Математическая прогрессия примеры. Арифметическая прогрессия: что это такое

Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.

Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, - папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) - содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».

И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на квадрату 1/2 числа членов».

Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.

Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.

Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.

Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:

an =kn+b, при этом b и k - некоторые числа.

Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:

1. Каждый член прогрессии - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
2. Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член - среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность - арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
   Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность - арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.

Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k - числа прогрессии).

В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:

К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177

Формула an = ak + d(n - k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.

Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:

Sn = (a1+an) n/2.

Если известны и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:

Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.

Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,...,n,...- простейший пример арифметической прогрессии.

Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.

Инструкция

Арифметическая прогрессия - это последовательность вида a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Число d шагом прогрессии .Очевидно, что общая произвольного n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: An = A1+(n-1)d. Тогда зная один из членов прогрессии , член прогрессии и шаг прогрессии , можно , то есть номер члена прогресси. Очевидно, он будет определяться по формуле n = (An-A1+d)/d.

Пусть теперь известен m-ый член прогрессии и -то другой член прогрессии - n-ый, но n , как и в предыдущем случае, но известно, что n и m не совпадают.Шаг прогрессии может быть вычислен по формуле: d = (An-Am)/(n-m). Тогда n = (An-Am+md)/d.

Если известна сумма нескольких элементов арифметической прогрессии , а также ее первый и последний , то количество этих элементов тоже можно определить.Сумма арифметической прогрессии будет равна: S = ((A1+An)/2)n. Тогда n = 2S/(A1+An) - чденов прогрессии . Используя тот факт, что An = A1+(n-1)d, эту формулу можно переписать в виде: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Из этой можно выразить n, решая квадратное уравнение.

Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный набор чисел, каждый член которого, кроме первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта постоянная величина называется разностью прогрессии или ее шагом и может быть рассчитана по известным членам арифметической прогрессии.

Инструкция

Если из условий задачи известны значения первого и второго или любой другой пары соседних членов , для вычисления разности (d) просто отнимите от последующего члена предыдущий. Получившаяся величина может быть как положительным, так и отрицательным числом - это зависит от того, является ли прогрессия возрастающей . В общей форме решение для произвольно взятой пары (aᵢ и aᵢ₊₁) соседних членов прогрессии запишите так: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a₁), а другой - любым другим произвольно выбранным, тоже можно составить формулу нахождения разности (d). Однако в этом случае обязательно должен быть известен порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный результат разделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В общем виде эту формулу запишите так: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Если кроме произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i известен другой ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих двух членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a₁) и сумма (Sᵢ) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для получения искомого значения разделите сумму на количество составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а результат удвойте. Получившуюся величину разделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В общем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Или арифметическая - это вид упорядоченной числовой последовательности, свойства которой изучают в школьном курсе алгебры. В данной статье подробно рассмотрен вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии.

Что это за прогрессия?

Прежде чем переходить к рассмотрению вопроса (как найти сумму арифметической прогрессии), стоит понять, о чем пойдет речь.

Любая последовательность действительных чисел, которая получается путем добавления (вычитания) некоторого значения из каждого предыдущего числа, называется алгебраической (арифметической) прогрессией. Это определение в переводе на язык математики принимает форму:

Здесь i - порядковый номер элемента ряда a i . Таким образом, зная всего одно начальное число, можно с легкостью восстановить весь ряд. Параметр d в формуле называется разностью прогрессии.

Можно легко показать, что для рассматриваемого ряда чисел выполняется следующее равенство:

a n = a 1 + d * (n - 1).

То есть для нахождения значения n-го по порядку элемента следует n-1 раз добавить разность d к первому элементу a 1 .

Чему равна сумма арифметической прогрессии: формула

Прежде чем приводить формулу для указанной суммы, стоит рассмотреть простой частный случай. Дана прогрессия натуральных чисел от 1 до 10, необходимо найти их сумму. Поскольку членов в прогрессии немного (10), то можно решить задачу в лоб, то есть просуммировать все элементы по порядку.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Стоит учесть одну интересную вещь: поскольку каждый член отличается от последующего на одно и то же значение d = 1, то попарное суммирование первого с десятым, второго с девятым и так далее даст одинаковый результат. Действительно:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Как видно, этих сумм всего 5, то есть ровно в два раза меньше, чем число элементов ряда. Тогда умножая число сумм (5) на результат каждой суммы (11), вы придете к полученному в первом примере результату.

Если обобщить эти рассуждения, то можно записать следующее выражение:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Это выражение показывает, что совсем не обязательно суммировать подряд все элементы, достаточно знать значение первого a 1 и последнего a n , а также общего числа слагаемых n.

Считается, что впервые до этого равенства додумался Гаусс, когда искал решение на заданную его школьным учителем задачу: просуммировать 100 первых целых чисел.

Сумма элементов от m до n: формула

Формула, приведенная в предыдущем пункте, дает ответ на вопрос, как найти сумму арифметической прогрессии (первых элементов), но часто в задачах необходимо просуммировать ряд чисел, стоящих в середине прогрессии. Как это сделать?

Ответить на этот вопрос проще всего, рассматривая следующий пример: пусть необходимо найти сумму членов от m-го до n-го. Для решения задачи следует представить заданный отрезок от m до n прогрессии в виде нового числового ряда. В таком представлении m-й член a m будет первым, а a n станет под номер n-(m-1). В этом случае, применяя стандартную формулу для суммы, получится следующее выражение:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример использования формул

Зная, как найти сумму арифметической прогрессии, стоит рассмотреть простой пример использования приведенных формул.

Ниже дана числовая последовательность, следует найти сумму ее членов, начиная с 5-го и заканчивая 12-м:

Приведенные числа свидетельствуют, что разность d равна 3. Используя выражение для n-го элемента, можно найти значения 5-го и 12-го членов прогрессии. Получается:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Зная значения чисел, стоящих на концах рассматриваемой алгебраической прогрессии, а также зная, какие номера в ряду они занимают, можно воспользоваться формулой для суммы, полученной в предыдущем пункте. Получится:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Стоит отметить, что это значение можно было получить иначе: сначала найти сумму первых 12 элементов по стандартной формуле, затем вычислить сумму первых 4 элементов по той же формуле, после этого вычесть из первой суммы вторую.

И. В. Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия это специального вида последовательность. Поэтому прежде чем давать определение арифметической (а затем и геометрической) прогрессии, нам нужно вкратце обсудить важное понятие числовой последовательности.

Последовательность

Вообразите устройство, на экране которого высвечиваются одно за другим некоторые числа. Скажем, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Такой набор чисел как раз и является примером последовательности.

Определение. Числовая последовательность это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер (то есть поставить в соответствие единственное натуральное число)1 . Число с номером n называется n-м членом последовательности.

Так, в приведённом выше примере первый номер имеет число 2 это первый член последовательности, который можно обозначить a1 ; номер пять имеет число 6 это пятый член последовательности, который можно обозначить a5 . Вообще, n-й член последовательности обозначается an (или bn , cn и т. д.).

Очень удобна ситуация, когда n-й член последовательности можно задать некоторой формулой. Например, формула an = 2n 3 задаёт последовательность: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формула an = (1)n задаёт последовательность: 1; 1; 1; 1; : : :

Не всякое множество чисел является последовательностью. Так, отрезок не последовательность; в нём содержится ¾слишком много¿ чисел, чтобы их можно было перенумеровать. Множество R всех действительных чисел также не является последовательностью. Эти факты доказываются в курсе математического анализа.

Арифметическая прогрессия: основные определения

Вот теперь мы готовы дать определение арифметической прогрессии.

Определение. Арифметическая прогрессия это последовательность, каждый член которой (начиная со второго) равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа (называемого разностью арифметической прогрессии).

Например, последовательность 2; 5; 8; 11; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 2 и разностью 3. Последовательность 7; 2; 3; 8; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 7 и разностью 5. Последовательность 3; 3; 3; : : : является арифметической прогрессией с разностью, равной нулю.

Эквивалентное определение: последовательность an называется арифметической прогрессией, если разность an+1 an есть величина постоянная (не зависящая от n).

Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если её разность положительна, и убывающей, если её разность отрицательна.

1 А вот более лаконичное определение: последовательность есть функция, определённая на множестве натуральных чисел. Например, последовательность действительных чисел есть функция f: N ! R.

По умолчанию последовательности считаются бесконечными, то есть содержащими бесконечное множество чисел. Но никто не мешает рассматривать и конечные последовательности; собственно, любой конечный набор чисел можно назвать конечной последовательностью. Например, конечная последовательность 1; 2; 3; 4; 5 состоит из пяти чисел.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Легко понять, что арифметическая прогрессия полностью определяется двумя числами: первым членом и разностью. Поэтому возникает вопрос: как, зная первый член и разность, найти произвольный член арифметической прогрессии?

Получить искомую формулу n-го члена арифметической прогрессии нетрудно. Пусть an

Задача 1. В арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; : : : найти формулу n-го члена и вычислить сотый член.

Решение. Согласно формуле (1 ) имеем:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и признак арифметической прогрессии

Свойство арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии an для любого

Иначе говоря, каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) является средним арифметическим соседних членов.

что и требовалось.

Более общим образом, для арифметической прогрессии an справедливо равенство

a n = a n k+ a n+k

при любом n > 2 и любом натуральном k < n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказывается, формула (2 ) служит не только необходимым, но и достаточным условием того, что последовательность является арифметической прогрессией.

Признак арифметической прогрессии. Если для всех n > 2 выполнено равенство (2 ), то последовательность an является арифметической прогрессией.

Доказательство. Перепишем формулу (2 ) следующим образом:

a na n 1= a n+1a n:

Отсюда видно, что разность an+1 an не зависит от n, а это как раз и означает, что последовательность an есть арифметическая прогрессия.

Свойство и признак арифметической прогрессии можно сформулировать в виде одного утверждения; мы для удобства сделаем это для трёх чисел (именно такая ситуация часто встречается в задачах).

Характеризация арифметической прогрессии. Три числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда 2b = a + c.

Задача 2. (МГУ, экономич. ф-т, 2007) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в указанном порядке образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите x и укажите разность этой прогрессии.

Решение. По свойству арифметической прогрессии имеем:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Если x = 1, то получается убывающая прогрессия 8, 2, 4 с разностью 6. Если x = 5, то получается возрастающая прогрессия 40, 22, 4; этот случай не годится.

Ответ: x = 1, разность равна 6.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Легенда гласит, что однажды учитель велел детям найти сумму чисел от 1 до 100 и сел спокойно читать газету. Однако не прошло и нескольких минут, как один мальчик сказал, что решил задачу. Это был 9-летний Карл Фридрих Гаусс, впоследствии один из величайших математиков в истории.

Идея маленького Гаусса была такова. Пусть

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Запишем данную сумму в обратном порядке:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и сложим две этих формулы:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Каждое слагаемое в скобках равно 101, а всего таких слагаемых 100. Поэтому

2S = 101 100 = 10100;

Мы используем эту идею для вывода формулы суммы

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Полезная модификация формулы (3 ) получается, если в неё подставить формулу n-го члена an = a1 + (n 1)d:

Задача 3. Найти сумму всех положительных трёхзначных чисел, делящихся на 13.

Решение. Трёхзначные числа, кратные 13, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 104 и разностью 13; n-й член этой прогрессии имеет вид:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Давайте выясним, сколько членов содержит наша прогрессия. Для этого решим неравенство:

an 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

Итак, в нашей прогрессии 69 членов. По формуле (4 ) находим искомую сумму:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

• расширение и углубление представлений учащихся о задачах, решаемых с использованием арифметической прогрессии; организация поисковой деятельности учащихся при выводе формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии;
• развитие умений самостоятельно приобретать новые знания, использовать для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
• выработка желания и потребности обобщать полученные факты, развитие самостоятельности.

Задачи:

• обобщить и систематизировать имеющиеся знания по теме “Арифметическая прогрессия”;
• вывести формулы для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии;
• научить применять полученные формулы при решении различных задач;
• обратить внимание учащихся на порядок действий при нахождении значения числового выражения.

Оборудование:

• карточки с заданиями для работы в группах и парах;
• оценочный лист;
• презентация “Арифметическая прогрессия”.

I. Актуализация опорных знаний.

1. Самостоятельная работа в парах.

1-й вариант:

Дайте определение арифметической прогрессии. Запишите рекуррентную формулу, с помощью которой задается арифметическая прогрессия. Приветите пример арифметической прогрессии и укажите её разность.

2-й вариант:

Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Найдите 100-й член арифметической прогрессии {a n }: 2, 5, 8 …
В это время два ученика на обратной стороне доски готовят ответы на эти же вопросы.
Учащиеся оценивают работу партнера, сверяя с доской. (Листочки с ответами сдают).

2. Игровой момент.

Задание 1.

Учитель. Я задумала некоторую арифметическую прогрессию. Задайте мне только два вопроса, чтобы после ответов вы быстро смогли бы назвать 7-й член этой прогрессии. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Вопросы учащихся.

1. Чему равен шестой член прогрессии и чему равна разность?
2. Чему равен восьмой член прогрессии и чему равна разность?

Если вопросов больше не последует, то учитель может стимулировать их – “запрет” на d (разность), то есть не разрешается спрашивать чему равна разность. Можно задать вопросы: чему равен 6-й член прогрессии и чему равен 8-й член прогрессии?

Задание 2.

На доске записано 20 чисел: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Учитель стоит спиной к доске. Ученики называют номер числа, а учитель мгновенно называет само число. Объясните, как мне это удается?

Учитель помнит формулу n-го члена a n = 3n – 2 и, подставляя задаваемые значения n, находит соответствующие значения a n .

II. Постановка учебной задачи.

Предлагаю решить старинную задачу, относящуюся ко II-му тысячелетию до нашей эры, найденную в египетских папирусах.

Задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность между каждым человеком и его соседом равняется 1/8 меры”.

• Как эта задача связана с темой арифметическая прогрессия? (Каждый следующий получает на 1/8 меры больше, значит разность d=1/8, 10 человек, значит n=10.)
• А что, по-вашему мнению, означает число 10 мер? (Сумма всех членов прогрессии.)
• Что ещё необходимо знать, чтобы было легко и просто разделить ячмень согласно условию задачи? (Первый член прогрессии.)

Задача урока – получение зависимости суммы членов прогрессии от их числа, первого члена и разности, и проверка того, верно ли в древности решали поставленную задачу.

Прежде чем сделать вывод формулы, посмотрим, как решали задачу древние египтяне.

А решали её следующим образом:

1) 10 мер: 10 = 1 мера – средняя доля;
2) 1 мера ∙ = 2 меры – удвоенная средняя доля.
Удвоенная средняя доля – это сумма долей 5-го и 6-го человек.
3) 2 меры – 1/8 меры = 1 7/8 меры – удвоенная доля пятого человека.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – доля пятого; и так далее можно найти долю каждого предыдущего и последующего человека.

Получим последовательность:

III. Решение поставленной задачи.

1. Работа в группах

I-я группа: Найти сумму 20 последовательных натуральных чисел: S 20 =(20+1)∙10 =210.

В общем виде

II-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 (Легенда о маленьком Гауссе).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Вывод:

III-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 21.

Решение: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Вывод:

IV-я группа: Найти сумму натуральных чисел от 1 до 101.

Вывод:

Этот метод решения рассмотренных задач называется “Метод Гаусса”.

2. Каждая группа представляет решение задачи на доске.

3. Обобщение предложенных решений для произвольной арифметической прогрессии:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n .

Найдем эту сумму рассуждая аналогично:

4. Решили мы поставленную задачу? (Да.)

IV. Первичное осмысление и применение полученных формул при решении задач.

1. Проверка решения старинной задачи по формуле.

2. Применение формулы при решении различных задач.

3. Упражнения на формирование умения применения формулы при решении задач.

А) №613

Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;

(а n): 1, 2, 3, …, 1500

Найти: S 1500

Решение: , а 1 = 1, а 1500 = 1500,

Б) Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;
(а n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Найти: n
Решение:

V. Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

Денис поступил на работу курьером. В первый месяц его зарплата составила 200 рублей, в каждый последующий она повышалась на 30 рублей. Сколько всего он заработал за год?

Дано: (а n) – арифметическая прогрессия;
а 1 = 200, d=30, n=12
Найти: S 12
Решение:

Ответ: 4380 рублей получил Денис за год.

VI. Инструктаж по домашнему заданию.

1. п. 4.3 – выучить вывод формулы .
2. №№ 585, 623 .
3. Составить задачу, которая решалась бы с использованием формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

VII. Подведение итогов урока.

1. Оценочный лист

2. Продолжи предложения

• Сегодня на уроке я узнал …
• Изученные формулы …
• Я считаю что …

3. Сможешь ли ты найти сумму чисел от 1 до 500? Каким методом будешь решать эту задачу?

Список литературы.

1. Алгебра, 9-й класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. Под ред. Г.В. Дорофеева. М.: “Просвещение”, 2009.