Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.
Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:
Основное логарифмическое тождество:
Свойства логарифмов, которые необходимо всегда помнить:
*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
* * *
*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.
* * *
*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
* * *
*Переход к новому основанию
* * *
Ещё свойства:
* * *
Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.
Перечислим некоторые из них:
Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный. Например:
Следствие из данного свойства:
* * *
При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.
* * *
Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении простых заданий можно легко допустить ошибку.
Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!
На этом всё! Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
(от греческого λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число») числа b по основанию a (log α b ) называется такое число c , и b = a c , то есть записи log α b =c и b=a c эквивалентны. Логарифм имеет смысл, если a > 0, а ≠ 1, b > 0.
Говоря другими словами логарифм числа b по основанию а формулируется как показатель степени , в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки вытекает, что вычисление x= log α b , равнозначно решению уравнения a x =b.
Например:
log 2 8 = 3 потому, что 8=2 3 .
Выделим, что указанная формулировка логарифма дает возможность сразу определить значение логарифма , когда число под знаком логарифма выступает некоторой степенью основания. И в правду, формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .
Вычисление логарифма именуют логарифмированием . Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей трансформируется в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов трансформируются в произведение сомножителей.
Достаточно часто используются вещественные логарифмы с основаниями 2 (двоичный), е число Эйлера e ≈ 2,718 (натуральный логарифм) и 10 (десятичный).
На данном этапе целесообразно рассмотреть образцы логарифмов log 7 2, ln√ 5, lg0.0001.
А записи lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 не имеют смысла, так как в первой из них под знаком логарифма помещено отрицательное число , во второй - отрицательное число в основании, а в третьей - и отрицательное число под знаком логарифма и единица в основании.
Условия определения логарифма.
Стоит отдельно рассмотреть условия a > 0, a ≠ 1, b > 0.при которых дается определение логарифма . Рассмотрим, почему взяты эти ограничения. В это нам поможет равенство вида x = log α b , называемое основным логарифмическим тождеством , которое напрямую следует из данного выше определения логарифма.
Возьмем условие a≠1 . Поскольку единица в любой степени равна единице, то равенство x=log α b может существовать лишь при b=1 , но при этом log 1 1 будет любым действительным числом . Для исключения этой неоднозначности и берется a≠1 .
Докажем необходимость условия a>0 . При a=0 по формулировке логарифма может существовать только при b=0 . И соответственно тогда log 0 0 может быть любым отличным от нуля действительным числом, так как нуль в любой отличной от нуля степени есть нуль. Исключить эту неоднозначность дает условие a≠0 . А при a<0 нам бы пришлось отвергнуть разбор рациональных и иррациональных значений логарифма, поскольку степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Именно по этой причине и оговорено условие a>0 .
И последнее условие b>0 вытекает из неравенства a>0 , поскольку x=log α b , а значение степени с положительным основанием a всегда положительно.
Особенности логарифмов.
Логарифмы характеризуются отличительными особенностями , которые обусловили их повсеместное употребление для значительного облегчения кропотливых расчетов. При переходе «в мир логарифмов» умножение трансформируется на значительно более легкое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня трансформируются соответствующе в умножение и деление на показатель степени.
Формулировку логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые издал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, увеличенные и детализированные прочими учеными, широко использовались при выполнении научных и инженерных вычислений, и оставались актуальными пока не стали применяться электронные калькуляторы и компьютеры.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Одним из элементов алгебры примитивного уровня является логарифм. Название произошло из греческого языка от слова “число” или “степень” и означает степень, в которую необходимо возвести число, находящееся в основании, для нахождения итогового числа.
Виды логарифмов
- log a b – логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- lg b – десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10);
- ln b – натуральный логарифм (логарифм по основанию e , a = e ).
Как решать логарифмы?
Логари́фм числа b по основанию a является показателем степени, которая требует, чтобы в число b возвели основание а. Полученный результат произносится так: “логарифм b по основанию а”. Решение логарифмических задач состоит в том, что вам необходимо определить данную степень по числам по указанным числам. Существуют некоторые основные правила, чтобы определить или решить логарифм, а также преобразовать саму запись. Используя их, производится решение логарифмических уравнений, находятся производные, решаются интегралы и осуществляются многие другие операции. В основном, решением самого логарифма является его упрощенная запись. Ниже приведены основные формулы и свойства:
Для любых a ; a > 0; a ≠ 1 и для любых x ; y > 0.
- a log a b = b – основное логарифмическое тождество
- log a 1 = 0
- log a a = 1
- log a (x · y ) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k · log a x , при k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – формула перехода к новому основанию
- log a x = 1/log x a
Как решать логарифмы – пошаговая инструкция решения
- Для начала запишите необходимое уравнение.
Обратите внимание: если в логарифме по основанию стоит 10 , то запись укорачивается, получается десятичный логарифм. Если стоит натуральное число е, то записываем, сокращая до натурального логарифма. Имеется ввиду, что результат всех логарифмов – степень, в которую возводится число основания до получения числа b.
Непосредственно, решение и заключается в вычислении этой степени. До того как решить выражение с логарифмом, его необходимо упростить по правилу, то есть, пользуясь формулами. Основные тождества вы сможете найти, вернувшись немного назад в статье.
Складывая и вычитая логарифмы с двумя различными числами, но с одинаковыми основаниями, заменяйте одним логарифмом с произведением или делением чисел b и с соответственно. В таком случае можно применить формулу перехода к другому основания (см. выше).
Если вы используете выражения для упрощения логарифма, то необходимо учитывать некоторые ограничения. А то есть: основание логарифма а – только положительное число, но не равное единице. Число b, как и а, должно быть больше нуля.
Есть случаи, когда упростив выражение, вы не сможете вычислить логарифм в числовом виде. Бывает, что такое выражение не имеет смысла, ведь многие степени – числа иррациональные. При таком условии оставьте степень числа в виде записи логарифма.
Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения .
Сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:
Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов .
Примеры решения логарифмов на основании формул.
Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается log a b) - это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.
Согласно определения log a b = x, что равносильно a x = b, поэтому log a a x = x.
Логарифмы , примеры:
log 2 8 = 3, т.к. 2 3 = 8
log 7 49 = 2, т.к. 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, т.к. 5 -1 = 1/5
Десятичный логарифм - это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.
log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100
Натуральный логарифм - также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828... - иррациональное число). Обозначается как ln.
Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.
- Основное логарифмическое тождество
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Логарифм произведения равен сумме логарифмов
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Логарифм частного равен разности логарифмов
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма
Показатель степени логарифмируемого числа log a b m = mlog a b
Показатель степени основания логарифма log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
если m = n, получим log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Переход к новому основанию
log a b = log c b/log c a,если c = b, получим log b b = 1
тогда log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: " ". Не пропустите!
Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.
Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.
