формулу (11) для теоретических значений моментов инерции маятника.

6. Выведите формулу для относительной и абсолютной погрешностей определения моментов инерции.

Учебно-методическое пособие

к лабораторной работе № 1.10

Целью работы является изучение законов динамики вращательного движения твердого тела, ознакомление с маятником Максвелла и методикой измерения на нем момента инерции колеса маятника Максвелла относительно оси, проходящей через его центр масс, а так же экспериментальное нахождение ускорения поступательного движения центра масс колеса маятника Максвелла.

1. Основные понятия вращательного движения твердого тела.

Под твердым телом в механике понимается модель абсолютно твердого тела – тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Такое тело можно рассматривать как систему жестко закрепленных материальных точек. Любое сложное движение твердого тела всегда можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.

Поступательным движением твердого тела называется движение, при котором любая прямая, проведенная через любые две точки тела, остается параллельной самой себе во все время (рис.1). При таком движении все точки твердого тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые перемещения и проходят одинаковый путь. Следовательно, поступательное движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки. Такой точкой может являться, в частности, центр масс (центр инерции) тела С. Под центром масс тела понимается точка приложения результирующей массовых сил, действующих на тело. Массовые силы – это силы, пропорциональные массам элементов тела, на которые эти силы действуют, при условии что силы, действующие на все элементы тела, параллельны друг другу.

Так как при поступательном движении все элементарные массы Δm i твердого тела движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями, то для каждой из них справедлив второй закон Ньютона:

, (1)

где - сумма всех внутренних сил, действующих на элементарную массу Δm i (всего таких сил будет i-1, так как сама на себя частица действовать не может), а сумма всех внешних сил действующих на элементарную массу Δm i со стороны других тел. Просуммировав уравнения (1) по всему телу и учитывая, что сумма всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, получим закон динамики поступательного движения твердого тела:

Или , (3)

где - результирующая всех внешних сил, действующих на тело в целом, - импульс (количество движения) тела. Полученное уравнение (3) поступательного движения твердого тела совпадает с уравнением динамики материальной точки.

Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения тела. При вращательном движении все точки тела движутся с одной и той же угловой скоростью и угловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения. Однако, как показывает опыт, при вращательном движении твердого тела вокруг закрепленной оси масса уже не является мерой его инертности, а сила – недостаточна для характеристики внешнего воздействия. Так же из опыта следует, что ускорение при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения; зависит не только от силы, но и от точки ее приложения и направления действия. Поэтому, для описания вращательного движения твердого тела введены новые характеристики, такие как момент силы, момент импульса и момент инерции тела . При этом, следует иметь в виду, что существует два разных понятия этих величин: относительно оси и относительно любой точки О (полюса, начала), взятой на этой оси.

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого из точки О в точку приложения результирующей силы , на вектор этой силы:

(4)

Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой расположены вектора и , а его направление относительно этой плоскости определяется по правилу векторного произведения или по правилу буравчика. Согласно правилу буравчика: если рукоятку буравчика вращать по направлению действия силы , то поступательное движение буравчика будет совпадать с направлением вектора момента силы (рис.2). Вектора, направление которых связывают с направлением вращения (угловая скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса и т.п.), называют псевдовекторами или аксиальными в отличие отобычных векторов (скорость, радиус-вектор, ускорение и т.п.), которые называют полярными .

Величина вектора момента силы (численное значение момента силы) определяется согласно формуле векторного произведения (4), т.е. , где a -

угол между направлениями векторов и . Величина p= r·Sinα называется плечом силы (рис.2).Плечо силы р - это кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы .

Моментом силы относительно оси , называется проекция на эту ось вектора момента силы, найденного относительно любой точки, принадлежащей этой оси. Ясно, что относительно оси момент силы является скалярной величиной.

В системе СИ момент силы измеряется в Н·м.

Для введения понятия момента импульса тела, введем сначала это понятие для материальной точки, принадлежащей вращающемуся твердому телу.

Моментом импульса материальной точки Δm i относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки О в точку Δm i , на вектор импульса этой материальной точки:

, (5)

где - импульс материальной точки.

Моментом импульса твердого тела (или механической системы) относительно неподвижной точки О называется вектор , равный геометрической сумме моментов импульса относительно этой же точки О всех материальных точек данного тела, т.е. .

Моментом импульса твердого тела относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса тела относительно любой точки, выбранной на данной оси. Совершенно очевидно, в этом случае момент импульса является скалярной величиной. В системе СИ момент импульса измеряется в

Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность же тел при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции тела I относительно оси вращения или точки. Момент инерции, как и масса, величина скалярная.

Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая величина равная сумме произведений масс материальных точек, на которые можно разбить все тело, на квадратырасстояний каждой из них до оси вращения:

, (6)

где -момент инерции материальной точки.

Моментом инерции тела относительно точки О, лежащей на оси, называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой материальной точки данного тела на квадрат ее расстояния до точки О. Расчетная формула момента инерции аналогична формуле (6).

В системе СИ момент инерции измеряется в кг·м 2 .

2. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела .

Найдем связь между моментом силы и моментом импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ОО. Для этого мысленно разобьем тело на элементарные части (массы), которые можно считать материальными точками.

Каждая из входящих в это твердое тело материальных точек будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а центры всех этих окружностей будут лежать на этой оси. Понятно, что все точки тела в данный момент времени имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение. Рассмотрим i-материальную точку, масса которой Δm i , а радиус окружности, по которой она движется, r i . На нее действуют как внешние силы со стороны других тел, так и внутренние - со стороны других материальных точек, принадлежащих этому же телу. Разложим результирующую силу , действующую на материальную точку массы Δm i , на две взаимно перпендикулярные составляющие силы и , причем так, чтобы вектор силы совпадал по направлению с касательной к траектории движения частицы, а сила - перпендикулярна к этой касательной (Рис.3). Совершенно очевидно, что вращение данной материальной точки обусловлено только касательной составляющей силы , величину которой можно представить в виде суммы внутренней и внешней сил. В этом случае для точки Δm i второй закон Ньютона в скалярном виде будет иметь вид

(7)

С учетом того, что при вращательном движении твердого тела вокруг оси, линейные скорости движения материальных точек по круговым траекториям различны по величине и направлению, а угловые скорости w для всех этих точек одинаковы (и по величине и направлению), заменим в уравнении (7) линейную скорость на угловую (v i =wr i):

. (8)

Введем в уравнение (8) момент силы, действующей на частицу. Для этого умножим левую и правую часть уравнения (8) на радиус r i , который по отношению к результирующей силе является плечом:

. (9)

, (10)

где каждый член в правой части уравнения (10) есть момент соответствующей силы относительно оси вращения. Если в это уравнение ввести угловое ускорение вращения материальной точки массы Δm i относительно оси ( = ) и ее момент инер-

ции ΔI i относительно этой же оси ( =ΔI i), то уравнение вращательного движе-

ния материальной точки относительно оси примет вид:

ΔI i · = (11)

Аналогичные уравнения можно записать для всех других материальных точек, входящих в данное твердое тело. Найдем сумму этих уравнений с учетом того, что величина углового ускорения для всех материальных точек данного вращающегося тела будет одинаковой, получим:

Суммарный момент внутренних сил равен нулю, так как каждая внутренняя сила, согласно третьему закону Ньютона, имеет равную по величине, но противоположно направленную себе силу, приложенную к другой материальной точке тела, с таким же плечом. Суммарный момент = М – есть вращающий момент всех внешних сил, действующих на вращающееся тело. Сумма моментов инерции =I определяет момент инерции данного тела относительно оси вращения. После подстановки указанных величин в уравнение (12) окончательно получим:

Уравнение (13) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно оси. Так как = , а момент инерции тела относительно данной оси вращения является постоянной величиной и, следовательно, его можно внести под знак дифференциала, то уравнение (13) можно записать в виде:

. (14)

Величина

называется моментом импульса тела относительно оси. C учетом (15) уравнение (14) можно записать в виде:

(16)

Уравнения (13-16) носят скалярный характер, и применяются только для описания вращательного движения тел относительно оси. При описании вращательного движения тел относительно точки (или полюса, или начала), принадлежащей данной оси, указанные уравнения соответственно записываются в векторном виде:

(13 *); (14 *); (15 *); (16 *).

При сравнении уравнений поступательного и вращательного движения тела видно, что при вращательном движении вместо силы выступает ее момент силы, вместо массы тела – момент инерции тела, вместо импульса (или количества движения) – момент импульса (или момент количества движения). Из уравнений (16) и (16 *) следует соответственно уравнение моментов относительно оси и относительно точки:

dL=Mdt (17); (17 *) .

Согласно уравнению моментов относительно оси (17) – изменение момента импуль-

са тела относительно неподвижной оси равно моменту импульса внешней силы, действующей на тело относительно этой же оси. Относительно точки (17 *) уравнение моментов формулируется: изменение вектора момента импульса относительно точки равно импульсу момента вектора силы, действующего на тело, относительно этой же точки.

Из уравнений (17) и (17 *) вытекает закон сохранения момента импульса твердого тела как относительно оси, так и относительно точки. Из уравнения (17) следует, если суммарный момент всех внешних сил М относительно оси равен нулю

(M=0, следовательно и dL=0) то момент импульса этого тела относительно оси его вращения остается постоянной величиной (L=Const).

Относительно точки: если суммарный вектор момента всех внешних сил относительно точки вращения О остается неизменным, то вектор момента импульса этого тела относительно этой же точки О остается постоянным.

Надо отметить, что если система отсчета, относительно которой рассматривается вращение тела, является неинерциальной , то момент силы М включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции относительно той же оси

или точки.

3. Описание установки. Вывод рабочей формулы.

Рис.4. Лабораторная установка.

Основание 1, оснащено тремя регулировочными опорами, с помощью которых устанавливается вертикальное положение штативов 2 и 9.

С помощью миллиметровой линейки 3 и двух передвижных визиров 4 определяется расстояние пройденное центром маятника 5 при его падении. В верхней части штативов 2 расположен узел 6 для регулировки длины нитей маятника 5. На нижнем подвижном кронштейне 7 установлен «световой барьер» 8 – электронный измеритель времени. На стойке 9 расположено «пусковое устройство» 10.

Основным элементом установки является маятник 5, состоящий из диска, через центр которого проходит ось диаметром D. На эту ось наматываются две симметрично расположенные относительно плоскости диска нити одинаковой длины.

Действие установки основано на законе сохранения механической анергии: полная механическая анергия Е системы, на которую действуют только консервативные силы, постоянна и определяется согласно уравнения:

Е = + , (18)

где -кинетическая энергия вращательного движения маятника, I-момент инерции маятника, w-угловая скорость вращательного движения диска.

Закручивая на ось маятника нити, мы поднимаем его на высоту h и создаем ему запас потенциальной энергии. Если отпустить маятник то он начинает опускаться под действием силы тяжести, приобретая одновременно вращательное движение. В нижней точке, когда маятник опустится на полную длину нитей, поступательное движение вниз прекратится. При этом раскрутившийся диск со стержнем продолжает вращательное движение в том же направлении по инерции и снова наматывает нити на стер­жень. Вследствие этого диск со стержнем начинает подниматься вверх. После достижения наивысшей точки цикл колебательного движения возобновится. Диск со стержнем будет совершать колебания вверх и вниз, такое устройство и называется маятником Максвелла..

Для получения рабочей формулы рассмотрим силы, действующие на маятник Максвелла (рис.5).

Такими силами являются: сила тяжести m , приложенная к центру масс системы и сила натяжения нитей . Запишем для этой системы уравнение поступательного движения маятника. В соответствии со вторым законом Ньютона для поступательного движения центра массы маятника уравнение движения имеет вид:

m = m +2 , где -ускорение центра масс маятника,

Сила натяжения одной нити. Спроектируем это уравнение на ось ОУ совпадающую с направлением движения центра масс маятника:

m = mg – 2T (19)

Помимо поступательного движения маятник участвует и во вращательном движении за счет действия на него момента силы Т. Тогда, для такого движения маятника запишем основной закон динамики вращательного движения как для абсолютно твердого тела:

где I – момент инерции колеса маятника относительно его оси вращения, -угловое ускорение маятника, М – результирующий момент внешних сил относительно оси вращения колеса маятника.

Если нет проскальзывания между осью и нитями и нить можно считать нерастяжимой, то линейное ускорение связано с угловым кинематическим соотноше-

нием:
, где v- линейная скорость движения центра масс маятника, r- радиус оси маятника. Тогда угловое ускорение можно записать в виде

(21)

Так как сила тяжести m проходит через центр массы системы и, следовательно, ее момент силы равен нулю, то момент силы М, действующий на маятник, будет обусловлен действием только суммарной силы натяжения, равной 2Т. В этом случае, и с учетом уравнения (21), уравнение (20) можно записать в виде:

(22)

Из уравнения (19) найдем результирующую силу 2Т и подставим ее в уравнение (22):

. (23)

Разделив правую и левую часть уравнения (23) на величину ускорения , после простых преобразований, получим формулу для расчета момента инерции I в виде:

. (24)

Так как величины I, m и r, входящие в уравнение (24), в процессе движения не изменяются, то движение маятника должно происходить с постоянным ускорением. Для такого движения расстояние h, пройденное за время t, при движении с нулевой начальной скоростью равно . Откуда . Подставив найденное ускорение в уравнение (24) и заменив величину радиуса оси маятника r на ее диаметр D, окончательно получим основную рабочую формулу для расчета момента инерции маятника:

. (25)

В рабочей формуле (25):

m – масса маятника, равная сумме масс диска m д, и оси m о;

D – внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на нее нитью подвески

(D = D 0 + d o , где D o – диаметр оси маятника, d o – диаметр нити подвески);

t - время прохождения маятником расстояния h при его падении;

g – ускорение свободного падения.