Квадратный трёхчлен в функции. Понятие квадратного трехчлена и квадратичной функции

Предмет: математика (алгебра).

Класс: 9 (общеобразовательный).

Учебник: Алгебра: учеб. Для 9 кл. общеобразоват. учреждений. Под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2012.

Продолжительность: 45 минут .

Цель: отработать знания о свойствах элементарных функций и умение раскладывать квадратный трехчлен на множители.

Задачи:

· образовательные :

Обобщить знания о свойствах элементарных функций;

Закрепить умение раскладывать квадратный трехчлен на множители;

· воспитательные :

Вовлечь в активную деятельность всех учащихся класса;

Воспитывать у учащихся любознательность и положительную мотивацию к учению;

Воспитывать коммуникативную культуру общения;

· развивающие :

Развивать познавательный интерес и логическое мышление;

Развивать навыки коллективной работы учащихся в сочетании с самостоятельной;

Развивать умение выступать и защищать свою точку зрения.

Тип урока: урок обобщения с дидактической игрой «Крестики-нолики».

Оборудование: компьютер, проектор, презентация «Игра «Крестики-нолики», набор крестиков и ноликов.

Ход урока:

I. Организационный момент

Сегодня на уроке мы закрепим знания о свойствах функции и умения, связанные с разложением квадратного трехчлена на множители. Наш урок будет проходить в форме всем вам известной игры «Крестики-нолики». В игре участвуют 2 команды: I вариант и II вариант. В ходе жеребьёвки одна из команд-вариантов получит название «крестики», а другая - «нолики».

II. Активизация ранее изученного материала
Тот из вас, кто первый верно ответит на поставленный вопрос получает «крестик» и вопрос снимается. А если вы отвечаете неверно или допускаете ошибку, то вам выдается «нолик» и возможность ответить переходит к другому ученику.

Вопросы:

 Дайте определение функции.

 Какую переменную называют аргументом?

 Какую переменную называют функцией?

 Что понимают под значением функции?

 Что называется областью определения функции?

 Что называется областью значения функции?

 Что называется графиком функции?

 Что представляет собой график линейной функции?

 Что представляет собой график прямой пропорциональности?

 Что представляет собой график обратной пропорциональности?

 Дайте определение функции, возрастающей в промежутке.

 Дайте определение функции, убывающей в промежутке.

 Приведите пример возрастающей функции.

 Приведите пример убывающей функции.

 Дайте определение квадратному трехчлену.

 Как разложить квадратный трехчлен на множители?

 Всегда ли можно разложить квадратный трехчлен на множители?

Подсчитаем количество «крестиков» и «ноликов» у I варианта, потом у II варианта. У какого варианта больше крестиков, та вариант-команда будут «крестики», а другая - «нолики».

III. Обобщение изученного материала

Как и в обычной игре «Крестики-нолики» у нас есть поле с 9 ячейками. В игре побеждает та команда, которой удалось поставить три своих знака в один ряд или, если ни одной из команд это не удалось, то победа присваивается команде, поставившей на поле 5 своих знаков.

При проведении игры должны соблюдаться следующие правила:

Тот ученик, кто первый справился с заданием, свое решение представляет у доски. Если решение выполнено верно, то на месте задания выставляется знак варианта-команды, а если решение выполнено с ошибкой, то знак команды противника.

Только отвечающему у доски предоставляется возможность выбрать следующее задание.

Каждый имеет право только один раз предоставлять свое решение у доски.

Все верные решения заданий должны быть занесены в тетрадь.

1) Розыгрыш права выбирать задание: Восстановите запись...

2) Игра «Крестики-нолики» : (презентацию скачать с сервера )

IV. Итог урока

Подвести итоги игры. Учащимся, отвечающим у доски, выставляются оценки за урок.

V. Домашнее задание

Составить сценарий игры с соседом по парте, придумав новые задания.

VI. Рефлексия

Обсудить с учащимися урок:

Какое задание было наиболее интересным (неинтересным, сложным, простым)?

Что нового вы узнали на уроке?

Литература:

1. Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев и др.]; под ред.С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2012.

2. Ганенкова И.С. Математика 8-9 классы: многоуровневые самостоятельные работы в форме тестов. - Волгоград: Учитель, 2008.

3. Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики: Кн. Для учителя. - М.: «Просвещение», 1990.

4. Математика. Игровые уроки. 5 - 9 классы / Авт. - сост. О.В. Бощенко - Волгоград: «Учитель», 2004.

В которой были рассмотрены функции в составе которых имеется квадратный трёхчлен. Задания на нахождение точек максимума (минимума) или на вычисление наибольшего (наименьшего) значения функции.

Недавно меня попросили рассказать и показать каким образом такие задания можно решить по стандартному алгоритму, то есть через производную. Сразу скажу, что такой подход к решению нерационален, требует больше времени и он «неудобен». Привожу его для вас (чтобы знали).

Рекомендую посмотреть статью « » , также помните, что функций нужно знать наизусть, в теме производной без этого никак нельзя. Также необходимо понимание того, что такое сложная функция, в указанной выше статье имеется видео.

Рассмотрим задачи:

Найдите точку максимума функции

Сначала определим, при каких х функция имеет смысл (найдём область определения функции). Так как подкоренное выражение есть число неотрицательное, то решаем неравенство:

13 + 6х – х 2 ≥ 0

*Как решается квадратное неравенство подробно можно посмотреть .

Данные корни разбивают ось х на три интервала.

Проверим при каких значениях х неравенство будет верным. Подставим из каждого интервала любое значение х в неравенство:

Значит решением неравенства будут являться все значения х принадлежащие интервалу (включая границы):

* Приближенно полученные выражения равны:

Область определения данной функции найдена.

Вычислим производную функции. Это сложная функция:

Найдем нули производной:

Дробь равна нулю тогда, когда её числитель равен нулю, значит:

6 – 2х = 0

х = 3

Полученное значение х входит в область определения и разбивает её на два отрезка. Определим знаки производной на каждом из них (подставим выборочно любые значения в выражение производной), например 2 и 4:

Получили, что в точке х = 3 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума.

Ответ: 3

Комментарий: представленное решение – это полное, математически грамотное решение, то есть такое как должно быть. О чем я? Дело в том, что для составления «полной картины», в первую очередь необходимо найти область определения. Конечно, можно поспорить. Дело в том, можно сразу находить производную, затем её «нули» и далее установить имеет ли функция значение при этом х. Затем определить знаки в «соседних» точках и станет понятно является ли эта точка точкой максимума (или минимума). Да, можно и так.

Кто проанализировал все типы таких примеров из единого банка заданий ЕГЭ по математике, тот справедливо может сказать, что достаточно вообще найти нули производной, полученное (целое) значение х и будет являться искомым. Согласен! Но понимать суть всего процесса решения «от и до» необходимо.

Если в подобном задании на ЕГЭ будет стоять вопрос о вычислении наибольшего (наименьшего) значения, то оно будет в точке х, полученной при решении f ′(х) = 0 , то есть в «нуле функции».

Найдите точку максимума функции у =log 7 (–2 – 12х – х 2 ) + 10.

Вычислим производную функции, используем формулу производной логарифма и производной сложной функции:

Найдем нули производной:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:

– 2х –12 = 0

х = – 6

Данное значение обращает подлогарифмическое выражение в положительное:

–2 – 12∙(–6) – (–6) 2 = 34

то есть оно принадлежит области определения функции.

Определим знаки производной в «соседних» точках, например возьмем точки –7 и –5:

Получили, что в точке х = – 6 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума функции.

Ответ: –6